16 反比例函数综合题 2026中考数学一轮复习 专项训练小卷（含答案）

专项训练16　反比例函数综合题
1. 如图，点A在反比例函数y=(x＞0)的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，交反比例函数y=－的图象于B，C两点，以AB，AC为边的矩形ABDC被坐标轴分割成四个小矩形，矩形面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知S1=3.
(1)直接写出反比例函数y=(x＞0)的解析式；
(2)求矩形ABDC的面积.
　第1题图
2. 一副三角板在平面直角坐标系中的位置如图所示，两个三角板的斜边均在坐标轴上，含30°角的直角三角板的长直角边与含45°角的直角三角板的斜边相等，C是反比例函数y=(k≠0，x＞0)图象上一点，且OE=4.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接CD，小明说CD∥x轴，请判断他说得对吗？并说明理由.
　第2题图
3. 如图①，已知A(1，m)，B是反比例函数y=(x＞0)图象上的两点，过点A作AC∥x轴，过点B作BC∥y轴，两直线交于点C，连接AB，OA，OC.
(1)求m的值；
(2)若AB=2OA，D为x轴正半轴上一点，求证：∠AOD=3∠COD.
以下是小军的证明过程：
证明：如图②，过点A作AE⊥AC交OC于点E，连接BE，
设点B的坐标为(n，)，则C(n，2)，
∴直线OC的函数解析式为y=x，
∴E(1，)，
∴BE∥x轴，∴AE⊥BE，
易证得四边形AEBC是矩形.
…
请将小军的证明过程补充完整.
图① 图②
第3题图
4. 勤于思考的小东将遇到的一道反比例函数题进行改编后，得到下面一道题，请你进行解答.如图所示的网格由边长为1的小正方形组成，反比例函数y=(x＞0)的图象经过格点A和网格线上的点B，反比例函数y=－(x＜0)的图象经过格点C.
(1)点B位于第　　　　象限，其横坐标是　　　　；
(2)若S△ABC=，
①求k的值；
②D为网格内一点，连接AD，CD，若△ACD与△ACB是全等三角形(点D不与点B重合)，请直接写出点D的坐标.
第4题图
参考答案
1. 解：(1)y=(x＞0)；
(2)∵点B，C均在反比例函数y=－的图象上，
∴S2=S4=1.
如解图，设AB，CD分别交x轴于点E，F，AC，BD分别交y轴于点G，H，
∴S1=OG OE=3，S2=OF OG=1，S3=OF OH，S4=OH OE=1，
∴OF∶OE=1∶3，
∵OH=OH，
∴S3∶S4=1∶3，
∵S4=1，
∴S3=，
∴S矩形ABDC=S1＋S2＋S3＋S4
=3＋1＋＋1
=.
第1题解图
2. 解：(1)∵OE=4，∠DOE=30°，∠ODE=90°，
∴OD=6.
∵含30°角的直角三角板的长直角边与含45°角的直角三角板的斜边相等，
∴OB=OD=6.
∵∠BOC=45°，
∴OC=3，
∴点C的坐标为(3，3)，
∴k=3×3=9，
∴反比例函数的解析式为y=(x＞0)；
(2)小明说得对.理由如下：
如解图，过点D作DF⊥x轴于点F，
由(1)可得OD=6，
∵DF⊥x轴，
∴∠OFD=90°，
∵∠DOF=30°，
∴DF=OD=3，
∴yD=yC=3，
即CD∥x轴.
第2题解图
3. 解：(1)∵反比例函数y=(x＞0)的图象过点A(1，m)，
∴m==2，
即m的值为2；
(2)补充过程如下：
如解图，设AB，CE交于点F，
∴AB=2AF，AF=CF，
∴∠CAF=∠ACF，
∵∠AFO是△AFC的外角，
∴∠AFO=2∠ACF.
∵AB=2OA，
∴OA=AF，
∴∠AOC=∠AFO=2∠ACF.
∵AC∥x轴，
∴∠COD=∠ACF，
∴∠AOC=2∠COD，
∵∠AOD=∠AOC＋∠COD，
∴∠AOD=3∠COD.
第3题解图
4. 解：(1)一，2；
【解法提示】根据函数图象的对称性，点A，C关于y轴对称，所以点A在第一象限，所以点B在第一象限，点B的横坐标为2.
(2)①设△ABC的边AC上的高为h，
则S△ABC=AC h=，
又∵AC=2，
∴h=.
如解图①，建立平面直角坐标系，
第4题解图①
由题意可知点A的坐标为(1，k)，
则点B的坐标为(2，k－).
∵点B在反比例函数y=(x＞0)的图象上，
∴2(k－)=k，解得k=5；
②点D的坐标为(－2，)，(2，)或(－2，).
【解法提示】由①可知点B的坐标为(2，)，点A的坐标为(1，5).
∵△ACD与△ACB是全等三角形，根据图象的对称性，点D1和点B关于y轴对称，点B和点D2关于直线AC对称，D2，D3关于y轴对称，如解图②，则D1(－2，)，D2(2，)，D3(－2，).
第4题解图②