河北省衡水市衡水中学2026届高三上学期月考数学试卷（二）（含答案）

河北省衡水中学2026届高三上学期月考
数学试卷（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若全集，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量是( )
A. B. C. D.
3.在数列中，若，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照、、、的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级．若某同学的数学成绩为分，则他的等级是( )附：，，．
A. 优秀 B. 良好 C. 合格 D. 基本合格
6.将曲线为自然对数的底数绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则 ( )
A. B. C. D.
7.设，，则( )
A. B. C. D.
8.已知为虚数单位，以下选项不正确的是( )
A. 若，，则的充要条件是，
B. 若复数，，满足，则
C.
D. 若复数满足，则的最大值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是( )
A. 若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好
B. 若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差
C. 若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差
D. 若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差
10.已知函数，则( )
A. 是周期函数 B. 的最小值是
C. 的图象有对称轴 D. 的图象有对称中心
11.已知对任意，且，则( )
A. B.
C. 的图象关于直线对称 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“，”是假命题，则的取值范围是 ．
13.如图，单位圆被点分为等份，其中，角的始边与轴的非负半轴重合，若则角的终边与单位圆交于点 从中选择，写出所有满足要求的点
14.已知数列满足，设为数列的前项和，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，且．
求角的大小；
若，且，求的面积．
16.本小题分
某学校举办趣味投篮比赛，选手需要在距离罚球线米、米、米的，，三个位置分别投篮一次选手自行选择投篮顺序在，，三个位置投篮命中分别可得分、分、分，总分不低于分就可以获得奖品，已知甲在，，三处的投篮命中率分别为，且在这三处的投篮相互独立．
求甲未获得奖品的概率；
甲参加投篮训练，训练计划如下：在处先投个球，若这个球都投进，则训练结束，否则额外在处投个球试问为何值时，甲投篮次数的期望最大？
17.本小题分
设正项数列的前项和为，，且当时，．
求的通项公式；
求的前项和；
在的条件下解不等式：．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，是边长为的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为．

证明：；
求点到平面的距离；
在线段不含端点上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的位置；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数，．
当时，判断的单调性；
，，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.解：证明：四边形为菱形，，
平面，平面，平面，
平面，平面和平面的交线为，
；
取的中点，连接，
是边长为的等边三角形，，
四边形为菱形，，
为等边三角形，则，
平面平面，平面平面，
平面，，
平面，
因为平面，所以，
故，，两两垂直，
故以为坐标原点，以所在直线分别为轴，
建立空间直角坐标系，

则，
，
设平面的法向量为，
由
令，则，
故平面的一个法向量为，
点到平面的距离；
假设在线段不含端点上存在一点，
使得直线与平面所成角的正弦值为，
设，
则，
平面的法向量为，
直线与平面所成角的正弦值为，
，
整理得，解得或，
所以在线段不含端点上存在点，当或时，
直线与平面所成角的正弦值为．
19.
第8页，共8页