【精品解析】沪科版数学九年级上册21.4二次函数的应用之实际问题（培优练习）

沪科版数学九年级上册21.4二次函数的应用之实际问题（培优练习）
一、面积问题
1．（2024九上·荔湾期中）如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为xcm．
（1）底面的长AB＝　 cm，宽BC＝　 cm（用含x的代数式表示）
（2）当做成盒子的底面积为300cm2时，求该盒子的容积．
（3）该盒子的侧面积S是否存在最大的情况？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不存在，说明理由．
【答案】（1）50-2x，30-2x；
（2）解：（50-2x）（30-2x）＝300
整理，得：x2-40x+300＝0，
解得：x1＝10，x2＝30（不符合题意，舍去）
当x1＝10时，盒子容积＝（50-20）（30-20）×10＝3000（cm3）；
∴盒子容积为3000cm3；
（3）解：盒子的侧面积S＝2x（50-2x）+2x（30-2x）＝100x-4x2+60x-4x2＝-8x2+160x＝-8（x-10）2+800，
∵-8（x-10）2≤0，
∴-8（x-10）2+800≤800，
即当x＝10时，S有最大值，最大值为800cm2．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）AB＝（50-2x）cm，BC＝（30-2x）cm，
故答案为：50-2x，30-2x；
【分析】（1）根据长方形的长为50cm、宽为30cm，并且观察图可以发现，长和宽分别减去2个x，列式即可；
（2）利用（1）中长与宽以及盒子的底面积为300cm2，可以列式并整理得到一个一元二次访厂，求出x的两个值，分析后得出x=10，最后利用长方体的体积计算公式列式计算即可求出盒子的容积；
（3）列出盒子侧面积计算公式，整理得到一个抛物线方程，并利用配方法进行变形，即可求出最值．
2．（2025九上·绍兴月考）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动.
已知花圃一边靠墙(墙的长度不限)，其余部分用总长为60m的栅栏围成.兴趣小组设计了以下两种方案，设与墙垂直的边的长度为 xm，花圃的面积为
方案一 方案二
如图1，围成一个矩形花圃. 如图2，围成矩形花圃时，用栅栏(栅栏宽度忽略不计)将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m 的进出口(此处不用栅栏).
（1）在方案一中，
①求S与x的函数表达式；
②若围成的花圃面积为 ，求与墙垂直的边的长度；
（2）要使方案二中花圃的面积最大，求与墙平行的边的长度为多少米
【答案】（1）解：①与墙垂直的边的长度为xm，则与墙平行的边的长度为(60-2x)m，
∴S=x(60-2x)=-2x2+60x，
②根据题意得-2x2+60x=450，
解得x1=x2=15，
答：与墙垂直的边的长度为15米.
（2）解：设与墙平行的边的长度为tm，花圃的面积为Sm2，则与墙垂直的边的长度为，
根据题意得
∴
∵，
∴当t=33时，S有最大值363，
答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)①墙垂直的边的长度为xm，则与墙平行的边的长度为(60-2x)m，根据矩形的面积公式可得答案；
②根据题意可得一元二次方程，解方程即可；
(2)设与墙平行的边的长度为tm，花圃的面积为Sm2，根据题意得到函数解析式，根据二次函数的性质求最值即可.
3．（2024九上·罗湖月考）课本中有一个例题：
有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2．
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：
（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？
（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
【答案】解：（1）由已知可得：AD=，
∴S=1×m2.
（2）设AB=xm，则AD=3﹣xm， ∵3-x0 ∴，
设窗户面积为S，由已知得：S=AB·AD=x（3-x）=
当x=m时，且x=m在的范围内，S最大值=，
∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大.
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据矩形和正方形的周长求出AD，再根据矩形的面积公式求解即可.
（2）设AB为xcm，求出AD，再根据面积公式列出二次函数，求出最值即可．
二、过车船问题
4．（2023九上·姑苏期中）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2），
（1）求抛物线的解析式．求支柱EF的长度．
（2）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．
【答案】（1）解：由题意得A，B，C的坐标分别是（-10，0），（10，0），（0，6），
设抛物线的解析式为，
将B，C的坐标代入， 得
解得
∴抛物线的表达式：．
当时，
∴支柱EF的长度是：10-4.5=5.5（米）；
（2）解：一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车，理由如下：
如图，
设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和，即NG=2×3=6，
∴G点坐标是（7，0），
过G点作GH垂直AB交抛物线于H，
∴．
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据题目可知A，B，C的坐标，结合图2设出抛物线的解析式代入可求出抛物线的解析式，再把代入抛物线的解析式求解 即可求出支柱MN的长度．
（2）根据题意作出对应的图形，设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和，即可推出点G的横坐标，做GH垂直AB交抛物线于H，即可得出点H的纵坐标，再与汽车的高作比较即可得出结论.
（1）解：根据题目条件A，B，C的坐标分别是（-10，0），（10，0），（0，6），
设抛物线的解析式为，
将B，C的坐标代入， 得
解得
所以抛物线的表达式．
当时，
从而支柱EF的长度是10-4.5=5.5米．
（2）如图，
设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和， 则G点坐标是（7，0）．
过G点作GH垂直AB交抛物线于H，
则．
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．
5．（2024九上·期中）如图为石河子某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为8米，宽为16米．以点O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系．
（1）求出该抛物线的函数表达式；
（2）拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的消防车辆？请通过计算说明．
【答案】（1）解：根据条件，可设，，
∴设这条抛物线的函数解析式为，
∵抛物线过，
将O点代入函数解析式中，得，解得，
∴这条抛物线的函数解析式为；
（2）解：当时，，
∴能行驶宽2.4米、高米的消防车辆．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据条件建坐标系，结合顶点和与轴交点的坐标，即可设函数解析式为，然后（0，0）代入，求出a，最后代入并化简即可；
（2）根据对称性当车宽米时，计算时对应的纵坐标的值，最后与车高米进行比较得出结论．
（1）解：∵，，
∴设这条抛物线的函数解析式为，
∵抛物线过，
∴，解得，
∴这条抛物线的函数解析式为，即；
（2）解：当时，，
故能行驶宽2.4米、高米的消防车辆．
6．（2024九上·新丰期中）某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝﹣x2+c且过顶点C（0，5）.（长度单位：m）
（1）直接写出c＝　 　；
（2）求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？
（3）该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由.
【答案】（1）5
（2）解：当时，解得：
∴，，
∴（米）．
∴ 该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是米.
（3）解：根据（2）得 该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是米，
∵ 该隧道为双向车道 ，
∴单向车道的宽度为米，
由于货车宽3米，故宽度能通过，
当时，（米）.
∵4.1>4，
∴高度能通过.
∴ 这辆卡车 能安全通过．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】（1）解：∵的顶点为C（0，5） ，
解得，
∴c＝5.
故答案为：5．
【分析】
（1）将点C（0，5）代入抛物线的解析式y＝﹣x2+c即可求解.
（2）由图可知，A、B两点之间的距离即为该隧道截面的最大跨度，故由方程0＝﹣x2+c的解即可求得.
（3）该隧道为双向车道，故将x＝3代入抛物线的解析式y＝﹣x2+c，求得y的值与4比较大小即可求解．
（1）解：∵顶点C（0，5）
∴c＝5，
故答案为：5．
（2）解：由题意可得：0＝﹣x2+5，
解得：x1＝5，x2＝﹣5，
故AB＝2×5＝10米．
（3）解：把x＝3代入得y＝﹣x2+5＝4.1＞4，
故能安全通过．
7．（2024九上·北京市期中）被誉为“中轴线上第一桥”的万宁桥（如图1），是北京中轴线15个遗产构成要素之一，是中轴线上最古老的桥梁，也是北京市目前唯一还在为社会交通服务的元代桥梁．据记载，元代初建时桥下的净空高度约为6米，其后由于湖底淤积逐渐增高，桥下的净空高度不断减小，遂给人难以通船的感觉．
（1）假设万宁桥拱截面为抛物线，以抛物线对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2），求该抛物线的解析式；
（2）现有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行（如图2）．水面到棚顶的高度为米，遮阳棚的宽为4米，问此船能否通过桥洞？请说明理由．
【答案】（1）解：由题意知，，，，
设抛物线解析式为，
把A、B、E代入解析式得
，
解得，
∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为；
（2）解：此船能通过，理由：
船正对着桥洞在河中航行，水面到棚顶的高度为米，遮阳棚的宽为4米，水位高1米
则长方体形状的遮阳棚最右上端的坐标为：，
当时，代入，
解，
∴此船能通过桥洞．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）由题意知，，，，设抛物线解析式为，根据待定系数法将点A，C，E坐标代入即可求出答案.
（2）由题意可得长方体形状的遮阳棚最右上端的坐标为：，将x=2代入解析式求出y值，再比较大小即可求出答案.
（1）解：
由题意知，，，，
设抛物线解析式为，
把A、B、E代入解析式得
，
解得，
∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为；
（2）解：此船能通过，理由：
船正对着桥洞在河中航行，水面到棚顶的高度为米，遮阳棚的宽为4米，水位高1米
则长方体形状的遮阳棚最右上端的坐标为：，
当时，代入，
解，
∴此船能通过桥洞．
三、利润问题
8．（2025九上·宜都期末）某地某网店专门销售甲乙两种儿童套装，乙每件的进价比甲多5元，某次用1300元购进两种儿童套装各20件．销售中发现：甲种每天销售件数y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求甲种儿童套装每件的进价；
（2）求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）网店每天甲种套装的销售量不低于250件，当甲种套装销售单价为多少元时，每天销售甲种套装获取的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：设甲种儿童套装每件的进价为x元，可知乙每件的进价为元，根据题意，得
，
解得，
所以甲种儿童套装每件的进价是30元；
（2）解：设函数关系式为，根据题意，得
，
解得，
所以一次函数的关系式为；
（3）解：设每天销售甲种套装的总利润为w，根据题意，得，
且，
解得．
∵，
∴抛物线的开口向下，有最大值，对称轴是，
当时，函数值w随着x的增大而增大，
即当时，元．
所以当甲种套装销售单价为45元时，每天销售甲种套装获取的利润最大，最大利润是3750元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；一元一次方程的实际应用-盈亏问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查了一次函数和二次函数在利润问题中的综合应用，需熟练掌握待定系数法求函数解析式，以及二次函数在实际问题中的最值求解，注意结合实际情况确定自变量的取值范围.（1）通过设甲的进价，根据购进两种套装的总价列方程，求解甲的进价；
（2）利用待定系数法，将点代入关系式，求解即可；
（3）先列出利润和销售单价的二次函数关系式，再结合销售量不低于250件的限制条件，根据二次函数的性质求出最大利润及对应的销售单价即可.
（1）解：设甲种儿童套装每件的进价为x元，可知乙每件的进价为元，根据题意，得
，
解得，
所以甲种儿童套装每件的进价是30元；
（2）解：设函数关系式为，根据题意，得
，
解得，
所以一次函数的关系式为；
（3）解：设每天销售甲种套装的总利润为w，根据题意，得
，
且，
解得．
∵，
∴抛物线的开口向下，有最大值，对称轴是，
当时，函数值w随着x的增大而增大，
即当时，元．
所以当甲种套装销售单价为45元时，每天销售甲种套装获取的利润最大，最大利润是3750元．
9．（2025九上·南宁月考）某蛋糕店有线下和网上两种销售方式，每天共销售50个，已知线下和网上销售的纯利润分别为24元/个，20元/个，每天的总纯利润为1120元．
（1）求线下和网上的销售量分别是多少．
（2）该店为了扩大业务，增加了销售量．调查发现，线下销售的每个蛋糕的纯利润保持不变；网上销售在原来的基础上每降低1元的纯利润，销售量增加2个．
①该店当天线下和网上销售量均为34个，求当天的总纯利润？
②若线下增加的销售量不超过原来线下销售量的，该店每天生产多少个蛋糕，可使当天的总纯利润最大？
【答案】解：（1）设线下的销售量为x个，则网上的销售量为（50-x）个，
解得：x=30
∴线下的销售量为30个，则网上的销售量为20个；
（2）①
总纯利润=34×24+34×（20-7）=1258（元）
②设网上销售在原来的基础上降低x元的纯利润
∵
∴当时，网上销售量为20+2×5=30个
有最大值
设线下的销售量m个，则
∵k=24，随着m的增大而增大
∵线下增加的销售量不超过原来线下销售量的
∴m个
∴当m=40时，有最大值
∴当每天生产40+30=70个蛋糕时，当天总利润最大
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设线下的销售量为x个，则网上的销售量为（50-x）个，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）①根据总纯利润等于单个利润乘以销售量列式计算即可求出答案.
②设网上销售在原来的基础上降低x元的纯利润，根据题意建立函数关系式，结合二次函数性质可得有最大值，设线下的销售量m个，则，再进行计算即可求出答案.
10．（2025九上·新昌期末）某玩具店销售一款玩具，已知该玩具成本为20元，经试销发现，该玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系式：，为了保证利润，规定．
（1）当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为多少？（销售额销售量销售单价）
（2）求销售该玩具每天的利润w（元）的最大值．
（3）该店为响应“助力防控，回馈社会”活动，决定每卖出一个玩具就捐赠a元（），若每天扣除捐款后仍可获最大利润196元，则a的值为多少？
【答案】（1）解：当元时，．
．
答：当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为600元
（2）解：
∵，
∴当时，．
答：销售该玩具每天的利润最大值为225元．
（3）解：设每天扣除捐款后的利润为，则 ，
当时，达到最大值．将代入得：
即，
即，
∴，
∴，，
∵，
∴．
答：的值为2．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）计算时y的值，然后利用“销售额＝销售量销售单价”即可解题；
（2）利用“利润=（销售单价成本）销售量”得到w与x的函数解析式，然后配方得到顶点式即可求出最值．
（3）设每天扣除捐款后的利润为， 利用“利润=（销售单价成本）销售量”得到z与x的函数解析式，然后利用抛物线的顶点的坐标，可以得到哦啊时，，再根据a的范围求出a的值解题．
（1）解：当元时，．
．
答：当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为600元．
（2）解：
∵，
∴当时，．
答：销售该玩具每天的利润最大值为225元．
（3）解：设每天扣除捐款后的利润为，则
，
当时，达到最大值．将代入得：
即，
即，
∴，
∴，，
∵，
∴．
答：的值为2．
11．（2024九上·中江期中）甲、乙两汽车出租公司均有辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费元，那么辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加元，那么将少租出辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费月维护费；
在两公司租出的汽车数量相等且都为（单位：辆，）的条件下，甲的利润用表示（单位：元），乙的利润用（单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题：
（1）分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？
（2）甲公司最多比乙公司利润多多少元？
（3）甲公司热心公益事业，每租出辆汽车捐出元（）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围．
【答案】（1）；；当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等
（2）甲公司最多比乙公司利润多18050元
（3）
【知识点】二次函数的最值；列二次函数关系式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
12．（2024九上·秦皇岛期末）某超市销售A、B两种玩具，每个A型玩具的进价比每个B型玩具的进价高2元，若用600元进A型玩具的的数量与用500元进B型玩具的的数量相同．
（1）求A、B两种玩具每个进价是多少元？
（2）超市某天共购进A、B两种玩具共50个，当天全部销售完． 销售A型玩具的的价格（单位：元/个）与销售量（单位：个）之间的函数关系是：；销售B型玩具日获利（单位：元）与销售量（单位：个）之间的关系为：．若该超市销售这50个玩具日获利共300元，问B型玩具的销售单价是多少元？
（3）该超市购进的50个玩具中，B型玩具的数量不少于A型玩具数量的数量的4倍，超市想尽快售完，决定每个A型玩具降价元销售，B型玩具的销售情况不变，若超市销售这50个玩具日获利的最大值为820元，直接写出的值．
【答案】（1）每个A型玩具的进价是12元，每个B型玩具的进价是10元
（2）B型玩具的销售单价为13元
（3）4
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
四、农业灌溉问题
13．（2024九上·北京市期中）如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长；
（2）下边缘抛物线落地点B的坐标为______；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______．
【答案】（1）解：根据题意得：此抛物线的顶点，H，则可设抛物线得解析式为：，∴
∴，
∴此抛物线的函数解析式为，
当时，，
解得（舍去），
∴喷出水的最大射程为.
（2）
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】（2）解：根据（1）得：此抛物线的函数解析式为
∵ 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到 ，
∴ 下边缘抛物线的解析式为.
当时，解得，（舍）
∴ 下边缘抛物线落地点B的坐标为.
故答案为：.
（3）解：∵，
，
∵ 要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪 ，
∴，，
，，
.
∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为：.
故答案为：．
【分析】（1）根据题意得得：顶点，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而得抛物线的函数解析式为，再求出时，的取值即可得喷出水的最大射程的值.
（2）根据下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，再结合上边缘的解析式可得下边缘解析式为，再求出时，的取值即可得点B的坐标.
（3）根据得，再根据题意得，，进而得，，便可得 d的取值范围.
（1）解：由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，
∴
∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为，
当时，，
解得（舍去），
∴喷出水的最大射程为；
（2）解：∵对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴点B的坐标为，
故答案为：；
（3）解：∵，
，
，，
，，
，
∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为，
故答案为：．
14．（2024九上·东阳月考）如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地面竖直高度为米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离为米．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式：
（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
（3）若米，则灌溉车行驶时喷出的水　 　（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
【答案】（1）如图2，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又抛物线过点，
代入得，
，
上边缘抛物线的函数解析式为；
（2）上边缘抛物线的对称轴为直线，
点的对称点为，
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
当时，，
解得， （舍去），
点的坐标为，
点的坐标为，
（3）不能
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：（3）米，米，米，
点的坐标为，
当时，，
当时，随的增大而减小，
灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
故答案为：不能．
【分析】（1）利用待定系数法，根据顶点坐标先假设出方程：，接着代入点求出a的值即可得到结果；
（2）先利用关于对称轴得到对称点为得到点的平移关系，接着利用求出点的坐标为进而得到结果；
（3）利用表达式先求出的坐标为的坐标，接着利用函数的增减性进行判断即可得到结果.
（1）如图2，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又抛物线过点，
代入得，
，
上边缘抛物线的函数解析式为；
（2）上边缘抛物线的对称轴为直线，
点的对称点为，
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
当时，，
解得， （舍去），
点的坐标为，
点的坐标为，
（3）米，米，米，
点的坐标为，
当时，，
当时，随的增大而减小，
灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
故答案为：不能．
15．（2024九上·东阳月考）如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地面竖直高度为米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离为米．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式；
（2）求下边缘抛物线与轴交点的坐标；
（3）若米，则灌溉车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？
【答案】（1）解：由题意得A(2，1.6)是上边缘抛物线的顶点，
设y=a(x-2)2+1.6，
又∵抛物线过点(0，1.2)，
∴代入得1.2=4a+1.64
∴上边缘抛物线的函数解析式为
（2）解：∵上边缘抛物线的对称轴为直线x=2，
∴点(0，1.2)的对称点为(4，1.2)，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∵当y=0时，
解得x1=6，x2=-2(舍去)，
∴点C的坐标为(6，0)
∴点B的坐标为(2，0)
（3）解：∵OD=d=3.2米，DE=2米，EF=0.8米，
∴点F的坐标为(5.2，0.8)，
当x=5.2时，，
∴灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】(1)由顶点A(2，1.6)得，设y=a(x-2)2+1.6，再根据抛物线过点(0，1.2)，可得a的值，从而解决问题；
(2)由对称轴知点(0，1.2)的对称点为(4，1.2)，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；
(3)根据OD=d=3.2米，DE=2米，EF=0.8米，可求得点F的坐标为(5.2，0.8)，当x=5.2时，，从而得出答案.
16．（2024九上·临海期末）如图 1， 公园草坪的地面 处有一根直立水管， 喷水口可上下移动， 喷出的抛物线形水线也随之上下平移， 图 2 是其示意图. 开始喷水后， 若喷水口在 处， 水线落地点为 ， 若喷水口上升到 处，水线落地点为 ， 记 长度为 。
（1） 已知 . 若喷水口在 处， .
①求水线最高点与点 之间的水平距离；
②求水线的最大高度；
③身高 1.5 m 的小红要从水线下某点经过， 为了不被水喷到， 该点与 的水平距离应满足什么条件？请说明理由.
（2） 在喷水口上升过程中， 当 时， 用含 的式子表示水线的最大高度.
【答案】（1）解：以 所在直线为 轴， 以 所在直线为 轴， 建立平面直角坐标系，则 ，
①由对称性可知， 抛物线的对称轴为直线 ，
水线最高点与点 之间的水平距离为 4 m .
②设平移后抛物线的解析式为 ，
将 代入解析式 ，
可解得 ，
水线的最高点高度为 2 m .
③由抛物线对称性可知， 当 时， ，
她与 的水平距离应大于 0 且小于 4 m .
（2）解：设平移后抛物线的解析式为 ，
将 代入解析式 ，
可解得 .
水线的最大高度为 .
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）①依据题意，以OP所在直线为y轴，OB所在直线为x轴，O为原点，建立平面直角坐标系，再OA＝4m，可得抛物线的对称轴是直线x＝2，又OB＝6m，即可得到答案；
②设平移后抛物线的解析式为 ，将 代入解析式 ，利用待定系数法即可求解；
③依据题意，结合②令y＝1.5，可解得x=4，从而可以判断得解；
（2）依据题意，设平移后抛物线的解析式为 ，将 代入解析式可得，即可得到答案．
五、与四边形相关问题（列出函数表达式）
17．（2024九上·遵义期末）如图，点，，，分别在菱形的四条边上，，连接，，，，得到四边形，．设四边形的面积为，的长为，若关于的函数图象如图所示，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：过点D作DP⊥HG于点P，如图所示，
四边形是菱形，∠A=60°，设AB=a，
，AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=60°，
∴∠D=120°，
∵DG=DH，
∴∠DHG=∠DGH=30°，
，
，
∴△AEH是等边三角形，
∴AE=HE，∠AHE=60°，
所以∠EHG=180°-30°-60°=90°，
同理可得：∠FEH=∠FGH=∠EFG=90°，
所以四边形EFGH是矩形，
∵DP⊥HG，
∴∠HPD=90°，
∵AE=x，AB=AD=a，
∴AH=x，则DH=a-x，
∵∠DHG=∠DGH=30°，
∴DP=
∴HP=GP=（a-x），
∴HG=2HP=（a-x），
∴矩形EFGH的面积S=HE·HG=x·（a-x）=-（x2-ax）=-（x-）2+a2，
由图2可知，抛物线的最大值是，
∴a2=，
解得：a=或a=（不符合题意，故舍去）
∴AB=，
故答案为： .
【分析】先根据四边形是菱形，且和线段相等可以判断四边形EFGH是矩形，设菱形的边长为，然后勾股定理用代数式表示出矩形的长和宽，再利用矩形的面积公式可得，最后根据函数图象可知矩形的最大面积为，可得方程a2=，解方程即可求出菱形的边长的长度.
18．（2025九上·上城期末）如图，正方形的边长为4，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），且；点，分别是边，上的点，，，设的长度为，四边形的面积为．
（1）求关于的函数表达式及自变量的取值范围；
（2）四边形的面积有没有最值？如果有，请说明是最大值还是最小值，并计算此时长度，如果没有，请说明理由．
【答案】（1）解：设的长度为，四边形的面积为．
∴
∵正方形的边长为4，，，
∴，，
∴
∴

（2）解：∵，
∴当时，即时，有最小值，最小值为
答：时，四边形的面积有最小值．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设的长度为，四边形的面积为，根据ｙ等于正方形的面积减去4个三角形的面积列出函数关系式即可；
（2）结合（1）根据二次函数的性质求得最值，即可求解．
（1）解：设的长度为，四边形的面积为．
∴
∵正方形的边长为4，，，
∴，，
∴
∴
（2）解：∵，
∴当时，即时，有最小值，最小值为
答：时，四边形的面积有最小值．
19．（2024九上·金堂期中）如图，菱形ABCD中，AB=1，∠A=60°，EFGH是矩形，矩形的顶点都在菱形的边上．设AE=AH=x（0＜x＜1），矩形的面积为S．
（1）求S关于x的函数解析式；
（2）当EFGH是正方形时，求S的值．
【答案】【解答】
（1）连接BD交EF于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵AE=AH，
∴EH∥BD∥FG，BD⊥EF，
∵在菱形ABCD中，∠A=60°，AE=AH，
∴△AEH是等边三角形，
∴∠AEH=∠ABD=60°，∠BEM=30°，BE=2BM，
∴EM=BE，
∴EF=BE，
∵AB=1，AE=x，
∴矩形EFGH的面积为S=EH×EF=x×（1-x）=-x2+x（0＜x＜1）；
（2）当矩形EFGH是正方形时，EH=EF，
即x=（1-x），
解得：x=，
所以S=x2=（）2=
【知识点】菱形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查了菱形、矩形、等边三角形、正方形的性质，勾股定理以及二次函数解析式，正确运用知识点推理和计算是解决本题的关键.（1）连接BD交EF于点M，根据菱形的性质四条边相等，且对角线互相垂直平分推出△AEH是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AEH=∠ABD=60°，∠BEM=30°，BE=2BM，利用勾股定理求出EM=BE，根据矩形面积公式代入即可求出函数解析式；
（2）根据正方形的性质得到EH=EF，得到x=（1-x），再求出x，再利用正方形面积公式求出面积即可．
20．（2024九上·瑞安期中）如图，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，，记四边形的面积为y，边长为x．
（1）求y关于x的表达式及自变量x的取值范围．
（2）求y的最小值．
【答案】（1）解：∵四边形是矩形，∴
∵边长为x，
∴，，
∴
∴
∵，
∴，
∴
（2）解：∵∴抛物线对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上，
在范围内．当时，函数有最小值，为
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可表示出BE、AH、AE、DH的长，再利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，可得到y与x的函数关系.
（2）将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴，再利用二次函数的增减性，可求出在范围内y的最小值.．
（1）解：∵四边形是矩形，
∴
∵边长为x，
∴，，
∴
∴
∵，
∴，
∴
（2）解：∵
∴抛物线对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上，
在范围内．当时，函数有最小值，为
1 / 1沪科版数学九年级上册21.4二次函数的应用之实际问题（培优练习）
一、面积问题
1．（2024九上·荔湾期中）如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为xcm．
（1）底面的长AB＝　 cm，宽BC＝　 cm（用含x的代数式表示）
（2）当做成盒子的底面积为300cm2时，求该盒子的容积．
（3）该盒子的侧面积S是否存在最大的情况？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不存在，说明理由．
2．（2025九上·绍兴月考）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动.
已知花圃一边靠墙(墙的长度不限)，其余部分用总长为60m的栅栏围成.兴趣小组设计了以下两种方案，设与墙垂直的边的长度为 xm，花圃的面积为
方案一 方案二
如图1，围成一个矩形花圃. 如图2，围成矩形花圃时，用栅栏(栅栏宽度忽略不计)将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m 的进出口(此处不用栅栏).
（1）在方案一中，
①求S与x的函数表达式；
②若围成的花圃面积为 ，求与墙垂直的边的长度；
（2）要使方案二中花圃的面积最大，求与墙平行的边的长度为多少米
3．（2024九上·罗湖月考）课本中有一个例题：
有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2．
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：
（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？
（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
二、过车船问题
4．（2023九上·姑苏期中）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2），
（1）求抛物线的解析式．求支柱EF的长度．
（2）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．
5．（2024九上·期中）如图为石河子某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为8米，宽为16米．以点O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系．
（1）求出该抛物线的函数表达式；
（2）拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的消防车辆？请通过计算说明．
6．（2024九上·新丰期中）某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝﹣x2+c且过顶点C（0，5）.（长度单位：m）
（1）直接写出c＝　 　；
（2）求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？
（3）该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由.
7．（2024九上·北京市期中）被誉为“中轴线上第一桥”的万宁桥（如图1），是北京中轴线15个遗产构成要素之一，是中轴线上最古老的桥梁，也是北京市目前唯一还在为社会交通服务的元代桥梁．据记载，元代初建时桥下的净空高度约为6米，其后由于湖底淤积逐渐增高，桥下的净空高度不断减小，遂给人难以通船的感觉．
（1）假设万宁桥拱截面为抛物线，以抛物线对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2），求该抛物线的解析式；
（2）现有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行（如图2）．水面到棚顶的高度为米，遮阳棚的宽为4米，问此船能否通过桥洞？请说明理由．
三、利润问题
8．（2025九上·宜都期末）某地某网店专门销售甲乙两种儿童套装，乙每件的进价比甲多5元，某次用1300元购进两种儿童套装各20件．销售中发现：甲种每天销售件数y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求甲种儿童套装每件的进价；
（2）求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）网店每天甲种套装的销售量不低于250件，当甲种套装销售单价为多少元时，每天销售甲种套装获取的利润最大，最大利润是多少？
9．（2025九上·南宁月考）某蛋糕店有线下和网上两种销售方式，每天共销售50个，已知线下和网上销售的纯利润分别为24元/个，20元/个，每天的总纯利润为1120元．
（1）求线下和网上的销售量分别是多少．
（2）该店为了扩大业务，增加了销售量．调查发现，线下销售的每个蛋糕的纯利润保持不变；网上销售在原来的基础上每降低1元的纯利润，销售量增加2个．
①该店当天线下和网上销售量均为34个，求当天的总纯利润？
②若线下增加的销售量不超过原来线下销售量的，该店每天生产多少个蛋糕，可使当天的总纯利润最大？
10．（2025九上·新昌期末）某玩具店销售一款玩具，已知该玩具成本为20元，经试销发现，该玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系式：，为了保证利润，规定．
（1）当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为多少？（销售额销售量销售单价）
（2）求销售该玩具每天的利润w（元）的最大值．
（3）该店为响应“助力防控，回馈社会”活动，决定每卖出一个玩具就捐赠a元（），若每天扣除捐款后仍可获最大利润196元，则a的值为多少？
11．（2024九上·中江期中）甲、乙两汽车出租公司均有辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费元，那么辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加元，那么将少租出辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费月维护费；
在两公司租出的汽车数量相等且都为（单位：辆，）的条件下，甲的利润用表示（单位：元），乙的利润用（单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题：
（1）分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？
（2）甲公司最多比乙公司利润多多少元？
（3）甲公司热心公益事业，每租出辆汽车捐出元（）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围．
12．（2024九上·秦皇岛期末）某超市销售A、B两种玩具，每个A型玩具的进价比每个B型玩具的进价高2元，若用600元进A型玩具的的数量与用500元进B型玩具的的数量相同．
（1）求A、B两种玩具每个进价是多少元？
（2）超市某天共购进A、B两种玩具共50个，当天全部销售完． 销售A型玩具的的价格（单位：元/个）与销售量（单位：个）之间的函数关系是：；销售B型玩具日获利（单位：元）与销售量（单位：个）之间的关系为：．若该超市销售这50个玩具日获利共300元，问B型玩具的销售单价是多少元？
（3）该超市购进的50个玩具中，B型玩具的数量不少于A型玩具数量的数量的4倍，超市想尽快售完，决定每个A型玩具降价元销售，B型玩具的销售情况不变，若超市销售这50个玩具日获利的最大值为820元，直接写出的值．
四、农业灌溉问题
13．（2024九上·北京市期中）如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长；
（2）下边缘抛物线落地点B的坐标为______；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______．
14．（2024九上·东阳月考）如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地面竖直高度为米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离为米．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式：
（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
（3）若米，则灌溉车行驶时喷出的水　 　（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
15．（2024九上·东阳月考）如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地面竖直高度为米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离为米．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式；
（2）求下边缘抛物线与轴交点的坐标；
（3）若米，则灌溉车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？
16．（2024九上·临海期末）如图 1， 公园草坪的地面 处有一根直立水管， 喷水口可上下移动， 喷出的抛物线形水线也随之上下平移， 图 2 是其示意图. 开始喷水后， 若喷水口在 处， 水线落地点为 ， 若喷水口上升到 处，水线落地点为 ， 记 长度为 。
（1） 已知 . 若喷水口在 处， .
①求水线最高点与点 之间的水平距离；
②求水线的最大高度；
③身高 1.5 m 的小红要从水线下某点经过， 为了不被水喷到， 该点与 的水平距离应满足什么条件？请说明理由.
（2） 在喷水口上升过程中， 当 时， 用含 的式子表示水线的最大高度.
五、与四边形相关问题（列出函数表达式）
17．（2024九上·遵义期末）如图，点，，，分别在菱形的四条边上，，连接，，，，得到四边形，．设四边形的面积为，的长为，若关于的函数图象如图所示，则的长为　 　．
18．（2025九上·上城期末）如图，正方形的边长为4，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），且；点，分别是边，上的点，，，设的长度为，四边形的面积为．
（1）求关于的函数表达式及自变量的取值范围；
（2）四边形的面积有没有最值？如果有，请说明是最大值还是最小值，并计算此时长度，如果没有，请说明理由．
19．（2024九上·金堂期中）如图，菱形ABCD中，AB=1，∠A=60°，EFGH是矩形，矩形的顶点都在菱形的边上．设AE=AH=x（0＜x＜1），矩形的面积为S．
（1）求S关于x的函数解析式；
（2）当EFGH是正方形时，求S的值．
20．（2024九上·瑞安期中）如图，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，，记四边形的面积为y，边长为x．
（1）求y关于x的表达式及自变量x的取值范围．
（2）求y的最小值．
答案解析部分
1．【答案】（1）50-2x，30-2x；
（2）解：（50-2x）（30-2x）＝300
整理，得：x2-40x+300＝0，
解得：x1＝10，x2＝30（不符合题意，舍去）
当x1＝10时，盒子容积＝（50-20）（30-20）×10＝3000（cm3）；
∴盒子容积为3000cm3；
（3）解：盒子的侧面积S＝2x（50-2x）+2x（30-2x）＝100x-4x2+60x-4x2＝-8x2+160x＝-8（x-10）2+800，
∵-8（x-10）2≤0，
∴-8（x-10）2+800≤800，
即当x＝10时，S有最大值，最大值为800cm2．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）AB＝（50-2x）cm，BC＝（30-2x）cm，
故答案为：50-2x，30-2x；
【分析】（1）根据长方形的长为50cm、宽为30cm，并且观察图可以发现，长和宽分别减去2个x，列式即可；
（2）利用（1）中长与宽以及盒子的底面积为300cm2，可以列式并整理得到一个一元二次访厂，求出x的两个值，分析后得出x=10，最后利用长方体的体积计算公式列式计算即可求出盒子的容积；
（3）列出盒子侧面积计算公式，整理得到一个抛物线方程，并利用配方法进行变形，即可求出最值．
2．【答案】（1）解：①与墙垂直的边的长度为xm，则与墙平行的边的长度为(60-2x)m，
∴S=x(60-2x)=-2x2+60x，
②根据题意得-2x2+60x=450，
解得x1=x2=15，
答：与墙垂直的边的长度为15米.
（2）解：设与墙平行的边的长度为tm，花圃的面积为Sm2，则与墙垂直的边的长度为，
根据题意得
∴
∵，
∴当t=33时，S有最大值363，
答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)①墙垂直的边的长度为xm，则与墙平行的边的长度为(60-2x)m，根据矩形的面积公式可得答案；
②根据题意可得一元二次方程，解方程即可；
(2)设与墙平行的边的长度为tm，花圃的面积为Sm2，根据题意得到函数解析式，根据二次函数的性质求最值即可.
3．【答案】解：（1）由已知可得：AD=，
∴S=1×m2.
（2）设AB=xm，则AD=3﹣xm， ∵3-x0 ∴，
设窗户面积为S，由已知得：S=AB·AD=x（3-x）=
当x=m时，且x=m在的范围内，S最大值=，
∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大.
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据矩形和正方形的周长求出AD，再根据矩形的面积公式求解即可.
（2）设AB为xcm，求出AD，再根据面积公式列出二次函数，求出最值即可．
4．【答案】（1）解：由题意得A，B，C的坐标分别是（-10，0），（10，0），（0，6），
设抛物线的解析式为，
将B，C的坐标代入， 得
解得
∴抛物线的表达式：．
当时，
∴支柱EF的长度是：10-4.5=5.5（米）；
（2）解：一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车，理由如下：
如图，
设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和，即NG=2×3=6，
∴G点坐标是（7，0），
过G点作GH垂直AB交抛物线于H，
∴．
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据题目可知A，B，C的坐标，结合图2设出抛物线的解析式代入可求出抛物线的解析式，再把代入抛物线的解析式求解 即可求出支柱MN的长度．
（2）根据题意作出对应的图形，设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和，即可推出点G的横坐标，做GH垂直AB交抛物线于H，即可得出点H的纵坐标，再与汽车的高作比较即可得出结论.
（1）解：根据题目条件A，B，C的坐标分别是（-10，0），（10，0），（0，6），
设抛物线的解析式为，
将B，C的坐标代入， 得
解得
所以抛物线的表达式．
当时，
从而支柱EF的长度是10-4.5=5.5米．
（2）如图，
设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和， 则G点坐标是（7，0）．
过G点作GH垂直AB交抛物线于H，
则．
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．
5．【答案】（1）解：根据条件，可设，，
∴设这条抛物线的函数解析式为，
∵抛物线过，
将O点代入函数解析式中，得，解得，
∴这条抛物线的函数解析式为；
（2）解：当时，，
∴能行驶宽2.4米、高米的消防车辆．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据条件建坐标系，结合顶点和与轴交点的坐标，即可设函数解析式为，然后（0，0）代入，求出a，最后代入并化简即可；
（2）根据对称性当车宽米时，计算时对应的纵坐标的值，最后与车高米进行比较得出结论．
（1）解：∵，，
∴设这条抛物线的函数解析式为，
∵抛物线过，
∴，解得，
∴这条抛物线的函数解析式为，即；
（2）解：当时，，
故能行驶宽2.4米、高米的消防车辆．
6．【答案】（1）5
（2）解：当时，解得：
∴，，
∴（米）．
∴ 该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是米.
（3）解：根据（2）得 该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是米，
∵ 该隧道为双向车道 ，
∴单向车道的宽度为米，
由于货车宽3米，故宽度能通过，
当时，（米）.
∵4.1>4，
∴高度能通过.
∴ 这辆卡车 能安全通过．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】（1）解：∵的顶点为C（0，5） ，
解得，
∴c＝5.
故答案为：5．
【分析】
（1）将点C（0，5）代入抛物线的解析式y＝﹣x2+c即可求解.
（2）由图可知，A、B两点之间的距离即为该隧道截面的最大跨度，故由方程0＝﹣x2+c的解即可求得.
（3）该隧道为双向车道，故将x＝3代入抛物线的解析式y＝﹣x2+c，求得y的值与4比较大小即可求解．
（1）解：∵顶点C（0，5）
∴c＝5，
故答案为：5．
（2）解：由题意可得：0＝﹣x2+5，
解得：x1＝5，x2＝﹣5，
故AB＝2×5＝10米．
（3）解：把x＝3代入得y＝﹣x2+5＝4.1＞4，
故能安全通过．
7．【答案】（1）解：由题意知，，，，
设抛物线解析式为，
把A、B、E代入解析式得
，
解得，
∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为；
（2）解：此船能通过，理由：
船正对着桥洞在河中航行，水面到棚顶的高度为米，遮阳棚的宽为4米，水位高1米
则长方体形状的遮阳棚最右上端的坐标为：，
当时，代入，
解，
∴此船能通过桥洞．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）由题意知，，，，设抛物线解析式为，根据待定系数法将点A，C，E坐标代入即可求出答案.
（2）由题意可得长方体形状的遮阳棚最右上端的坐标为：，将x=2代入解析式求出y值，再比较大小即可求出答案.
（1）解：
由题意知，，，，
设抛物线解析式为，
把A、B、E代入解析式得
，
解得，
∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为；
（2）解：此船能通过，理由：
船正对着桥洞在河中航行，水面到棚顶的高度为米，遮阳棚的宽为4米，水位高1米
则长方体形状的遮阳棚最右上端的坐标为：，
当时，代入，
解，
∴此船能通过桥洞．
8．【答案】（1）解：设甲种儿童套装每件的进价为x元，可知乙每件的进价为元，根据题意，得
，
解得，
所以甲种儿童套装每件的进价是30元；
（2）解：设函数关系式为，根据题意，得
，
解得，
所以一次函数的关系式为；
（3）解：设每天销售甲种套装的总利润为w，根据题意，得，
且，
解得．
∵，
∴抛物线的开口向下，有最大值，对称轴是，
当时，函数值w随着x的增大而增大，
即当时，元．
所以当甲种套装销售单价为45元时，每天销售甲种套装获取的利润最大，最大利润是3750元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；一元一次方程的实际应用-盈亏问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查了一次函数和二次函数在利润问题中的综合应用，需熟练掌握待定系数法求函数解析式，以及二次函数在实际问题中的最值求解，注意结合实际情况确定自变量的取值范围.（1）通过设甲的进价，根据购进两种套装的总价列方程，求解甲的进价；
（2）利用待定系数法，将点代入关系式，求解即可；
（3）先列出利润和销售单价的二次函数关系式，再结合销售量不低于250件的限制条件，根据二次函数的性质求出最大利润及对应的销售单价即可.
（1）解：设甲种儿童套装每件的进价为x元，可知乙每件的进价为元，根据题意，得
，
解得，
所以甲种儿童套装每件的进价是30元；
（2）解：设函数关系式为，根据题意，得
，
解得，
所以一次函数的关系式为；
（3）解：设每天销售甲种套装的总利润为w，根据题意，得
，
且，
解得．
∵，
∴抛物线的开口向下，有最大值，对称轴是，
当时，函数值w随着x的增大而增大，
即当时，元．
所以当甲种套装销售单价为45元时，每天销售甲种套装获取的利润最大，最大利润是3750元．
9．【答案】解：（1）设线下的销售量为x个，则网上的销售量为（50-x）个，
解得：x=30
∴线下的销售量为30个，则网上的销售量为20个；
（2）①
总纯利润=34×24+34×（20-7）=1258（元）
②设网上销售在原来的基础上降低x元的纯利润
∵
∴当时，网上销售量为20+2×5=30个
有最大值
设线下的销售量m个，则
∵k=24，随着m的增大而增大
∵线下增加的销售量不超过原来线下销售量的
∴m个
∴当m=40时，有最大值
∴当每天生产40+30=70个蛋糕时，当天总利润最大
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设线下的销售量为x个，则网上的销售量为（50-x）个，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）①根据总纯利润等于单个利润乘以销售量列式计算即可求出答案.
②设网上销售在原来的基础上降低x元的纯利润，根据题意建立函数关系式，结合二次函数性质可得有最大值，设线下的销售量m个，则，再进行计算即可求出答案.
10．【答案】（1）解：当元时，．
．
答：当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为600元
（2）解：
∵，
∴当时，．
答：销售该玩具每天的利润最大值为225元．
（3）解：设每天扣除捐款后的利润为，则 ，
当时，达到最大值．将代入得：
即，
即，
∴，
∴，，
∵，
∴．
答：的值为2．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）计算时y的值，然后利用“销售额＝销售量销售单价”即可解题；
（2）利用“利润=（销售单价成本）销售量”得到w与x的函数解析式，然后配方得到顶点式即可求出最值．
（3）设每天扣除捐款后的利润为， 利用“利润=（销售单价成本）销售量”得到z与x的函数解析式，然后利用抛物线的顶点的坐标，可以得到哦啊时，，再根据a的范围求出a的值解题．
（1）解：当元时，．
．
答：当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为600元．
（2）解：
∵，
∴当时，．
答：销售该玩具每天的利润最大值为225元．
（3）解：设每天扣除捐款后的利润为，则
，
当时，达到最大值．将代入得：
即，
即，
∴，
∴，，
∵，
∴．
答：的值为2．
11．【答案】（1）；；当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等
（2）甲公司最多比乙公司利润多18050元
（3）
【知识点】二次函数的最值；列二次函数关系式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
12．【答案】（1）每个A型玩具的进价是12元，每个B型玩具的进价是10元
（2）B型玩具的销售单价为13元
（3）4
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
13．【答案】（1）解：根据题意得：此抛物线的顶点，H，则可设抛物线得解析式为：，∴
∴，
∴此抛物线的函数解析式为，
当时，，
解得（舍去），
∴喷出水的最大射程为.
（2）
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】（2）解：根据（1）得：此抛物线的函数解析式为
∵ 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到 ，
∴ 下边缘抛物线的解析式为.
当时，解得，（舍）
∴ 下边缘抛物线落地点B的坐标为.
故答案为：.
（3）解：∵，
，
∵ 要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪 ，
∴，，
，，
.
∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为：.
故答案为：．
【分析】（1）根据题意得得：顶点，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而得抛物线的函数解析式为，再求出时，的取值即可得喷出水的最大射程的值.
（2）根据下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，再结合上边缘的解析式可得下边缘解析式为，再求出时，的取值即可得点B的坐标.
（3）根据得，再根据题意得，，进而得，，便可得 d的取值范围.
（1）解：由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，
∴
∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为，
当时，，
解得（舍去），
∴喷出水的最大射程为；
（2）解：∵对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴点B的坐标为，
故答案为：；
（3）解：∵，
，
，，
，，
，
∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为，
故答案为：．
14．【答案】（1）如图2，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又抛物线过点，
代入得，
，
上边缘抛物线的函数解析式为；
（2）上边缘抛物线的对称轴为直线，
点的对称点为，
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
当时，，
解得， （舍去），
点的坐标为，
点的坐标为，
（3）不能
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：（3）米，米，米，
点的坐标为，
当时，，
当时，随的增大而减小，
灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
故答案为：不能．
【分析】（1）利用待定系数法，根据顶点坐标先假设出方程：，接着代入点求出a的值即可得到结果；
（2）先利用关于对称轴得到对称点为得到点的平移关系，接着利用求出点的坐标为进而得到结果；
（3）利用表达式先求出的坐标为的坐标，接着利用函数的增减性进行判断即可得到结果.
（1）如图2，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又抛物线过点，
代入得，
，
上边缘抛物线的函数解析式为；
（2）上边缘抛物线的对称轴为直线，
点的对称点为，
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
当时，，
解得， （舍去），
点的坐标为，
点的坐标为，
（3）米，米，米，
点的坐标为，
当时，，
当时，随的增大而减小，
灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
故答案为：不能．
15．【答案】（1）解：由题意得A(2，1.6)是上边缘抛物线的顶点，
设y=a(x-2)2+1.6，
又∵抛物线过点(0，1.2)，
∴代入得1.2=4a+1.64
∴上边缘抛物线的函数解析式为
（2）解：∵上边缘抛物线的对称轴为直线x=2，
∴点(0，1.2)的对称点为(4，1.2)，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∵当y=0时，
解得x1=6，x2=-2(舍去)，
∴点C的坐标为(6，0)
∴点B的坐标为(2，0)
（3）解：∵OD=d=3.2米，DE=2米，EF=0.8米，
∴点F的坐标为(5.2，0.8)，
当x=5.2时，，
∴灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】(1)由顶点A(2，1.6)得，设y=a(x-2)2+1.6，再根据抛物线过点(0，1.2)，可得a的值，从而解决问题；
(2)由对称轴知点(0，1.2)的对称点为(4，1.2)，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；
(3)根据OD=d=3.2米，DE=2米，EF=0.8米，可求得点F的坐标为(5.2，0.8)，当x=5.2时，，从而得出答案.
16．【答案】（1）解：以 所在直线为 轴， 以 所在直线为 轴， 建立平面直角坐标系，则 ，
①由对称性可知， 抛物线的对称轴为直线 ，
水线最高点与点 之间的水平距离为 4 m .
②设平移后抛物线的解析式为 ，
将 代入解析式 ，
可解得 ，
水线的最高点高度为 2 m .
③由抛物线对称性可知， 当 时， ，
她与 的水平距离应大于 0 且小于 4 m .
（2）解：设平移后抛物线的解析式为 ，
将 代入解析式 ，
可解得 .
水线的最大高度为 .
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）①依据题意，以OP所在直线为y轴，OB所在直线为x轴，O为原点，建立平面直角坐标系，再OA＝4m，可得抛物线的对称轴是直线x＝2，又OB＝6m，即可得到答案；
②设平移后抛物线的解析式为 ，将 代入解析式 ，利用待定系数法即可求解；
③依据题意，结合②令y＝1.5，可解得x=4，从而可以判断得解；
（2）依据题意，设平移后抛物线的解析式为 ，将 代入解析式可得，即可得到答案．
17．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：过点D作DP⊥HG于点P，如图所示，
四边形是菱形，∠A=60°，设AB=a，
，AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=60°，
∴∠D=120°，
∵DG=DH，
∴∠DHG=∠DGH=30°，
，
，
∴△AEH是等边三角形，
∴AE=HE，∠AHE=60°，
所以∠EHG=180°-30°-60°=90°，
同理可得：∠FEH=∠FGH=∠EFG=90°，
所以四边形EFGH是矩形，
∵DP⊥HG，
∴∠HPD=90°，
∵AE=x，AB=AD=a，
∴AH=x，则DH=a-x，
∵∠DHG=∠DGH=30°，
∴DP=
∴HP=GP=（a-x），
∴HG=2HP=（a-x），
∴矩形EFGH的面积S=HE·HG=x·（a-x）=-（x2-ax）=-（x-）2+a2，
由图2可知，抛物线的最大值是，
∴a2=，
解得：a=或a=（不符合题意，故舍去）
∴AB=，
故答案为： .
【分析】先根据四边形是菱形，且和线段相等可以判断四边形EFGH是矩形，设菱形的边长为，然后勾股定理用代数式表示出矩形的长和宽，再利用矩形的面积公式可得，最后根据函数图象可知矩形的最大面积为，可得方程a2=，解方程即可求出菱形的边长的长度.
18．【答案】（1）解：设的长度为，四边形的面积为．
∴
∵正方形的边长为4，，，
∴，，
∴
∴

（2）解：∵，
∴当时，即时，有最小值，最小值为
答：时，四边形的面积有最小值．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设的长度为，四边形的面积为，根据ｙ等于正方形的面积减去4个三角形的面积列出函数关系式即可；
（2）结合（1）根据二次函数的性质求得最值，即可求解．
（1）解：设的长度为，四边形的面积为．
∴
∵正方形的边长为4，，，
∴，，
∴
∴
（2）解：∵，
∴当时，即时，有最小值，最小值为
答：时，四边形的面积有最小值．
19．【答案】【解答】
（1）连接BD交EF于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵AE=AH，
∴EH∥BD∥FG，BD⊥EF，
∵在菱形ABCD中，∠A=60°，AE=AH，
∴△AEH是等边三角形，
∴∠AEH=∠ABD=60°，∠BEM=30°，BE=2BM，
∴EM=BE，
∴EF=BE，
∵AB=1，AE=x，
∴矩形EFGH的面积为S=EH×EF=x×（1-x）=-x2+x（0＜x＜1）；
（2）当矩形EFGH是正方形时，EH=EF，
即x=（1-x），
解得：x=，
所以S=x2=（）2=
【知识点】菱形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查了菱形、矩形、等边三角形、正方形的性质，勾股定理以及二次函数解析式，正确运用知识点推理和计算是解决本题的关键.（1）连接BD交EF于点M，根据菱形的性质四条边相等，且对角线互相垂直平分推出△AEH是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AEH=∠ABD=60°，∠BEM=30°，BE=2BM，利用勾股定理求出EM=BE，根据矩形面积公式代入即可求出函数解析式；
（2）根据正方形的性质得到EH=EF，得到x=（1-x），再求出x，再利用正方形面积公式求出面积即可．
20．【答案】（1）解：∵四边形是矩形，∴
∵边长为x，
∴，，
∴
∴
∵，
∴，
∴
（2）解：∵∴抛物线对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上，
在范围内．当时，函数有最小值，为
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可表示出BE、AH、AE、DH的长，再利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，可得到y与x的函数关系.
（2）将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴，再利用二次函数的增减性，可求出在范围内y的最小值.．
（1）解：∵四边形是矩形，
∴
∵边长为x，
∴，，
∴
∴
∵，
∴，
∴
（2）解：∵
∴抛物线对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上，
在范围内．当时，函数有最小值，为
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