5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式 闯关练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册

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5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式 闯关练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．计算（ ）．
A． B． C． D．
2．的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知为锐角，为第三象限角，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（多选）下列四个选项，化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知，，，，，则下列说法正确的是
A． B．
C． D．
三、填空题
7．已知△ABC中，sin(A＋B)＝，cos B＝－，则sin B＝ ，cos A＝ .
8．满足的角x等于 ．
9．若，，＝，＝，则＝ .
10．在中，，则 .
11．已知，，且，，求角的值.
12．已知点是角终边上的一点，则的值为 .
13．已知，，，，则 .
四、解答题
14．，，，为锐角，求.
15．若，，，，求的值.
16．已知，，其中，为锐角，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
17．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，，且，求角的大小.
18．已知，其中.
(1)求和的值；
(2)若，求的值.
19．已知cos＝，cos(－β)＝，且0<β<<，求β的值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A B A C BCD AC
1．A
【解析】将化为,化为后，利用两角差的余弦公式可求得结果.
【详解】
．
故选：A．
2．B
【分析】利用两角和的余弦公式即可求解.
【详解】解：.
故选：B.
3．A
【分析】利用同角三角函数关系及角的范围可得和，再由可得解.
【详解】为锐角，且，.
为第三象限角，且，
，
.故选A.
【点睛】本题主要考查了两角差的余弦公式，属于基础题.
4．C
【分析】根据题意求得和的值，结合两角差的余弦公式，即可求解.
【详解】由题意，可得，，
因为，，可得，，
则
.
故选：C.
5．BCD
【分析】运用差角公式及诱导公式计算即可判断各个选项.
【详解】对于A项，，故A项错误；
对于B项，，故B项正确；
对于C项，，故C项正确；
对于D项，，故D项正确.
故选：BCD.
6．AC
【解析】由已知条件两边平方相加，消去 得，可知A正确，B错误，再根据角的范围可得，所以C正确，D错误.从而可得答案.
【详解】由已知，得，.
两式分别平方相加，得，
，，A正确，B错误.
，，，，，
，C正确，D错误.
故选：AC.
【点睛】本题考查了平方关系式，考查了两角差的余弦公式的逆用，考查了由三角函数值求角，属于基础题.
7． . .
【分析】由于角A，B，C是三角形的内角，所以最大也就是钝角，再利用同角关系和两角差可以算出.
【详解】在△ABC中，
因为，所以B为钝角，
所以，，
由，得，
所以cos A＝cos [(A＋B)－B]
＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B
＝，
故答案为：，.
8．.
【分析】很显然是要用到辅助角公式.
【详解】，
∵，，
∴，；
故答案为：.
9．/
【分析】由已知利用同角的三角函数关系求出以及，再利用两角差的余弦公式即可求得答案.
【详解】∵，∴，故由，
得.
又∵，∴，＝，
∴，
则
，
故答案为：.
10．
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，，再利用两角差的余弦公式即可求解.
【详解】因为，且0所以sinB==，且0所以cosA==，
所以cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB=×.
故答案为：
11．
【分析】根据的范围及其余弦值，可求得的值，同理可得的值，因为，利用两角差的余弦公式展开即可求值，结合的范围，即可得结果.
【详解】，，
，
又，，可知，
.
，
又，
，
， .
故答案为：
12．
【解析】由任意角三角函数的定义可得和,利用两角和与差公式展开代入计算得出答案.
【详解】由题意可得，，
所以
.
故答案为：
【点睛】本题考查三角恒等变换的应用,考查任意角三角函数的定义,考查学生运算求解能力,属于基础题.
13．
【分析】运用同角三角函数平方关系及两角差的余弦公式计算即可.
【详解】由已知得：，，
所以，
故答案为：.
14．
【分析】首先求出，，再根据求出，即可得解.
【详解】因为，为锐角，所以，
又，，所以，，
所以
，
所以.
15．
【分析】分别计算和的正余弦，利用
求解即可.
【详解】，.
，，.
，.
又，，
.
【点睛】本题主要考查了两角差的余弦公式，属于给值求值类问题，解决这类问题的关键是找到未知角和已知角的等量关系，属于中档题.
16．（1）；（2）.
【分析】（1）由两点间距离公式得，展开即可得解；
（2）讨论和两种情况，由展开即可得解.
【详解】（1）由，得，
，
.
（2），，，为锐角，
，.
当时，.
当时，.
为锐角，.
【点睛】本题主要考查了两角差的余弦公式，注意结合角的范围求三角函数时不能舍的需要讨论，属于基础题.
17．（1）；（2）.
【分析】（1）化简函数得，利用周期公式可得解；
（2）由，分别求和的正余弦即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，
所以函数的最小正周期.
（2）因为，且，
所以，.
又，所以，
所以，
，
所以.
又，所以，所以.
【点睛】本题主要考查了两角差的余弦公式及给值求角问题，本题中利用是解题的关键，属于中档题.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数关系式结合已知条件求解即可；
（2）利用两角差的余弦公式及同角三角函数关系式求解即可.
【详解】（1）因为，即，
又因为，
所以，
即，所以，
又，所以，.
（2）因为
，
所以，
所以，即，
又，所以.
19．
【分析】由同角三角函数基本关系可得，由不等式的性质可得0<α－β<.据此可知sin(α－β)＝，据此计算可得cos β＝cos[α－(α－β)]，则.
【详解】由cos α＝，0<α<，
得sin α＝＝＝.
由0<β<α<，得0<α－β<.
又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝＝.
由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)，
即cos β＝×＋×＝，∴β＝.
【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．
(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
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