20 与圆有关的简单证明与计算 2026中考数学一轮复习 专项训练小卷（含答案）

专项训练20　与圆有关的简单证明与计算
1. 某数学小组进行如下课题研究：现有一个圆柱形封闭油桶，仅有一把钢卷尺、一支粉笔和一个重垂线，不需通过计算即可得出油桶底面圆的直径.受此启发，小华将一个圆柱形油桶靠在墙边(其截面如图①所示)，且AC⊥BC.
(1)设油桶的直径为d，求证：d=2AC；
(2)将三个完全相同的油桶(其截面示意图)按如图②所示的位置摆放，若AC=9 cm，请帮小华算出三个油桶叠放的总高度.
第1题图
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE.
(1)求证：BE=DE；
(2)若⊙O的半径为5，AD=6，求OE的长.
第2题图
3. 如图，△ABC内接于⊙O，且BC是⊙O的直径，连接OA，过点A作⊙O的切线AD，过点C作CD∥AB，交切线AD于点D.
(1)求证：∠B＋∠D=90°；
(2)请用无刻度的直尺和圆规过点C作CE∥OA交AD于点E(保留作图痕迹，不写作法)；
(3)在(2)的条件下，若CE=2，∠D=60°，求BC的长.
第3题图
4. 如图①，某兴趣小组准备设计一个奶茶杯子，图②为杯子的简易图，已知杯子简易图上半部分为弧形，下半部分为四边形，杯口的直径(BC的长)为8 cm，杯底的直径(AD的长)为6 cm，上下两圆形的垂直距离为18 cm，杯盖最高处M点到BC的距离为2 cm.
(1)求杯盖弧BC所在圆的半径；
(2)设计要求吸管一端置于A点时(吸管直径忽略不计)，吸管可以于顶盖左右摆放，且任意位置吸管另一端漏出杯子至少1 cm，才可以正常使用，那么至少需要设计多长的吸管？
第4题图
参考答案
1. (1)证明：如解图①，记圆心为点O，连接OA，OB.
由题意可知AC，BC与⊙O相切，切点分别为A，B，
∴∠OAC=∠OBC=90°.
又∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，
∴四边形OACB是矩形，
∴OB=AC.
∵油桶的直径为d，
∴d=2AC；
第1题解图①
(2)解：如解图②，记三个油桶的圆心分别为O，D，E，连接OD，OE，DE，过点D作DF⊥OE于点F，
易得△ODE是等边三角形，三个油桶叠放是相切的.
由(1)可知OE=OD=DE=2AC=18 cm，
∵在等边△ODE中，DF=DE=9 cm，
∴三个油桶叠放的总高度为DF＋OE=(9＋18)cm.
第1题解图②
2. (1)证明：如解图，连接BD，OD.
∵DE是⊙O的切线，OD为⊙O的半径，
∴∠ODE=90°，即∠ODB＋∠BDE=90°.
∵∠ABC=90°，
∴∠OBD＋∠DBE=90°.
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，
∴90°－∠OBD=90°－∠ODB，即∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE；
第2题解图
(2)解：如解图，∵AB为⊙O直径，D为⊙O上一点，
∴∠ADB=90°.
∵∠ABC=90°，
∴∠ADB=∠ABC.
∵∠BAC=∠DAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴=.
∵⊙O的半径为5，∴AB=10，
∴AC===.
由(1)知，∠BDE=∠DBE，∠CDE＋∠BDE=90°，∠C＋∠DBE=90°，
∴∠CDE=∠C，
∴DE=CE，∴BE=CE.
∵OA=OB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=AC=，即OE的长为.
3. (1)证明：∵AD是⊙O的切线，
∴∠OAD=90°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAO＋∠OAC=∠DAC＋∠OAC=90°，
∴∠BAO=∠DAC.
∵OB=OA，∴∠B=∠BAO，
∴∠DAC=∠B.
∵CD∥AB，∴∠ACD=∠BAC=90°，
∴∠DAC＋∠D=180°－∠ACD=90°，
∴∠B＋∠D=90°；
(2)解：如解图①，CE即为所求；
一题多解法
如解图②，CE即为所求；
图①
图②
第3题解图
(3)解：由(2)可知CE⊥AD，
由(1)可知∠B＋∠D=90°，∠DAC=∠B，∠BAC=90°，
∵∠D=60°，
∴∠DAC=∠B=90°－∠D=30°.
∵在Rt△ACE中，CE=2，∠CAE=30°，
∴AC=2CE=4.
∵在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴BC=2AC=8.
4. 解：(1)如解图，过点M作MN⊥BC于点N，延长MN至点O，使得点O到点B，C，M的距离相等，连接BO，则点O为弧BC所在圆的圆心.
易得M为弧BC的中点，
∴N为线段BC的中点.
又∵MN⊥BC，
∴BN=BC=4 cm，∠BNO=90°.
设弧BC所在圆的半径即OM的长为r cm，
则ON=(r－2)cm，
在Rt△BON中，ON2＋BN2=BO2，
∴(r－2)2＋42=r2，
∴r=5，即杯盖弧BC所在圆的半径为5 cm；
第4题解图
(2)如解图，过点A，D分别作AH⊥BC于点H，DG⊥BC于点G，则四边形ADGH为矩形.
∵AD=6 cm，∴HG=6 cm，
∴HN=HG=3 cm.
∵MN=2 cm，由(1)可知，r=5 cm，
∴ON=3 cm，
过点O作OE⊥AH于点E，则可得四边形OEHN为正方形，
∴EH=OE=3 cm，
∴AE=18－3=15(cm)，
连接OA，在Rt△OAE中，AO==3(cm).
∵平面内一点到圆上的最长距离经过圆心，
∴设计吸管的长度至少为AO＋r＋1=3＋5＋1=(3＋6)cm.