2025—2026学年九年级上学期期中模拟卷（专用舟山）
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-3章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为 B．对称轴是直线
C．与轴交于正半轴 D．当时，随的增大而减小
2．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3．随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球．第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的直径，C，D，E是上三点，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，内两弦、交于点，平分，下列结论中：①；②；③；正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．如图，正方形的边长为3，为边上一点，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则（ ）
A． B． C． D．
7．在一个不透明的箱子里有个除颜色外完全相同的小球，其中白球只有6个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到白球的频率为，由此可以推算出约为（ ）
A．10 B．15 C．16 D．21
8．二次函数的图象如图，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上，，将沿平移，当点与点重合时，停止平移．设点平移的距离为与正方形重合部分的面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知点，，的半径为5，是上的动点，是的中点，则长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为1，2，3的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”）
12．在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则 ．
13．如图，内接于，，将沿着弦翻折后，恰好经过弦的中点D，则弦的长为 ．
14．如图，正五边形的边长为5，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的周长为 ．（结果保留）
15．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是 ．
16．已知抛物线，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．已知抛物线 ．
(1)求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．
(2)当x为何值时，y随x的增大而减小？当x为何值时，y随x的增大而增大？
18．如图，在中，为直径，为弦，且，垂足为．
(1)若，，求的长度；
(2)若，则____°．
19．如图，抛物线过点，．
(1)求抛物线的解析式和对称轴；
(2)点是对称轴上一点，当达到最小值时，求点的坐标．
20．我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”．
(1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ；
(2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”；
(3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长．
21．绝大多数的彩色都可以利用红、绿、蓝三种颜色按不同比例混合而成，这叫做三原色原理．如：红色与蓝色重叠现紫色，红色与绿色重叠现黄色…小刚和小亮利用如图所示的两个转盘作游戏，转动两个转盘各一次，若配成紫色小刚嬴，若配成黄色小亮赢．请利用画树状图或者列表的方法说明这个游戏是否公平．
22．一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
(1)从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？
(2)小明向箱中放入n个红球后搅匀，然后从箱子中随机摸出一个球是白球的概率为，求n的值．
23．如图，已知二次函数的图象经过三点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)设点在二次函数的图象上，将绕点C按顺时针方向旋转至，使得射线经过点D且与y轴的正半轴交于点E，射线与线段交于点F．求证：．
24．如图，点P是等边三角形中边上的动点（），作的外接圆交于点D．点E是圆上一点，且，连接交于点F．
(1)求证：
(2)当点P运动变化时，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数．
(3)探究线段、、之间的数量关系，并证明．2025—2026学年九年级上学期期中模拟卷（专用舟山）
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-3章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A C D C B C A C
1．D
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据，可知其开口向上，对称轴为，其顶点坐标为，当时，随的增大而增大，从而判断出答案．
解：，，
其开口向上，对称轴为，其顶点坐标为，故A、B正确；
当时，随的增大而增大，故D错误；
当时，，与轴交于正半轴，故C正确；
故选：D．
2．B
本题考查了二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
根据二次函数顶点为，开口向下即可判断．
解：函数开口向下，顶点为．
故选：B．
3．A
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
列表可得出所有等可能的结果数以及第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的结果有：，，，共3种，
第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是．
故选：A．
4．C
本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握直角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等．
连接，由圆周角定理得到，再由圆周角定理得到，以及，然后直角三角形锐角互余求解即可．
解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
5．D
本题主要考查了垂径定理、弧、弦、圆心角的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
过点作于点，于点，证，得、，由弦心距相等得，故①正确；由弧、弦、圆心角的关系可得，由等式性质得，故②正确；由垂径定理及等式性质得，故③正确；据此即可得解．
解：过点作于点，于点，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，；
∴；故①正确．
∵，
∴，
∴，
即，故②正确；
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵；
∴，
即，故③正确；
故选：D
6．C
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理．
由旋转的性质可得，，由正方形的性质可得、，由勾股定理得，即，然后根据勾股定理求解即可．
解：由旋转可得：，，
∵正方形的边长为3，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
7．B
本题考查了利用频率估计概率的知识，根据白球的个数除以它占总数的比例即为球的总数，求出即可，解题的关键是能够根据大量重复试验中频率稳定于概率得出概率．
解：∵通过大量的重复试验后发现，摸到白球的频率为，
∴，
解得：，
∴约为，
故选：B．
8．C
本题考查二次函数图象和一次函数图象和性质，掌握它们的性质是解题的关键．根据二次函数图象开口方向可以判断出的符号，由对称轴的位置判断b的符号，再由一次函数的性质解答．
解：由图象可知，函数图形开口向下，
∴
∴一次函数中随的增大而减小，
∵抛物线的对称轴直线在y轴右侧，
∴，
∴，
∴一次函数交于轴的正半轴，
∴一次函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
9．A
本题主要考查动点函数图象问题，涉及到二次函数的性质，正方形和三角形面积，先判断在平移过程中不同阶段重合部分图形的形状，再求出面积y关于平移距离x的函数表达式，最后根据函数表达式判断出函数的图象．
解：设点平移的距离为，与正方形重合部分的面积为．
①当时，如图1，，；
②当时，如图2，，，，
∴．
综上，，
由分段函数可以看出A选项中的函数图象与所求的分段函数对应．
故选：A．
10．C
本题考查了点与圆的最值问题、中位线定理以及勾股定理，是一道有关圆的动点问题，确定点的运动轨迹是解题的关键．连接，，取的中点，连接，，构造的中位线，再利用中位线定理和勾股定理确定点的运动轨迹为圆，最后根据点圆距离的最值知识，得到的最大值和最小值，从而得到长的取值范围．
解：如图，连接，，取的中点，连接，，
，，
，，
，
，
，
的半径为5，
，
,分别为，的中点，，
为的中位线，
，
点的运动轨迹为以点为圆心，以为半径的圆，
，
，
的取值范围为．
故选C．
11．不公平
本题考查了列表法求概率，游戏公平性问题；先根据题意列出表格，然后根据概率公式求解即可．
解：列表如下：
共有9种情况，和为奇数有4种情况，和为偶数有5种情况，
∴甲获胜的概率是，乙获胜的概率是
所以这个游戏不公平，
故答案为：不公平．
12．
本题考查了概率公式，分式方程的应用．
根据概率公式列方程计算即可．
∵在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，
∴，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
故答案为：．
13．
本题重点考查圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，连接，作于点E，因为将沿着弦AB翻折后，恰好经过弦AC的中点D，所以，根据圆周角定理得，所以，则，由，得，则，所以，求得，则，于是得到问题的答案．
解：连接，作于点E，则，
将沿着弦翻折后，恰好经过弦的中点D，
，
与所对的圆周角相等，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
14．/
本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正五边形的性质，正五边形内角的计算方法以及扇形周长的计算方法是正确解答的关键．
根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据弧长的计算方法进行计算即可．
解：五边形是正五边形，
，
阴影部分的周长为，
故答案为：．
15．①②/②①
本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、特殊点的函数值与系数、、的关系是解题的关键．
先根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等特征，分别分析每个结论涉及的系数、、的符号及数量关系，再逐一判断结论的正确性．
解：∵抛物线开口向下，
∴；
∵对称轴为直线，即，
∴；
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴；
∵，，，
∴，故①正确．
∵对称轴为直线，即，
∴，即，故②正确．
当时，，由图象知时，，即；
把代入得，故③错误．
当时，，由图象知时，，即，
∴不成立，故④错误．
故答案为：①②．
16．
此题主要考查了二次函数的图像与性质、解一元一次不等式等知识，根据二次函数解析式得出对称轴是解题关键．
先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于m的不等式，求解即可得答案．
解：∵抛物线，二次项系数为，
∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线．
∴在对称轴左侧，随的增大而减小；在对称轴右侧，随的增大而增大．
∵当时，随的增大而减小，
∴．
解得．
故答案为：．
17．(1)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标
(2)当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大
本题考查的是二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）将一般式化为顶点式，进行作答即可；
（2）根据二次函数的增减性解答即可．
（1）解：，
，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标；
（2）解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．
18．(1)
(2)60
本题考查垂径定理的应用、勾股定理、圆周角定理：
（1）利用垂径定理和勾股定理即可求解；
（2）连接，首先根据垂径定理和圆周角定理得到和的关系，然后利用求出，最后利用直角三角形中两个锐角互余的性质解之．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的长度为．
（2）解：连接，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，解得，
∴．
∵，
∴．
故答案为：60．
19．(1)
，
(2)
本题主要考查二次函数解析式的求解（待定系数法）、二次函数对称轴的计算、利用轴对称求最短路径问题，掌握通过轴对称转化线段长度以简化最值问题，结合图形中的平行关系和比例关系推导点的坐标是解题的关键．
（1）先将点、的坐标代入抛物线解析式，通过解方程组求出对应的值，得到抛物线解析式并计算其对称轴；
（2）利用轴对称性质，过对称轴作点的对称点，连接交对称轴于点（此时最短），最后通过分析图形中线段的平行关系和线段的比例关系，计算出点的坐标．
（1）解：∵抛物线过点，，
代入得：，
解得：，
∴，
对称轴：．
（2）解：如图，作点关于对称轴的对称点，交对称轴于点，连接，交对称轴于点，此时最短，
，
∵点和点关于对称轴为对称，，
∴，，，
∴，点的横坐标为2，
∵点在抛物线的轴上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点的纵坐标为，
∴点的坐标为．
20．(1)90，120
(2)见解析
(3)或
（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解；
（2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证；
（3）连接，分四种情况：当时，则；当时；当时；当时；分别结合“等对角四边形”的定义求解即可．
（1）解：∵“等对角四边形”内接于，，
∴，，，
∴，
故答案为：90，120；
（2）证明：∵“等对角四边形”内接于，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是“等对角四边形”；
（3）解：如图1，连接，当时，则，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是“等对角四边形”，是直径，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图2，当时，此时，，
∴，
∴，
∴四边形是“等对角四边形”，
作，交于E，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，则，，，
∴四边形不是“等对角四边形”，
当时，则，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形不是“等对角四边形”，
综上所述：或．
本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、“等对角四边形”的定义， 掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
21．公平，见解析
本题考查了用树状图或列表法计算概率，分别计算出小刚、小亮获胜的概率，比较大小即可得出结论，熟练利用树状图或列表法求概率是解题的关键．
解：如下表所示：
红 蓝 绿
红 （红，红） （红，蓝） （红，绿）
蓝 （蓝，红） （蓝，蓝） （蓝，绿）
绿 （绿，红） （绿，蓝） （绿，绿）
白 （白，红） （白，蓝） （白，绿）
由表可知，共有12种等可能结果，其中配成紫色的有2种结果，其中配成黄色的有2种结果，
所以，，
，
小刚、小亮获胜的概率相同，
故游戏公平．
22．(1)；
(2)n的值为．
本题考查了简单的概率公式，分式方程的应用，掌握相关知识是解题的关键．
（1）直接利用简单的概率公式求解即可；
（2）依题意列出方程，求解检验即可．
（1）解：从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是；
（2）解：由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴n的值为．
23．(1)
(2)见解析
本题考查二次函数的解析式求解以及几何图形的旋转与全等证明，解题的关键是利用待定系数法求二次函数解析式，通过作辅助线、证明三角形全等进行几何推导．
（1）利用待定系数法，将、、三点坐标代入二次函数，解方程组求出、、的值，得到解析式．
（2）先求出点坐标，再求出直线的解析式，确定点坐标，结合全等三角形的性质，得出，进而推导出．
（1）解：把代入，
得
∴二次函数的解析式为；
（2）解：过点C作于点轴于点，
，
，
，
，
∵将绕点按顺时针方向旋转至，
，
即，
又 ∵，
，
，
∵二次函数的解析式为，
当时，，
，
设直线，把代入得
，
∴直线
，
．
24．(1)见解析
(2)
(3)，理由见解析
（1）连接PE，根据等边三角形的性质可得AB＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠PEB＝∠ACB＝60°，从而可得∠A＝∠PEB，然后利用等弧所对的圆周角相等可得∠PBD＝∠PBE，从而利用AAS证明△ABP≌△EBP，进而可得AB＝EB，最后利用等量代换可得EB＝BC；
（2）根据等弧所对的圆周角相等可得∠DEP＝∠EBP，然后利用三角形的外角性质可得∠BFD＝∠PEB＝60°，即可解答；
（3）延长交于点，先证明是等边三角形，然后证明即可得出结论．
（1）证明：连接PE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，
∴∠PEB＝∠ACB＝60°，
∴∠A＝∠PEB，
∵，
∴∠PBD＝∠PBE，
∵BP＝BP，
∴△ABP≌△EBP（AAS），
∴AB＝EB，
∴EB＝BC；
（2）解：当点P运动时，∠BFD的度数不会变化，
∵，
∴∠DEP＝∠EBP，
∵∠BFD＝∠EBP＋∠DEB，
∴∠BFD＝∠DEP＋∠DEB
＝∠PEB
＝60°，
∴∠BFD的度数为60°；
（3），理由如下：
延长交于点，
，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，，
，
连接，
四边形是圆的内接四边形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
即．
本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．(共5张PPT)
浙教版 九年级上册
九年级数学上学期期中模拟卷
【舟山专用】试卷分析
二、知识点分布
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题
1 0.94 二次函数的识别
2 0.84 y=a（x-h） +k的图象和性质
3 0.75 点坐标规律探索；求某点的弧形运动路径长度
4 0.74 圆周角定理；已知圆内接四边形求角度
5 0.65 与三角形中位线有关的证明；利用垂径定理求值
6 0.64 根据旋转的性质求解
7 0.65 列表法或树状图法求概率；游戏的公平性
8 0.64 列表法或树状图法求概率
9 0.64 二次函数图象与各项系数符号；根据二次函数的图象判断式子符号；y=ax +bx+c的最值
10 0.4 求抛物线与x轴的交点坐标；正方形性质理解；根据成轴对称图形的特征进行求解
二、知识点分布
二、填空题
11 0.85 y=ax 的图象和性质
12 0.84 根据交点确定不等式的解集
13 0.75 根据概率公式计算概率
14 0.74 由频率估计概率
15 0.64 圆周角定理；已知圆内接四边形求角度
16 0.65 利用垂径定理求值；利用弧、弦、圆心角的关系求解
二、知识点分布
三、解答题
17 0.85 y=ax +bx+c的图象与性质；求抛物线与x轴的交点坐标；待定系数法求二次函数解析式
18 0.75 已知圆内接四边形求角度；线段垂直平分线的判定；等边对等角；半圆（直径）所对的圆周角是直角
19 0.74 喷水问题(实际问题与二次函数)；求扇形面积
20 0.65 根据概率公式计算概率；列表法或树状图法求概率
21 0.65 列表法或树状图法求概率；游戏的公平性
22 0.64 营销问题(一元二次方程的应用)；销售问题(实际问题与二次函数)；求一次函数解析式
23 0.4 利用垂径定理求值；一次函数与几何综合；用勾股定理解三角形；与三角形中位线有关的求解问题
24 0.4 面积问题(二次函数综合)；特殊四边形(二次函数综合)；求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式
