沪科版数学九年级上册21.4二次函数的应用之抛物线型问题（专项练习）
一、喷泉问题
1．（2025九上·绍兴月考）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM ，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是 则水流喷出的最大高度是( )
A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：
∵-1<0，
∴当x=1时，y取最大值，最大值为，即2.75米.
故答案为：B .
【分析】把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值.
2．（2021九上·鄞州期中）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 ．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
【答案】（1）解：当x=0时，
=-+6
=；
（2）解：当，
解得x=11或-1（舍去），
∴OD=11，
∴CD=2OD=22；
(3)
（3）解：顶部F不会碰到水柱。
理由如下，
∵OE=10，
∴x=10，
∴，
∴不会碰到水柱.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】(1)令x=0，求出抛物线与y轴的交点坐标，即可解答；
(2)先令y=0，求出抛物线与x轴的交点坐标，得出OD长，则可求出CD长；
(3)求出x=10时的函数值，再和1.8作比较，即可解答.
3．（2024九上·庄浪期末）玥玥看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系的图象，已知水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面．身高的玥玥站在水柱正下方，且距喷水头水平距离的位置，她的头顶 碰到水柱．（填“能”或“不能”）
【答案】不能
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：根据题意可知抛物线的顶点为，水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系，
则抛物线的解析式为，
令，则，
故她的头顶不能碰到水柱．
故答案为：不能．
【分析】根据顶点求出抛物线的解析式为，再令，求出的值，最后与比较求解即可.
4．（2024九上·东城期中）2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌，陈芋汐获得银牌，在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），如图2所示，建立平面直角坐标系，如果她从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
水平距离x/m 3 h 4 4.5
竖直高度y/m 10 11.25 10 6.25
根据表中数据，直接写出h的值为 ，满足的二次函数关系式为： ；
（2）在（1）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系：，记比赛当天入水点的水平距离为，判断与的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：对于，
当时，，
解得：，（不合题意，舍去），
∴米，
对于，
当时，，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
∵，
∴．
【知识点】公式法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：根据表格得：函数图象过点，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：；；
【分析】
（1）通过表格数据设解析式为，再利用待定系数法求出解析式，即可解答；
（2）分别求出两个解析式当时x的值，进行比较即可解答．
（1）解：根据表格得：函数图象过点，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：；；
（2）解：对于，
当时，，
解得：，（不合题意，舍去），
∴米，
对于，
当时，，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
∵，
∴．
5．（2025九上·广州月考）背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动．
（1）【建模分析】
如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为．
任务1：以水池中心点为原点，水平向右方向为轴正半轴，以喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系：求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并计算喷泉水流到喷水管的最大水平距离．
（2）【优化设计】
社区要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线最大高度与水平宽度的比接近黄金比．
如图③，该小组进一步提出优化设计，若优化后水流离喷水管最大水平距离为，喷水口的竖直高度为，喷出的水流的最高高度为．
任务2：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算说明该小组所设计喷泉的是否达到美观效果．
【答案】（1）解：如图，
设此抛物线的解析式为：，根据题意得：，，
∴，
∵抛物线过（0，2.25），
∴解得，
∴，
当y=0时，解得，（舍）
∴喷泉水流到喷水管的最大水平距离为3米.
∴抛物线的函数表达式为，，喷泉水流到喷水管的最大水平距离为3米.
（2）解：如图，
设此抛物线的解析式为：，根据题意得：，
∴
∵抛物线过，，
∴解得：，
∴，
当时，，解得，，
∴Ａ（-0.5，0），Ｄ，5.5，0），
∴，
∴BC=OD=5.5+0.5=6，AB=3.6，
∴，
∵0.6接近0.618，
∴该小组所设计喷泉的达到美观效果.
∴优化后抛物线的函数表达式为，该小组所设计喷泉的达到美观效果.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）设此抛物线的解析式为：，根据题意得：，，再根据抛物线过（0，2.25），可得，当y=0时，解得，（舍）可得喷泉水流到喷水管的最大水平距离为3米.
（2）设此抛物线的解析式为：，根据题意得：，根据抛物线过，，得，可得，当时，，解得，，进一步得，即可得答案.
二、涵洞拱桥问题
6．（2025九上·绍兴月考）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m.因上游水库泄洪，水面宽度变为6m，则水面上涨的高度是 m.
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：以水面为x轴、桥洞的顶点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
根据题意 ，得 A(5，0)，C(0，5)，
设抛物线解析式为：y=ax2+5，
把 A(5，0)代入，得
∴抛物线解析式为：
当x=3时，
∴当水面宽度变为6m，则水面上涨的高度为m.
故答案为： .
【分析】根据二次函数的图象和性质先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意列出函数解析式进而求解.
7．（2025九上·义乌开学考） 某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽 AB 为 16m，此时拱顶 O 到水面 AB 的距离为（ ）
A．4m B．3m C．2m D．1m
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：正常水位时水面宽AB为16m，即.AB=16米，
∴当x=8时，
∴此时拱顶 O 到水面 AB 的距离为4m，
故答案为：A.
【分析】根据正常水位时水面宽AB=16米，求出当x=8时的函数值解答即可.
8．（2025九上·新昌月考）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材 图中有一座拱桥，图是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶距离水面据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材 为迎佳节，拟在如图所示的桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务 确定桥拱形状 在图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
【答案】解：任务：
以拱顶为原点，建立如图所示的直角坐标系，则顶点为，且过点，
设抛物线的解析式为：，
把点代入得：，
，
抛物线的函数表达式为：；
任务：
该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，
当悬挂点的纵坐标，
即悬挂点的纵坐标的最小值是，
当时，，
，
悬挂点的横坐标的取值范围是：；
任务：
方案一：如图坐标轴的横轴，从顶点处开始悬挂灯笼，
，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，
若顶点一侧悬挂盏灯笼时，，
若顶点一侧悬挂盏灯笼时，，
顶点一侧最多悬挂盏灯笼，
灯笼挂满后成轴对称分布，
共可挂盏灯笼，
最左边一盏灯笼的横坐标为：；
方案二：如图，
若顶点一侧悬挂盏灯笼时，，
若顶点一侧悬挂盏灯笼时，，
顶点一侧最多悬挂盏灯笼，
灯笼挂满后成轴对称分布，
共可挂盏灯笼，
最左边一盏灯笼的横坐标为：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】任务1：依据题意，以拱顶为原点，建立如图所示的直角坐标系，从而顶点为(0，0)，且过点B(10，-5)，故可设抛物线的解析式为：y=ax2，再把点B(10，-5)代入得：100a=-5，求出a即可得解；
任务2：依据题意，由该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m，则悬挂点的纵坐标y：-5+1.8+1+0.4=-1.8，即悬挂点的纵坐标的最小值是-1.8，从而可令y=-1.8时，，求出x1=6，x2=-6，最后即可判断得解；
任务3：方案一：依据题意，当挂7盏灯笼时1.6×3=4.8(米)，进而可以判断得解；
方案二：依据题意，当可挂8盏灯笼时，1.6×3+0.8=5.6(米)，从而综合两种情形，可以得解.
三、斜抛运动
9．（2025九上·温州月考）苍南队在浙训练中发现，每一次篮球投篮轨迹满足抛物线，篮球出手至入筐过程中的水平距离长为 米．
【答案】4
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题意，将代入抛物线得：，
解得或，
抛物线的对称轴为直线，
∵篮球框在抛物线的对称轴的右侧，且，
∴篮球出手至入筐过程中的水平距离长为4米，
故答案为：4．
【分析】
先由抛物线的解析式可得其对称轴为直线，再由抛物线上点的坐标特征求出在对称轴右侧篮球高度为3时对应的自变量的值即可．
10．（2025九上·广州月考）某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面如图1所示，球台长度AB＝274cm，发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分AC＝12cm，出球管道，若将水平状态的CD绕点C逆时针旋转45°到CD的位置，发球机模式为“一跳球”，路线呈抛物线，离球台正中间的球网GH左侧72cm处到达最高点高出台面21cm，则 cm．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；旋转的性质；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：以AC为y轴，以AB为x轴，A为原点建立平面直角坐标系，如图，
设抛物线最高点为N，对称轴MN与x轴交于M，则MN=21，
∴AB=274，
∵GH是AB正中间，
∴AH=AB=137，
∴AM=AH-MH=13772=65，
设抛物线为：y=a（x-65）2+21（a＜0），
过D'作D'P⊥x轴交CD于点Q，交x轴于点P，
则∠CQD'=∠APQ=90°，
∵旋转45°，
∴CD'=，
CQ=D'Q=CD'cos∠D'CD=5，
∴D'P=D'Q+PQ=5+12=17，
∴D'（5，17）代入抛物线得：
a×（5-65）2+21=17，
∴，
∴y=（x65）2+21，
令y=0，则（x65）2+21=0，
解得：x1=65+30，x2=65-30（舍去），
∴E（65+30，0），
∴EB=AB-AE=274-（65+30）=（209-30）（cm），
故答案为：20930．
【分析】以AC为y轴，以AB为x轴，A为原点建立平面直角坐标系，设抛物线最高点为N，对称轴MN与x轴交于M，则MN=21，根据线段中点可得AH=AB=137，再根据边之间的关系可得AM，设抛物线为：y=a（x-65）2+21（a＜0），过D'作D'P⊥x轴交CD于点Q，交x轴于点P，根据旋转性质可得CD'=，解直角三角形可得CQ，根据边之间的关系可得D'P，根据点的坐标可得D'（5，17），再将点D'坐标代入解析式可得y=（x65）2+21，根据坐标轴上点的坐标特征可得E（65+30，0），再根据边之间的关系即可求出答案.
11．（2025九上·丰南月考）如图1所示的是古代一种远程攻击的武器——发石车．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将某发射出去的石块看作一个点，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽与轴平行，点与点的水平距离为，垂直距离为．已知发射石块在空中飞行的最大高度为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）试通过计算说明该石块能否飞越防御墙．
【答案】（1）解：发射石块在空中飞行的最大高度为，
．
石块运行的函数解析式为．
把代入解析式，得，
解得：．
．
（2）解：石块能飞越防御墙．
理由如下：
点与点的水平距离为，墙宽，
点的横坐标为．
把代入，
得
点与点的垂直距离为与轴平行，
点与点的垂直距离也为．
，
该石块能飞越防御墙．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）由题意可得k=10，再根据待定系数法将点(0，0)代入解析式即可求出答案.
（2）由题意可得点的横坐标为，将x=27代入解析式可得y=8.775，根据平行于x轴的直线上点的坐标特征可得点与点的垂直距离也为，再比较大小即可求出答案.
（1）解：发射石块在空中飞行的最大高度为，
．
石块运行的函数解析式为．
把代入解析式，得，
解得：．
．
（2）解：石块能飞越防御墙．
理由如下：
点与点的水平距离为，墙宽，
点的横坐标为．
把代入，
得
点与点的垂直距离为与轴平行，
点与点的垂直距离也为．
，
该石块能飞越防御墙．
12．（2023九上·龙港月考）根据以下素材，探索完成任务．
如何确定防守方案？
素材1 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线．攻球员位于，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，已知，．
素材2 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为水平距离（水平距离=水平速度×时间）与离地高度的鹰眼数据如右表． 守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． …912151821……5…
问题解决
任务1 确定运动轨迹 求关于的函数表达式．
任务2 探究防守方案 若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由．
任务3 拟定执行计划 求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度．
【答案】任务一：
解：任务1：由表格中的数据可知当和当时，h的值相同，
∴该抛物线的对称轴为直线，
∴该抛物线的顶点坐标为，
设该抛物线解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴h关于s的函数表达式为；
任务二：
任务2：若守门员选择原地接球，不能防守成功，理由如下：
在中，当时，，
∵，
∴若守门员选择原地接球，不能防守成功；
任务三
：当守门员刚好接到球时，则，
把代入中得：，
解得，
∴此时球的飞行时间为，
∴守门员选择面对足球后退，能够防守成功，那么运动员在内肯定要到达能够刚好接球的位置，即守门员在内的路程要大于等于，
∴守门员的速度要大于等于，
∴守门员的最小速度为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据题意把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；
（2）计算出当时h的值即可得到答案；
（3）当守门员刚好接到球时，则，求出此高度下s的值，进而求出球运动的时间，进而求出守门员运动的最小路程，即可求出最小速度．
13．（2025九上·滨江月考）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高OB为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m.现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示.
（1）求抛物线表示的二次函数的表达式；
（2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（3）已知点C在点O的正上方，且OC=2.25m.运动员带球向点A的正后方移动了n（n＞0）米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，且恰好在点O与点C之间进球（包括端点），求n的取值范围.
【答案】（1）解：∵8-6=2，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3），
设抛物线表示的二次函数的表达式为y=a（x-2）2+3，把点A（8，0）代入，得36a+3=0，解得，
∴抛物线表示的二次函数的表达式为；
（2）解：当x=0时，，
∴球不能射进球门；
（3）解：由题意，移动后的抛物线为，
把点（0，2.25）代入，得，解得n1=-5（舍去），n2=1，
把点（0，0）代入，得，解得n3=-8（舍去），n4=4，
∴n的取值范围为1≤n≤4．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)求出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法即可求出抛物线表示的二次函数解析式；
(2)当x=0时，求出y的值，再与2.44比较，即可知球能不能射进球门；
(3)移动后的抛物线为，把点(0，2.25)代入上式求出n，同理把(0，0)代入函数表达式求出n，进而求得n的取值范围.
14．（2024九上·南昌月考）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
（1）①______，______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
（2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系．
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
【答案】（1）解：①3，6；
②联立得：，
解得：或 ，
∴点A的坐标是，
（2）解：①8，
②，
则，
解得（负值舍去）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】（1）解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为，
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为，
当时，，
解得：或（舍去），
∴，
当时，，
故答案为：3，6．
（2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米，
故答案为：8.
【分析】（1）①先求出二次函数解析式为，再将和代入计算即可；
②联立方程组求解即可；
（2）①将二次函数的一般式化为顶点式，再求解即可；
②根据题意可得，再求出v的值即可.
（1）解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为，
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为，
当时，，
解得：或（舍去），
∴，
当时，，
故答案为：3，6．
②联立得：，
解得：或 ，
∴点A的坐标是，
（2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米，
故答案为：8；
②，
则，
解得（负值舍去）．
15．（2025九上·义乌开学考）为了增加趣味性，万岁山旅游城把传统的抛绣球项目进行改良，他们定制了一种器械，类似中国古代一种投石器，为了解发射平台高度对绣球飞行轨迹的影响，我们可以设定不同的发射平台高度，并分别记录绣球在不同水平距离上的飞行高度. 分析不同发射平台高度下绣球的飞行轨迹. 通过比较不同高度下绣球的飞行高度和飞行距离，我们可以得出发射平台高度对绣球运动轨迹的具体影响. 从而有目的地调整发射高度，通过实验发现绣球运动轨迹是抛物线的一部分，并且在离发射点水平距离18米处达到距地面最大高度18米；在离发射点水平距离6米处，距地面高度10米.
问题解决：
（1）任务1：确定函数表达式. 设绣球离发射点水平距离为x，距地面高度为y. 求出y关于x的函数表达式；
（2）任务2：探究飞行距离，当绣球从地面发出到落地（高度为0m）时，飞行的水平距离是多少；
（3）任务3：如图，工作人员在水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台PQ，当弹射口高度变化时，绣球被弹出后的飞行轨迹形状不变，可视为抛物线上下平移得到，点P、A、B在一条直线上，已知，，游客小李站在线段AB（包括点A、B）上，为了确保他能抢到绣球，求发射台PQ的变化范围.
【答案】（1）解：依题意，得抛物线的顶点坐标为(18，18)，设抛物线解析式为 把(6，10)代入解析式得： 解得
∴抛物线解析式为
（2）解：令，则，解得，（舍），
答：水平距离为36m；
（3）解：设抛物线向上平移m个单位，则平移后的抛物线解析式为，
∵，，
∴ 当抛物线经过（37，0）时，，
解得
当抛物线经过（38，0）时，，解得
∴ 发射台PQ的变化范围为：解得.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）令y=0，解方程求出x的值即可；
（3）设出平移后的解析式， 再把(37，0)， (38，0)分别代入解析式，结合题意求出PQ的取值范围.
16．（2025九上·肇庆期中）【问题背景】
水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭．
【实验操作】
为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示：
飞行时间
飞行高度
【建立模型】
任务：求关于的函数表达式．
【反思优化】
图是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，．
任务：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离．
任务：当水火箭落到内（包括端点，），求发射台高度的取值范围．
【答案】解：任务：
二次函数经过点，，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为：，
抛物线经过点，
，
解得：，
关于的函数表达式为：；
任务2：，
，
，
整理得：，
当水火箭落地（高度为）时，，
解得：（不合题意，舍去），，
答：水火箭飞行的水平距离为米；
任务：设的长度为，
水火箭的抛物线解析式为，
当抛物线经过点时，
，
点的坐标为，
，
解得：，
当抛物线经过点时，
，，
，
点的坐标为，
，
解得：，
水火箭落到内（包括端点，），
，
，
答：发射台高度的取值范围为：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】任务1：设抛物线解析式为：，根据待定系数法将点(0，0)代入解析式即可求出答案.
任务2：将y=0代入解析式，解方程即可求出答案.
任务3：设的长度为，则水火箭的抛物线解析式为，当抛物线经过点时，可以求出，当抛物线经过点时，可以求出，即可求出答案.
1 / 1沪科版数学九年级上册21.4二次函数的应用之抛物线型问题（专项练习）
一、喷泉问题
1．（2025九上·绍兴月考）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM ，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是 则水流喷出的最大高度是( )
A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m
2．（2021九上·鄞州期中）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 ．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
3．（2024九上·庄浪期末）玥玥看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系的图象，已知水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面．身高的玥玥站在水柱正下方，且距喷水头水平距离的位置，她的头顶 碰到水柱．（填“能”或“不能”）
4．（2024九上·东城期中）2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌，陈芋汐获得银牌，在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），如图2所示，建立平面直角坐标系，如果她从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
水平距离x/m 3 h 4 4.5
竖直高度y/m 10 11.25 10 6.25
根据表中数据，直接写出h的值为 ，满足的二次函数关系式为： ；
（2）在（1）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系：，记比赛当天入水点的水平距离为，判断与的大小关系，并说明理由．
5．（2025九上·广州月考）背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动．
（1）【建模分析】
如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为．
任务1：以水池中心点为原点，水平向右方向为轴正半轴，以喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系：求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并计算喷泉水流到喷水管的最大水平距离．
（2）【优化设计】
社区要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线最大高度与水平宽度的比接近黄金比．
如图③，该小组进一步提出优化设计，若优化后水流离喷水管最大水平距离为，喷水口的竖直高度为，喷出的水流的最高高度为．
任务2：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算说明该小组所设计喷泉的是否达到美观效果．
二、涵洞拱桥问题
6．（2025九上·绍兴月考）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m.因上游水库泄洪，水面宽度变为6m，则水面上涨的高度是 m.
7．（2025九上·义乌开学考） 某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽 AB 为 16m，此时拱顶 O 到水面 AB 的距离为（ ）
A．4m B．3m C．2m D．1m
8．（2025九上·新昌月考）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材 图中有一座拱桥，图是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶距离水面据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材 为迎佳节，拟在如图所示的桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务 确定桥拱形状 在图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
三、斜抛运动
9．（2025九上·温州月考）苍南队在浙训练中发现，每一次篮球投篮轨迹满足抛物线，篮球出手至入筐过程中的水平距离长为 米．
10．（2025九上·广州月考）某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面如图1所示，球台长度AB＝274cm，发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分AC＝12cm，出球管道，若将水平状态的CD绕点C逆时针旋转45°到CD的位置，发球机模式为“一跳球”，路线呈抛物线，离球台正中间的球网GH左侧72cm处到达最高点高出台面21cm，则 cm．
11．（2025九上·丰南月考）如图1所示的是古代一种远程攻击的武器——发石车．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将某发射出去的石块看作一个点，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽与轴平行，点与点的水平距离为，垂直距离为．已知发射石块在空中飞行的最大高度为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）试通过计算说明该石块能否飞越防御墙．
12．（2023九上·龙港月考）根据以下素材，探索完成任务．
如何确定防守方案？
素材1 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线．攻球员位于，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，已知，．
素材2 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为水平距离（水平距离=水平速度×时间）与离地高度的鹰眼数据如右表． 守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． …912151821……5…
问题解决
任务1 确定运动轨迹 求关于的函数表达式．
任务2 探究防守方案 若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由．
任务3 拟定执行计划 求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度．
13．（2025九上·滨江月考）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高OB为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m.现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示.
（1）求抛物线表示的二次函数的表达式；
（2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（3）已知点C在点O的正上方，且OC=2.25m.运动员带球向点A的正后方移动了n（n＞0）米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，且恰好在点O与点C之间进球（包括端点），求n的取值范围.
14．（2024九上·南昌月考）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
（1）①______，______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
（2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系．
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
15．（2025九上·义乌开学考）为了增加趣味性，万岁山旅游城把传统的抛绣球项目进行改良，他们定制了一种器械，类似中国古代一种投石器，为了解发射平台高度对绣球飞行轨迹的影响，我们可以设定不同的发射平台高度，并分别记录绣球在不同水平距离上的飞行高度. 分析不同发射平台高度下绣球的飞行轨迹. 通过比较不同高度下绣球的飞行高度和飞行距离，我们可以得出发射平台高度对绣球运动轨迹的具体影响. 从而有目的地调整发射高度，通过实验发现绣球运动轨迹是抛物线的一部分，并且在离发射点水平距离18米处达到距地面最大高度18米；在离发射点水平距离6米处，距地面高度10米.
问题解决：
（1）任务1：确定函数表达式. 设绣球离发射点水平距离为x，距地面高度为y. 求出y关于x的函数表达式；
（2）任务2：探究飞行距离，当绣球从地面发出到落地（高度为0m）时，飞行的水平距离是多少；
（3）任务3：如图，工作人员在水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台PQ，当弹射口高度变化时，绣球被弹出后的飞行轨迹形状不变，可视为抛物线上下平移得到，点P、A、B在一条直线上，已知，，游客小李站在线段AB（包括点A、B）上，为了确保他能抢到绣球，求发射台PQ的变化范围.
16．（2025九上·肇庆期中）【问题背景】
水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭．
【实验操作】
为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示：
飞行时间
飞行高度
【建立模型】
任务：求关于的函数表达式．
【反思优化】
图是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，．
任务：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离．
任务：当水火箭落到内（包括端点，），求发射台高度的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：
∵-1<0，
∴当x=1时，y取最大值，最大值为，即2.75米.
故答案为：B .
【分析】把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值.
2．【答案】（1）解：当x=0时，
=-+6
=；
（2）解：当，
解得x=11或-1（舍去），
∴OD=11，
∴CD=2OD=22；
(3)
（3）解：顶部F不会碰到水柱。
理由如下，
∵OE=10，
∴x=10，
∴，
∴不会碰到水柱.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】(1)令x=0，求出抛物线与y轴的交点坐标，即可解答；
(2)先令y=0，求出抛物线与x轴的交点坐标，得出OD长，则可求出CD长；
(3)求出x=10时的函数值，再和1.8作比较，即可解答.
3．【答案】不能
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：根据题意可知抛物线的顶点为，水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系，
则抛物线的解析式为，
令，则，
故她的头顶不能碰到水柱．
故答案为：不能．
【分析】根据顶点求出抛物线的解析式为，再令，求出的值，最后与比较求解即可.
4．【答案】（1）；
（2）解：对于，
当时，，
解得：，（不合题意，舍去），
∴米，
对于，
当时，，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
∵，
∴．
【知识点】公式法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：根据表格得：函数图象过点，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：；；
【分析】
（1）通过表格数据设解析式为，再利用待定系数法求出解析式，即可解答；
（2）分别求出两个解析式当时x的值，进行比较即可解答．
（1）解：根据表格得：函数图象过点，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：；；
（2）解：对于，
当时，，
解得：，（不合题意，舍去），
∴米，
对于，
当时，，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
∵，
∴．
5．【答案】（1）解：如图，
设此抛物线的解析式为：，根据题意得：，，
∴，
∵抛物线过（0，2.25），
∴解得，
∴，
当y=0时，解得，（舍）
∴喷泉水流到喷水管的最大水平距离为3米.
∴抛物线的函数表达式为，，喷泉水流到喷水管的最大水平距离为3米.
（2）解：如图，
设此抛物线的解析式为：，根据题意得：，
∴
∵抛物线过，，
∴解得：，
∴，
当时，，解得，，
∴Ａ（-0.5，0），Ｄ，5.5，0），
∴，
∴BC=OD=5.5+0.5=6，AB=3.6，
∴，
∵0.6接近0.618，
∴该小组所设计喷泉的达到美观效果.
∴优化后抛物线的函数表达式为，该小组所设计喷泉的达到美观效果.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）设此抛物线的解析式为：，根据题意得：，，再根据抛物线过（0，2.25），可得，当y=0时，解得，（舍）可得喷泉水流到喷水管的最大水平距离为3米.
（2）设此抛物线的解析式为：，根据题意得：，根据抛物线过，，得，可得，当时，，解得，，进一步得，即可得答案.
6．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：以水面为x轴、桥洞的顶点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
根据题意 ，得 A(5，0)，C(0，5)，
设抛物线解析式为：y=ax2+5，
把 A(5，0)代入，得
∴抛物线解析式为：
当x=3时，
∴当水面宽度变为6m，则水面上涨的高度为m.
故答案为： .
【分析】根据二次函数的图象和性质先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意列出函数解析式进而求解.
7．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：正常水位时水面宽AB为16m，即.AB=16米，
∴当x=8时，
∴此时拱顶 O 到水面 AB 的距离为4m，
故答案为：A.
【分析】根据正常水位时水面宽AB=16米，求出当x=8时的函数值解答即可.
8．【答案】解：任务：
以拱顶为原点，建立如图所示的直角坐标系，则顶点为，且过点，
设抛物线的解析式为：，
把点代入得：，
，
抛物线的函数表达式为：；
任务：
该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，
当悬挂点的纵坐标，
即悬挂点的纵坐标的最小值是，
当时，，
，
悬挂点的横坐标的取值范围是：；
任务：
方案一：如图坐标轴的横轴，从顶点处开始悬挂灯笼，
，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，
若顶点一侧悬挂盏灯笼时，，
若顶点一侧悬挂盏灯笼时，，
顶点一侧最多悬挂盏灯笼，
灯笼挂满后成轴对称分布，
共可挂盏灯笼，
最左边一盏灯笼的横坐标为：；
方案二：如图，
若顶点一侧悬挂盏灯笼时，，
若顶点一侧悬挂盏灯笼时，，
顶点一侧最多悬挂盏灯笼，
灯笼挂满后成轴对称分布，
共可挂盏灯笼，
最左边一盏灯笼的横坐标为：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】任务1：依据题意，以拱顶为原点，建立如图所示的直角坐标系，从而顶点为(0，0)，且过点B(10，-5)，故可设抛物线的解析式为：y=ax2，再把点B(10，-5)代入得：100a=-5，求出a即可得解；
任务2：依据题意，由该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m，则悬挂点的纵坐标y：-5+1.8+1+0.4=-1.8，即悬挂点的纵坐标的最小值是-1.8，从而可令y=-1.8时，，求出x1=6，x2=-6，最后即可判断得解；
任务3：方案一：依据题意，当挂7盏灯笼时1.6×3=4.8(米)，进而可以判断得解；
方案二：依据题意，当可挂8盏灯笼时，1.6×3+0.8=5.6(米)，从而综合两种情形，可以得解.
9．【答案】4
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题意，将代入抛物线得：，
解得或，
抛物线的对称轴为直线，
∵篮球框在抛物线的对称轴的右侧，且，
∴篮球出手至入筐过程中的水平距离长为4米，
故答案为：4．
【分析】
先由抛物线的解析式可得其对称轴为直线，再由抛物线上点的坐标特征求出在对称轴右侧篮球高度为3时对应的自变量的值即可．
10．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；旋转的性质；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：以AC为y轴，以AB为x轴，A为原点建立平面直角坐标系，如图，
设抛物线最高点为N，对称轴MN与x轴交于M，则MN=21，
∴AB=274，
∵GH是AB正中间，
∴AH=AB=137，
∴AM=AH-MH=13772=65，
设抛物线为：y=a（x-65）2+21（a＜0），
过D'作D'P⊥x轴交CD于点Q，交x轴于点P，
则∠CQD'=∠APQ=90°，
∵旋转45°，
∴CD'=，
CQ=D'Q=CD'cos∠D'CD=5，
∴D'P=D'Q+PQ=5+12=17，
∴D'（5，17）代入抛物线得：
a×（5-65）2+21=17，
∴，
∴y=（x65）2+21，
令y=0，则（x65）2+21=0，
解得：x1=65+30，x2=65-30（舍去），
∴E（65+30，0），
∴EB=AB-AE=274-（65+30）=（209-30）（cm），
故答案为：20930．
【分析】以AC为y轴，以AB为x轴，A为原点建立平面直角坐标系，设抛物线最高点为N，对称轴MN与x轴交于M，则MN=21，根据线段中点可得AH=AB=137，再根据边之间的关系可得AM，设抛物线为：y=a（x-65）2+21（a＜0），过D'作D'P⊥x轴交CD于点Q，交x轴于点P，根据旋转性质可得CD'=，解直角三角形可得CQ，根据边之间的关系可得D'P，根据点的坐标可得D'（5，17），再将点D'坐标代入解析式可得y=（x65）2+21，根据坐标轴上点的坐标特征可得E（65+30，0），再根据边之间的关系即可求出答案.
11．【答案】（1）解：发射石块在空中飞行的最大高度为，
．
石块运行的函数解析式为．
把代入解析式，得，
解得：．
．
（2）解：石块能飞越防御墙．
理由如下：
点与点的水平距离为，墙宽，
点的横坐标为．
把代入，
得
点与点的垂直距离为与轴平行，
点与点的垂直距离也为．
，
该石块能飞越防御墙．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）由题意可得k=10，再根据待定系数法将点(0，0)代入解析式即可求出答案.
（2）由题意可得点的横坐标为，将x=27代入解析式可得y=8.775，根据平行于x轴的直线上点的坐标特征可得点与点的垂直距离也为，再比较大小即可求出答案.
（1）解：发射石块在空中飞行的最大高度为，
．
石块运行的函数解析式为．
把代入解析式，得，
解得：．
．
（2）解：石块能飞越防御墙．
理由如下：
点与点的水平距离为，墙宽，
点的横坐标为．
把代入，
得
点与点的垂直距离为与轴平行，
点与点的垂直距离也为．
，
该石块能飞越防御墙．
12．【答案】任务一：
解：任务1：由表格中的数据可知当和当时，h的值相同，
∴该抛物线的对称轴为直线，
∴该抛物线的顶点坐标为，
设该抛物线解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴h关于s的函数表达式为；
任务二：
任务2：若守门员选择原地接球，不能防守成功，理由如下：
在中，当时，，
∵，
∴若守门员选择原地接球，不能防守成功；
任务三
：当守门员刚好接到球时，则，
把代入中得：，
解得，
∴此时球的飞行时间为，
∴守门员选择面对足球后退，能够防守成功，那么运动员在内肯定要到达能够刚好接球的位置，即守门员在内的路程要大于等于，
∴守门员的速度要大于等于，
∴守门员的最小速度为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据题意把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；
（2）计算出当时h的值即可得到答案；
（3）当守门员刚好接到球时，则，求出此高度下s的值，进而求出球运动的时间，进而求出守门员运动的最小路程，即可求出最小速度．
13．【答案】（1）解：∵8-6=2，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3），
设抛物线表示的二次函数的表达式为y=a（x-2）2+3，把点A（8，0）代入，得36a+3=0，解得，
∴抛物线表示的二次函数的表达式为；
（2）解：当x=0时，，
∴球不能射进球门；
（3）解：由题意，移动后的抛物线为，
把点（0，2.25）代入，得，解得n1=-5（舍去），n2=1，
把点（0，0）代入，得，解得n3=-8（舍去），n4=4，
∴n的取值范围为1≤n≤4．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)求出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法即可求出抛物线表示的二次函数解析式；
(2)当x=0时，求出y的值，再与2.44比较，即可知球能不能射进球门；
(3)移动后的抛物线为，把点(0，2.25)代入上式求出n，同理把(0，0)代入函数表达式求出n，进而求得n的取值范围.
14．【答案】（1）解：①3，6；
②联立得：，
解得：或 ，
∴点A的坐标是，
（2）解：①8，
②，
则，
解得（负值舍去）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】（1）解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为，
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为，
当时，，
解得：或（舍去），
∴，
当时，，
故答案为：3，6．
（2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米，
故答案为：8.
【分析】（1）①先求出二次函数解析式为，再将和代入计算即可；
②联立方程组求解即可；
（2）①将二次函数的一般式化为顶点式，再求解即可；
②根据题意可得，再求出v的值即可.
（1）解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为，
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为，
当时，，
解得：或（舍去），
∴，
当时，，
故答案为：3，6．
②联立得：，
解得：或 ，
∴点A的坐标是，
（2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米，
故答案为：8；
②，
则，
解得（负值舍去）．
15．【答案】（1）解：依题意，得抛物线的顶点坐标为(18，18)，设抛物线解析式为 把(6，10)代入解析式得： 解得
∴抛物线解析式为
（2）解：令，则，解得，（舍），
答：水平距离为36m；
（3）解：设抛物线向上平移m个单位，则平移后的抛物线解析式为，
∵，，
∴ 当抛物线经过（37，0）时，，
解得
当抛物线经过（38，0）时，，解得
∴ 发射台PQ的变化范围为：解得.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）令y=0，解方程求出x的值即可；
（3）设出平移后的解析式， 再把(37，0)， (38，0)分别代入解析式，结合题意求出PQ的取值范围.
16．【答案】解：任务：
二次函数经过点，，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为：，
抛物线经过点，
，
解得：，
关于的函数表达式为：；
任务2：，
，
，
整理得：，
当水火箭落地（高度为）时，，
解得：（不合题意，舍去），，
答：水火箭飞行的水平距离为米；
任务：设的长度为，
水火箭的抛物线解析式为，
当抛物线经过点时，
，
点的坐标为，
，
解得：，
当抛物线经过点时，
，，
，
点的坐标为，
，
解得：，
水火箭落到内（包括端点，），
，
，
答：发射台高度的取值范围为：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】任务1：设抛物线解析式为：，根据待定系数法将点(0，0)代入解析式即可求出答案.
任务2：将y=0代入解析式，解方程即可求出答案.
任务3：设的长度为，则水火箭的抛物线解析式为，当抛物线经过点时，可以求出，当抛物线经过点时，可以求出，即可求出答案.
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