【精品解析】沪科版数学九年级上册21.4二次函数的应用之几何相关存在性问题（培优练习）

沪科版数学九年级上册21.4二次函数的应用之几何相关存在性问题（培优练习）
一、直角三角形存在性
1．（2024九上·昭阳期末）如图，已知抛物线与轴交于点和点，直线过点且与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为直线上一点（不与重合），作点关于轴的对称点，连接，当是直角三角形时，求出点的坐标．
【答案】（1）解：直线与轴相交于点，令，解得，，
将点代入拋物线中，得：
，解得
抛物线的解析式为
（2）解：设，由题可得．
如图知，
故可知为直角三角形有两种情况
，有，即．解得：
点的坐标为，有，即
，解得：点的坐标为
综合①②，点的坐标为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先利用一次函数求出点B的坐标，再把A、B坐标代入二次函数解析式中求出二次函数解析式即可；
（2）设F(m，-m+2)，利用勾股定理求出三角形FDC三边的长度，再分两种情况：∠CDF=90°或∠CFD=90°，利用勾股定理建立方程求解即可．
2．（2024九上·吉林期末） 抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接点是线段下方抛物线上的一个动点不与点，重合，过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；
（3）过点作于点，，
求点的坐标；
连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：抛物线与轴交于点和，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）解：在中，令，得，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，，
当时，取得最大值，此时点的坐标为；
（3）解：如图，
，，，，，，
，，，，
，
，
解得：，，
点是线段下方抛物线上的一个动点，
，
，
；
存在点使得为直角三角形，设，
，，
，，，
当时，如图，轴，
；
当时，如图，
在中，，
，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】 （1）将点A、B的坐标代入可得，再求出a、b的值即可；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为，设，则， 再求出，最后利用二次函数的性质求解即可；
（3）①根据可得求出t的值即可；
②分类讨论：当时，当时， 再分别画出图形并利用勾股定理列出方程求解即可.
3．（2023九上·江阳月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与 x 轴交于 A、 C 两点， 与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，-4），点C坐标为（2，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点 P 为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB 为直角三角形，请求出点 P 的坐标
【答案】（1）解：∵抛物线 y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过 点B（0，-4），点C（2，0），
，
解得 ，
抛物线的解析式为
（2）解：存在
理由： 如图 1 中， 设 ， 连接 OD.
令 ， 则
解得x=-4或2，
∴A（-4，0），C（2，0），
∵B（0，-4），
∴OA=OB=4，
∵﹣1＜0，
∴t=-2时，△ABD的面积最大，最大值为4，此时D（-2，-4）；
（3）解： 如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（-1.0）．M（-1，-4）；
∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， 当∠P1AB＝90°时，△ANP1 是等腰直角三角形，
当 时， 是等腰直角三角形， 可得 ，
当∠APB=90°时，设P（-1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（-2，-2），
，
解得 或 ，
，
综上所述，满足条件的点P的坐标为（-1，3）或（-1，-5）或或 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】(1)根据待定系数法把点B，C两点坐标代入抛物线的解析式，解方程组，即可求解.
(2)设，连接OD，利用构建二次函数，利用二次函数的性质，解决问题.
(3)设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M.则N(-1，0)，M (-1，-4)，分三种情况进行讨论：∠PAB=90°，∠PBA=90°，∠APB=90°，根据等腰直角三角形的性质，分别求解可得结论.
二、等腰三角形存在性
4．（2024九上·贵州期末）【问题背景】
如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．
【知识技能】
（1）求此抛物线的解析式．
【构建联系】
（2）在下方的抛物线上有一点，过点作轴，交于点，交轴于点，当点的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？
（3）在轴上找一点，使得为等腰三角形，直接写出点的坐标．
【答案】解：（1）∵∴，，
把，代入，得，
，
解得，，
∴此抛物线的解析式为．
（2）设直线的解析式为，
把把，代入，得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
设点的坐标为，则点，
∴
∴
∵，
∴有最大值，最大值为，此时点N的坐标为；
（3）∵
∴
如图，
当为底边时，点的坐标为；
当为腰时，点的坐标为或或；
综上，为等腰三角形时，点的坐标为或或或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）先求出直线的解析式为，设，则，表示的长，然后配方成顶点式得到最值即可；
（3）根据勾股定理得到，然后分为为腰和底两种情况，根据等腰三角形的性质解题即可．
5．（2024九上·靖宇期末）如图，抛物线经过、两点．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）当时，x的取值范围是多少？
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MOB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过B（3，0）、C（0，3）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3；
（2）解：∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，
∴对称轴为直线x＝1，
∴C（0，3）关于对称轴的对称点坐标为（2，3），
∴当y≥3时，x的取值范围是0≤x≤2．
（3）解：由（2）可知抛物线对称轴为x＝1，
设M（1，t），
∵B（3，0），O（0，0），
∴BM2＝4＋t2，OM2＝1＋t2，OB2＝9，
∵△MOB为等腰三角形，
∴有BM＝BO、OM＝OB和MB＝MO三种情况，
①当BM＝BO时，即4＋t2＝9，解得t＝±，
此时M点坐标为（1，）或（1，）；
②当OM＝OB时，即1＋t2＝9，解得，
此时M点坐标为（1，）或（1，），
③当MB＝MO时，即4＋t2＝1＋t2，解得t无实数根．
综上所述，存在满足条件的M点，其坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解。把点B和C点代入解析式，建立方程求出b和c；
（2）先确定抛物线的对称轴：直线x＝1，则有C（0，3）关于对称轴的对称点坐标为（2，3），然后利用二次函数的增减性质求解；
（3）分三种情况：①当BM＝BO，②当OM＝OB，③当MB＝MO，利用两点之间的距离公式求出三边的长，再分别建立方程求解．
6．（2023九上·右玉期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴的交点为，两点，与轴交于点，顶点为，其对称轴与轴交于点．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接，，，试判断的形状，并说明理由；
（3）点为第三象限内抛物线上一点，的面积记为，求的最大值及此时点的坐标；
（4）在线段上，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设二次函数表达式为：，
则，解得：，
函数的表达式为：；
（2）解：由（1）知，点，
∴，，，
，
故为直角三角形；
（3）解：过点作轴交于点，
将点、的坐标代入一次函数表达式，
解得：
直线的表达式为：，
设点，则点，
，
当时，最大值为，此时点；
（4）或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理的逆定理；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（4），
，
①当时，如下图，
为等腰直角三角形，，
点；
②当时，
设
∴
解得：（舍去）或
∴点；
③当时，
同理可得：点；
故点的坐标为：或或．
【分析】（1）根据待定系数求解。设二次函数表达式为：，将代入建立方程组求解；
（2）根据二次函数与坐标轴的交点，以及顶点坐标，计算，根据勾股定理的逆定理求解；
（3）过点作轴交于点，得出直线的表达式为：，设点，则点，根据二次函数的性质求得最值；
（4）分三种情况讨论①当时，②当时，③当时，分类求解即可．
三、等腰直角三角形存在性
7．（2024九上·四平期末）如图，抛物线与轴交于点．已知抛物线顶点纵坐标为．点P在此拋物线上，其坐标为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当时，结合图象，直接写出的取值范围．
（3）若此抛物线在点左侧部分（包括点）恰有三个点到轴的距离为1．
①求的取值范围．
②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为，
抛物线顶点纵坐标为，
，
，
抛物线的解析式为：；
（2）
（3）解：①当点到轴的距离为时，或，
当时，则，
解得：，，
当时，则，
解得：，，
如图，点，，，到轴的距离均为1，
，
抛物线在点左侧部分（包括点）恰有三个点到轴的距离为1，
的取值范围是；
②．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（2）点P在此拋物线上，其坐标为，
，
当时，，
当时，，
由（1）得抛物线的顶点坐标为，
当点与抛物线的顶点重合时，则，
当时，的最大值和最小值分别为和，
的取值范围是；
（3）②由（1）得抛物线的对称轴为直线，
在中，当时，，
，
如图，作点关于直线的对称点，则，设直线交轴于点，连接、，
，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，且点在抛物线的对称轴上，此时；
如图，点为抛物线与轴的交点，作交直线于点，连接，作轴于，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
当时，则，
解得：，（不符合题意，舍去），
；
如图，等腰直角三角形，点在直线上，且，
，
，
作轴，于点，于点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
解得：，（不符合题意，舍去），
，
综上所述，．
【分析】（1）先把一般式配方转化为顶点式，确定顶点坐标并建立方程求出a的值即可；
（2）根据抛物线上点的坐标特征可得，当时，，当时，，由（1）得抛物线的顶点坐标为，当点与抛物线的顶点重合时，则，由此求解即可；
（3）①当点到轴的距离为1时，或，分别求出或时m的值，再结合图象求解即可；
②分三情况讨论：PC=PQ或PC=CQ或PQ=CQ。过三角形PCQ的顶点作坐标轴的平行行，构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，结合点的坐标建立方程求解即可。
8．（2023九上·西山期中）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣3），过点P作x轴的垂线，交线段AF于点D，求线段PD长度的最大值；
（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），
∴，解得：，
∴该抛物线所对应的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：如图1，过点P作PQ∥y轴交直线AF于点Q，
设直线AF的解析式为y＝kx+d，
由A（3，0），F（0，﹣3）的坐标得，直线AF的表达式为：y＝x﹣3，
设P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），则D（t，t﹣3），
∴PD＝﹣t2+2t+3﹣（t﹣3）＝﹣t2+t+6=，
∴当t=时，PD最大，为.
（3）解：存在，理由：
设P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），F（0，n），
∵A（3，0），
∴OA＝3，OF＝|n|，
如图2，过点P作PD⊥x轴于点D，
则∠ADP＝90°＝∠AOF，
∴∠PAD+∠APD＝90°，
∵∠PAD+∠FAO＝90°，
∴∠APD＝∠FAO，
在△APD和△FAO中，
，
∴△APD≌△FAO（AAS），
∴PD＝OA，AD＝OF，
∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m，
∴﹣m2+2m+3＝3，
解得：m＝0或2，
当m＝0时，P（0，3），AD＝3，
∴OF＝3，即|n|＝3，
∵点F在y的负半轴上，
∴n＝﹣3，
∴F（0，﹣3）；
当m＝2时，P（2，3），AD＝1，
∴OF＝1，即|n|＝1，
∵点F在y的负半轴上，
∴n＝﹣1，
∴F（0，﹣1）．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）已知抛物线解析式有两个未知系数，给定抛物线上两个定点，用待定系数法可以求得函数的解析式；
（2）已知A、F点的坐标，可以用待定系数法找到直线AF的解析式，设出P点坐标，代入x值，可写出D点的坐标，进而找到PD两点间距离的表达式，化为顶点式，即可求PD的最大值；
（3）设出三角形的顶点坐标，作辅助线表示出P的坐标，观察图形，若存在等腰直角三角形，则由AAS定理必有PD＝OA ，AD＝OF，根据这一等量关系可以求得符合条件的P和F的坐标值，则说明存在等腰直角三角形，如果没有符合条件的P和F的坐标值，则说明不存在等腰直角三角形；解析PD二次表达式的过程中，发现抛物线上有2点符合条件，故F点也有2个符合条件的坐标值。
9．（2023九上·怀仁月考）如图，抛物线过，两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求的面积；
（3）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当为等腰直角三角形时，点N的坐标为　 　．
【答案】（1）解：把A（4，0），B（1，3）代入抛物线中，
得，
解得，
∴该抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
∵点C和点B关于对称轴对称，点B的坐标为（1，3），
∴C（3，3），
∴BC＝2，
∴；
（3）（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）解：以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：
①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图3-1所示，
∴CM＝MN，∠CMN＝90°，
∴∠HNM+∠HMN=∠HMN+∠BMC=90°，
∴∠BMC=∠HNM，
在△CBM和△MHN中，
，
∴△CBM≌△MHN（AAS），
∴BC＝MH＝2，BM＝HN＝3-2＝1，
∴ON=OH+HN=2，
∴N（2，0）；
②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3-2所示，
过点M作轴，过点N作NE⊥DE于E，过点C作CD⊥DE于D，
同理可证△NEM≌△MDC，
∴NE=DM=2，
∴EM＝CD＝5，
∵OH＝1，
∴ON＝NH﹣OH＝5-1＝4，
∴N（-4，0）；
③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图3-3所示，
过点N作轴，过点M作ME⊥DE于E，过点C作CD⊥DE于D，
同理得△NEM≌△CDN，
∴ME＝NH＝DN＝3，
∴ON＝3-1＝2，
∴N（-2，0）；
④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，如图3-4所示，
过点N作轴，过点M作ME⊥DE于E，过点C作CD⊥DE于D，
同理得△NEM≌△CDN，
∴ME＝DN＝NH＝3，
∴ON＝1+3＝4，
∴N（4，0）；
⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；
综上可知当△CMN为等腰直角三角形时N点坐标为（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）．
【分析】（1）利用待定系数法求得a、b的值，从而求解；
（2）先将抛物线表达式化为顶点式，求得对称轴为直线x=2，根据对称性求得点C的坐标，从而求得BC的值，根据三角形面积公式代入数据额即可求解；
（3）以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，需要进行分情况讨论：①以点M为直角顶点且M在x轴上方时；②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3-2所示；③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图3-3所示；④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，如图3-4所示；⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；分别求出符合题意的点N的坐标，从而求解.
四、平行四边形存在性
10．（2023九上·青秀期中）已知：如图，抛物线经过原点和点，为抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把和点代入得到，解方程组得，
∴抛物线的解析式为．
故答案是：．
（2）解：根据题意得，过原点和点的直线的解析式是，二次函数的顶点坐标是，当点P在直线OA上方时，设的横坐标为，∴，，
∵，轴，在上，在上，，
∴，，
∴，
∵二次函数的二次项系数，图像开口向下，
∴有最大值，
当时，，
故当点P在直线OA上方时，线段的最大值是．
（3）解：如图所示，
由（2）可知，当点P在直线OA上方时，线段的最大值是，
∵，
∴点在直线的下方，过点作交抛物线于和，此时四边形和四边形是平行四边形，
∵直线的解析式为，
∴直线的解析式为，
由，解得或，
∴的值为，
故答案是：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查对用待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的判定和性质，二次函数的最值.（1）抛物线经过原点和点，据此可列出方程组，解方程组可求出a和c的值，据此可求出抛物线的解析式；
（2）设，利用线段的运算可得：，再进行配方可得：，利用二次函数的性质可求出线段的最大值；
（3）由（2）可知，由，当点在直线的上方时，线段的最大值是．推出点在直线的下方，过点作交抛物线于和，此时四边形和四边形是平行四边形，根据直线OA的解析式，可求出直线的解析式，联立两条直线的解析式可得，解方程组可求出m的值，据此可求出答案.
（1）解：把和点代入得到，
解方程组得，
∴抛物线的解析式为．
故答案是：．
（2）解：根据题意得，过原点和点的直线的解析式是，二次函数的顶点坐标是，当点P在直线OA上方时，设的横坐标为，
∴，，
∵，轴，在上，在上，，
∴，，
∴，
∵二次函数的二次项系数，图像开口向下，
∴有最大值，
当时，，
故当点P在直线OA上方时，线段的最大值是．
（3）解：如图所示，
由（2）可知，当点P在直线OA上方时，线段的最大值是，
∵，
∴点在直线的下方，过点作交抛物线于和，此时四边形和四边形是平行四边形，
∵直线的解析式为，
∴直线的解析式为，
由，解得或，
∴的值为，
故答案是：．
11．（2024九上·怀化期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积及此时E点的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意，将，代入，
得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：令，则，
∴，
设直线的解析式为，
将B、C点坐标代入得，解得，
∴直线的解析式为，
设，轴于点H，则，
∴
，
∴
∵是关于x的二次函数，，
∴当时，有最大值为4，
此时；
（3）P点的坐标为或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）由，可知对称轴为直线，
∴，
∵，
设P点的坐标为，
∵，
当为对角线时，
，，
解得，，
∴P点的坐标为；
当为对角线时，
，，
解得，，
∴P点的坐标为；
当为对角线时，
，，
解得，，
∴P点的坐标为；
综上，P点的坐标为或或．
【分析】（1）利用待定系数法即可求抛物线的表达式.
（2）先利用抛物线表达式求得点C的坐标，由点B、点C的坐标求得直线BC的表达式为，作轴于点H，设点，则 ，表示出EF的长，利用点的坐标得到 ，再利用配方求面积最大值即可求解.
（3）先求出点D的坐标，设P点的坐标为，分三种情况讨论，当AD、CD、AC分别为对角线时，利用中点坐标公式，结合A、D、C三点的坐标即可求解.
12．（2024九上·交城期中）如图1，二次函数的图象交轴于点A，点B，交轴于点C，过点A的直线AD与抛物线交于点D（4，5）.
（1）请确定直线AD的解析式；
（2）连接BC，点P是抛物线上的一个动点，过点P作轴的平行线交直线AD于点E，交线段BC于点F.
①如果点P在第四象限的抛物线上运动，当PE=3PF时，求点P的坐标；
②设直线AD与轴的交点为G，如图2，在点P运动的过程中是否存在以点C，G，E，P为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：当时，代入中
得：
解得：
∴A(-1，0)，B（3，0）
设直线AD的解析式为
把A(-1，0)，D(4，5)分别代入中
解得：
∴直线AD的解析式为
（2）解：①当时，代入中
得：
∴C(0，-3)
设直线BC的解析式为
把B(3，0)，C(0，-3)分别代入中
解得：
∴直线BC的解析式为
设P（）
∴E（）
F（）
∴PE=-=
PF=-=
∵PE=3PF
∴=3()
解得：
∴，
②，，
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解（3）②存在
当时，代入中得：，
，
，
，
设，
∴，
轴，
，
或，
点C，G，E，P为顶点的四边形为平行四边形，轴，
，
或，
解得：或3，或，
当时与点C重合舍去，
，，，
，，时，点C，G，E，P为顶点的四边形为平行四边形．
【分析】（1）根据待定系数法求解。当时，代入中，求出点A，B的坐标，设直线的解析式为：，把点A，D的坐标代入建立方程组求解；
（2）①先根据待定系数法求出直线的解析式，设，则，，即可表示出的长，利用可列出方程，求解即可；
②设，则，分类表示出的长，根据点C，G，E，P为顶点的四边形为平行四边形，轴，可得，列出方程求解即可．
13．（2023九上·惠州期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D．
（1）求此函数的关系式；
（2）在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交于点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？
（3）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点A，点C，且，
∴，
∴将其分别代入抛物线，可得，
解得．
故此抛物线的函数表达式为：
（2）解：设直线的解析式为，
将代入，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设N的坐标为，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，且为，
把代入抛物线得，N的坐标为，
当N的坐标为，有最大值
（3）解：∵，
∴抛物线对称轴为，
令得，，
解得，，，
∴点B的坐标为；
①当和是平行四边形的对角线时，点和都在对称轴上时，
∴；
②当和是平行四边形的两条对边，且在y轴右侧时，
∵，
∴，
∴的横坐标为3，
∴；
当和是平行四边形的两条对边，且在y轴左侧时，
∵，
∴的横坐标为，
∴；
综上所述，K、L点的坐标为或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意易得A、C的坐标，然后用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）设直线的解析式为y=kx+t，由题意将A、C的坐标代入一次函数的解析式可得关于k、t的方程组，解方程组求出k、t的值，即可得直线AC的解析式；设N的坐标为，则，于是可将线段MN的长用含n的代数式表示出来，将解析式配成顶点式并根据二次函数的性质可求解；
（3）令抛物线的解析式中y=0可得关于x的一元二次方程，解方程可求得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标：
①当和是平行四边形的对角线时，点和都在对称轴上时，易得K1、L1的坐标；
②当和是平行四边形的两条对边，且在y轴右侧时，可得K2、L2的坐标；
当和是平行四边形的两条对边，且在y轴左侧时，可得K3、L3的坐标.
综合上述情况可得K，L点的坐标.
五、菱形存在性
14．（2024九上·南川期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线的对称轴交x轴于点M，点N是直线上一点，在平面内确定一点K，使得以为顶点的四边形是以为边的菱形，写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程．
【答案】（1）解：由题意得：
，解得：，
该抛物线的函数表达式为；
（2）解：在中，
当时，，
，
由点、的坐标得直线的表达式为：，
设，，，
，
，
当时，
有最大值为4，
则点；
（3）解：满足条件的点坐标为：，，．
由知，对称轴是直线，
则新抛物线的对称轴为，
，
由（2）可知，
设，
，
，
当时，，
解得：，
坐标为，坐标为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求得a、b的值，即可求解；
（2）令x=0，先求，得点C的坐标，从而得到直线AC的表达式，设，，， 用t表示出PD的值得到， 利用二次函数的性质即可求解；
（3）先求得的对称轴，从而得到新抛物线的对称轴为直线x=1，再求出点C的坐标，得到直线，设， 表示出CN、NM，利用菱形的性质即可求解.
15．（2024九上·松原期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出点的坐标和面积的最大值．
（3）连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将，代入，
得，
解得，
二次函数的解析式为．
答：二次函数的解析式为．
（2）解：如图，过点作轴的平行线与交于点，
设，直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
则，
，
当时，的面积最大，
此时，点的坐标为，的面积的最大值为．
（3）解：存在．
如图，设点，交于点，
若四边形是菱形，则，
连接，则，，
，
解得，不合题意，舍去，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；菱形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）二次函数解析式中有2个未知系数，题中给出2个图象上点坐标，代入得到方程组，求解即可；（2）用割补法找到三角形面积的解析式，再讨论解析式的最大值，在此思路下需要明确设出P、Q的坐标，P、Q纵坐标的差是三角形的底，P的横坐标是三角形的一个高，B、P横坐标的差是另一个三角形的高，代入面积公式，整理，再根据二次函数的图象性质可求最值；根据菱形的性质，若菱形存在，P的纵坐标应为C的纵坐标的一半即，据此代入函数求解x，若x存在则菱形存在，若x无实数解则菱形不存在。
16．（2024九上·沙坪坝期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，B两点，交y轴于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交于点E，过点P作的平行线交x轴于点F，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）将该抛物线y沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点G是新抛物线的顶点，点M为新抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点C，G，M，N为顶点的四边形是以为边的菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】（1）解：∵抛物线过点和点，
∴，
解这个方程组，得
，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：延长交x轴于点H，
设直线的表达式为，
∴，
解这个方程组，得，
∴直线的表达式为．
∵、，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴
∴当时，取得最大值为，此时
（3）解：将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，，，
抛物线，向右，向下分别平移了2个单位长度，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点为，
设，，
①若时，则：，
解这个方程，得，
∵四边形CMGN是菱形，
∴，
解这个方程组，得，
故点的坐标为；
②若时，则有，
解这个方程，得或，
∵四边形是菱形，
∴，
解这个方程组，得或，
故点的坐标为或；
综上可得，满足条件的点的坐标为或或．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先根据二次函数的图象代入点A和点C，进而即可得到抛物线的表达式；
（2）延长交x轴于点H，根据待定系数法求出直线AC的表达式，进而根据题意运用平行线的性质得到，再根据等腰直角三角形的性质结合特殊角的三角函数值得到，设，则，进而表示出，再根据题意求二次函数的最值即可求解；
（3）先根据二次函数的几何变换得到抛物线，向右，向下分别平移了2个单位长度，进而得到，设，，根据题意分类讨论：①若时，②若时，进而根据坐标系中两点间的距离公式结合菱形的性质即可求解。
六、矩形存在性
17．如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，∴，解得：a=-1，
∵抛物线过点，
∴，解得：c=3，
∴抛物线解析式为
（2）解：存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．理由如下：
令y=0，则，
解得：，
∴点A的坐标为（-1，0），
∴OA=1，
当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3），即OC=3，
∴，
设直线BC的解析式为，
把点B（3，0），C（0，3）代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点N（m，-m+3），
∴MN=-m+3，
∴，，
当AC=AN时，，
解得：m=2或0（舍去），
∴此时点N（2，1）；
当AC=CN时，，
解得：或（舍去），
∴此时点N；
当AN=CN时，，
解得：，
∴此时点N；
综上所述，存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）解：存在，点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数-特殊三角形存在性问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）∵点B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC，
∴BC，
设点E（1，n），点F（s，t），
当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），如图，
∴
或，
解得：或，
∴此时点F的坐标为（4，1）或（-2，1）；
当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，如图，
，
解得：或，
∴此时点F的坐标为或；
综上所述，存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或．
【分析】（1）利用对称轴和点B坐标可求出参数a、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）先求直线BC的解析式，设参数表示点N坐标，进一步写出AN2，CN2，AC2，分三种情况讨论：AC=AN、AC=CN、AN=CN，建立相应的方程并求解即可；
（3）围绕线段BC的角色分两种情况讨论。当BC为边时，另外两点E、F的连线段也为边，且与BC平行相等，于是列出可能的两个方程组求解；当BC为对角线时，抓住两对角线的中点重合这一特性，以及对角线BC=EF列出方程组求解即可。
七、正方形存在性
18．（2023九上·衡阳月考）如图，抛物线经过点，，三点，设点是抛物线上一动点，且在轴下方，四边形是以为对角线的平行四边形.
备用图
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点运动时，试求平行四边形的面积与之间的函数关系式，并求出面积的最大值
（3）是否存在这样的点，使平行四边形为正方形 若存在，求点，点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：设所求抛物线的解析式为，
抛物线经过点，，三点，则由题意可得：
，解得.
所求抛物线的解析式为：
（2）解：点是抛物线上一动点，且在轴下方，
，
即，表示点到的距离.
是平行四边形的对角线，
，
与之间的函数关系式为：，的最大值为.
（3）解：当，且时，平行四边形是正方形，
此时点坐标只能，而坐标为点在抛物线上，
存在点，使平行四边形为正方形，
此时点坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的判定与性质；正方形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）设所求抛物线的解析式为，利用待定系数法建立关于a、b、c的方程组，解得a、b、c的值，即可求解；
（2）根据点是抛物线上一动点，且在轴下方，可得，进一步得到点E到OA的距离为-y，结合是平行四边形的对角线，利用其面积公式， 求得S关于x的二次函数表达式，根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据当，且时，平行四边形是正方形， 可得此时点坐标只能，而坐标为点在抛物线上， 从而可以判定存在点E使平行四边形为正方形.
19．（2025·资阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边)，与y轴相交于点C（0，-3)且抛物线的顶点坐标为（1，-4)
（1）求抛物线的表达式；
（2）P是抛物线上位于第四象限的一点，点D(0，-1)，连接BC、DP相交于点E，连接PB.若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标；
（3）M、N是抛物线上的两个动点，分别过点M、N作直线BC的垂线段，垂足分别为G.H.是否存在点M，N、使得以M，N、G、H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由。
【答案】（1）解：设抛物线表达式为y=a(x-1)2-4.
由抛物线过点C(0，-3)，得a(0-1)2-4=-3，解得a= 1.
所以，抛物线的表达式为y=(x-1)2-4，即y=x2-2x-3
（2）解：方法1：过点P作x轴的垂线，交x轴于点F.
∵△CDE与△PBE的面积相等，
∴△BOC与四边形BODP的面积相等.
设点P(t， t2-2t-3)，其中0＜t<3，
∴点F坐标为(t，0).
当y=0时x2-2x-3=0
解之：x1=-1，x2=3，
∴点B（3，0）
∴.
四边形BODP的面积.
所以.
整理得.
解得（舍去），.
点P的纵坐标.
所以点P的坐标为.
方法2连接PC，BD，过点P作CD的垂线，垂足为F.
∵△CDE与△PBE的面积相等，
所以△BCD与△PBD的面积相等，即S△BCD=S△PBD.
则点P和点C到直线BD的距离相等.
所以直线 PC∥BD，
易证△PFC∽△BOD.
所以.
设，其中.
则，解得，则.所以点P的坐标为
方法3连接PC、 BD， 过点P作直线CD的平行线， 交 BD于点F.
因为△CDE与△PBE的面积相等，
所以△BCD与△PBD的面积相等，即S△BCD=S△PBD：
则点P和点C到直线BD的距离相等.
所以直线PC// BD.
设直线 BD的表达式为y=kx+b.
易知点B的坐标为(3， 0)，
则则
所以直线BD的表达式为.
由，得，四边形PFDC是平行四边形，则.
设，其中，则.
由，解得（舍去），.
则.
所以点P的坐标为.
方法4连接PC、BD、过点P作直线CD的平行线，交 BD于点F.
因为△CDE与△PBE的面积相等，
所以△BCD与△PBD的面积相等，即S△BCD=S△PBD
则点P和点C到直线BD的距离相等
所以直线
直线 B D 的表达式为 ．
设点 ，其中 ，则 ．
所以
由 ，得 ，解得 （含去），
点 的纵坐标 ．
所以点 的坐标为
（3）解：满足条件的点M， N存在.
理由如下：
①若点M，N分别在直线BC的两侧，
不妨令点M在直线BC上方、点N在直线BC下方，如图.
可知∠MGH=90°，
则∠MGN= ∠MGH + ∠HGN>90°，不合题意.
②若点M、N在直线 BC的下方，
不妨设点M在点H下方，如图.
直线 BC 的表达式为y = x-3.
连接MH、则△MGN为等腰直角三角形，∠HGN=45°，
可得GN⊥y轴，MH⊥x轴.
设点M坐标为(m，m2-2m-3).其中0＜m<3.
则点H坐标为(m. m-3).
根据正方形的特征，可得点N坐标为，将点N坐标代入抛物线表达式，得，即。化简得，因为.
所以，进一步化为.
解得，（舍去）.
此时，正方形边长为.
③若点M，N在直线BC的上方，
不妨设点M在点H上方，如图.
设点，其中或，
根据正方形的特征，点N坐标为，
将点N的坐标代入抛物线的表达式，
得，即。化简得，
由于m<0或m>3，
则(m-2)(m2-5m-2)=2(m+2)，
进一步化为m2-7m+6=0.
解得m1=1(舍去)， m2=6.
此时MH=18，正方形边长为9.
综上所述，正方形边长为或9.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）利用已知条件设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-4，将点（0，-3）代入函数解析式可求出a的值，即可二次函数解析式.
（2）方法1：过点P作x轴的垂线，交x轴于点F，利用已知条件可推出△BOC与四边形BODP的面积相等；设点P(t， t2-2t-3)，其中0＜t<3，可表示出点F的坐标，由y=0可求出对应的x的值，可得到点B的坐标，利用三角形的面积公式求出△BOC的面积，再根据四边形BODP的面积等于△BOC的面积，可得到关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值，可得到点P的坐标；方法2连接PC，BD，过点P作CD的垂线，垂足为F，设，其中，可推出S△BCD=S△PBD，再证明△PFC∽△BOD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点P的坐标；方法3连接PC、 BD， 过点P作直线CD的平行线， 交 BD于点F，可推出S△BCD=S△PBD，利用待定系数法求出直线BD的函数解析式，易证四边形PFDC是平行四边形，利用平行四边形的性质可得到PF的长，设，其中，则，可得到关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值，可得到点P的坐标；方法4连接PC、BD、过点P作直线CD的平行线，交 BD于点，可推出S△BCD=S△PBD，利用待定系数法求出直线BD的函数解析式，设点 ，其中 ，则 ，利用三角形的面积公式可表示出△PBD的面积，同时可求出 BCD的面积，据此可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点P的坐标.
（3）分情况讨论：①若点M，N分别在直线BC的两侧，不妨令点M在直线BC上方、点N在直线BC下方，可证得∠MGH=90°，∠MGN= ∠MGH + ∠HGN>90°，不合题意；②若点M、N在直线 BC的下方，不妨设点M在点H下方，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，连接MH，易证△MGN为等腰直角三角形，同时可证得GN⊥y轴，MH⊥x轴，设点M坐标为(m，m2-2m-3).其中0＜m<3，可表示出点N的坐标，将点N的坐标代入函数解析式，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，可得到MH的长，可得到正方形的边长；③若点M，N在直线BC的上方，不妨设点M在点H上方，设点，其中或，利用正方形的性质可表示出点N的坐标，将点N的坐标代入二次函数解析式，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，可得到MH的长，即可得到正方形的边长；综上所述可得到符合题意的正方形的边长.
1 / 1沪科版数学九年级上册21.4二次函数的应用之几何相关存在性问题（培优练习）
一、直角三角形存在性
1．（2024九上·昭阳期末）如图，已知抛物线与轴交于点和点，直线过点且与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为直线上一点（不与重合），作点关于轴的对称点，连接，当是直角三角形时，求出点的坐标．
2．（2024九上·吉林期末） 抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接点是线段下方抛物线上的一个动点不与点，重合，过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；
（3）过点作于点，，
求点的坐标；
连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023九上·江阳月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与 x 轴交于 A、 C 两点， 与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，-4），点C坐标为（2，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点 P 为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB 为直角三角形，请求出点 P 的坐标
二、等腰三角形存在性
4．（2024九上·贵州期末）【问题背景】
如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．
【知识技能】
（1）求此抛物线的解析式．
【构建联系】
（2）在下方的抛物线上有一点，过点作轴，交于点，交轴于点，当点的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？
（3）在轴上找一点，使得为等腰三角形，直接写出点的坐标．
5．（2024九上·靖宇期末）如图，抛物线经过、两点．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）当时，x的取值范围是多少？
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MOB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2023九上·右玉期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴的交点为，两点，与轴交于点，顶点为，其对称轴与轴交于点．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接，，，试判断的形状，并说明理由；
（3）点为第三象限内抛物线上一点，的面积记为，求的最大值及此时点的坐标；
（4）在线段上，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
三、等腰直角三角形存在性
7．（2024九上·四平期末）如图，抛物线与轴交于点．已知抛物线顶点纵坐标为．点P在此拋物线上，其坐标为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当时，结合图象，直接写出的取值范围．
（3）若此抛物线在点左侧部分（包括点）恰有三个点到轴的距离为1．
①求的取值范围．
②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标．
8．（2023九上·西山期中）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣3），过点P作x轴的垂线，交线段AF于点D，求线段PD长度的最大值；
（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2023九上·怀仁月考）如图，抛物线过，两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求的面积；
（3）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当为等腰直角三角形时，点N的坐标为　 　．
四、平行四边形存在性
10．（2023九上·青秀期中）已知：如图，抛物线经过原点和点，为抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
11．（2024九上·怀化期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积及此时E点的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
12．（2024九上·交城期中）如图1，二次函数的图象交轴于点A，点B，交轴于点C，过点A的直线AD与抛物线交于点D（4，5）.
（1）请确定直线AD的解析式；
（2）连接BC，点P是抛物线上的一个动点，过点P作轴的平行线交直线AD于点E，交线段BC于点F.
①如果点P在第四象限的抛物线上运动，当PE=3PF时，求点P的坐标；
②设直线AD与轴的交点为G，如图2，在点P运动的过程中是否存在以点C，G，E，P为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
13．（2023九上·惠州期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D．
（1）求此函数的关系式；
（2）在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交于点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？
（3）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标．
五、菱形存在性
14．（2024九上·南川期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线的对称轴交x轴于点M，点N是直线上一点，在平面内确定一点K，使得以为顶点的四边形是以为边的菱形，写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程．
15．（2024九上·松原期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出点的坐标和面积的最大值．
（3）连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2024九上·沙坪坝期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，B两点，交y轴于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交于点E，过点P作的平行线交x轴于点F，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）将该抛物线y沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点G是新抛物线的顶点，点M为新抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点C，G，M，N为顶点的四边形是以为边的菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
六、矩形存在性
17．如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
七、正方形存在性
18．（2023九上·衡阳月考）如图，抛物线经过点，，三点，设点是抛物线上一动点，且在轴下方，四边形是以为对角线的平行四边形.
备用图
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点运动时，试求平行四边形的面积与之间的函数关系式，并求出面积的最大值
（3）是否存在这样的点，使平行四边形为正方形 若存在，求点，点的坐标；若不存在，请说明理由.
19．（2025·资阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边)，与y轴相交于点C（0，-3)且抛物线的顶点坐标为（1，-4)
（1）求抛物线的表达式；
（2）P是抛物线上位于第四象限的一点，点D(0，-1)，连接BC、DP相交于点E，连接PB.若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标；
（3）M、N是抛物线上的两个动点，分别过点M、N作直线BC的垂线段，垂足分别为G.H.是否存在点M，N、使得以M，N、G、H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由。
答案解析部分
1．【答案】（1）解：直线与轴相交于点，令，解得，，
将点代入拋物线中，得：
，解得
抛物线的解析式为
（2）解：设，由题可得．
如图知，
故可知为直角三角形有两种情况
，有，即．解得：
点的坐标为，有，即
，解得：点的坐标为
综合①②，点的坐标为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先利用一次函数求出点B的坐标，再把A、B坐标代入二次函数解析式中求出二次函数解析式即可；
（2）设F(m，-m+2)，利用勾股定理求出三角形FDC三边的长度，再分两种情况：∠CDF=90°或∠CFD=90°，利用勾股定理建立方程求解即可．
2．【答案】（1）解：抛物线与轴交于点和，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）解：在中，令，得，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，，
当时，取得最大值，此时点的坐标为；
（3）解：如图，
，，，，，，
，，，，
，
，
解得：，，
点是线段下方抛物线上的一个动点，
，
，
；
存在点使得为直角三角形，设，
，，
，，，
当时，如图，轴，
；
当时，如图，
在中，，
，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】 （1）将点A、B的坐标代入可得，再求出a、b的值即可；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为，设，则， 再求出，最后利用二次函数的性质求解即可；
（3）①根据可得求出t的值即可；
②分类讨论：当时，当时， 再分别画出图形并利用勾股定理列出方程求解即可.
3．【答案】（1）解：∵抛物线 y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过 点B（0，-4），点C（2，0），
，
解得 ，
抛物线的解析式为
（2）解：存在
理由： 如图 1 中， 设 ， 连接 OD.
令 ， 则
解得x=-4或2，
∴A（-4，0），C（2，0），
∵B（0，-4），
∴OA=OB=4，
∵﹣1＜0，
∴t=-2时，△ABD的面积最大，最大值为4，此时D（-2，-4）；
（3）解： 如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（-1.0）．M（-1，-4）；
∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， 当∠P1AB＝90°时，△ANP1 是等腰直角三角形，
当 时， 是等腰直角三角形， 可得 ，
当∠APB=90°时，设P（-1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（-2，-2），
，
解得 或 ，
，
综上所述，满足条件的点P的坐标为（-1，3）或（-1，-5）或或 .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】(1)根据待定系数法把点B，C两点坐标代入抛物线的解析式，解方程组，即可求解.
(2)设，连接OD，利用构建二次函数，利用二次函数的性质，解决问题.
(3)设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M.则N(-1，0)，M (-1，-4)，分三种情况进行讨论：∠PAB=90°，∠PBA=90°，∠APB=90°，根据等腰直角三角形的性质，分别求解可得结论.
4．【答案】解：（1）∵∴，，
把，代入，得，
，
解得，，
∴此抛物线的解析式为．
（2）设直线的解析式为，
把把，代入，得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
设点的坐标为，则点，
∴
∴
∵，
∴有最大值，最大值为，此时点N的坐标为；
（3）∵
∴
如图，
当为底边时，点的坐标为；
当为腰时，点的坐标为或或；
综上，为等腰三角形时，点的坐标为或或或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）先求出直线的解析式为，设，则，表示的长，然后配方成顶点式得到最值即可；
（3）根据勾股定理得到，然后分为为腰和底两种情况，根据等腰三角形的性质解题即可．
5．【答案】（1）解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过B（3，0）、C（0，3）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3；
（2）解：∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，
∴对称轴为直线x＝1，
∴C（0，3）关于对称轴的对称点坐标为（2，3），
∴当y≥3时，x的取值范围是0≤x≤2．
（3）解：由（2）可知抛物线对称轴为x＝1，
设M（1，t），
∵B（3，0），O（0，0），
∴BM2＝4＋t2，OM2＝1＋t2，OB2＝9，
∵△MOB为等腰三角形，
∴有BM＝BO、OM＝OB和MB＝MO三种情况，
①当BM＝BO时，即4＋t2＝9，解得t＝±，
此时M点坐标为（1，）或（1，）；
②当OM＝OB时，即1＋t2＝9，解得，
此时M点坐标为（1，）或（1，），
③当MB＝MO时，即4＋t2＝1＋t2，解得t无实数根．
综上所述，存在满足条件的M点，其坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解。把点B和C点代入解析式，建立方程求出b和c；
（2）先确定抛物线的对称轴：直线x＝1，则有C（0，3）关于对称轴的对称点坐标为（2，3），然后利用二次函数的增减性质求解；
（3）分三种情况：①当BM＝BO，②当OM＝OB，③当MB＝MO，利用两点之间的距离公式求出三边的长，再分别建立方程求解．
6．【答案】（1）解：设二次函数表达式为：，
则，解得：，
函数的表达式为：；
（2）解：由（1）知，点，
∴，，，
，
故为直角三角形；
（3）解：过点作轴交于点，
将点、的坐标代入一次函数表达式，
解得：
直线的表达式为：，
设点，则点，
，
当时，最大值为，此时点；
（4）或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理的逆定理；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（4），
，
①当时，如下图，
为等腰直角三角形，，
点；
②当时，
设
∴
解得：（舍去）或
∴点；
③当时，
同理可得：点；
故点的坐标为：或或．
【分析】（1）根据待定系数求解。设二次函数表达式为：，将代入建立方程组求解；
（2）根据二次函数与坐标轴的交点，以及顶点坐标，计算，根据勾股定理的逆定理求解；
（3）过点作轴交于点，得出直线的表达式为：，设点，则点，根据二次函数的性质求得最值；
（4）分三种情况讨论①当时，②当时，③当时，分类求解即可．
7．【答案】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为，
抛物线顶点纵坐标为，
，
，
抛物线的解析式为：；
（2）
（3）解：①当点到轴的距离为时，或，
当时，则，
解得：，，
当时，则，
解得：，，
如图，点，，，到轴的距离均为1，
，
抛物线在点左侧部分（包括点）恰有三个点到轴的距离为1，
的取值范围是；
②．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（2）点P在此拋物线上，其坐标为，
，
当时，，
当时，，
由（1）得抛物线的顶点坐标为，
当点与抛物线的顶点重合时，则，
当时，的最大值和最小值分别为和，
的取值范围是；
（3）②由（1）得抛物线的对称轴为直线，
在中，当时，，
，
如图，作点关于直线的对称点，则，设直线交轴于点，连接、，
，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，且点在抛物线的对称轴上，此时；
如图，点为抛物线与轴的交点，作交直线于点，连接，作轴于，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
当时，则，
解得：，（不符合题意，舍去），
；
如图，等腰直角三角形，点在直线上，且，
，
，
作轴，于点，于点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
解得：，（不符合题意，舍去），
，
综上所述，．
【分析】（1）先把一般式配方转化为顶点式，确定顶点坐标并建立方程求出a的值即可；
（2）根据抛物线上点的坐标特征可得，当时，，当时，，由（1）得抛物线的顶点坐标为，当点与抛物线的顶点重合时，则，由此求解即可；
（3）①当点到轴的距离为1时，或，分别求出或时m的值，再结合图象求解即可；
②分三情况讨论：PC=PQ或PC=CQ或PQ=CQ。过三角形PCQ的顶点作坐标轴的平行行，构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，结合点的坐标建立方程求解即可。
8．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），
∴，解得：，
∴该抛物线所对应的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：如图1，过点P作PQ∥y轴交直线AF于点Q，
设直线AF的解析式为y＝kx+d，
由A（3，0），F（0，﹣3）的坐标得，直线AF的表达式为：y＝x﹣3，
设P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），则D（t，t﹣3），
∴PD＝﹣t2+2t+3﹣（t﹣3）＝﹣t2+t+6=，
∴当t=时，PD最大，为.
（3）解：存在，理由：
设P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），F（0，n），
∵A（3，0），
∴OA＝3，OF＝|n|，
如图2，过点P作PD⊥x轴于点D，
则∠ADP＝90°＝∠AOF，
∴∠PAD+∠APD＝90°，
∵∠PAD+∠FAO＝90°，
∴∠APD＝∠FAO，
在△APD和△FAO中，
，
∴△APD≌△FAO（AAS），
∴PD＝OA，AD＝OF，
∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m，
∴﹣m2+2m+3＝3，
解得：m＝0或2，
当m＝0时，P（0，3），AD＝3，
∴OF＝3，即|n|＝3，
∵点F在y的负半轴上，
∴n＝﹣3，
∴F（0，﹣3）；
当m＝2时，P（2，3），AD＝1，
∴OF＝1，即|n|＝1，
∵点F在y的负半轴上，
∴n＝﹣1，
∴F（0，﹣1）．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）已知抛物线解析式有两个未知系数，给定抛物线上两个定点，用待定系数法可以求得函数的解析式；
（2）已知A、F点的坐标，可以用待定系数法找到直线AF的解析式，设出P点坐标，代入x值，可写出D点的坐标，进而找到PD两点间距离的表达式，化为顶点式，即可求PD的最大值；
（3）设出三角形的顶点坐标，作辅助线表示出P的坐标，观察图形，若存在等腰直角三角形，则由AAS定理必有PD＝OA ，AD＝OF，根据这一等量关系可以求得符合条件的P和F的坐标值，则说明存在等腰直角三角形，如果没有符合条件的P和F的坐标值，则说明不存在等腰直角三角形；解析PD二次表达式的过程中，发现抛物线上有2点符合条件，故F点也有2个符合条件的坐标值。
9．【答案】（1）解：把A（4，0），B（1，3）代入抛物线中，
得，
解得，
∴该抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
∵点C和点B关于对称轴对称，点B的坐标为（1，3），
∴C（3，3），
∴BC＝2，
∴；
（3）（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）解：以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：
①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图3-1所示，
∴CM＝MN，∠CMN＝90°，
∴∠HNM+∠HMN=∠HMN+∠BMC=90°，
∴∠BMC=∠HNM，
在△CBM和△MHN中，
，
∴△CBM≌△MHN（AAS），
∴BC＝MH＝2，BM＝HN＝3-2＝1，
∴ON=OH+HN=2，
∴N（2，0）；
②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3-2所示，
过点M作轴，过点N作NE⊥DE于E，过点C作CD⊥DE于D，
同理可证△NEM≌△MDC，
∴NE=DM=2，
∴EM＝CD＝5，
∵OH＝1，
∴ON＝NH﹣OH＝5-1＝4，
∴N（-4，0）；
③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图3-3所示，
过点N作轴，过点M作ME⊥DE于E，过点C作CD⊥DE于D，
同理得△NEM≌△CDN，
∴ME＝NH＝DN＝3，
∴ON＝3-1＝2，
∴N（-2，0）；
④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，如图3-4所示，
过点N作轴，过点M作ME⊥DE于E，过点C作CD⊥DE于D，
同理得△NEM≌△CDN，
∴ME＝DN＝NH＝3，
∴ON＝1+3＝4，
∴N（4，0）；
⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；
综上可知当△CMN为等腰直角三角形时N点坐标为（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）．
【分析】（1）利用待定系数法求得a、b的值，从而求解；
（2）先将抛物线表达式化为顶点式，求得对称轴为直线x=2，根据对称性求得点C的坐标，从而求得BC的值，根据三角形面积公式代入数据额即可求解；
（3）以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，需要进行分情况讨论：①以点M为直角顶点且M在x轴上方时；②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3-2所示；③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图3-3所示；④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，如图3-4所示；⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；分别求出符合题意的点N的坐标，从而求解.
10．【答案】（1）解：把和点代入得到，解方程组得，
∴抛物线的解析式为．
故答案是：．
（2）解：根据题意得，过原点和点的直线的解析式是，二次函数的顶点坐标是，当点P在直线OA上方时，设的横坐标为，∴，，
∵，轴，在上，在上，，
∴，，
∴，
∵二次函数的二次项系数，图像开口向下，
∴有最大值，
当时，，
故当点P在直线OA上方时，线段的最大值是．
（3）解：如图所示，
由（2）可知，当点P在直线OA上方时，线段的最大值是，
∵，
∴点在直线的下方，过点作交抛物线于和，此时四边形和四边形是平行四边形，
∵直线的解析式为，
∴直线的解析式为，
由，解得或，
∴的值为，
故答案是：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查对用待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的判定和性质，二次函数的最值.（1）抛物线经过原点和点，据此可列出方程组，解方程组可求出a和c的值，据此可求出抛物线的解析式；
（2）设，利用线段的运算可得：，再进行配方可得：，利用二次函数的性质可求出线段的最大值；
（3）由（2）可知，由，当点在直线的上方时，线段的最大值是．推出点在直线的下方，过点作交抛物线于和，此时四边形和四边形是平行四边形，根据直线OA的解析式，可求出直线的解析式，联立两条直线的解析式可得，解方程组可求出m的值，据此可求出答案.
（1）解：把和点代入得到，
解方程组得，
∴抛物线的解析式为．
故答案是：．
（2）解：根据题意得，过原点和点的直线的解析式是，二次函数的顶点坐标是，当点P在直线OA上方时，设的横坐标为，
∴，，
∵，轴，在上，在上，，
∴，，
∴，
∵二次函数的二次项系数，图像开口向下，
∴有最大值，
当时，，
故当点P在直线OA上方时，线段的最大值是．
（3）解：如图所示，
由（2）可知，当点P在直线OA上方时，线段的最大值是，
∵，
∴点在直线的下方，过点作交抛物线于和，此时四边形和四边形是平行四边形，
∵直线的解析式为，
∴直线的解析式为，
由，解得或，
∴的值为，
故答案是：．
11．【答案】（1）解：由题意，将，代入，
得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：令，则，
∴，
设直线的解析式为，
将B、C点坐标代入得，解得，
∴直线的解析式为，
设，轴于点H，则，
∴
，
∴
∵是关于x的二次函数，，
∴当时，有最大值为4，
此时；
（3）P点的坐标为或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）由，可知对称轴为直线，
∴，
∵，
设P点的坐标为，
∵，
当为对角线时，
，，
解得，，
∴P点的坐标为；
当为对角线时，
，，
解得，，
∴P点的坐标为；
当为对角线时，
，，
解得，，
∴P点的坐标为；
综上，P点的坐标为或或．
【分析】（1）利用待定系数法即可求抛物线的表达式.
（2）先利用抛物线表达式求得点C的坐标，由点B、点C的坐标求得直线BC的表达式为，作轴于点H，设点，则 ，表示出EF的长，利用点的坐标得到 ，再利用配方求面积最大值即可求解.
（3）先求出点D的坐标，设P点的坐标为，分三种情况讨论，当AD、CD、AC分别为对角线时，利用中点坐标公式，结合A、D、C三点的坐标即可求解.
12．【答案】（1）解：当时，代入中
得：
解得：
∴A(-1，0)，B（3，0）
设直线AD的解析式为
把A(-1，0)，D(4，5)分别代入中
解得：
∴直线AD的解析式为
（2）解：①当时，代入中
得：
∴C(0，-3)
设直线BC的解析式为
把B(3，0)，C(0，-3)分别代入中
解得：
∴直线BC的解析式为
设P（）
∴E（）
F（）
∴PE=-=
PF=-=
∵PE=3PF
∴=3()
解得：
∴，
②，，
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解（3）②存在
当时，代入中得：，
，
，
，
设，
∴，
轴，
，
或，
点C，G，E，P为顶点的四边形为平行四边形，轴，
，
或，
解得：或3，或，
当时与点C重合舍去，
，，，
，，时，点C，G，E，P为顶点的四边形为平行四边形．
【分析】（1）根据待定系数法求解。当时，代入中，求出点A，B的坐标，设直线的解析式为：，把点A，D的坐标代入建立方程组求解；
（2）①先根据待定系数法求出直线的解析式，设，则，，即可表示出的长，利用可列出方程，求解即可；
②设，则，分类表示出的长，根据点C，G，E，P为顶点的四边形为平行四边形，轴，可得，列出方程求解即可．
13．【答案】（1）解：∵抛物线经过点A，点C，且，
∴，
∴将其分别代入抛物线，可得，
解得．
故此抛物线的函数表达式为：
（2）解：设直线的解析式为，
将代入，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设N的坐标为，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，且为，
把代入抛物线得，N的坐标为，
当N的坐标为，有最大值
（3）解：∵，
∴抛物线对称轴为，
令得，，
解得，，，
∴点B的坐标为；
①当和是平行四边形的对角线时，点和都在对称轴上时，
∴；
②当和是平行四边形的两条对边，且在y轴右侧时，
∵，
∴，
∴的横坐标为3，
∴；
当和是平行四边形的两条对边，且在y轴左侧时，
∵，
∴的横坐标为，
∴；
综上所述，K、L点的坐标为或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意易得A、C的坐标，然后用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）设直线的解析式为y=kx+t，由题意将A、C的坐标代入一次函数的解析式可得关于k、t的方程组，解方程组求出k、t的值，即可得直线AC的解析式；设N的坐标为，则，于是可将线段MN的长用含n的代数式表示出来，将解析式配成顶点式并根据二次函数的性质可求解；
（3）令抛物线的解析式中y=0可得关于x的一元二次方程，解方程可求得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标：
①当和是平行四边形的对角线时，点和都在对称轴上时，易得K1、L1的坐标；
②当和是平行四边形的两条对边，且在y轴右侧时，可得K2、L2的坐标；
当和是平行四边形的两条对边，且在y轴左侧时，可得K3、L3的坐标.
综合上述情况可得K，L点的坐标.
14．【答案】（1）解：由题意得：
，解得：，
该抛物线的函数表达式为；
（2）解：在中，
当时，，
，
由点、的坐标得直线的表达式为：，
设，，，
，
，
当时，
有最大值为4，
则点；
（3）解：满足条件的点坐标为：，，．
由知，对称轴是直线，
则新抛物线的对称轴为，
，
由（2）可知，
设，
，
，
当时，，
解得：，
坐标为，坐标为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求得a、b的值，即可求解；
（2）令x=0，先求，得点C的坐标，从而得到直线AC的表达式，设，，， 用t表示出PD的值得到， 利用二次函数的性质即可求解；
（3）先求得的对称轴，从而得到新抛物线的对称轴为直线x=1，再求出点C的坐标，得到直线，设， 表示出CN、NM，利用菱形的性质即可求解.
15．【答案】（1）解：将，代入，
得，
解得，
二次函数的解析式为．
答：二次函数的解析式为．
（2）解：如图，过点作轴的平行线与交于点，
设，直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
则，
，
当时，的面积最大，
此时，点的坐标为，的面积的最大值为．
（3）解：存在．
如图，设点，交于点，
若四边形是菱形，则，
连接，则，，
，
解得，不合题意，舍去，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；菱形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）二次函数解析式中有2个未知系数，题中给出2个图象上点坐标，代入得到方程组，求解即可；（2）用割补法找到三角形面积的解析式，再讨论解析式的最大值，在此思路下需要明确设出P、Q的坐标，P、Q纵坐标的差是三角形的底，P的横坐标是三角形的一个高，B、P横坐标的差是另一个三角形的高，代入面积公式，整理，再根据二次函数的图象性质可求最值；根据菱形的性质，若菱形存在，P的纵坐标应为C的纵坐标的一半即，据此代入函数求解x，若x存在则菱形存在，若x无实数解则菱形不存在。
16．【答案】（1）解：∵抛物线过点和点，
∴，
解这个方程组，得
，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：延长交x轴于点H，
设直线的表达式为，
∴，
解这个方程组，得，
∴直线的表达式为．
∵、，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴
∴当时，取得最大值为，此时
（3）解：将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，，，
抛物线，向右，向下分别平移了2个单位长度，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点为，
设，，
①若时，则：，
解这个方程，得，
∵四边形CMGN是菱形，
∴，
解这个方程组，得，
故点的坐标为；
②若时，则有，
解这个方程，得或，
∵四边形是菱形，
∴，
解这个方程组，得或，
故点的坐标为或；
综上可得，满足条件的点的坐标为或或．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）先根据二次函数的图象代入点A和点C，进而即可得到抛物线的表达式；
（2）延长交x轴于点H，根据待定系数法求出直线AC的表达式，进而根据题意运用平行线的性质得到，再根据等腰直角三角形的性质结合特殊角的三角函数值得到，设，则，进而表示出，再根据题意求二次函数的最值即可求解；
（3）先根据二次函数的几何变换得到抛物线，向右，向下分别平移了2个单位长度，进而得到，设，，根据题意分类讨论：①若时，②若时，进而根据坐标系中两点间的距离公式结合菱形的性质即可求解。
17．【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，∴，解得：a=-1，
∵抛物线过点，
∴，解得：c=3，
∴抛物线解析式为
（2）解：存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．理由如下：
令y=0，则，
解得：，
∴点A的坐标为（-1，0），
∴OA=1，
当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3），即OC=3，
∴，
设直线BC的解析式为，
把点B（3，0），C（0，3）代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点N（m，-m+3），
∴MN=-m+3，
∴，，
当AC=AN时，，
解得：m=2或0（舍去），
∴此时点N（2，1）；
当AC=CN时，，
解得：或（舍去），
∴此时点N；
当AN=CN时，，
解得：，
∴此时点N；
综上所述，存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）解：存在，点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数-特殊三角形存在性问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）∵点B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC，
∴BC，
设点E（1，n），点F（s，t），
当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），如图，
∴
或，
解得：或，
∴此时点F的坐标为（4，1）或（-2，1）；
当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，如图，
，
解得：或，
∴此时点F的坐标为或；
综上所述，存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或．
【分析】（1）利用对称轴和点B坐标可求出参数a、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）先求直线BC的解析式，设参数表示点N坐标，进一步写出AN2，CN2，AC2，分三种情况讨论：AC=AN、AC=CN、AN=CN，建立相应的方程并求解即可；
（3）围绕线段BC的角色分两种情况讨论。当BC为边时，另外两点E、F的连线段也为边，且与BC平行相等，于是列出可能的两个方程组求解；当BC为对角线时，抓住两对角线的中点重合这一特性，以及对角线BC=EF列出方程组求解即可。
18．【答案】（1）解：设所求抛物线的解析式为，
抛物线经过点，，三点，则由题意可得：
，解得.
所求抛物线的解析式为：
（2）解：点是抛物线上一动点，且在轴下方，
，
即，表示点到的距离.
是平行四边形的对角线，
，
与之间的函数关系式为：，的最大值为.
（3）解：当，且时，平行四边形是正方形，
此时点坐标只能，而坐标为点在抛物线上，
存在点，使平行四边形为正方形，
此时点坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的判定与性质；正方形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）设所求抛物线的解析式为，利用待定系数法建立关于a、b、c的方程组，解得a、b、c的值，即可求解；
（2）根据点是抛物线上一动点，且在轴下方，可得，进一步得到点E到OA的距离为-y，结合是平行四边形的对角线，利用其面积公式， 求得S关于x的二次函数表达式，根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据当，且时，平行四边形是正方形， 可得此时点坐标只能，而坐标为点在抛物线上， 从而可以判定存在点E使平行四边形为正方形.
19．【答案】（1）解：设抛物线表达式为y=a(x-1)2-4.
由抛物线过点C(0，-3)，得a(0-1)2-4=-3，解得a= 1.
所以，抛物线的表达式为y=(x-1)2-4，即y=x2-2x-3
（2）解：方法1：过点P作x轴的垂线，交x轴于点F.
∵△CDE与△PBE的面积相等，
∴△BOC与四边形BODP的面积相等.
设点P(t， t2-2t-3)，其中0＜t<3，
∴点F坐标为(t，0).
当y=0时x2-2x-3=0
解之：x1=-1，x2=3，
∴点B（3，0）
∴.
四边形BODP的面积.
所以.
整理得.
解得（舍去），.
点P的纵坐标.
所以点P的坐标为.
方法2连接PC，BD，过点P作CD的垂线，垂足为F.
∵△CDE与△PBE的面积相等，
所以△BCD与△PBD的面积相等，即S△BCD=S△PBD.
则点P和点C到直线BD的距离相等.
所以直线 PC∥BD，
易证△PFC∽△BOD.
所以.
设，其中.
则，解得，则.所以点P的坐标为
方法3连接PC、 BD， 过点P作直线CD的平行线， 交 BD于点F.
因为△CDE与△PBE的面积相等，
所以△BCD与△PBD的面积相等，即S△BCD=S△PBD：
则点P和点C到直线BD的距离相等.
所以直线PC// BD.
设直线 BD的表达式为y=kx+b.
易知点B的坐标为(3， 0)，
则则
所以直线BD的表达式为.
由，得，四边形PFDC是平行四边形，则.
设，其中，则.
由，解得（舍去），.
则.
所以点P的坐标为.
方法4连接PC、BD、过点P作直线CD的平行线，交 BD于点F.
因为△CDE与△PBE的面积相等，
所以△BCD与△PBD的面积相等，即S△BCD=S△PBD
则点P和点C到直线BD的距离相等
所以直线
直线 B D 的表达式为 ．
设点 ，其中 ，则 ．
所以
由 ，得 ，解得 （含去），
点 的纵坐标 ．
所以点 的坐标为
（3）解：满足条件的点M， N存在.
理由如下：
①若点M，N分别在直线BC的两侧，
不妨令点M在直线BC上方、点N在直线BC下方，如图.
可知∠MGH=90°，
则∠MGN= ∠MGH + ∠HGN>90°，不合题意.
②若点M、N在直线 BC的下方，
不妨设点M在点H下方，如图.
直线 BC 的表达式为y = x-3.
连接MH、则△MGN为等腰直角三角形，∠HGN=45°，
可得GN⊥y轴，MH⊥x轴.
设点M坐标为(m，m2-2m-3).其中0＜m<3.
则点H坐标为(m. m-3).
根据正方形的特征，可得点N坐标为，将点N坐标代入抛物线表达式，得，即。化简得，因为.
所以，进一步化为.
解得，（舍去）.
此时，正方形边长为.
③若点M，N在直线BC的上方，
不妨设点M在点H上方，如图.
设点，其中或，
根据正方形的特征，点N坐标为，
将点N的坐标代入抛物线的表达式，
得，即。化简得，
由于m<0或m>3，
则(m-2)(m2-5m-2)=2(m+2)，
进一步化为m2-7m+6=0.
解得m1=1(舍去)， m2=6.
此时MH=18，正方形边长为9.
综上所述，正方形边长为或9.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）利用已知条件设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-4，将点（0，-3）代入函数解析式可求出a的值，即可二次函数解析式.
（2）方法1：过点P作x轴的垂线，交x轴于点F，利用已知条件可推出△BOC与四边形BODP的面积相等；设点P(t， t2-2t-3)，其中0＜t<3，可表示出点F的坐标，由y=0可求出对应的x的值，可得到点B的坐标，利用三角形的面积公式求出△BOC的面积，再根据四边形BODP的面积等于△BOC的面积，可得到关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值，可得到点P的坐标；方法2连接PC，BD，过点P作CD的垂线，垂足为F，设，其中，可推出S△BCD=S△PBD，再证明△PFC∽△BOD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点P的坐标；方法3连接PC、 BD， 过点P作直线CD的平行线， 交 BD于点F，可推出S△BCD=S△PBD，利用待定系数法求出直线BD的函数解析式，易证四边形PFDC是平行四边形，利用平行四边形的性质可得到PF的长，设，其中，则，可得到关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值，可得到点P的坐标；方法4连接PC、BD、过点P作直线CD的平行线，交 BD于点，可推出S△BCD=S△PBD，利用待定系数法求出直线BD的函数解析式，设点 ，其中 ，则 ，利用三角形的面积公式可表示出△PBD的面积，同时可求出 BCD的面积，据此可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到点P的坐标.
（3）分情况讨论：①若点M，N分别在直线BC的两侧，不妨令点M在直线BC上方、点N在直线BC下方，可证得∠MGH=90°，∠MGN= ∠MGH + ∠HGN>90°，不合题意；②若点M、N在直线 BC的下方，不妨设点M在点H下方，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，连接MH，易证△MGN为等腰直角三角形，同时可证得GN⊥y轴，MH⊥x轴，设点M坐标为(m，m2-2m-3).其中0＜m<3，可表示出点N的坐标，将点N的坐标代入函数解析式，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，可得到MH的长，可得到正方形的边长；③若点M，N在直线BC的上方，不妨设点M在点H上方，设点，其中或，利用正方形的性质可表示出点N的坐标，将点N的坐标代入二次函数解析式，可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，可得到MH的长，即可得到正方形的边长；综上所述可得到符合题意的正方形的边长.
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