华师大八上13.2.1 勾股定理在现实生活中的应用 学案
文档属性
| 名称 | 华师大八上13.2.1 勾股定理在现实生活中的应用 学案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 750.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-06 17:29:47 | ||
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文档简介
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分课时学案
课题 13.2.1 勾股定理在现实生活中的应用 单元 13 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.通过对“蚂蚁爬行”“路线最短”等实际情境的分析，抽象出“立体图形表面最短路径→平面图形两点间线段→直角三角形斜边”的核心模型，明确最短路径的本质是平面上两点之间的线段长度。 2.经历“立体图形展开→确定平面上两点位置→构造直角三角形→用勾股定理计算”的推理过程，能严谨推导不同展开方式下的路径长度，比较得出最短路径，培养演绎推理能力。 3.能将立体图形（长方体、圆柱）表面的最短路径实际问题，转化为平面图形中直角三角形的边长计算问题，建立“实际问题—展开图—直角三角形—勾股定理”的建模流程，能运用模型解决同类问题。
重点 掌握立体图形（长方体、圆柱）表面最短路径问题的核心解决方法：将立体图形表面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径，再构造直角三角形用勾股定理计算。
难点 立体图形转化为平面图形的关键：明确立体图形表面上两点的位置，选择正确的展开方式（如长方体不同面的组合展开），确保最短路径能在展开图中呈现为两点间的线段。
教学过程
导入新课 【想一想】直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？ 若c为直角△ABC的斜边，a，b为直角边，则a，b，c的关系为_________________ 勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用.
新知讲解 【例1】如图，一个圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径. 一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C.求这只蚂蚁爬行的最短路程.(精确到0.01cm) 【分析】蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开，就可以得到长方形 ABCD. 观察图片，思考以下问题： (1)长方形ABCD的边AD的长与圆柱底面圆的周长有什么关系？ (2)长方形ABCD的边CD的长与圆柱的高相等吗？ (3)圆柱表面上的蚂蚁爬行的最短路径相当于直角三角形ABC的哪条边长？ 总结归纳 求圆柱侧面上两点间的最短路线长的方法： 解决这类题的关键是转化，即把圆柱展开，将曲线化成直线，构造直角三角形，再利用勾股定理求出结果. 【做一做】如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，则这条丝线的最小长度是( ). A.80cm B.70cm C.60cm D.50cm 【例2】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5m，宽1.6m，要开进厂门形状如图所示的某工厂. 问：这辆卡车能否通过该工厂的厂门？(厂门上部分为半圆形拱门) 【做一做】 如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形.在以BC为边所作的正方形中，点O是正方形对角线的交点，过点O作AB的平行线，交正方形于M、N两点，过点O作MN的垂线，交正方形于E、F两点，这样把正方形划分成四个形状和大小都一样的四边形.试将图中5个着色的图形拼入到上方空白的大正方形中，填满整个大正方形.
巩固训练 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，在△ABC中，点P在直线AC上移动. 若AB =AC =5，BC=6，则BP的最小值为( ). A.4 B.5 C.4.8 D.6 2.如图，一圆柱形容器(厚度忽略不计)，已知底面半径为6cm，高为16cm，现将一根长度为28cm的玻璃棒一端插入容器中，则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是 cm. 3.如图，一只蚂蚁从长、宽都是3分米，高是8分米的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它爬行的最短路线的长是__________. 4.小明到图书馆借书时，了解到图书馆要购买一批宽为2.4m的书架，欲通过如图所示形状的门(下方为长方形，上方为半圆形)，则书架的外形不得高于( ). A.4.1m B.4.0m C.3.9m D.3.8m 【知识技能类作业】选做题： 5.为筹备迎春晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠上红色油纸，如图①所示. 已知圆筒高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面缠上4圈油纸，最少应裁剪多长的油纸？(油纸宽度忽略不计) 6.如图，教学楼自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离AB=2m，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，身高1.5m的小明(CD)走到离门间距CB=1.2m的地方时，感应门恰好自动打开，则该感应器感应长度AD为_______m. 【综合拓展类作业】 7. 我国明朝数学著作《直指算法统宗》中有一道关于勾股定理的问题:如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE=0.5m，将它往前推3m至C处时(即水平距离CD=3m)，踏板离地的垂直高度CF=2.5m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长度.
作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，若圆柱的底面周长是5cm，高是12cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的长度最小是( ）. A.17 cm B.7 cm C.14.5cm D.13 cm 2.如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm.A和B是台阶两个相对的端点，在B点有一只蚂蚁，想到A点去觅食，那么它爬行的最短路程是( ）. A.60 cm B.80 cm C.100 cm D.140 cm 【知识技能类作业】选做题： 3.如图，小明为了测得学校旗杆AB的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面C点，此时，C点到杆底B点12m，他又将旗绳拉直到杆底部B点，此时，绳子多出一截BP，量得多出部分长度为4m，请你帮他计算出旗杆的高度. 4.如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，则这棵大树在折断前的高度为( ). A.13 m B.17 m C.18m D.20 m 【综合拓展类作业】 5.如图，有一个摆钟，摆锤看作一个点，当它摆动到离底座最近时，摆锤离底座的垂直距离DE=4cm，当它来回摆动到离底座的距离最高与最低时的水平距离为8 cm时，摆锤离底座的垂直距离 BF=6cm，求钟摆AD的长度.
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课题 13.2.1 勾股定理在现实生活中的应用 单元 13 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.通过对“蚂蚁爬行”“路线最短”等实际情境的分析，抽象出“立体图形表面最短路径→平面图形两点间线段→直角三角形斜边”的核心模型，明确最短路径的本质是平面上两点之间的线段长度。 2.经历“立体图形展开→确定平面上两点位置→构造直角三角形→用勾股定理计算”的推理过程，能严谨推导不同展开方式下的路径长度，比较得出最短路径，培养演绎推理能力。 3.能将立体图形（长方体、圆柱）表面的最短路径实际问题，转化为平面图形中直角三角形的边长计算问题，建立“实际问题—展开图—直角三角形—勾股定理”的建模流程，能运用模型解决同类问题。
重点 掌握立体图形（长方体、圆柱）表面最短路径问题的核心解决方法：将立体图形表面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径，再构造直角三角形用勾股定理计算。
难点 立体图形转化为平面图形的关键：明确立体图形表面上两点的位置，选择正确的展开方式（如长方体不同面的组合展开），确保最短路径能在展开图中呈现为两点间的线段。
教学过程
导入新课 【想一想】直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？ 若c为直角△ABC的斜边，a，b为直角边，则a，b，c的关系为_________________ 勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用.
新知讲解 【例1】如图，一个圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径. 一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C.求这只蚂蚁爬行的最短路程.(精确到0.01cm) 【分析】蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开，就可以得到长方形 ABCD. 观察图片，思考以下问题： (1)长方形ABCD的边AD的长与圆柱底面圆的周长有什么关系？ (2)长方形ABCD的边CD的长与圆柱的高相等吗？ (3)圆柱表面上的蚂蚁爬行的最短路径相当于直角三角形ABC的哪条边长？ 总结归纳 求圆柱侧面上两点间的最短路线长的方法： 解决这类题的关键是转化，即把圆柱展开，将曲线化成直线，构造直角三角形，再利用勾股定理求出结果. 【做一做】如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，则这条丝线的最小长度是( ). A.80cm B.70cm C.60cm D.50cm 【例2】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5m，宽1.6m，要开进厂门形状如图所示的某工厂. 问：这辆卡车能否通过该工厂的厂门？(厂门上部分为半圆形拱门) 【做一做】 如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形.在以BC为边所作的正方形中，点O是正方形对角线的交点，过点O作AB的平行线，交正方形于M、N两点，过点O作MN的垂线，交正方形于E、F两点，这样把正方形划分成四个形状和大小都一样的四边形.试将图中5个着色的图形拼入到上方空白的大正方形中，填满整个大正方形.
巩固训练 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，在△ABC中，点P在直线AC上移动. 若AB =AC =5，BC=6，则BP的最小值为( ). A.4 B.5 C.4.8 D.6 2.如图，一圆柱形容器(厚度忽略不计)，已知底面半径为6cm，高为16cm，现将一根长度为28cm的玻璃棒一端插入容器中，则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是 cm. 3.如图，一只蚂蚁从长、宽都是3分米，高是8分米的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它爬行的最短路线的长是__________. 4.小明到图书馆借书时，了解到图书馆要购买一批宽为2.4m的书架，欲通过如图所示形状的门(下方为长方形，上方为半圆形)，则书架的外形不得高于( ). A.4.1m B.4.0m C.3.9m D.3.8m 【知识技能类作业】选做题： 5.为筹备迎春晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠上红色油纸，如图①所示. 已知圆筒高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面缠上4圈油纸，最少应裁剪多长的油纸？(油纸宽度忽略不计) 6.如图，教学楼自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离AB=2m，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，身高1.5m的小明(CD)走到离门间距CB=1.2m的地方时，感应门恰好自动打开，则该感应器感应长度AD为_______m. 【综合拓展类作业】 7. 我国明朝数学著作《直指算法统宗》中有一道关于勾股定理的问题:如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE=0.5m，将它往前推3m至C处时(即水平距离CD=3m)，踏板离地的垂直高度CF=2.5m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长度.
作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，若圆柱的底面周长是5cm，高是12cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的长度最小是( ）. A.17 cm B.7 cm C.14.5cm D.13 cm 2.如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm.A和B是台阶两个相对的端点，在B点有一只蚂蚁，想到A点去觅食，那么它爬行的最短路程是( ）. A.60 cm B.80 cm C.100 cm D.140 cm 【知识技能类作业】选做题： 3.如图，小明为了测得学校旗杆AB的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面C点，此时，C点到杆底B点12m，他又将旗绳拉直到杆底部B点，此时，绳子多出一截BP，量得多出部分长度为4m，请你帮他计算出旗杆的高度. 4.如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，则这棵大树在折断前的高度为( ). A.13 m B.17 m C.18m D.20 m 【综合拓展类作业】 5.如图，有一个摆钟，摆锤看作一个点，当它摆动到离底座最近时，摆锤离底座的垂直距离DE=4cm，当它来回摆动到离底座的距离最高与最低时的水平距离为8 cm时，摆锤离底座的垂直距离 BF=6cm，求钟摆AD的长度.
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