21.3 实际问题与一元二次方程 教学设计（表格式） 初中数学人教版九年级上册

教学设计
课 题 《21.3 实际问题与一元二次方程》传播问题
教学目标 1.通过解决“传播问题 ”，体验建立方程模型解决问题的一般过程.2.通过分析、总结，找到传播问题的共同数量关系.3.通过列方程解决实际问题，让学生体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，学会将实际应用问题转化为数学问题.
教学重点 列一元二次方程解有关传播问题.
教学难点 发现传播问题中的等量关系，建立一元二次方程的数学模型.
教学方法 发现法、启发法
课型课时 新授课 1 课时
教学过程设计
教学内容 师生活动
一、复习引入列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？ 学生回顾基本步骤：审、设、列、解、验、答.应注意：寻找相等关系，检验方程的解是否符合实际问题.
设计意图：回顾运用方程解应用题的方法、步骤，为本节课铺垫。这样设计既回顾旧知，又为后面运用知识作好了准备.
二、探究新知【问题 1】若一人患流感，每轮能传染 5 人。现有一人患了流感，经过第一轮传染后共有_____人患了流感，第二轮传染后共有______人患了流感.思考：第二轮传染时，第一个人还会传染吗？【问题 2】若一人患流感，每轮传染中平均一个人传染 x 个人，现有一人患了流感，那么 学生思考此问题，并填空；借此通过情景问题的形式，激发学生思考热情.把问题升级，学生在独立思考的基础上，小组合作讨论，解决问题，教师加入到学生讨论中，重
设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为0m ，即 10x-4.9x2 =0 . ①【追问 1】观察方程①结构，能否找到更简单的方法求解方程① 可以将方程 10x-4.9x2=0，通过因式分解变形为：x(10-4.9x)=0.于是 x=0 或 10-4.9x=0，所以 x1 ＝0 ，x这两个根中，x2 ≈ 2.04 表示物体约在 2.04s 时落回地面，而 x1 ＝0 表示物体被上抛离开地面的时刻，即在 0s 时物体被抛出，此刻物体的高度是0m.【追问2】解方程①时，二次方程是如何降为一次的？【方法介绍】因式分解，使一元二次方程转化为两个一次式乘积等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0 ，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 学生积极回答，允许学生有不同的观点.教师负责引导.学生积极思考，教师引导与总结：先因式分解，使一元二次方程转化为两个一次式乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
设计意图：将学生放置在实际问题的背景下，激发学生的主动性和求知欲。本题数量关系较简单，学生很容易列出相应的方程。通过配方法和公式法可以求得方程答案，但通过观察方程结构，原方程可以转化为 A B=0 的形式，从而引出了通过因式分解求解一元二次方程的方法。再通过提问环节，引导学生初步思考、回顾已有的知识，主动参与到本节课的学习中来。
三、例题演示例 1 解下列方程：（1）x(x -2)+x -2=0；解：（1） 因式分解，得 (x -2)(x+1)=0于是，得 x-2=0 ，或 x+1=0∴x1=2 ，x2= -1 请学生板演，然后师生共同纠错，使学生明确自己的错误与薄弱环节，在后续的解题过程中做到有的放矢，对症下药．
（2） 移项、合并同类项，得 4x2 -1=0因式分解，得 (2x+1)(2x-1)=0于是得 2x+1=0 或 2x -1=0∴x1=0.5 ，x2= -0.5．
设计意图：加深学生对因式分解法求解一元二次方程的理解与掌握．
四、知识归纳通过因式分解法解一元二次方程的步骤：1.移项：使一元二次方程等式右边为0； 学生通过独立思考，小组合作交流，师生共同归纳.
2.分解：把左边运用因式分解法化为两个一次因式相乘的形式；
3.赋值：令每个因式等于 0 ，得到两个一元一次方程；
4.求解：解这两个一元一次方程，最后得到方程的解．归纳：左分解，右化零，两因式，各求解． 【思考】解方程：x2-3x+1=0.【追问】可以用因式分解法解上面方程吗？
设计意图：教师引导学生归纳因式分解法解一元二次方程的步骤，通过配套练习，加深学生对本节课所学知识的理解与掌握，同时需重点强调：利用因式分解法求解一元二次方程的局限性.
五、典例分析例 2 填空①x2-3x+1=0；②3x2-1=0 ；③-3t2+t=0 ；④ x2-4x=2；⑤2x2-x=0；⑥5(m+2)2=8 ；⑦ 3y2-y-1=0； ⑧2x2+4x-1=0；⑨ (x-2)2=2(x-2).（1）适合运用直接开平方法 ；（2）适合运用因式分解法 ； 学生思考，积极回答问题，教师借助多媒体展示答案．
（3）适合运用公式法 ；（4）适合运用配方法 ．提示：每个题都有多种解法，选择更合适的方法，可以简化解题过程！针对练习：对以上前 4 个方程，选用你认为最快最适当的方法进行求解.
设计意图：通过配套练习，使学生能根据一元二次方程的特征，灵活选择一元二次方程的解法.
六、总结提炼一元二次方程的四种基本解法比较方法适合方程类型注意事项直接开平方法(x＋n)2＝pp>0 时，x1= ，x2= ；p=0 时，x1=x2= ； p<0 时，无实数根．配方法x2+px+q=0二次项系数若不为 1 ，必须先把系数化为 1 ，再进行配方．公式法x2+bx+c=0（a≠0）b2-4ac 0 时，方程有解；求根公式为 ．因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次式的积．方程的一边必须是 ，另一边可用任何方法分解因式． 学生交流、比较各种方法适用类型．
设计意图：通过归纳总结，使学生能根据一元二次方程的特征，灵活选择一元二次方程的解法.再一次感受：解一元二次方程不论哪种解法，它的基本思路都是：将二次方程化为一次方程，即降次。
七、课堂小结1. 本节课学习，你有哪些收获？请你用自己的语言描述分解因式法解一元二次方程的基本步骤吗？
2. 解一元二次方程的基本思路是什么？
3. 通过本节课的学习，你领悟到哪些数学思想方法？
4. 本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说．
设计意图：有效地帮助学生建构知识体系，提高总结和反思能力，有助于学生后续学习的开展，促进学生不断主动发展.
八、布置作业必做题：教材第 16 页，习题 21.2：第 6 题、第 10 题、第 11 题；选做题：1.请你自己写出一道含有未知数 y 的一元二次方程，要求：（1）能够用因式分解法解；（2）使方程的一个根是2 ，并解这个方程。2.解方程：x4+ 13x2+36=0.
设计意图：分层作业的设置，体现了作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要.
九、板书设计21.2.3 解一元二次方程——因式分解法1.因式分解方法：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法2.因式分解法的形式：a ·b=0 a=0 或 b=0.解一元二次方程的基本思想：降次
十、教学反思本节课的教学实施中自始至终引导学生探索、归纳，真正体现了以学生为主体的教学概念．本节课注重教学过程，有利于培养学生的分析归纳能力．对用因式分解法解一元二次方程探究过程中，运用了分类的数学思想和方法，体现了数学建模的过程和数学与生活的密切关系，兼顾思想、方法和趣味。
10 个同样的正方体盒子的全部外表面，你能通过列方程算出正方体盒子的棱长吗？等量关系：10 个正方体盒子的表面积＝1 500dm2.若设其中一个正方体盒子的棱长为 x dm ，则这个正方体盒子的表面积为 6x2dm2，可列方程 10×6x2 ＝1500，化简，得 x2 ＝25，开平方，得 x = ±5 ，原方程有两个解，但棱长为正数，所以 x ＝5 ．故正方体盒子的棱长为 5dm.【方法介绍】这种利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 教师给出结论：这种利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
设计意图：由实际问题入手，设计情景问题，有助于激发学生的兴趣，让学生易于接受和理解.
【问题 2】（1）请你用直接开平方法解下列方程：①x2 ＝12；②x2 － ＝0；③2x2－8 ＝0；④9x2－5 ＝3.（2）一元二次方程 2x2＋1 ＝0 与 1－2x2 ＝0 的解相同吗？为什么？（3）由(1)(2)，你能总结出 ax2＋c ＝0 型一元二次方程的求解方法吗？【归纳】一般地，对于一元二次方程 ax2＋c ＝0，先将它变形为 x2＝p 的形式，再利用直接开平方法求解: 当p＞0 时，方程有两个不等的实数根x1 = - , x2 = ;当p ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2 ＝0；当p＜0 时，方程无实数根． 学生自主探究，然后讨论、交流，汇总思想，解答问题，最后师生共同归纳.
设计意图：问题 2 能使学生进一步体验直接开平方法适用的一元二次方程的形式，培养学生思维的灵活性以及善于思考、勇于质疑的精神．
【问题 3】（1）类比方程 x2 ＝25 的求解方法，你能解方程(x +3)2 ＝5 吗？方程(x＋1)2 ＝2 呢？试一试．（2）对于(x＋n)2＝p 型的方程，你能说说它的基本解法吗？ 学生通过独立思考，小组合作交流，师生共同归纳：运用直接开平方法可以解形如x2＝p 或(x+ n)2＝p 的一元二次方程，其实质是利用开平方运算把一元二次方程“ 降次 ”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“ 降次转化思想 ”.
设计意图：问题3 通过对一些复杂问题的探究，帮助学生体会换元思想及类比的学习方法，同时更加深入而准确地理解直接开平方法适用的一元二次方程.
三、例题演示例 1 解方程：（1）(x－2)2－13 ＝108. （2）x2＋10x＋25 ＝2.解：(x－2)2 ＝121 ， 解：(x＋5)2 ＝2，x－2 = ± 11， x＋5 = ± \，即 x1 ＝13 ，x2 ＝－9. 即 x1 ＝v2－5 ，x2 ＝－v2－5.例 2 若 x ＝1 是方程 x2－a ＝0 的一个根，则 a 的值为1 ，方程的另一个根为－1．例 3 若一元二次方程 ax2 ＝b(ab＞0)的两个根分别是m＋1 与 2m－4 ，则【变式训练】已知方程 a(x＋m)2＋b ＝0 的解是 x1 ＝－2 ，x2 ＝1 ，则方程 a(x＋m＋2)2＋b ＝0 的解是x3 ＝－4 ，x4 ＝－1． 多媒体展示，学生自主进行解答，然后交流解法及依据．
设计意图：1.通过例题讲解，可巩固对新知的理解，培养学生严谨的数学思维以及灵活应用所学知识解决数学问题的能力．
2．通过变式训练，加深学生对新知的理解，拓展学生的思维.
四、当堂检测1.下列方程中，适合用直接开方法解的个数有 ( )①x2 ＝1 ；②(x－2)2 ＝5 ；③(x＋3)2 ＝3 ；④x2＝x＋3； ⑤3x2－3＝x2＋1；⑥y2－2y－3 ＝0.A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
2 ．若方程(x－2)2 ＝k 可以用直接开平方法解，则 k 的取值范围是 ( )A ．k≤0 B ．k≥0 C ．k＜0 D ．k≠0
3 ．解方程：(1)(x＋6)2－9 ＝0.(2)3(x－1)2－6 ＝0.
4．用直接开平方法解一元二次方程：4(2x－1)2－25(x＋1)2 ＝0.解：移项，得 4(2x－1)2 ＝25(x＋1)2 ，①直接开平方，得 2(2x－1) ＝5(x＋1) ，② ∴x ＝－7.③上述解题过程，有无错误？如有，错在第 步，原因是 ，请写出正确的解答过程．
设计意图：利用课堂检测进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清 ”.
五、课堂小结(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？(2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说．
设计意图：有效地帮助学生建构知识体系，提高总结和反思能力，有助于学生后
续学习的开展，促进学生不断主动发展.
六、布置作业必做题：教材第 6 页练习；选做题：解方程：2(2x－1)2 ＝(3－x)2
设计意图：分层作业的设置，体现了作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要.
九、板书设计21.2.1 解一元二次方程——配方法第 1 课时 直接开平方法一般地，对于方程 x2= p，当p＞0 时，方程有两个不等的实数根x1 ＝－vp ，x2 ＝vp；当p ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2 ＝0；当p＜0 时，方程无实数根．
十、教学反思一元二次方程的求解是初中数学学习中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视。“直接开平方法解一元二次方程 ”是配方法解一元二次方程的基础。因此，这节课不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课。本节课从实际问题切入向学生提出挑战，激发学生的学习热情和问题探索的强烈欲望，然后通过一系列的问题让学生在合作与探究中逐步理解并掌握直接开平方法解一元二次方程，同时在问题的解决过程中让学生体会类比的学习方法、换元、转化的数学思想，从而培养学生良好的数学学习方法和数学思维方式。其中教学问题的设计围绕目标环环相扣，同时注重层次性和启发性；在反馈与检测中，注重突出重点，分层评价，既逐一落实了教学目标，又让每一名学生都在学习中体验到学习的快乐与成功。
引导：等量关系：底面的长×宽＝底面积，若设切去的正方形的边长是 x cm ，则有方程(100－2x)(50－2x) ＝3600．整理，得 4x2－300x＋1400 ＝0．化简，得 x2—75x+350=0.【问题 2】 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？设邀请 x 个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共x(x－1)场，于是得到方程 x(x－1) ＝28 ，整理，得 x2 －x－28 ＝0 ，化简，得 x2—x=56. 教师可举例，由特殊到一般，帮助学生理解题意．
设计意图：由实际问题入手，设计情景问题，有助于激发学生的兴趣，让学生易于接受和理解.
【思考】x2-75x+350=0 和 x2-x=56 这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？区别：未知数最高次数为2特点：（1）这两个方程的两边都是整式；（2）都只含一个未知数x；（3）它们的未知数的最高次数都是 2 次的 学生观察、思考、讨论、交流、汇报．教师重点引导学生观察得到所列方程的特点：①整式方程；②一元； ③二次．
【归纳定义】像上述两个方程式这样，等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程，叫做一元二次方程.课件展示：下列各方程是不是一元二次方程？①x2－2x－5；②2x2－1 ＝0；③5x2－4x－ ＝0；④- =0；⑤3y2 ＝(3y＋1)(y－2)；⑥ax2＋bx＋c ＝0；⑦x2－2x－5 ＝2(x＋3)(x－2)；⑧2x2 ＝0.【相关概念】一般地,任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都可以化为 ax2+bx+c=0 的形式，我们把 ax2+bx+c=0 (a,b,c 为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式. 其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数； bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项.【思考】为什么要限制 a≠0 ，b ，c 可以为零吗？当 a=0 时，ax2+bx+c=0 则 bx+c=0（一元一次方程）.当 a≠0 ，b=0 时，ax2+bx+c=0 则 ax2+c=0（一元二次方程）.当 a≠0 ，c=0 时，ax2+bx+c=0 则 ax2+bx=0（一元二次方程）.当 a≠0 ，b=0,c=0 时，ax2+bx+c=0 则 ax2=0（一元二次方程）.【结论】只要满足 a≠0 ，a,b,c 可以为任意实数.课件展示：(试一试)指出下列各方程的二次项、一次项和常数项．①3x2＋2x－1 ＝0；②2x2-3 ＝0；③ =0.【问题】类比一元一次方程的解的定义，你能给一元二次方程的根下定义吗？ 教师板书由学生以抢答的形式来完成此题，并让学生找出错误理由. 教师对学生作出的答案进行点评和归纳.教师提出问题，学生回答.学生讨论，得出结论.
一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．课件展示：(试一试)下列哪些数是方程 x2－x＋12 ＝0 的根？-4 ，－3 ，－2 ，－1 ，0 ，1 ，2 ，3 ，4. 师生共同小结(板书)：
设计意图：1.注重学生的自主学习与探究，通过自主获得新知，体验成功的快乐．2．让学生充分感受所列方程的特点，通过类比的方法得到一元二次方程的概念，从而达到真正理解定义的目的．3．抛出问题由学生来回答并完成练习，让学生纠错，这样既调动学生学习的积极性，也巩固学生对一元二次方程相关概念的理解.
三、典例精讲例 1 将方程 3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得3x2-3x=5x+10移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0其中二次项系数为3 ，一次项系数为-8 ，常数项为-10.四、巩固练习1.将下列方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项：（1）5x2-1=4x； (2)4 x2=81；（3）4x(x+2)=25 ； (4)(3x-2)(x+1)=8x-3； 师生共同完成，教师板演，师生共同评析.1.通过去括号、移项、合并同类项等步骤把原方程化为一元二次方程的一般形式；2.系数和常数包括前面的符号；3.若方程没有出现一次项和常数项，则一次项系数和常数项都为0；4.关于 x 的方程即x为未知数，其他字母为字母系数.
2.若方程(m2－1)x2 ＋mx－5 ＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值不能是( )A ．0 B ．1 C ．± 1 D ．－1
3．若 x ＝1 是关于 x 的一元二次方程 x2＋5a＋b =
0 的解，则 10a＋2b = .
设计意图：利用典型的练习题进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清 ”.
五、课堂小结(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？(2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说．六、布置作业必做题：教材第 4 页习题 21.1 第 1 ，2 ，6 题；选做题：教材第 4 页习题 21.1 第 4 ，5 ，7 题.
设计意图：学生归纳本节课学习的主要内容，让学生自觉对所学知识进行梳理，形成体系，养成良好的学习习惯.
七、板书设计21.1 一元二次方程一．定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次项是2 的整式方程，叫做一元二次方程。二．一般形式：ax2+ bx + c =0（a≠0）↓ 二次项 一次项 常数项三.方程的根
八、教学反思本节运用类比的教学方法,在新概念提出、新知识点的讲授过程中,可以使学生易于理解和掌握.如学生在接受一元二次方程时由一元一次方程进行类比,一般形式也从一元一次方程的标准形式中得出,一元二次方程获得解的方法同一元一次方程,对比异同,容易记忆.这些都是利用了类比的教学方法,从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然,容易理解。
一次项系数
二次项系数
16