18 锐角三角函数实际应用 2026中考数学一轮复习 专项训练小卷（含答案）

专项训练18　锐角三角函数实际应用
1. 九年级数学兴趣小组利用所学知识测量路灯AB的高度(路灯的底部不可到达)，如图，在路灯下竖直放置长为1 m的标杆CD，测得此时CD的影长CE为0.5 m，逆时针旋转标杆，观察影子的变化规律，发现当标杆旋转到CF的位置时，此时标杆的影长为CG，CF⊥BG，若此时测得∠G=60°，请你据此求出路灯AB的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73)
第1题图
2. 在很多景区，我们都可以看到类似图①这种凉亭，供游人休憩，小明想利用太阳光线与地面的夹角来测量凉亭顶点A到地面的距离.如图②，已知∠BAC=120°，AB=AC，且B，C两点到地面的距离相等，B，C两点间的距离为2.8 m，当太阳光恰好能照射到石桌中心点E处，此时太阳光与桌面的夹角为53°.已知石桌位于凉亭正中心，高度DE为0.5 m，M，N为凉亭柱子与地面的交点，所有点均在同一平面内.求凉亭顶点A到地面的距离.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33，≈1.73)
图①　　图②
第2题图
3. 某校“综合与实践”小组开展了测量宝塔AB高度的实践活动，过程如下：
方案设计：如图，宝塔AB垂直于地面，在地面上选取G，E两处分别用测角仪FG，DE测得∠AFC，∠ADC(所有点均在同一平面内，A，C，B三点共线，AC⊥CD，CD=BE，BC=FG=DE).
数据收集：通过实地测量，地面上G，E两点的距离为9 m，∠AFC=42°，∠ADC=31°，测角仪DE，FG的高度均为1.5 m.
问题解决：求宝塔AB的高度.
(结果精确到1 m，参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60，sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)
第3题图
4. 如图①是八一南昌起义纪念塔，图②是其抽象的示意图，点A是纪念塔顶部.无人机从纪念塔前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面46.9 m的点C处时，测得点A的仰角为18°；然后沿CP方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角为37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE=9 m.
请你解决以下问题：
图①　 　图②
第4题图
任务一：求塔高AN；
任务二：求无人机起飞位置到纪念塔的水平距离(即MN的长).
(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)
5. 如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼AB的高度”的实践活动.教学楼周围是开阔平整的地面，可使用的测量工具有测角仪和皮尺(长度小于BD).小强想借助一根长为2 m的竹竿MN测量两幢楼的高度，若测角仪和皮尺只能选择一种，你能测量出教学楼AB的高度吗？写出你的测量及求解过程.要求：测量得到的长度用字母a，b，c，…表示，角度用α，β，γ，…表示.
第5题图
6. 数学实践小组对卧式手摇纺车纺线时的场景进行了探究：纺线时(如图)，木架水平放置，即绳轮⊙O与水平面DB相切于点E，线绳绕过绳轮汇聚于点D处放置的锭子上，即线绳CD与⊙O相切于点C，过切点E的直径与⊙O交于点A(图中点O，A，E，D，C在同一平面内).
(1)连接AC，求证：∠ACD＋∠AOC=180°；
(2)该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径OE为30 cm，且圆心O与D处锭子之间的水平距离DE在70 cm与120 cm之间时，纺线较为舒适.若∠CDE=45°，OE=30 cm，请判断使用该纺车纺线时是否舒适，并说明理由.(结果精确到个位，参考数据：≈1.414)
　
第6题图
参考答案
1. 解：由题意知，∠DCE=∠BAE=90°，∠DEC=∠BEA，
∴△DCE∽△BAE，
∴=.
∵DC=1 m，EC=0.5 m，
∴==2.
设AC=x m，则EA=EC＋AC=(x＋0.5)m，AB=2EA=(2x＋1)m，
在Rt△CFG中，∠G=60°，CF=1 m，
∴CG= m，
在Rt△ABG中，∠G=60°，AG=CG＋AC=(＋x)m，AB=(2x＋1)m，
∴AB=AG，
∴2x＋1=(＋x)，
解得x=2＋，
∴AB=2x＋1=5＋2≈8.5(m)，
答：路灯AB的高度约为8.5 m.
2. 解：如解图，连接AE，BC交于点O，则AE⊥BC，BC∥MN，
由题意可知，OB=BC=1.4 m，∠OBE=53°，∠OAB=∠BAC=60°，
在Rt△OBE中，OE=OB tan∠OBE≈1.86(m)，
在Rt△AOB中，AO=≈0.81(m)，
∴AD=AO＋OE＋ED=0.81＋1.86＋0.5≈3.2(m).
答：凉亭顶点A到地面的距离约为3.2 m.
第2题解图
3. 解：由题可得，四边形FGED为矩形，
∴FD=GE=9 m，
设AC=x m，在Rt△ADC中，CD==≈，
在Rt△AFC中，CF==≈，
∵CD－CF=DF，
∴－=9，
解得x=16.2，∴AC=16.2 m.
∵BC=DE=1.5 m，
∴AB=AC＋BC=16.2＋1.5≈18(m)，
答：宝塔AB的高度约为18 m.
4. 解：任务一：如解图，过点C作CF⊥AN于点F，则MN=CF，FN=CM，设AF=x m，
在Rt△ACF中，∠ACF=18°，tan∠ACF=，
∴CF==≈，
在Rt△ECF中，
∠ECF=37°，tan∠ECF=，
∴CF==≈，
∴=，
解得x≈6.70，
∴AN=AF＋FN=AF＋MC≈6.70＋46.9=53.6(m).
答：塔高AN约为53.6 m；
第4题解图
任务二：由任务一知，AF≈6.70 m，在Rt△ACF中，CF==≈≈20.9(m)，即MN=CF≈20.9(m).
答：无人机起飞位置到纪念塔的水平距离(即MN的长)约为20.9 m.
5. 解：方法一：能，选用测角仪，测量过程如下：
如解图①，将竹竿MN竖直立在地面上，从楼顶C处经过竹竿M点恰好看到教学楼AB的底部B点且俯角为α，从楼顶A处经过竹竿M点看到MN在地面投影NF，且俯角为β.
求解过程：
由题意可得∠CBF=α，∠AFB=β，
在Rt△FMN中，MN=2 m，
tan∠AFB=tan β==，解得FN=(m)，
在Rt△BMN中，tan∠CBF=tan α==，解得BN=(m)，
∴BF=BN＋FN=＋=(m)，
在Rt△ABF中，tan∠AFB=tan β==，
解得AB=(m)，
∴教学楼AB的高度为 m.(答案不唯一，合理即可)
第5题解图①
方法二：能，选用皮尺，测量过程如下：
如解图②，将竹竿MN竖直立在地面上，在点N右侧取一点F，使F，M，A三点在同一条直线上，
用皮尺测量得到NF=a m，BN=b m，
求解过程：
∵MN⊥BD，AB⊥BD，
∴MN∥AB，
∴△MNF∽△ABF，
∴=，即=，
∴AB= =(2＋)m，
∴教学楼AB的高度为(2＋)m.(答案不唯一，合理即可)
第5题解图②
6. (1)证明：如解图①，由题意，得∠OCD=90°.
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA.
∵∠OAC＋∠OCA＋∠AOC=180°，
∴∠OCA＋∠AOC=90°，
∴∠ACD＋∠AOC=∠OCD＋∠OCA＋∠AOC=90°＋90°=180°；
第6题解图①
(2)解：如解图②，连接OD，
第6题解图②
由题意，得∠OED=90°，DE=DC，
∵OC=OE，OD=OD，
∴△OED≌△OCD，
∴∠ODE=∠ODC=∠CDE=22.5°.
作OD的垂直平分线交DE于点F，连接OF，
则OF=DF，
∴∠DOF=∠ODF=22.5°，
∴∠OFE=∠DOF＋∠ODF=45°，
∴△OEF为等腰直角三角形，
∴OF=DF=OE=30 cm，EF=OE=30 cm，
∴DE=EF＋DF=30＋30≈72(cm)，
∵70＜72＜120，
∴使用该纺车纺线时舒适.