2.3.1 函数的单调性 教学设计

《函数的单调性》教学设计
一、教学内容解析
本节课是北师大版《数学》（必修 1）第二章第 3 节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言（不等式）刻画函数的变化趋势（上升或下降）及简单应用。
它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础。如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用。 因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地。
在研究单调性过程中，经历观察图象，描述函数图象特征；结合图、表，用自然语言描述函数图象特征；用数学符号语言定义函数性质的过程．体现了对函数研究的一般方法．加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．为进一步学习函数其他性质提供了方法依据。
在对函数单调性的探究过程中，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力；让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。
二、教学目标设置
【教学目标】
1使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。
2通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。
3通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。
【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明。
函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质，并在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用。
【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性。
由于判断或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识（如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等）所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点。
三、学生学情分析
学生已有的认知基础是，初中学习过函数的概念，初步认识到函数是描述事物运动变化规律的数学模型，并且学习了一次函数、二次函数及反比例函数，能熟练的利用描点法画出这些函数的图象.进入高中以后又进一步学习了函数概念，认识到函数是两个非空数集间的一种对应．知道函数有三种表示方法，充分认识到一个函数中自变量与函数值的对应关系，可以利用图象表示函数中函数值随自变量x 的变化而变化的规律和性质。
“图象是上升的，函数是单调递增的；图象是下降的，函数是单调递减的”仅就图象角度直观描述函数单调性的特征，学生并不感到困难. 困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性特征抽象出来，用数学的符号语言描述. 即把某区间上“ f (x ) 随着 x 的增大而增大” 这一特征用该区间上“ 任意的 x1 < x2 ，都有f(x1 ) < f(x2 ) ”进行刻画.其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的x1，x2 。
教学中，通过一次函数、二次函数等具体的函数图象及数值变化特征的研究，得到“图象是上升的”，即“ f (x )随着x 的增大而增大”，初步提出单调递增的说法，通过图表观察，提出猜想，经历讨论、交流、验证使学生克服思维障碍，经历从直观到抽象、具体到一般的形成知识的过程。
四、教学策略分析
本节课是函数单调性的起始课，根据新课改的教学理念，结合本节课的教学内容和学生的认知水平，主要采用让学生自主探究、独立思考、合作交流、探究
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成果展示及教师启发引导的教学方式进行教学. 同时使用多媒体辅助教学，增强直观性，提高教学效果和教学质量。
在学生的学法上我重视让学生利用图形直观启迪思维，完成从感性认识到理性思维的质的飞跃．让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。
在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“y 随 x的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证。对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度。
为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料：
1 ．充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示。在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成。
2．结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念。
3．创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”，借助多媒体引导学生对“y 随 x 的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越。
4．通过例题和练习题帮助学生形成对概念正确、全面而深刻的认识。 然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法。接着请学生板演实践。
五、教学过程
（一）创设情境，引入课题
实例 下图是某地某天气温随时间的变化曲线。请你根据曲线图说说气温的变化情况？
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预设：学生的关注点不同，如气温的最值，某时刻的气温，某时间段气温的升降变化（若学生没指明时间段，可追问），等。 图象在某区间上（从左往右） “上升”或“下降”的趋势反映了函数的一个基本性质——单调性（板书课题）。
设计说明：从情境导入新课，直观形象感知气温变化，自然引入函数的单调性。函数是描述事物变化规律的数学模型。 如果清楚了函数的变化规律，那么就基本把握了相应实物的变化规律。在事物变化过程中，保存不变的特征就是这个事物的性质。因此，研究函数的变化规律是非常有意义的。
（二）引导探索，生成概念
问题 1 ：观察下列函数图象，请你说说这些函数有什么变化趋势？
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设计说明：从形到数，借助对函数图像的观察而获得的图像特征，想象出相应函数的性质。以一次函数和二次函数为载体借助于图像的直观性给出函数单调性的直观性定义，从而使学生对函数的单调性有感性的认识。
问题 2 ：（1）如何用数学符号描述函数图象的“上升”特征，即“y 随 x 的增大而增大”？
设计说明：先借助图形、动画等直观感受“y 随 x 的增大而增大” ，然后让学生思考、讨论得出，若x1 < x2 ，则必须有y1 < y2 。
（2）已知a < x1 < x2 < b ，若有f(a) < f(x1) < f(x2 ) < f(b) 。能保证函数y = f (x)在区间[a, b] 上递增吗？
拖动“拖动点”改变函数y = f (x) 在区间[a, b] 上的图象，可以递增，可以先增后减，也可以先减后增。
（3）已知a < x1 < x2 < x3 < b ，若有f(a) < f(x1) < f(x2 ) < f(x3 ) < f(b) ，能保证函数y = f (x) 在区间[a, b] 上递增吗？
拖动“拖动点” ，观察函数y = f (x) 在区间[a, b] 上的图象变化。
设计说明：先让学生讨论交流、举反例，然后借助几何画板动态说明验证两个定点不能确定函数的单调性，三个点也不行，无数个点行不行呢？引导学生过渡到符号化表示，呈现知识的自然生成。
（4）已知a < x1 < x2 < x3 < x4 < ... < b ，若有
f(a) < f(x1) < f(x2 ) < f(x3 ) < f(x4 ) < ... < f(b) ，能保证函数y = f (x) 在区间[a, b]上递增吗？
设计说明：体验对“任意一个”进行操作，实现“无限”目标的数学方法，体会
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用“任意”来处理“无限”的数学思想。
问题 3 ：如何用数学语言准确刻画函数y = f (x) 在区间D 上递增呢？
预设：请学生自愿尝试概括定义。 电子板书“任意x1 , x2 ∈ D ，当x1 < x2 时，都有f(x1 ) < f(x2 ) ，则称函数y = f (x) 在区间D 上递增” ，则突出关键词“任意”和“都有”；若缺少关键词“任取”或“任意”，则追问“验证两个点就能保证函数在区间D 上递增吗”。
问题 4 ：请你试着用数学语言定义函数y = f (x) 在区间D 上是递减的。
预设：为表达准确规范，要求学生先写下来，然后展示。 并有意引导使用“任意x1 , x2 ∈ D ，当x1 > x2 时，都有f(x1 ) < f(x2 ) ，则称函数y = f (x) 在区间D 上递减” ，以此打破必须“ x1 < x2 ”的思维定势。
（三）学以致用，理解感悟
例 1 、画出下列函数图像，并写出单调区间：
讨 论 1 ： 根 据 函 数 单 调 性 的 定 义 ， 能 不 能 说 函 数 y 在 定 义 域(—∞,0) (0,+∞) 上是单调函数？
讨论 2 ：试讨论y 在定义域上的单调性？（完成表 1）
(2)y = —x2 + 2
变式 1 ：讨论函数y = ax2 (a ≠ 0) 的单调性；
变式 2 ：讨论函数y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 的单调性。（完成表 2）
设计说明：让学生分组讨论，然后作展示性回答。通过具体问题，使学生认
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识到函数的单调性是函数在定义域的某个区间上的性质，是函数的局部性质，在整个定义域内函数未必是单调函数。由特殊函数的性质过渡到一般函数的性质，目的在于培养学生的合情推理能力
例 2 、求证:函数y 在区间(-∞,0) 上是单调增函数。
设计说明：对照定义板书示范，指明变形的目的是变出因式(x1 - x2 ) 等，并让学生提炼证明的基本步骤。
课堂练习，巩固提高：
练习 4 ：求证函数f(x) = x 2 + 2x - 3 在区间－1 ，+ ∞ ) 上是单调增函数。
（四）回顾反思，深化认识
1. 函数单调性的定义；
2.利用函数的图象求函数的单调区间并判断其单调性；
3.利用函数单调性的定义证明函数在某区间上的单调性。
（五）布置作业
1 、教材 P40 3 、4 、5；
2 、判断并证明函数f = x 在(0,1] 上的单调性。
3 、预习：
你知道二次函数的最值吗？最值的含义是什么？
你知道什么样的函数存在最值吗？
设计说明：课堂作业是为及时巩固初学的知识和方法，完善对“对钩函数”的认识。探究题是为培养学生运用数学的意识（从地理情境开始，中间解答物理定律，最后以化学实验结束），感受数学的实用性和人文性。
（六）板书设计
函数的单调性增函数：（板书定义） 减函数：（学生类比） 电子屏幕 例题（提炼步骤，明确变形方向） 练习（学生板演）
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