阶段综合检测卷（二） 函数与导数 2026年高考数学一轮复习专题练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 阶段综合检测卷（二） 函数与导数 2026年高考数学一轮复习专题练习（含解析） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 145.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-06 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
阶段综合检测卷(二) 函数与导数
一、单项选择题
1．已知函数fx＝sin 2x＋f′0cos x－1，则f0＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
2．设函数fx＝log26?x，x<1，2x?1 ，x≥1，则f?2+flog26＝( )
A．2 B．6
C．8 D．10
3．已知函数f(x)＝x2ex?e?x＋2，若ft＝4，则f?t的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
4．设a＝ln44，b＝4?ln4e2，c＝e2e，则( )
A．aC．c5．2023年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏．据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8种半衰期在1万年以上．已知某种放射性元素在有机体体液内浓度c(Bq/L)与时间t(年)近似满足关系式c＝k·at(k，a为大于0的常数且a≠1)．若c＝16时，t＝10；若c＝112时，t＝20.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度c为1120时，大约需要(参考数据：log23≈1.58，log25≈2.32)( )
A．43年 B．53年
C．73年 D．120年
6．已知函数f(x)是R上的偶函数，且f(x)的图象关于点(1，0)对称，当x∈[0，1]时，f(x)＝2－2x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)的值为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
7．已知x1，x2分别是方程ex＋x－4＝0，ln (x－1)＋x－5＝0的根，则ex1＋1＋ln (x2－1)的值为( )
A．e＋ln 5 B．e2＋ln 5
C．10 D．5
8．已知函数f(x)＝2x?1+21?x?2， x≥0，| log?4(?x)|，x<0，f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，且x1A．－2 B．－32
C．－1 D．－12
二、多项选择题
9．若a>b>1，0A．amB．maC．logmaD．logam10．已知非常数函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f(2－x)为奇函数，f(2x＋4)为偶函数，则( )
A．f(2)＝1 B．f(2 024)＝－f(2 020)
C．f′(－1)＝f′(7) D．f′(－2 021)＝f′(2 025)
11．已知函数f(x)＝4sinπx，01，若存在三个实数，使得fx1 ＝fx2＝fx3，则( )
A．x1＋x2＋x3的取值范围为2，3
B．x2fx3的取值范围为53，2
C．x1x2x3的取值范围为536，12
D．x1fx3的取值范围为13，2
三、填空题
12．写出一个同时满足①②的函数fx＝___________．①fx是偶函数，②fx+2＝?fx.
已知函数fx＝xex?a有两个极值点，则实数a的取值范围是___________．
曲率在数学上是表明曲线在某一点的弯曲程度的数值．对于半径为R(R>0)的圆，定义其曲率K＝1R.对于一般曲线，我们可通过曲线上某点处的密切圆半径来描述该点的曲率，其中对于曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的密切圆半径计算公式为R＝1+f'x0232f″x0.已知函数g(x)＝log2x，椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，则曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的曲率为____________；C上任一点处曲率的最大值为____________．
四、解答题
15．已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点(2，f(2))处的切线与直线2x＋3y＝0垂直．
(1)求a；
(2)求f(x)的单调区间和极值．
16．函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有f(x＋2)＝f(－x)成立．已知当x∈[0，1]时，f(x)＝loga(2－x)(a>1)．
(1)当x∈[1，2]时，求函数f(x)的表达式；
(2)若函数f(x)的最大值为1，当x∈[－2，2]时，求不等式f(x)>12的解集．
17．已知函数f(x)＝ln x－kx(k∈R).
(1)若函数f(x)有一个零点，求k的取值范围；
(2)已知函数g(x)＝ex，若g(x)－f(x)≥1恒成立，求k的取值范围.
18．某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度y(单位：毫米/立方米)随着时间x(单位：小时)变化的关系如下：当0≤x≤4时，y＝168?x－1；当4(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值.(精确到0.1，参考数据：2≈1.4)
19．已知函数fx＝x?a+2ln x－a+1x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设gx＝ex＋mx2－e2－3，当a＝e2－1时，对任意x1∈1，＋∞在x2∈1，+∞，使gx2≤f(x1)，求实数m的取值范围．
阶段综合检测卷(二) 函数与导数
1．解析：因为fx＝sin 2x＋f′0cos x－1，
故可得f′(x)＝2cos 2x－f′(0)sin x，
令x＝0，则f′(0)＝2，故fx＝sin 2x＋2cos x－1，则f0＝1.
答案：C
2．解析：因为fx ＝log26?x，x<1，2x?1 ，x≥1，
所以f?2＝log28＝3，flog26＝2log26?1＝3，所以f(－2)＋flog26＝6.
答案：B
3．解析：令gx＝x2ex?e?x，其定义域为R，
且gx+g?x＝x2ex?e?x?x2ex?e?x＝0，故gx为奇函数．
则ft+f?t＝gt+2+g?t＋2＝4，又ft＝4，
故可得f?t＝0.
答案：B
4．解析：由题意可得a＝ln44＝ln22，b＝4?ln4e2＝lne22e22，c＝e2e＝lnee，
设f(x)＝lnxx，x>0，则f′(x)＝1?lnxx2，
故当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
因为a＝f(4)＝f(2)，b＝fe22，c＝fe，且0可得a＝f(2)>fe＝c，a＝f(4)答案：D
5．解析：由题意得，16＝k·a10，112 ＝k·a20，解得a＝12110，k＝13，
所以c＝13·12t10，
当c＝1120时，得1120 ＝13·12t10，即12t10＝140，
两边取对数得t10＝log12140＝log240＝3＋log25≈3＋2.32＝5.32，
所以t＝5.32×10＝53.2，
即这种有机体体液内该放射性元素浓度c为1120时，大约需要53年．
答案：B
6．解析：因为函数f(x)是R上的偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，
因为f(x)的图象关于点(1，0)对称，
所以f(－x)＋f(2＋x)＝0，即f(x)＋f(2＋x)＝0，
所以f(2＋x)＝－f(x)，
所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，
所以函数f(x)是R上周期为4的函数，
当x∈[0，1]时，f(x)＝2－2x，
所以f(0)＝1，f(1)＝0，
又f(2)＝－f(0)＝－1，f(3)＝－f(1)＝0，
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝f(2 024)＝f(0)＝1.
答案：D
7．解析：在同一平面直角坐标系绘制函数y＝ex＋1，y＝ln (x－1)，y＝－x＋5的图象，
由题意可知x1，x2的值分别为图中点P1，P2的横坐标，
则ex1＋1，ln (x2－1)的值分别为图中点P1，P2的纵坐标，
因为函数y＝ex＋1和y＝ln (x－1)互为反函数，
互为反函数的图象关于直线y＝x对称，设直线y＝x与y＝－x＋5的交点为P3，
易知P352，52，结合对称性可知ex1＋1＋ln (x2－1)＝2×52＝5.
答案：D
8．解析：设gx＝2x＋2－x－2，因为g?x ＝gx，所以gx是偶函数，
g0＝0，gx＝2x+2?x ?2≥22x·2?x－2＝0(当且仅当x＝0时等号成立)，
故gx是偶函数，且最小值为0，
函数y＝2x-1＋21-x－2可以由函数g(x)＝2x＋2－x－2的图象向右平移1个单位长度得到，
函数fx的图象如图所示：
则x3＋x4＝2，且fx3≤f0＝12，
因为fx1＝fx2，所以log4?x1＝－log4?x2，
所以log4?x1＋log4?x2＝0，即?x1?x2＝1，
故x1＋x2＝1x2＋x2，
因为| log?4(?x)|≤12，即log4?x2≥?12，
所以x2∈ ?1，?12，
设ht＝t+1t，t∈?1，?12，任取t1，t2∈?1，?12，且t1则ht1?ht2＝t1+1t1?t2?1t2＝t1?t2+t2?t1t1t2＝t1t2?1t1?t2t1t2
因为t1－t2<0，t1t2－1<0，所以ht1?ht2>0，即ht1>ht2.
所以y＝ht＝t+1t在t∈?1，?12上单调递减，
所以x1＋x2≥－2－12＝?52，所以x1＋x2＋x3＋x4的最小值是－12.
答案：D
9．解析：对于A，∵幂函数y＝xm(0b>1可知am>bm，故A错误；
对于B，∵指数函数y＝mx(0b>1可知ma对于C，∵对数函数y＝logmx(0b>1可知logma对于D，由C可知logma1logmb，即logam>logbm，故D错误．
答案：BC
10．解析：因为非常数函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，
若f(2－x)为奇函数，则f(2＋x)＝－f(2－x)，则f(x)的图象关于点(2，0)对称，且f(2)＝0，故A错误；
因为f(2x＋4)为偶函数，所以f(2x＋4)＝f(－2x＋4)，即f(x＋4)＝f(－x＋4)，则f(x)＝f(8－x)，
又f(2＋x)＝－f(2－x)，所以f(x)＝－f(4－x)，
所以f(8－x)＝－f(4－x)，即f(x＋4)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，
故f(x)的周期为8，所以f(2 024)＝f(0)，f(2 020)＝f(4)，在f(x＋4)＝－f(x)中，令x＝0，得f(4)＝－f(0)，所以f(2 024)＝－f(2 020)，故B正确；
对f(x＋8)＝f(x)两边同时求导，得f′(x＋8)＝f′(x)，
所以导函数f′(x)的周期为8，所以f′(－1)＝f′(7)，故C正确；
由f′(x)周期T＝8，得f′(－2 021)＝f′(3)，f′(2 025)＝f′(1)，对f(x)＝－f(4－x)两边同时求导，得f′(x)＝f′(4－x)，令x＝1，得f′(1)＝f′(3)，
所以f′(－2 021)＝f′(2 025)，故D正确．
答案：BCD
11．解析：作出函数fx的大致图象，如图所示，
设fx1＝fx2＝fx3＝t，
数形结合得：x1，x3均是关于t的增函数，x2是关于t的减函数，且2当0所以16不妨设x2＝23，则t＝fx2＝4sin 2π3＝23＝fx3，此时x2fx3＝ 433>2，所以B错误；
因为x1＋x2＝1，所以x1x2＝x11?x1＝?x1?122+14∈536 ，14，且x1x2与x3均为关于t的增函数，所以x1x2x3∈536，12，C正确；
因为x1为关于t的增函数，16答案：ACD
12．解析：因为fx+2＝?fx，所以fx ＝?fx?2，故fx+2 ＝fx?2，可知函数fx的最小正周期为4，结合函数为偶函数，可以构造fx＝cos π2x.
答案：cos π2x(答案不唯一)
解析：f′(x)＝ex－a＋xex，由题意f′(x)＝ex－a＋xex＝0有两个不等的实根，即a＝ex＋xex有两个不等的实根，
设g(x)＝ex＋xex，则g′(x)＝ex＋ex＋xex＝(x＋2)ex，
x<－2时，g′(x)<0，g(x)递减，x>－2时，g′(x)>0，g(x)递增，
所以g(x)min＝g(－2)＝－e-2＝－1e2，
又x<－1时，g(x)＝(x＋1)ex<0，且x→－∞时，g(x)→0，g(－1)＝0，
所以－1e2答案：－1e2解析：因为g′(x)＝1xln2，记h(x)＝g′(x) ，则h′(x)＝－1x2ln2，
所以g′(1)＝1ln2，h′(1)＝－1ln2；R|x＝1＝1+1ln?22321ln?2，K|x＝1＝1Rx＝1＝1ln21+1ln2232＝ln221+ln2232；
由曲率定义可知，曲率值K描述曲线弯曲程度大小，且结合曲线y＝g(x)各点曲率值K的变化趋势可知，曲线弯曲程度越大，曲率值K越大，所以椭圆C曲率值K最大点为其左、右顶点处．
椭圆C：b2x2＋a2y2＝a2b2的焦点均在x轴上，
经旋转得焦点在y轴上的椭圆E：b2y2＋a2x2＝a2b2，即b2y2＝a2b2－a2x2(*)，
在(*)式中两边分别对y，x求导得2b2y·y′＝－2a2x(**)，所以y′＝－a2xb2 y，y'|x＝0＝0，
在(**)式中两边分别对y，x求导，令y′＝Y，得y′·y′＋Y′·y＝－a2b2 ，且y'|x＝0＝0，
所以Y′|x＝0＝－ab2 ，所以R|x＝0＝b2 a ，K|x＝0＝ab2，即Kmax＝ab2.
答案：ln221+ln2232 ab2
15．解：(1)因为f′(x)＝1x＋2x＋a，所以f′(2)＝92＋a，
又直线2x＋3y＝0的斜率为－23，且f(x)在(2，f(2))处的切线与直线2x＋3y＝0垂直，
则92+a×?23＝－1，解得a＝－3.
(2)由(1)可知f(x)＝ln x＋x2－3x＋2，x>0，
令f′(x)＝1x+2x?3＝2x2?3x+1x＝2x?1x?1x＝0，解得x＝12或1，
故f(x)在0，12上单调递增，在12，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)极大值＝f12＝ln 12+34，f(x)极小值＝f(1)＝0.
16．解：(1)由fx+2＝f?x，可得fx图象关于x＝1对称．
因为x∈[1,2]，所以－x＋2∈[0,1]，f(－x＋2)＝logax，
又f(－x＋2)＝f(x)，故所求的表达式为logax，x∈[1，2].
(1)因为f(x)是R上的偶函数，所以f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数.
因为a>1，由函数f(x)的最大值为1，知f(x)max＝f(0)＝f(－x)＝loga2＝1，即a＝2.
若x∈[0，1]，则loga(2－x)>12，所以0≤x<2－2，
当x∈[－1，0]时，f(x)是R上的偶函数，可得2－2所以此时满足不等式的解集为2?2，2?2.
因为f(x)是以2为周期的周期函数，
当x∈[－2，－1]时，f(x)>12的解集为－2，－2，
当x∈[1，2]时，f(x)>12的解集为2，2.
综上所述，f(x)>12的解集为2?2，2?2∪?2，?2∪2，2.
17．解：(1)f(x)定义域为0，＋∞，由于f(x)＝ln x－kx有一个零点，可得方程k＝lnxx有且仅有一个实根，
令h(x)＝lnxx，h'x＝1?lnxx2，由h'x>0，得0e,
∴h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，
∴h(x)的最大值为h(e)＝1e，又h(1)＝0，
∴x∈(0,1)时，h(x)<0；x∈(1，+∞)时，h(x)>0.
画出h(x)＝lnxx大致图象如图所示，
若直线y＝k与y＝hx的图象有一个交点，则k≤0或k＝1e.
∴k的取值范围是?∞，0∪1e.
(1)若gx?fx≥1恒成立，即ex－ln x＋kx≥1恒成立.
∵x>0，∴k≥1+lnx?exx恒成立，只需k≥1+lnx?exxmax，
令φx＝1+lnx?exx，φ'x＝1x?exx?1+lnx?exx2＝ex1?x?lnxx2，
令μx＝ex1?x－ln xx>0，μ'x＝－exx－1x<0，
所以μx在0，+∞上单调递减，而μ1＝0，
∴x∈0，1，μx>0；x∈1，+∞，μx<0，
即x∈0，1时，φ'x>0，x∈1，+∞，φ'x<0.
∴φx在0，1上单调递增，在1，+∞上单调递减．
故φxmax＝φ1＝1－e.所以k的取值范围是1－e，＋∞.
18．解：(1)因为一次喷洒4个单位的消毒剂，
所以其浓度为fx＝4y＝648?x?4，0≤x≤4，20?2x，4当0≤x≤4时，648?x－4≥4，解得x≥0，此时0≤x≤4，
当4所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时.
(2)设从第一次喷洒起，经x6≤x≤10小时后，其浓度gx＝25?12x＋a168－x－6－1168－x－6－1＝10?x+16a14?x?a＝14?x+16a14?x－a－4，
因为14－x∈4，8，a∈1，4，
所以14－x＋16a14?x?a?4≥214?x·16a14?x?a?4＝8a－a－4，
当且仅当14－x＝16a14?x，即x＝14－4a∈6，10时，等号成立；
所以其最小值为8a－a－4，由8a－a－4≥4，解得24－162≤a≤4，
所以a的最小值为24－162≈1.6.
19．解：(1)fx ＝x?a+2ln x－a+1x定义域为0，+∞，
f'x＝1?a+2x+a+1x2＝x?1x?a+1x2，
令f'x＝0，得x＝1或x＝a＋1.
当a＋1≤0，即a≤－1时：
x∈0，1，f'x<0，函数fx在0，1上单调递减；
x∈1，+∞，f'x>0，函数fx在1，+∞单调递增；
当0x∈0，a+1，>0，函数fx在0，a+1单调递增；
x∈a+1，1，f'x<0，函数fx在a+1，1上单调递减；
x∈1，+∞，f'x>0，函数fx在1，+∞上单调递增；
当a＋1＝1，即a＝0时：
x∈0，+∞，f'x≥0，函数fx在0，+∞单调递增；
当a＋1>1，即a>0时：
x∈0，1，f'x>0，函数fx在0，1单调递增；
x∈1，a+1，f'x<0，函数fx在1，a+1上单调递减；
x∈a+1，+∞，f'x>0，函数fx在a+1，+∞上单调递增；
综上：当a≤－1时，单调递减区间有(0,1)，单调递增区间有1，+∞；
当－1当a＝0时，单调递增区间有0，+∞，无单调递减区间；
当a>0时，单调递减区间有1，a+1，单调递增区间有0，1，a+1，+∞.
(2)当a＝e2－1时，由(1)得函数f(x)在区间1，e2上单调递减，在区间0，1，
e2，+∞上单调递增，
从而函数f(x)在区间1，＋∞最小值为fe2＝－e2－3，
即存在x2∈1，+∞，使gx2≤－e2－3，
即存在x∈1，+∞，使得ex＋mx2－e2－3≤－e2－3，
即m≤－exx2，令hx＝?exx2，x∈1，+∞，则m≤hxmax，
由h′x＝ex2?xx3，当x∈1，2时，f′x>0，函数fx单调递增；
当x∈2，+∞时，f′x<0，函数fx单调递减，
所以hxmax＝h2＝?e24，所以m≤－e24.
一、单项选择题
1．已知函数fx＝sin 2x＋f′0cos x－1，则f0＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
2．设函数fx＝log26?x，x<1，2x?1 ，x≥1，则f?2+flog26＝( )
A．2 B．6
C．8 D．10
3．已知函数f(x)＝x2ex?e?x＋2，若ft＝4，则f?t的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
4．设a＝ln44，b＝4?ln4e2，c＝e2e，则( )
A．a
A．43年 B．53年
C．73年 D．120年
6．已知函数f(x)是R上的偶函数，且f(x)的图象关于点(1，0)对称，当x∈[0，1]时，f(x)＝2－2x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)的值为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
7．已知x1，x2分别是方程ex＋x－4＝0，ln (x－1)＋x－5＝0的根，则ex1＋1＋ln (x2－1)的值为( )
A．e＋ln 5 B．e2＋ln 5
C．10 D．5
8．已知函数f(x)＝2x?1+21?x?2， x≥0，| log?4(?x)|，x<0，f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，且x1
C．－1 D．－12
二、多项选择题
9．若a>b>1，0
A．f(2)＝1 B．f(2 024)＝－f(2 020)
C．f′(－1)＝f′(7) D．f′(－2 021)＝f′(2 025)
11．已知函数f(x)＝4sinπx，0
A．x1＋x2＋x3的取值范围为2，3
B．x2fx3的取值范围为53，2
C．x1x2x3的取值范围为536，12
D．x1fx3的取值范围为13，2
三、填空题
12．写出一个同时满足①②的函数fx＝___________．①fx是偶函数，②fx+2＝?fx.
已知函数fx＝xex?a有两个极值点，则实数a的取值范围是___________．
曲率在数学上是表明曲线在某一点的弯曲程度的数值．对于半径为R(R>0)的圆，定义其曲率K＝1R.对于一般曲线，我们可通过曲线上某点处的密切圆半径来描述该点的曲率，其中对于曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的密切圆半径计算公式为R＝1+f'x0232f″x0.已知函数g(x)＝log2x，椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，则曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的曲率为____________；C上任一点处曲率的最大值为____________．
四、解答题
15．已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点(2，f(2))处的切线与直线2x＋3y＝0垂直．
(1)求a；
(2)求f(x)的单调区间和极值．
16．函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有f(x＋2)＝f(－x)成立．已知当x∈[0，1]时，f(x)＝loga(2－x)(a>1)．
(1)当x∈[1，2]时，求函数f(x)的表达式；
(2)若函数f(x)的最大值为1，当x∈[－2，2]时，求不等式f(x)>12的解集．
17．已知函数f(x)＝ln x－kx(k∈R).
(1)若函数f(x)有一个零点，求k的取值范围；
(2)已知函数g(x)＝ex，若g(x)－f(x)≥1恒成立，求k的取值范围.
18．某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度y(单位：毫米/立方米)随着时间x(单位：小时)变化的关系如下：当0≤x≤4时，y＝168?x－1；当4
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值.(精确到0.1，参考数据：2≈1.4)
19．已知函数fx＝x?a+2ln x－a+1x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设gx＝ex＋mx2－e2－3，当a＝e2－1时，对任意x1∈1，＋∞在x2∈1，+∞，使gx2≤f(x1)，求实数m的取值范围．
阶段综合检测卷(二) 函数与导数
1．解析：因为fx＝sin 2x＋f′0cos x－1，
故可得f′(x)＝2cos 2x－f′(0)sin x，
令x＝0，则f′(0)＝2，故fx＝sin 2x＋2cos x－1，则f0＝1.
答案：C
2．解析：因为fx ＝log26?x，x<1，2x?1 ，x≥1，
所以f?2＝log28＝3，flog26＝2log26?1＝3，所以f(－2)＋flog26＝6.
答案：B
3．解析：令gx＝x2ex?e?x，其定义域为R，
且gx+g?x＝x2ex?e?x?x2ex?e?x＝0，故gx为奇函数．
则ft+f?t＝gt+2+g?t＋2＝4，又ft＝4，
故可得f?t＝0.
答案：B
4．解析：由题意可得a＝ln44＝ln22，b＝4?ln4e2＝lne22e22，c＝e2e＝lnee，
设f(x)＝lnxx，x>0，则f′(x)＝1?lnxx2，
故当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
因为a＝f(4)＝f(2)，b＝fe22，c＝fe，且0
5．解析：由题意得，16＝k·a10，112 ＝k·a20，解得a＝12110，k＝13，
所以c＝13·12t10，
当c＝1120时，得1120 ＝13·12t10，即12t10＝140，
两边取对数得t10＝log12140＝log240＝3＋log25≈3＋2.32＝5.32，
所以t＝5.32×10＝53.2，
即这种有机体体液内该放射性元素浓度c为1120时，大约需要53年．
答案：B
6．解析：因为函数f(x)是R上的偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，
因为f(x)的图象关于点(1，0)对称，
所以f(－x)＋f(2＋x)＝0，即f(x)＋f(2＋x)＝0，
所以f(2＋x)＝－f(x)，
所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，
所以函数f(x)是R上周期为4的函数，
当x∈[0，1]时，f(x)＝2－2x，
所以f(0)＝1，f(1)＝0，
又f(2)＝－f(0)＝－1，f(3)＝－f(1)＝0，
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝f(2 024)＝f(0)＝1.
答案：D
7．解析：在同一平面直角坐标系绘制函数y＝ex＋1，y＝ln (x－1)，y＝－x＋5的图象，
由题意可知x1，x2的值分别为图中点P1，P2的横坐标，
则ex1＋1，ln (x2－1)的值分别为图中点P1，P2的纵坐标，
因为函数y＝ex＋1和y＝ln (x－1)互为反函数，
互为反函数的图象关于直线y＝x对称，设直线y＝x与y＝－x＋5的交点为P3，
易知P352，52，结合对称性可知ex1＋1＋ln (x2－1)＝2×52＝5.
答案：D
8．解析：设gx＝2x＋2－x－2，因为g?x ＝gx，所以gx是偶函数，
g0＝0，gx＝2x+2?x ?2≥22x·2?x－2＝0(当且仅当x＝0时等号成立)，
故gx是偶函数，且最小值为0，
函数y＝2x-1＋21-x－2可以由函数g(x)＝2x＋2－x－2的图象向右平移1个单位长度得到，
函数fx的图象如图所示：
则x3＋x4＝2，且fx3≤f0＝12，
因为fx1＝fx2，所以log4?x1＝－log4?x2，
所以log4?x1＋log4?x2＝0，即?x1?x2＝1，
故x1＋x2＝1x2＋x2，
因为| log?4(?x)|≤12，即log4?x2≥?12，
所以x2∈ ?1，?12，
设ht＝t+1t，t∈?1，?12，任取t1，t2∈?1，?12，且t1
因为t1－t2<0，t1t2－1<0，所以ht1?ht2>0，即ht1>ht2.
所以y＝ht＝t+1t在t∈?1，?12上单调递减，
所以x1＋x2≥－2－12＝?52，所以x1＋x2＋x3＋x4的最小值是－12.
答案：D
9．解析：对于A，∵幂函数y＝xm(0
对于B，∵指数函数y＝mx(0
答案：BC
10．解析：因为非常数函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，
若f(2－x)为奇函数，则f(2＋x)＝－f(2－x)，则f(x)的图象关于点(2，0)对称，且f(2)＝0，故A错误；
因为f(2x＋4)为偶函数，所以f(2x＋4)＝f(－2x＋4)，即f(x＋4)＝f(－x＋4)，则f(x)＝f(8－x)，
又f(2＋x)＝－f(2－x)，所以f(x)＝－f(4－x)，
所以f(8－x)＝－f(4－x)，即f(x＋4)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，
故f(x)的周期为8，所以f(2 024)＝f(0)，f(2 020)＝f(4)，在f(x＋4)＝－f(x)中，令x＝0，得f(4)＝－f(0)，所以f(2 024)＝－f(2 020)，故B正确；
对f(x＋8)＝f(x)两边同时求导，得f′(x＋8)＝f′(x)，
所以导函数f′(x)的周期为8，所以f′(－1)＝f′(7)，故C正确；
由f′(x)周期T＝8，得f′(－2 021)＝f′(3)，f′(2 025)＝f′(1)，对f(x)＝－f(4－x)两边同时求导，得f′(x)＝f′(4－x)，令x＝1，得f′(1)＝f′(3)，
所以f′(－2 021)＝f′(2 025)，故D正确．
答案：BCD
11．解析：作出函数fx的大致图象，如图所示，
设fx1＝fx2＝fx3＝t，
数形结合得：x1，x3均是关于t的增函数，x2是关于t的减函数，且2
因为x1＋x2＝1，所以x1x2＝x11?x1＝?x1?122+14∈536 ，14，且x1x2与x3均为关于t的增函数，所以x1x2x3∈536，12，C正确；
因为x1为关于t的增函数，16
12．解析：因为fx+2＝?fx，所以fx ＝?fx?2，故fx+2 ＝fx?2，可知函数fx的最小正周期为4，结合函数为偶函数，可以构造fx＝cos π2x.
答案：cos π2x(答案不唯一)
解析：f′(x)＝ex－a＋xex，由题意f′(x)＝ex－a＋xex＝0有两个不等的实根，即a＝ex＋xex有两个不等的实根，
设g(x)＝ex＋xex，则g′(x)＝ex＋ex＋xex＝(x＋2)ex，
x<－2时，g′(x)<0，g(x)递减，x>－2时，g′(x)>0，g(x)递增，
所以g(x)min＝g(－2)＝－e-2＝－1e2，
又x<－1时，g(x)＝(x＋1)ex<0，且x→－∞时，g(x)→0，g(－1)＝0，
所以－1e2
所以g′(1)＝1ln2，h′(1)＝－1ln2；R|x＝1＝1+1ln?22321ln?2，K|x＝1＝1Rx＝1＝1ln21+1ln2232＝ln221+ln2232；
由曲率定义可知，曲率值K描述曲线弯曲程度大小，且结合曲线y＝g(x)各点曲率值K的变化趋势可知，曲线弯曲程度越大，曲率值K越大，所以椭圆C曲率值K最大点为其左、右顶点处．
椭圆C：b2x2＋a2y2＝a2b2的焦点均在x轴上，
经旋转得焦点在y轴上的椭圆E：b2y2＋a2x2＝a2b2，即b2y2＝a2b2－a2x2(*)，
在(*)式中两边分别对y，x求导得2b2y·y′＝－2a2x(**)，所以y′＝－a2xb2 y，y'|x＝0＝0，
在(**)式中两边分别对y，x求导，令y′＝Y，得y′·y′＋Y′·y＝－a2b2 ，且y'|x＝0＝0，
所以Y′|x＝0＝－ab2 ，所以R|x＝0＝b2 a ，K|x＝0＝ab2，即Kmax＝ab2.
答案：ln221+ln2232 ab2
15．解：(1)因为f′(x)＝1x＋2x＋a，所以f′(2)＝92＋a，
又直线2x＋3y＝0的斜率为－23，且f(x)在(2，f(2))处的切线与直线2x＋3y＝0垂直，
则92+a×?23＝－1，解得a＝－3.
(2)由(1)可知f(x)＝ln x＋x2－3x＋2，x>0，
令f′(x)＝1x+2x?3＝2x2?3x+1x＝2x?1x?1x＝0，解得x＝12或1，
故f(x)在0，12上单调递增，在12，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)极大值＝f12＝ln 12+34，f(x)极小值＝f(1)＝0.
16．解：(1)由fx+2＝f?x，可得fx图象关于x＝1对称．
因为x∈[1,2]，所以－x＋2∈[0,1]，f(－x＋2)＝logax，
又f(－x＋2)＝f(x)，故所求的表达式为logax，x∈[1，2].
(1)因为f(x)是R上的偶函数，所以f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数.
因为a>1，由函数f(x)的最大值为1，知f(x)max＝f(0)＝f(－x)＝loga2＝1，即a＝2.
若x∈[0，1]，则loga(2－x)>12，所以0≤x<2－2，
当x∈[－1，0]时，f(x)是R上的偶函数，可得2－2
因为f(x)是以2为周期的周期函数，
当x∈[－2，－1]时，f(x)>12的解集为－2，－2，
当x∈[1，2]时，f(x)>12的解集为2，2.
综上所述，f(x)>12的解集为2?2，2?2∪?2，?2∪2，2.
17．解：(1)f(x)定义域为0，＋∞，由于f(x)＝ln x－kx有一个零点，可得方程k＝lnxx有且仅有一个实根，
令h(x)＝lnxx，h'x＝1?lnxx2，由h'x>0，得0
∴h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，
∴h(x)的最大值为h(e)＝1e，又h(1)＝0，
∴x∈(0,1)时，h(x)<0；x∈(1，+∞)时，h(x)>0.
画出h(x)＝lnxx大致图象如图所示，
若直线y＝k与y＝hx的图象有一个交点，则k≤0或k＝1e.
∴k的取值范围是?∞，0∪1e.
(1)若gx?fx≥1恒成立，即ex－ln x＋kx≥1恒成立.
∵x>0，∴k≥1+lnx?exx恒成立，只需k≥1+lnx?exxmax，
令φx＝1+lnx?exx，φ'x＝1x?exx?1+lnx?exx2＝ex1?x?lnxx2，
令μx＝ex1?x－ln xx>0，μ'x＝－exx－1x<0，
所以μx在0，+∞上单调递减，而μ1＝0，
∴x∈0，1，μx>0；x∈1，+∞，μx<0，
即x∈0，1时，φ'x>0，x∈1，+∞，φ'x<0.
∴φx在0，1上单调递增，在1，+∞上单调递减．
故φxmax＝φ1＝1－e.所以k的取值范围是1－e，＋∞.
18．解：(1)因为一次喷洒4个单位的消毒剂，
所以其浓度为fx＝4y＝648?x?4，0≤x≤4，20?2x，4
当4
(2)设从第一次喷洒起，经x6≤x≤10小时后，其浓度gx＝25?12x＋a168－x－6－1168－x－6－1＝10?x+16a14?x?a＝14?x+16a14?x－a－4，
因为14－x∈4，8，a∈1，4，
所以14－x＋16a14?x?a?4≥214?x·16a14?x?a?4＝8a－a－4，
当且仅当14－x＝16a14?x，即x＝14－4a∈6，10时，等号成立；
所以其最小值为8a－a－4，由8a－a－4≥4，解得24－162≤a≤4，
所以a的最小值为24－162≈1.6.
19．解：(1)fx ＝x?a+2ln x－a+1x定义域为0，+∞，
f'x＝1?a+2x+a+1x2＝x?1x?a+1x2，
令f'x＝0，得x＝1或x＝a＋1.
当a＋1≤0，即a≤－1时：
x∈0，1，f'x<0，函数fx在0，1上单调递减；
x∈1，+∞，f'x>0，函数fx在1，+∞单调递增；
当0
x∈a+1，1，f'x<0，函数fx在a+1，1上单调递减；
x∈1，+∞，f'x>0，函数fx在1，+∞上单调递增；
当a＋1＝1，即a＝0时：
x∈0，+∞，f'x≥0，函数fx在0，+∞单调递增；
当a＋1>1，即a>0时：
x∈0，1，f'x>0，函数fx在0，1单调递增；
x∈1，a+1，f'x<0，函数fx在1，a+1上单调递减；
x∈a+1，+∞，f'x>0，函数fx在a+1，+∞上单调递增；
综上：当a≤－1时，单调递减区间有(0,1)，单调递增区间有1，+∞；
当－1
当a>0时，单调递减区间有1，a+1，单调递增区间有0，1，a+1，+∞.
(2)当a＝e2－1时，由(1)得函数f(x)在区间1，e2上单调递减，在区间0，1，
e2，+∞上单调递增，
从而函数f(x)在区间1，＋∞最小值为fe2＝－e2－3，
即存在x2∈1，+∞，使gx2≤－e2－3，
即存在x∈1，+∞，使得ex＋mx2－e2－3≤－e2－3，
即m≤－exx2，令hx＝?exx2，x∈1，+∞，则m≤hxmax，
由h′x＝ex2?xx3，当x∈1，2时，f′x>0，函数fx单调递增；
当x∈2，+∞时，f′x<0，函数fx单调递减，
所以hxmax＝h2＝?e24，所以m≤－e24.
同课章节目录