5.2.2 同角三角函数的基本关系 闯关练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册

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5.2.2 同角三角函数的基本关系 闯关练 2025-2026学年
数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知角的终边在函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．的三个内角为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：、、（正割），1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：、、（余割），但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中，，若，且，则（ ）
A．1 B． C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，记圆心角，若“弦”为，“矢”为1时，则等于（ ）

A．1 B． C． D．
二、多选题
9．下列命题是真命题的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．已知，且，则 ．
12．已知 ，则的值为 ．
13．若，且，则 ．
14．已知，且是第三象限的角，则 ．
四、解答题
15．（1）已知，在第四象限，求，的值；
（2）已知，在第二象限，求，的值；
（3）已知，求，的值；
（4）已知，求，的值．
16．化简：
(1)；
(2)．
17．已知，求：
(1)；
(2).
18．已知，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
19．（1）已知，（，），求证：；
（2）已知，求证：．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A A D C A D BD ABD
1．D
【分析】根据同角三角函数基本关系式结合三角函数符合可得结果.
【详解】因为，
又，
又，，所以，
所以，
故选：D.
2．D
【分析】将变形为，结合同角的三角函数关系化简为，即可求得答案.
【详解】由题意知，则
，
故选：D
3．A
【分析】分母变为，可得正余弦齐次式，弦化切求解即可.
【详解】因为角α的终边在函数的图象上，所以，
=
故选：A.
4．A
【分析】利用商关系和平方关系建立方程组可得答案.
【详解】因为，所以；
因为，所以，解得；
因为，所以，所以.
故选：A.
5．D
【分析】根据与的关系，结合的范围，即可容易求得结果.
【详解】以为，，故可得，故，
则.
故选：D.
6．C
【分析】根据题意将式子进行化简，再利用弦切互化的方法求解即可.
【详解】由题意 , 且 ,
可得 ,
两边平方, 可得
即
可得 ，
解得 .
故选: .
7．A
【分析】根据题意可得，根据齐次式法可得，即可得结果.
【详解】因为，可得，
可得，
所以.
故选：A.
8．D
【分析】利用图形以及“弦”和“矢”的定义，由平方关系可求得角的三角函数值，即可计算得出结果.
【详解】根据题意可设半径长，
可得，
由同角三角函数值之间的基本关系可得，
解得；
即可得,；
所以.
故选：D
9．BD
【分析】根据同角三角函数平方关系和商数关系直接求解即可.
【详解】对于AB，当时，，，A错误，B正确；
对于CD，由得：，，C错误，D正确.
故选：BD.
10．ABD
【分析】AB选项，两边平方得到，再结合得到，，得到AB正确；先求出的平方，结合角的范围求出的值.
【详解】AB选项，两边平方得，，
即，所以，B正确，
因为，所以，故，所以，A正确；
CD选项，，
因为，，所以，
故，C错误，D正确.
故选：ABD
11．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系即可求得的值．
【详解】
，，
则，
故答案为：．
12．3
【分析】将中弦化切化简，再将代入即可.
【详解】
故答案为：.
13．/
【分析】由已知条件结合平方和关系求出和即可求.
【详解】因为，所以，
又即，
故由平方和关系得即，
所以即，故，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】根据题意结合同角三角关系分析运算，注意三角函数值符号判断.
【详解】因为，则，解得，
又因为，
且是第三象限的角，则，
所以.
故答案为：.
15．见解析
【分析】利用同角三角函数的基本关系代值计算即可.
【详解】（1），在第四象限，
；
（2），在第二象限，
；
（3），
，
当为第二象限角时，，
当为第四象限角时，，
（4），
当为第一象限角时，，，
当为第四象限角时，时，．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式进行化简，从而求得正确答案.
（2）根据同角三角函数的基本关系式、三角函数的符号等知识进行化简，从而求得正确答案.
【详解】（1）原式
．
（2）因为，所以．
原式．
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用平方差公式化简式子，然后“1”的代换变成分式，再同除即可求解；
（2）先把分母变为，然后对分式同除即可求解.
【详解】（1）
；
（2）
=.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据角的范围确定，即可由一元二次方程求解，
（2）（3）根据弦切齐次式即可求解.
【详解】（1）由于，所以，
又得，
解得或（舍去），
故
（2）
（3）
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）变形给定等式，再利用平方关系推理作答.
（2）由已知用表示出，再结合平方关系推理作答.
【详解】（1）由得：，而，
于是得，即，因此，
又，，即有，所以.
（2）因为，则有
当时，，则，必有，显然等式成立，
当时，由得：，又，
因此，则，
所以.
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