5.4.3 正切函数的性质与图象 闯关练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册

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5.4.3 正切函数的性质与图象 闯关练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．函数在一个周期内的图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的值域为
C．点是函数的图像的一个对称中心
D．
3．已知函数（）的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是
A．0 B． C． D．
4．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数f(x)=tan的单调递增区间是（ ）
A．(k∈Z) B．(k∈Z)
C．(k∈Z) D．(k∈Z)
6．函数的图象的一个对称中心可以是(　　)
A． B．
C． D．
7．下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线x＝成轴对称
二、多选题
8．已知函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．点是图象的一个对称中心
C．的值域为
D．不等式的解集为
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若的最小正周期是，则
B．当时，的对称中心的坐标为
C．当时，
D．若在区间上单调递增，则
三、填空题
10．函数f(x)＝tan(ω>0)的最小正周期为，则＝ .
11．函数的单调递减区间为 .
12．已知函数，，则其值域为 .
13．已知函数，的部分图像如下图，则= .
14．若函数的最小值为-6，则实数a的值为 .
四、解答题
15．求函数的单调区间及最小正周期．
16．不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小.
(1)与；
(2)与
17．已知
(1)求函数的周期和单调递减区间；
(2)试比较与的大小．
18．设函数.
（1）求函数f(x)的最小正周期，对称中心；
（2）作出函数在一个周期内的简图．
19．画出函数的图象．
(1)根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性；
(2)求不等式的解集．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A D A A B D B CD AD
1．A
【分析】先由求得的最小正周期，再由的单调区间求得的单调区间，据此可解.
【详解】因为，所以，
而由选项BD中的图像可知它们的周期为，故排除BD；
因为的单调递增区间为，
由得，
所以的单调递增区间为，
当时，的单调递增区间为，
选项C中的图像不满足，排除C，而选项A中的图像满足，故A正确.
故选：A.
2．D
【解析】根据解析式，求出的周期和值域以及对称中心，判断出和的正负，从而得到答案.
【详解】因为，
所以函数的最小正周期，故A正确.
由正切函数的图像和性质可知函数的值域为，故B正确.
由，，
得，，
当时，，
所以点是函数的图像的一个对称中心，故C正确.
因为，
，
所以，故D不正确.
故选：D.
【点睛】本题考查正切型函数的周期、值域、对称中心，属于简单题.
3．A
【分析】与正切函数相交后形成的线段长为,由可得,再将代入求值即可
【详解】由题意,可知,所以,即,
所以,
故选:A
【点睛】本题考查正切型函数图象的性质,考查求正切函数值
4．A
【解析】先得到内满足不等式的的范围，再根据正切函数的周期性，得到答案.
【详解】
当时，
，
且单调递增，
所以，
因为的周期为，
所以不等式的解集为.
故选：A.
【点睛】本题考查解三角函数不等式，正切函数周期性，属于简单题.
5．B
【分析】运用整体代入法，结合正切函数的单调区间可得选项.
【详解】由kπ-<2x-故选:B.
【点睛】本题考查正切函数的单调性，属于基础题.
6．D
【详解】令，解得：，当时，
的图象是由的图象向上平移个单位得到的，函数的图象的一个对称中心可以是
故选
点睛：正切函数的对称中心为，那么可以令，解得：，代入一个整数时，就得到了一个对称中心，又根据的图象是由的图象向上平移个单位得到的，即可求得答案．
7．B
【分析】对A，令，解出函数的单调递增区间，再分析是否在某一个单调区间内；对B，求出函数周期；对C，令，看有没有，使得；对D，正切曲线没有对称轴.
【详解】令，解得，
显然不满足上上述关系式，故A错误；
易知该函数的最小正周期为，故B正确；
令，解得，，任取值不能得到，故C错误；
正切曲线没有对称轴，因此函数的图象也没有对称轴，故D错误．
故选：B
【点睛】本题考查了正切型函数的性质，可用整体代入参照正切函数的性质得到相关的性质，属于中档题.
8．CD
【分析】把函数用分段函数表示，再作出的图象，观察图象即可判断选项A，B，C，解不等式即可判断选项D而作答.
【详解】，作出的图象，如图，观察图象，
的最小正周期为，A错误；
的图象没有对称中心，B错误；
的值域为，C正确；
不等式，即时，得，解得，
所以的解集为，D正确.
故选：CD
9．AD
【解析】根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解:对于A选项，当的最小正周期是，即：，则，故A选项正确；
对于B选项，当时，，所以令，解得：，所以函数的对称中心的坐标为，故B选项错误；
对于C选项，当时，，，，由于在单调递增，故，故C选项错误；
对于D选项，令，解得： 所以函数的单调递增区间为：，因为在区间上单调递增，所以，解得：，另一方面，，，所以，即，又因为，所以，故，故D选项正确.
故选：AD
【点睛】本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D选项的解决先需根据正切函数单调性得，再结合和得，进而得答案.
10．1
【分析】首先利用周期公式，求出，从而求出函数的解析式，进而求出的值.
【详解】由已知，所以，
所以f(x)＝tan，
所以＝tan＝tan＝1.
故答案为：1
【点睛】本题考查了利用三角函数的周期求函数表达式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
11．
【分析】先求出函数的定义域，再根据正切函数的单调性即可求解.
【详解】
,
解得，,
当时，
是增函数，
是减函数，
即的单调递减区间为，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正切函数的定义域，单调性，属于中档题.
12．
【分析】令，将原函数转化为关于t的二次函数，求出二次函数值域即得.
【详解】令，，显然在上单调递增，因此，，
则原函数化为：，而在上单调递增，
于是当，即时，，当，即时，，
所以原函数的值域为.
故答案为：
13．
【分析】先求出周期，从而可得，代入函数值为0，结合已知的范围，可求得，最后由可得．
【详解】由题意，∴，
又，，而，∴，
，，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查正切函数的图象与性质，解题时必须掌握正切型函数的周期、零点等知识．本题属于基础题型．
14．-7或7
【解析】设，则原函数化为，分别讨论，，时函数的最小值即可求出a.
【详解】设.因为，所以，
则原函数化为，
对称轴方程为直线.
①若，即，则
当时，，
所以，不符合题意，舍去；
②若，即，
则二次函数在上单调递增，
当时，，所以；
③若，即，
则二次函数在上单调递减，
当时，，所以.
综上所述，实数a的值为-7或7.
故答案为：-7，7
【点睛】本题考查了正切函数的值域和二次函数的最值，考查了换元法和分类讨论法，属于中档题.
15． ，
【分析】利用正切函数的周期和单调区间即可求出函数的单调区间及最小正周期.
【详解】因为，
又，，解得，，
所以的单调减区间为.
因为，所以.
【点睛】本题主要考查正切函数的周期和单调区间，属于简单题.
16．(1)
(2)
【分析】（1）（2）利用诱导公式结合正切函数在上的单调性可得出两个正切值的大小.
【详解】（1）解：，，
因为正切函数在上为增函数，且，
所以，，即.
（2）解：，，
因为正切函数在上为增函数，且，
所以，，即.
17．(1)周期；，， ；
(2) ．
【分析】（1）由已知，根据函数解析式，可利用来求解函数的最小正周期，可先对函数进行变形，变为，然后令，解不等式即可求解出函数的单调递减区间；
（2）分别计算与，然后记住函数的单调性即可比较大小.
【详解】（1）函数，
其周期
由，
解得：．
所以单调递减区间为：，．．
（2）
，
，
即．
18．（1），；（2）图象见解析
【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数的对称中心.
（2）首先根据函数的解析式得到数的图象与轴的一个交点坐标为，在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为和，再画出函数的图象即可.
【详解】（1），.
令，，解得，，
故对称中心为.
（2）令，解得，令，解得，
令，解得，令，解得，
令，解得，
所以函数的图象与轴的一个交点坐标为，
在这个交点左右两侧相邻的渐近线方程分别为和.
故函数在一个周期内的函数图象为：
【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，属于中档题.
19．(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）把函数化成分段函数，画出函数图象，再利用图象求解作答.
（2）利用正切函数单调性及周期性解不等式作答.
【详解】（1）函数，化为，
函数的图象如下：

观察图象知，函数的定义域为；值域为；
函数的递减区间是，递增区间为；
函数是偶函数；周期是.
（2）由，得，而函数在上单调递增，且是周期为的周期函数，
于是，
所以不等式的解集是.
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