章末检测小卷(四)（含答案）　三角形 2026中考数学一轮复习

章末检测小卷(四)　三角形
时间：30分钟　　分值：70分
一、选择题(每小题3分，共36分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个正确的)
1. 如图，将一根细木条固定在墙上，至少需要2个钉子，其中蕴含的数学原理是(　　)
A. 两点确定一条直线　　B. 垂线段最短
C. 直线的两端是无限延伸的　　D. 两点之间，线段最短
第1题图
2. 如图，线段AB=4，延长AB到点C，使BC=2AB，若D是线段AC的中点，则AD的长为(　　)
A. 6　　B. 4　　C. 2　　D. 1
第2题图
3. 如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC∶∠BOC=2∶3，∠DOE=58°，则∠BOE的度数为(　　)
A. 108°　　B. 120°　　C. 130°　　D. 140°
第3题图
4. 下列命题是假命题的是(　　)
A. 对顶角相等　　B. 如果a=b，那么a2=b2
C. 正数大于负数　　D. 同旁内角互补
5. 下列有关三角形的说法中不正确的是(　　)
A. 一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是钝角三角形
B. 一个三角形三边长度之比为3∶4∶5，这个三角形一定是直角三角形
C. 在△ABC中，AB=AC，∠C=60°，这个三角形一定是等边三角形
D. 在△ABC中，∠A=30°，这个三角形一定是锐角三角形
第6题图
6. 小李用铅笔在桌面上摆出如图所示的形状，其中AB∥CD，经测量得到∠BEF=150°，∠DGF=140°，则∠EFG的度数为(　　)
A. 30°　　B. 50°　　C. 60° 　　D. 70°
7. 如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，C，E，B，D，F，下列结论正确的是(　　)
A. =　　B. =　　C. =　　D. =
第7题图　
8. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，则∠BCD的度数是(　　)
A. 125°　　B. 130°　　C. 135°　　D. 140°
第8题图　
9. 如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC=90°，CF交AD于点G，交BE于点H，则下列结论一定正确的是(　　)
A. ∠ABE=∠FCB　　B. ∠GAC=∠GCA　　C. FG=GC　　D. ∠BFC=∠BHF
第9题图　
10. 如图，在△ABC中，AB=4，AC=BC=3，D是AB的中点，DE⊥BC于点E，则△BDE的面积为(　　)
A. 　　B. 　　C. 　　D. 2
　
第10题图
11. 如图，在△ABC中，AB=BC=，∠BAC=30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，BD，则BD的长为(　　)
A. 　　B. 　　C. 2　　D. 3
第11题图
12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F. 若AC=3，AB=5，则CE的长为(　　)
A. 　　B. 　　C. 　　D.
第12题图
二、填空题(每小题3分，共12分)
13. 2cos 60°的值等于　　　　.
14. 如图，在△ADE中，AD=AE，B，C是边DE上任意两点，若△ADB≌△AEC，则需要添加一个条件是　　.
　
第14题图　
15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠BAC内部交于点P，连接AP并延长交BC于点F，则点F到AB的距离为　　　　.
第15题图
(一题多解法 )如图，在△ABC中，AB=8，∠ABC=45°，D为AB上方一点，过点C作CD⊥AC，且CD=AC，连接AD，BD，若BD=2，则BC的长为　　　　.
第16题图
三、解答题(本题共2个小题，共22分)
17. (10分)如图，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AD=CD，连接AC，AB=AC，∠BAC=90°，E是AD的中点，连接BE，CE.
第17题图
(1)求证：BE⊥CE；
(2)若BE=8，求DE的长.
18. (12分)开封铁塔，又称“开宝寺塔”，是北宋时期(公元960－1127年)建造的一座木塔，被誉为“天下第一塔”.如图，某小组用自制的菱形测高仪ABCD测量塔高，其边长为0.5 m，O为对角线的交点，OB=0.4 m. 当测角仪的顶点D，A与塔顶端点E在同一条直线上时，系在顶点A处的铅垂线恰好过点O和顶点C. 经测量点B到EF的距离为72 m，点B到地面的距离为1.2 m. 求开封铁塔EF的高度.
第18题图
参考答案
1. A
2. A　【解析】∵AB=4，∴BC=2AB=8，∴AC=AB＋BC=12.∵D是线段AC的中点，∴AD=AC=6.
3. C　【解析】∵直线AB，CD相交于点O，∠AOC∶∠BOC=2∶3，∴∠AOC=×180°=72°.∵∠BOD=∠AOC=72°，∴∠BOE=∠BOD＋∠DOE=72°＋58°=130°.
4. D　【解析】A.对顶角相等，该命题是真命题，故不符合题意；B.如果a=b，那么a2=b2，该命题是真命题，故不符合题意；C.正数大于负数，该命题是真命题，故不符合题意；D.两直线平行，同旁内角互补，该命题是假命题，故符合题意.
5. D
6. D　【解析】如解图，过点F作AB的平行线FH.∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，∴∠BEF＋∠EFH=180°，∠DGF＋∠GFH=180°，∴∠EFH=30°，∠GFH=40°，∴∠EFG=∠EFH＋∠GFH=70°.
第6题解图
7. D　【解析】∵a∥b∥c，∴=，=，=，∴选项A，B，C错误，不符合题意；D正确，符合题意.
8. C　【解析】如解图，连接AC.在△ADC中，∵AD==，CD==，AC=6，∴AD2＋CD2=AC2，∴△ADC为直角三角形.又∵AD=CD，∴∠ACD=45°；在△ABC中，∵BC=4，AC=6，AB==，∴BC2＋AC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∴∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ACD＋∠ACB=135°.
第8题解图
9. D　【解析】A.∵∠ABC=90°，∴∠ABE＋∠EBC=90°.∵∠BEC=90°，∴∠ACB＋∠EBC=90°，∴∠ABE=∠ACB＞∠FCB，故本选项说法错误，不符合题意；B.当△ABC为等腰直角三角形时，∵AD是中线，不是角平分线，∴∠CAG≠∠CAB.∵CF为角平分线，∴∠ACG=∠ACB，∴∠CAG≠∠ACG，故本选项说法错误，不符合题意；C.∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，当FG=GC时，DG是△CBF的中位线，则GD∥BF.∵AD与AB不可能平行，故本选项说法错误，不符合题意；D.∵∠ACF=∠BCF，∠BFC=90°－∠BCF，∠BHF=∠EHC=90°－∠ACF，∴∠BFC=∠BHF，故本选项说法正确，符合题意.
10. A　【解析】如解图，连接CD，∵D是AB的中点，BC=AC，∴CD⊥AB(等腰三角形“三线合一”)，∴BD=AD=AB=2.在Rt△ACD中，CD==.∵S△BCD=BD CD=BC DE，∴DE==.∵DE⊥BC，∴在Rt△DEB中，BE==，∴S△BDE=BE DE=××=.
第10题解图
11. B　【解析】如解图，延长DB交AC于点E，由题意可知，AC=AD=CD，∴△ACD为等边三角形.∵BE⊥AC，AB=BC=，∠BAC=30°，∴AE=，BE=，∴AC=2AE=3，∴在Rt△ADE中，DE===，∴BD=DE－BE=－=.
第11题解图
12. A　【解析】如解图，过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF＋∠CFA=90°，∠FAD＋∠AED=90°.∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF.∵∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG.∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴=.∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴=.∵FC=FG.∴=，解得FC=，即CE的长为.
第12题解图
13. 1
14. DB=EC(答案不唯一)　【解析】∵AD=AE，∴∠D=∠E.在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，∴若△ADB≌△AEC，需要添加一个条件是DB=EC.
15. 1　【解析】如解图，过点F作FG⊥AB于点G，由作图痕迹可知AF平分∠BAC，∵∠C=∠FGA=90°，∴FC=FG.∵∠B=30°，∴∠BAC=60°，∴∠CAF=∠BAC=30°，∴CF=AC tan∠CAF=×=1，∴FG=1，即点F到AB的距离为1.
第15题解图
16. 5　【解析】如解图①，过点A作AE⊥BC于点E，∵∠ABC=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=BE，=，∴AE=BE=4.∵AC⊥CD，AC=CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴=.又∵∠CAE＋∠EAD=∠CAD=45°，∠BAD＋∠EAD=∠EAB=45°，∴∠CAE=∠DAB，∴△CAE∽△DAB，∴==.∵BD=2，∴CE=，∴BC=BE＋CE=5.
一题多解法
如解图②，过点C作CF⊥BC，交BA的延长线于点F，∵∠ABC=45°，∴△BCF为等腰直角三角形，易证△BCD≌△FCA，∴BD=AF=2，∴BF=AF＋AB=10，∴在等腰直角三角形BCF中，BC=5.
图①
图②
第16题解图
17. (1)证明：如解图，过点E作EF∥AC交CD于点F.∵∠ADC=90°，AD=CD，∴∠DAC=∠DCA=45°.∵∠BAC=90°，∴∠BAE=∠BAC＋∠DAC=135°.∵EF∥AC，∴∠DFE=∠DCA=45°，∴∠EFC=135°.∵E是AD的中点，∴EF=AC.∵AB=AC，∴EF=AB，AE=CF，∴△EFC≌△BAE，∴∠FCE=∠AEB.又∵∠FCE＋∠DEC=90°，∴∠AEB＋∠DEC=90°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CE；
(2)由(1)可知，∠BEC=90°，△EFC≌△BAE，∠DCA=45°，∴CE=BE=8，∴∠BCE=∠ACD=45°，∴∠ACB=∠DCE.∵AB=AC，∠BAC=90°，设AB=x，则AC=2x，由勾股定理，得BC==x，
∴sin∠ACB===，
∴sin∠DCE==，
∴DE=CE=.
第17题解图
18. 解：如解图，延长DB交EF于点G，则BG=72 m，
第18题解图
由题意，得DG⊥EF，
∵在菱形ABCD中，AB=0.5 m，OB=0.4 m，AC⊥BD，
∴AO2=AB2－OB2=0.52－0.42=0.32，
∴AO=0.3(m)，
∴在Rt△ABO中，tan∠ABD==.
∴tan∠ADB=tan∠ABD=，
∵BO=0.4 m，
∴BD=0.8 m，
∴DG=BD＋BG=0.8＋72=72.8(m).
∵在Rt△EDG中，tan∠EDG=，
∴=，
解得EG=54.6(m).
∵GF=1.2 m，
∴EF=EG＋GF=54.6＋1.2=55.8(m)，
答：开封铁塔EF的高度约为55.8 m.