19 综合与实践类解直角三角形 2026中考数学一轮复习 专项训练小卷（含答案）

专项训练19　综合与实践类解直角三角形
1. 位于郑州龙湖内环路的斜拉桥，寓意为“鼎盛中原”，也是国内首座“鼎”形斜拉桥，不论从东西南北哪个方向看上去，都能一眼看到这个“鼎”形斜拉桥.周末明明和亮亮进行课外实践作业，准备测量该桥主塔的高度(塔顶到桥面的距离)，测量方案及数据如下：
活动主题：测量“鼎”形斜拉桥主塔的高度.
测量方案：他们两人站在旁边与“鼎”形桥桥面高度相同的桥的同侧，在各自位置测得“鼎”形斜拉桥主塔顶部的仰角，以及两人之间的距离，并记录.
　
第1题图
测量示意图：如图，AB表示“鼎”形桥主塔的高度，C，D分别表示明明、亮亮的位置，点C，D与点B在同一水平直线上，且点A，B，C，D在同一竖直平面内，AB⊥BD.
测量工具：皮尺，测角仪.
测量数据：两人的距离CD=15.5 m，∠ACB=45°，∠ADB=41°.
问题解决：请你根据他们的测量方案及数据，计算该“鼎”形斜拉桥主塔的高度.(结果精确到1 m，参考数据：≈1.41，tan 41°≈0.87，sin 41°≈0.66，cos 41°≈0.75)
2. 背景介绍：筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图①，其工作原理为：筒车水轮直立于河边水中，轮周斜装若干竹木制小筒，利用水流推动主轮，轮周小筒依次入水舀满，至顶倾出，接以木槽，导入渠田.
提出问题：某数学小组成员想得到筒车出水点的高度.
收集数据：如图②，经了解，此筒车(⊙O)的半径为3 m，筒车上的竹筒离开水面后，把水引至A处，水沿射线AD方向泄至水槽DE.小组成员观察到：筒车⊙O与AD相切.当涨潮期水面涨到与DE平齐的BC处时，此时A，O，C三点恰好在一条直线上，盛水筒浮出水面(C点)后到A点需要30 s(筒车匀速旋转).
第2题图
解决问题：
(1)如图②，求证：∠DAB=∠ACB；
(2)如图③，当退潮期水面降至PQ处时，再观察发现盛水筒浮出水面(Q点)36 s后，能将水流从点A处泄出(筒车的旋转速度不变)，此时测量得到PQ宽为3 m，请求出点A距离水槽DE的高度为多少.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 66°≈0.91，cos 66°≈0.41，tan 66°≈2.25)
3. 综合与实践
“海之跃”摩天轮是某地区的城市名片.某校九(1)班的项目式学习团队计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度.
【素材一】如图①，“海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，拟测算的写字楼与摩天轮在同一平面内.
【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器(如图②).
图①　　 　图②　　 　图③
第3题图
【素材三】若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图③，摩天轮的最高高度为146 m，半径为70 m，该团队分成三组分别乘坐1号A，4号B和10号C轿厢，当1号轿厢运动到摩天轮最高点时，各个轿厢的队员同时使用测角仪观测写字楼最高处D点，观测数据如下表(观测误差忽略不计).
1号轿厢测量情况 4号轿厢测量情况 10号轿厢测量情况
【任务一】初步探究，获取基础数据
(1)如图③，请连接AO，BO，则∠AOB=　　　　°；
(2)求出1号轿厢运动到最高点时，4号轿厢所在位置B点的高度；(结果保留根号)
【任务二】推理分析，估算实际高度
(3)根据观测数据，计算写字楼的实际高度DN；(结果用四舍五入法取整数，≈1.41)
(4)根据4号和10号轿厢的测量数据，则1号轿厢的测量数据x的值为　　　　.(结果保留根号)
参考答案
1. 解：设主塔的高度AB=x m，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=45°，
∴BC=AB=x m.
∵CD=15.5 m，
∴BD=BC＋CD=(x＋15.5)m.
在Rt△ABD中，∵∠ADB=41°，
∴tan 41°=，即≈0.87，
解得x≈104.
答：该“鼎”形斜拉桥主塔的高度约为104 m.
2. (1)证明：∵A，O，C三点共线，
∴AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠BAC＋∠ACB=90°.
∵AD为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，
∴∠DAC=90°，
∴∠DAB＋∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠ACB；
(2)解：如解图，过点O作PQ的垂线交PQ于点F，交BC于点M，交⊙O的上方于点G，连接OQ.
∴FQ=PQ= m，∠OFQ=90°.
∵OQ=OC=3 m，
∴∠FOQ=30°.
∵盛水筒浮出水面(C点)后到A点需要30 s，
∴盛水筒旋转一周的时间为30×2=60(s).
∵盛水筒浮出水面(Q点)36 s后，能将水流从点A处泄出，
∴此时所对的圆心角度数为360°×=216°，
∴∠AOQ=360°－216°=144°，
∴∠AOF=∠AOQ－∠FOQ=114°.
过点A作AH⊥GF于点H，
∴∠AOH=180°－∠AOF=66°，
∴OH=AO cos∠AOH=AO cos 66°≈1.23(m)，
同理OM=OH≈1.23 m，
∴点A距离水槽DE的高度为OH＋OM≈1.23＋1.23≈2.5(m).
第2题解图
3. 解：(1)45；
【解法提示】如解图①，连接AO，BO，∵“海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，其中∠AOB包含了3个轿厢，∴∠AOB=×360°=45°.
第3题解图①
(2)如解图②，过点B作BE⊥AO于点E，
第3题解图②
∵点A此时的高度为最高高度146 m，半径为70 m，
∴O点高度为146－70=76(m).
∵BE⊥AO，∠AOB=45°，
∴OE=OB cos 45°=35(m)，
∴B点的高度为(76＋35) m，
答：B点的高度为(76＋35) m；
(3)如解图③，连接OB，OC，BC，
第3题解图③
由素材一，素材三可得∠COB=90°，∠OBC=∠AOB=45°，
则BC=70 m，过点D作DF⊥BC于点F，
设BF=n m，由素材二，素材三的4号轿厢测量情况和10号轿厢测量情况得==，==，
∴DF=4BF=4n m，CF=DF=n m，
∴BC=70=n，即n=28，
∴F点的高度为76＋BC－BF=76＋35－28≈86(m).
答：写字楼的实际高度DN约为86 m；
(4).
【解法提示】如解图④，过点A作AP⊥DN交ND延长线于点P，∵点A此时的高度为最高高度146 m，∴PD=146－(76＋7)=(70－7)(m)，由(3)可得点O到DN的距离为OB＋DF=35＋4×28=147(m)，∴=，即=，解得x=，即1号轿厢的测量数据x的值为.
第3题解图④