5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 闯关练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册

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5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 闯关练 2025-2026学年数学
高一年级人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C．1 D．2
2．下列函数中，周期是，又是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=
A．2 B．
C．1 D．
4．已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．4
5．若函数为偶函数，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数在区间恰有两条对称轴，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
8．下列关于函数，的单调性的叙述，正确的是（ ）
A．在上单调递增，在上单调递减
B．在上单调递增，在上单调递减
C．在及上单调递增，在上单调递减
D．在上单调递增，在及上单调递减
9．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．设函数，其中.若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．为函数的一个对称中心 B．的图像关于直线对称
C．在上为严格减函数 D．函数的最小正周期为
11．已知函数满足，且，则（ ）
A．3 B．3或7 C．5 D．7
二、多选题
12．设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为
D．在区间上单调递增.
13．设函数，给出下列命题，正确的是（ ）
A．若取得最大值，则
B．的图象关于点对称
C．最大值与最小值之差为4
D．的最小正周期为π
三、填空题
14．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 .
15．下列关于函数的说法中，错误的是 .
①函数的图象关于直线对称；
②函数的图象关于点对称；
③函数在区间上单调递增；
④函数是一个偶函数，则，.
四、解答题
16．已知函数．
(1)求函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并求出最大值、最小值；
(2)求函数在区间上的单调递增区间．
17．已知函数的图象过点．
(1)求函数的单调增区间；
(2)总成立．求实数的取值范围．
18．已知函数（其中）的最小正周期为，它的一个对称中心为.
(1)求函数的解析式；
(2)若方程在上的解为，求.
19．已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称.
(1)求函数的解析式；
(2)若存在，使等式成立，求实数的取值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A B B C B C C D
题号 11 12 13
答案 D BD CD
1．D
【分析】根据给定的函数，利用余弦型函数的周期公式计算即得.
【详解】函数的最小正周期是.
故选：D
2．D
【分析】根据周期公式和奇函数定义判断各个选项；
【详解】对于A.周期是，A错误；
对于B.周期是，因为是偶函数，B错误；
对于C.周期是，因为是偶函数，C错误；
对于D.周期是，又是奇函数，D正确；
故选：D.
3．A
【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得.
【详解】由题意知，的周期，得．故选A．
【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．
4．B
【分析】根据函数解析式及函数值求得另一个函数值即可.
【详解】由题知，，则
则
故选：B
5．B
【分析】由题意可知：为函数的对称轴，结合余弦函数对称性分析求解.
【详解】由题意可知：为函数的对称轴，
则，则，
对于选项A：令，解得，不合题意；
对于选项B：令，解得，符合题意；
对于选项C：令，解得，不合题意；
对于选项D：令，解得，不合题意；
故选：B.
6．C
【分析】求出相位的范围，结合余弦函数的性质列出不等式求解即得.
【详解】由，得，
由的图象在区间上恰有一个对称中心，得，
所以.
故选：C
7．B
【分析】根据题意得到，从而得到，再解不等式即可.
【详解】因为，所以，
因为函数在区间恰有两条对称轴，
所以，解得.
故选：B
8．C
【分析】利用正弦函数的单调性，直接分析求解即可.
【详解】解：，
当时，函数y单调递增；当时，函数y单调递减；当时，函数y单调递增．
故只有C正确．
故选：
9．C
【分析】根据正弦函数的单调性可得，，求出的范围，再根据题意即可得到关于和的方程组，进而求解即可．
【详解】依题意可得，，
得，，
则，解得，
又，当时，得；当时，，矛盾，
所以的取值范围是．
故选：A．
10．D
【分析】由对任意的恒成立得函数在取得最大值，从而可以求解，得到函数的解析式，然后结合正弦函数的性质分析各选项即可判断．
【详解】解：由对任意的恒成立得函数在取得最大值，
所以，则，
所以，
整理得，
对于，，则不是函数的对称中心，故错误；
对于，，则不是函数的对称中轴，故错误；
对于，令，，
解得，，，
显然不包含区间，故错误；
对于，，所以的最小正周期为，故正确．
故选：D．
11．D
【分析】根据题意得到是的一条对称轴，求得，再由，求得或，结合，得到，进而利用三角函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，函数满足，可得是函数的一条对称轴，
所以，即，
即，所以
又由，可得或，即或，
因为，可得，所以，
当时，可得，即，（不符合题意，舍去）；
当时，可得，即，解得，
如：时，可得，解得，符合题意，
所以.
故选：D.
12．BD
【分析】根据正弦函数的性质求出函数的最小正周期，利用整体代换法即可求出函数的对称轴和单调区间.代入验证零点.
【详解】由周期公式知，A正确；
因为不是最值，所以直线不是函数的对称轴，B错误；
因为，所以是函数的零点，C正确；
当，则，正弦函数在区间上先增后减，故D错误.
故选：BD
13．CD
【分析】直接利用正弦型函数的性质逐个分析判断.
【详解】对于A，当时，，取得最大值，
而当取得最大值时，，得，所以A错误，
对于B，由选项A可知为的一条对称轴，所以B错误，
对于C，的最大值为2，最小值为，所以最大值与最小值之差为4，所以C正确，
对于D，的最小正周期为，所以D正确.
故选：CD
14．
【分析】先根据区间的长度不大于半周期求出，再根据的范围确定所满足的范围，得到答案.
【详解】由题意有, 可得,
又由，在上为减函数，故必有, 可得.
故实数的取值范围为.
故答案为：
15．②③
【分析】根据函数的图象和性质对四个选项逐一判断，对于①②根据函数在对称轴处取得最值，在对称中心处取得0即可作出判断，对于③，，当时，，函数单调递减，即可作出判断；对于④，可根据为偶函数，，（）计算作出判断.
【详解】对于①，，故①正确；
对于②，，故②错误；
对于③，，
当时，，函数单调递减，故③错误；
对于④，，
函数是偶函数，所以，，
即，，故④正确.
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：本题考查函数的图象和性质，解题关键是将看成一个整体，从而利用正弦函数的图象和性质计算判断.
16．(1)答案见解析
(2)和
【分析】（1）直接利用余弦函数的性质求最值及取最值时的集合；
（2）先通过求出的范围，再根据余弦函数的性质求解单调增区间.
【详解】（1）对于函数，
当，即时，函数取得最大值；
当，即时，函数取得最小值．
（2），，
由和可得
函数的单调增区间为和.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据函数过可得，进而利用整体法即可求解，
（2）根据，得，即可由三角函数的性质求解最值求解.
【详解】（1）因为，
所以．
因为，所以，故，
由．
得：．
所以函数的单调增区间为．
（2）由总成立，得的最小值．
因为，所以．
所以当时，取得最小值．
所以的取值范围是．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据周期得到，根据对称中心得到，得到解析式.
（2）确定，根据对称性得到，代入解析式计算得到答案.
【详解】（1），，故，
一个对称中心为，故，即，
，故当时，满足条件，此时，故.
（2），故，，
且，即，
.
19．(1)
(2)
【分析】（1）相关点法可得；
（2）先求的值域，然后将问题转化为两个函数图象有交点，利用对勾函数性质可得.
【详解】（1）设为函数图象上任意一点，
则M关于的对称点为，
由题知点在函数的图象上，
故，即
（2）当时，则，
令，则存在，使等式成立，
等价于：存在，使得成立，
由对勾函数性质可知，在区间上单调递减，在区间单调递增，
故当或时，有最大值3，当时，有最小值，
所以的取值范围为.
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