2025—2026学年九年级上学期期中模拟卷（丽水专用）
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-3章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．在一个不透明的盒子中装有若干个白球和3个红球（除颜色外其余都相同），如果从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则白球约为（ ）个
A．9 B．12 C．15 D．18
3．如图：某广场有一喷水池，水从地面喷出，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
4．如图，是的内接三角形，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，、、是上的三点，并且，点是圆上的一个动点（点不与点、、重合），连接、，则的度数是（ ）
A．65 B．130 C．65或130 D．65或115
6．如图，的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点是上任意一点与、、、不重合），经过作于点，于点，点是的中点，当点沿着圆周转过时，点走过的路径长为
A． B． C． D．
7．如图所示，质地均匀的正四面体骰子四个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”，从一定高度随机抛掷该骰子三次，并记录向下的面上的数字，则三次数字之积是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．图1是形状为抛物线的某拱形门建筑．如图2，若取拱形门地面上两点A，B的连线为x轴，可以近似地用函数表示（单位：m）．则拱形门底部的宽度大约是（ ）
A．95m B．190m C．235m D．285m
9．若是关于的二次函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．或
10．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ）．
A． B．
C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，是的直径，是弦，，则 ．
12．某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据，估计任意抛掷一枚图钉：钉尖朝上的概率约为 ．（结果精确到0.1）
重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000
钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001
13．现有四个外观大小相同的信封，每个信封内分别装有一张写有敦煌莫高窟、云冈石窟、龙门石窟、麦积山石窟的卡片．若小漳先从四个信封中随机抽取一个，不放回，再从剩下的三个信封中随机抽取一个，则小漳恰好抽到敦煌莫高窟和云冈石窟卡片的概率是 ．
14．在同一坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为 （用“”连接）．
15．如图，在正n边形中，，则的值是 ．
16．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面宽为，拱桥的最高点O到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么宽为 m．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．若函数．
(1)当m为何值时，该函数为二次函数？
(2)该函数可能为反比例函数吗？为什么？
18．如图所示，在中，以为直径的分别交于点，交于点，连接，若．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
19．在探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
(1)写出表格中，的值： ， ；
(2)根据表格中的数据，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)已知函数的图象如图所示，函数，的图象交点为点，点，．判断在轴上是否存在一点，使的值最大？若存在，求出这个最大值及点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看．
(1)这个方案公平吗 请用列表或画树状图的方法说明理由；
(2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案．
21．一个布袋里装有只有颜色不同的若干个球，其中1个白球，若干个红球，从中任意摸出1个，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，通过大量的重复实验，得到摸出白球的频率是．
(1)求布袋中红球的个数．
(2)若从布袋中一次性摸出2个球，则都是红球的概率是多少？
22．某电器公司推出一款智能空调扇．经市场调研发现，该产品的月销售量（台）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，关于月销量、销售单价的几组对应值如下表：已知该产品的成本是每台1500元．
销售单价元 1800 2000 2200
月销售量台 200 180 160
(1)求出关于的函数解析式；
(2)设月销售利润为元，求关于的函数解析式，并求出当销售单价定为多少时，月销售利润最大，月销售利润最大是多少．
23．如图，二次函数的图象过坐标轴上、、三点．
(1)求、、三点坐标和顶点坐标；
(2)当时，求函数值的范围；
(3)根据图象回答，当取何值时，函数值？
24．【问题提出】
我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？
【初步思考】
（1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则_______°，_______°．
（2）如图2，是的弦，圆心角，点P是上不与A、B重合的一点，求弦所对的圆周角的度数（用m的代数式表示）_______．
【问题解决】
（3）如图3，已知线段，点C在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）．
【实际应用】
（4）如图4，在边长为12的等边三角形中，点E、F分别是边上的动点，连接，交于点P，若始终保持，在点E从点A运动到点C过程中，的最小值是_______．2025—2026学年九年级上学期期中模拟卷（丽水专用）
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（测试范围：九年级上册浙教版，第1-3章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A B D A D B C B
1．A
本题考查二次函数顶点式，掌握相关知识是解决问题的关键．二次函数的顶点坐标为，据此解答即可．
解：的顶点为．
故选：A．
2．B
本题主要考查分式方程的应用及利用概率求数量，读懂题意列出方程是解题的关键．
设盒子中白球有个，根据题意列出方程，解方程即可得出答案．
解：设盒子中白球有个，
根据题意有，，
解得：，
经检验，是原分式方程的解．
故选：B．
3．A
本题考查二次函数的最值，掌握相关知识是解决问题的关键．把解析式化为顶点式即可判断．
解：，
∵抛物线开口向下，
∴二次函数有最大值为4，
∴水喷出的最大高度是4米．
故选：A．
4．B
本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理即可解答，掌握圆周角定理是解题的关键．
解：∵和是同弧所对的圆周角和圆心角，，
∴，
故选：B．
5．D
根据同弧所对的圆周角相等以及圆内接四边形对角互补即可求解．本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，解决本题的关键是掌握圆内接四边形对角互补．
解：如图所示，
当P在上时，，
当P在上时，，
故选：D．
6．A
本题考查矩形的性质和判定，弧长公式，掌握相关知识是解决问题的关键．证明四边形是矩形，因为点为的中点，则点为的中点，当点沿着圆周转过时，点走过的路径是在以为圆心为半径的圆上转过，利用弧长公式计算即可．
解：如图，连接，
于点，于点，
四边形是矩形，
又点为的中点，
点为的中点，
则，
点走过的路径长．
故选：A．
7．D
本题考查了列表法与树状图法，由树状图可得到共有64种等可能的结果，积是偶数共有56种结果数，然后利用概率公式计算．
解：画树状图如下：
树状图可得到共有64种等可能的结果，积是偶数共有56种结果数，
所以，三次数字之积是偶数的概率为，
故选：D．
8．B
本题考查了二次函数的应用，令，则，求解得到坐标，即可得出答案，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
解：令，则，
解得：，
∴，
∴，
故选：B．
9．C
本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
根据二次函数的定义：形如（a，b，c为常数且）可得且，然后进行计算即可得到答案．
解：由题意得，
解得，
∵，
．
故选：C．
10．B
本题考查的知识点是一次函数的图像与二次函数的图像，理解掌握函数图像的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论．
解：A．函数图像可得，则开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确；
B．函数图像可得，则开口方向向下正确，顶点坐标为，故选项B正确；
C．函数图像可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确；
D．函数图像可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确；
故选：B．
11．44
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
连接，由是的直径，得到，再利用三角形内角和定理求出，再利用同弧所对的圆周角相等即可得出答案．
解：连接，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：44．
12．0.4
本题考查了求频率，用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率稳定趋向一个固定的值，这个固定值即是概率；求出各个频率即可估计出概率．
解：∵表中从左往右，频率分别为0.5，0.3，0.36，0.4，0.403，0.4005，0.4002，
∴随着试验次数的增多频率稳定在0.4附近，
∴钉尖朝上的概率约为0.4，
故答案为：0.4．
13．
本题考查了列表法或树状图法求概率，解题关键是正确得出所有结果数与事件发生包含的结果数，利用概率公式求解即可．
解：将敦煌莫高窟、云冈石窟、龙门石窟、麦积山石窟的卡片分别记为A、B、C、D，
画树状图如图所示：
共12种情况，小漳恰好抽到敦煌莫高窟和云冈石窟卡片的情况数为2种，
∴小漳恰好抽到敦煌莫高窟和云冈石窟卡片的概率；
故答案为： ．
14．
本题考查二次函数图像与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．二次函数解析式中二次项系数的绝对值越大相应的抛物线开口越小，据此解答即可．
解：∵抛物线皆开口向上，
∴各二次函数中的二次项系数都为正数，
∵二次函数解析式中二次项系数的绝对值越大相应的抛物线开口越小，
∴．
故答案为：．
15．12
本题考查正多边形和圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，即可求出n的值．
解：设点O为正n边形外接圆的圆心，连接，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：12．
16．
本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数解析式是关键．
以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，由此可得，即可求函数解析式为，再将代入解析式，求出、点的横坐标即可求的长．
解：以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为，
∵点到水面的距离为，
∴、点的纵坐标为，
∵水面宽为，
，
将点A代入，
，
，
，
∵水位上升就达到警戒水位，
∴点的纵坐标为，
，
，
，
故答案为：．
17．(1)
(2)不可能为反比例函数，理由见解析
此题主要考查了反比例函数以及二次函数的定义．
（1）直接利用二次函数的定义分析得到且，解方程得出答案；
（2）直接利用反比例函数的定义得到，且，解方程得出答案．
（1）解：∵函数，
且时，该函数为二次函数，
解得：，
时，该函数为二次函数；
（2）该函数不可能为反比例函数．理由如下：
当该函数为反比例函数，则，且，
整理得，
此时，方程无实数根，
故该函数不可能为反比例函数．
18．(1)见详解
(2)
本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角的性质、勾股定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握圆内接四边形的性质、圆周角的性质、勾股定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）由题意易得，，然后可得，进而问题可求证；
（2）连接，由题意易得，设，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解．
（1）证明：∵，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图所示：
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴设，则有，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴．
19．(1)，5
(2)见解析
(3)存在，最大值为，
本题考查了二次函数与一次函数的应用、轴对称的性质、勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）将点，代入函数计算即可得；
（2）根据表格中的数据，利用描点法画出函数图象即可得；
（3）先根据两个函数的解析式求出点的坐标，再作点关于轴的对称点，连接，则，，从而可得，当且仅当点共线时，等号成立，即的值最大，然后利用勾股定理可得的长，利用待定系数法可得直线的解析式，由此即可得点的坐标．
（1）解：将代入得：，
将点代入得，
故答案为：．
（2）解：在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象如下：
．
（3）解：当时，，
联立，解得或（舍去），
∴，
当时，，
联立，解得或（舍去），
∴，
如图，作点关于轴的对称点，连接，
则，，
∴，当且仅当点共线时，等号成立，即的值最大，
∵，，
∴的最大值为；
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
将代入得：，
∴在轴上存在一点，使的值最大，这个最大值为，此时点的坐标为．
20．(1)这个游戏不公平，详见解析
(2)拿出一个白球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．画出树状图，求出他们各自获胜的概率是解答本题的关键．
（1）画出树状图，根据概率公式即可求出概率，比较概率即可得出结论；
（2）让二者的概率相同即可．
（1）解：游戏方案不公平，理由如下：
由树状图可以看出：共有12种可能，摸到“一白一红”有4种，摸到“一红一蓝”的情况有2种，
故小颖获胜的概率为 ，小亮获胜的概率为，所以这个游戏不公平．
（2）解：当拿出一个白球时，其他不变，同理可求摸到“一白一红”和摸到“一红一蓝”的概率均是；
或放进一个蓝球，其他不变，则同理可求摸到“一白一红”和摸到“一红一蓝”的概率均是；
∴游戏就公平了．
21．(1)3
(2)
本题考查了已知频率求概率，已知概率求数量，列举法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）已知摸出白球的频率，即摸出白球的概率，然后用白球的个数除以摸出白球的概率即可求出球的总个数，进而可得答案；
（2）列出从布袋一次性摸出2个球的等可能结果，从中找到摸出2个球都是红球的结果数，再根据概率公式求解即可．
（1）解：由题意知，布袋中球的总个数为（个），
∴布袋中红球的个数为（个），
答：布袋中红球的个数为3个．
（2）解：设白球为白，3个红球分别为红1，红2，红3，
从布袋一次性摸出2个球的等可能结果有：（白，红1），（白，红2），（白，红3），（红1，红2），（红1，红3），（红2，红3），
共有6种等可能结果，其中摸出2个球都是红球的有3种结果，
所以一次性摸出2个球都是红球的概率为．
22．(1)；
(2)，当销售单价定为2650元时，销售利润最大，月销售利润最大为132250元．
本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式，二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键．
（1）设关于的函数解析式为，用待定系数法求解即可；
（2）根据利润等于每件利润乘以销售量得到函数解析式；将解析式化为顶点式，再根据二次函数的图像和定义即可得到答案．
（1）解：设关于的函数解析式为，
将，分别代入，
得，解得，
故关于的函数解析式为．
（2）解：根据题意可知，关于的函数解析式为
，
配方，得，
所以当时，取得最大值，最大值为，
故当销售单价定为2650元时，销售利润最大，月销售利润最大为132250元．
23．(1)点坐标为，点坐标为，点坐标为，顶点坐标为
(2)
(3)或
本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，利用图象法求不等式的解集等知识点．
（1）令即可求解抛物线与坐标轴的交点，将一般式化为顶点式即可求解顶点坐标；
（2）根据二次函数的图象与性质即可求解；
（3）利用图象即可求解．
（1）解：对于，
当时，，
解得，，
点坐标为，点坐标为，
把代入可得，
点坐标为，
抛物线解析式为：，即，
顶点坐标为；
（2）解：对称轴，开口向上，
当时，有最小值为，
∵
∴时，对应点离对称轴较远，函数有最大值为5，
；
（3）解：抛物线经过轴上两点，，且抛物线开口向上，
当或时，抛物线在轴的上方，即．
24．(1)50，130
(2)或
(3)见解析
(4)
（1）根据圆周角定理计算的度数，然后根据圆内接四边形的性质求的度数；
（2）与（1）的求法一样（注意分类讨论）；
（3）先作的垂直平分线得到的中点，再以为直径作圆交的垂直平分线于，然后以点为圆心，为半径作，则在内的弧为满足条件的点所组成的图形；
（4）先证明，得到，，根据（3）问点P的运动轨迹是，，连接，证明，进而得到，，，根据勾股定理求出，，根据，可得，即可求出的最小值为．
（1）解：，
，
故答案为：50，130；
（2）解：当在优弧上时，，
当在劣弧上时，，
故答案为：或；
（3）解：如图3，
劣弧（实线部分且不包含、两个端点）就是所满足条件的点所组成的图形；
（4）解：如图，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点P的运动轨迹是，
∴．
连接，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在中，设，则，
根据勾股定理得，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形性质、等边三角形的性质的运用、全等三角形的判定及性质的运用，解题关键是证明三角形全等，本题还考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．(共5张PPT)
浙教版 九年级上册
九年级数学上学期期中模拟卷
【丽水专用】试卷分析
二、知识点分布
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题
1 0.94 y=a（x-h） +k的图象和性质
2 0.85 列分式方程；由频率估计概率；已知概率求数量
3 0.84 y=ax +bx+c的最值；喷水问题(实际问题与二次函数)
4 0.64 圆周角定理
5 0.65 同弧或等弧所对的圆周角相等；已知圆内接四边形求角度；圆周角定理
6 0.75 根据矩形的性质与判定求线段长；求某点的弧形运动路径长度
7 0.75 列表法或树状图法求概率
8 0.74 拱桥问题(实际问题与二次函数)
9 0.64 根据二次函数的定义求参数
10 0.64 根据一次函数解析式判断其经过的象限；y=ax 的图象和性质
二、知识点分布
二、填空题
11 0.85 同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（直径）所对的圆周角是直角
12 0.84 由频率估计概率
13 0.74 列表法或树状图法求概率
14 0.75 y=ax 的图象和性质
15 0.64 圆周角定理；已知正多边形的中心角求边数
16 0.55 拱桥问题(实际问题与二次函数)
二、知识点分布
三、解答题
17 0.75 根据二次函数的定义求参数；根据反比例函数的定义求参数
18 0.64 半圆（直径）所对的圆周角是直角；已知圆内接四边形求角度；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
19 0.75 一次函数与几何综合；y=ax +k的图象和性质；用描点法画函数图象；根据成轴对称图形的特征进行求解
20 0.64 列表法或树状图法求概率；游戏的公平性
21 0.74 列举法求概率；由频率估计概率；已知概率求数量
22 0.65 求一次函数解析式；销售问题(实际问题与二次函数)
23 0.64 求抛物线与x轴的交点坐标；根据交点确定不等式的解集；y=ax +bx+c的图象与性质；求抛物线与y轴的交点坐标
24 0.4 圆周角定理；已知圆内接四边形求角度；作已知线段的垂直平分线；等边三角形的判定和性质
