阶段综合检测卷(二) 函数与导数 2026年高考数学一轮复习专题练习(含解析)

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名称 阶段综合检测卷(二) 函数与导数 2026年高考数学一轮复习专题练习(含解析)
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资源类型 教案
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科目 数学
更新时间 2025-11-06 00:00:00

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阶段综合检测卷(二) 函数与导数
一、单项选择题
1.已知函数fx=sin 2x+f′0cos x-1,则f0=(   )
A.-1 B.0
C.1 D.2
2.设函数fx=log26?x,x<1,2x?1 ,x≥1,则f?2+flog26=(   )
A.2 B.6
C.8 D.10
3.已知函数f(x)=x2ex?e?x+2,若ft=4,则f?t的值为(   )
A.-1 B.0
C.1 D.2
4.设a=ln44,b=4?ln4e2,c=e2e,则(  )
A.aC.c5.2023年8月24日,日本不顾国际社会的强烈反对,将福岛第一核电站核污染废水排入大海,对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究,福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上;有8种半衰期在1万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度c(Bq/L)与时间t(年)近似满足关系式c=k·at(k,a为大于0的常数且a≠1).若c=16时,t=10;若c=112时,t=20.则据此估计,这种有机体体液内该放射性元素浓度c为1120时,大约需要(参考数据:log23≈1.58,log25≈2.32)(  )
A.43年 B.53年
C.73年 D.120年
6.已知函数f(x)是R上的偶函数,且f(x)的图象关于点(1,0)对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2-2x,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 024)的值为(  )
A.-2 B.-1
C.0 D.1
7.已知x1,x2分别是方程ex+x-4=0,ln (x-1)+x-5=0的根,则ex1+1+ln (x2-1)的值为(  )
A.e+ln 5 B.e2+ln 5
C.10 D.5
8.已知函数f(x)=2x?1+21?x?2, x≥0,| log?4(?x)|,x<0,f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),且x1A.-2 B.-32
C.-1 D.-12
二、多项选择题
9.若a>b>1,0A.amB.maC.logmaD.logam10.已知非常数函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R,若f(2-x)为奇函数,f(2x+4)为偶函数,则(  )
A.f(2)=1 B.f(2 024)=-f(2 020)
C.f′(-1)=f′(7) D.f′(-2 021)=f′(2 025)
11.已知函数f(x)=4sinπx,01,若存在三个实数,使得fx1 =fx2=fx3,则(   )
A.x1+x2+x3的取值范围为2,3
B.x2fx3的取值范围为53,2
C.x1x2x3的取值范围为536,12
D.x1fx3的取值范围为13,2
三、填空题
12.写出一个同时满足①②的函数fx=___________.①fx是偶函数,②fx+2=?fx.
已知函数fx=xex?a有两个极值点,则实数a的取值范围是___________.
曲率在数学上是表明曲线在某一点的弯曲程度的数值.对于半径为R(R>0)的圆,定义其曲率K=1R.对于一般曲线,我们可通过曲线上某点处的密切圆半径来描述该点的曲率,其中对于曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的密切圆半径计算公式为R=1+f'x0232f″x0.已知函数g(x)=log2x,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),则曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的曲率为____________;C上任一点处曲率的最大值为____________.
四、解答题
15.已知函数f(x)=ln x+x2+ax+2在点(2,f(2))处的切线与直线2x+3y=0垂直.
(1)求a;
(2)求f(x)的单调区间和极值.
16.函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意实数x,都有f(x+2)=f(-x)成立.已知当x∈[0,1]时,f(x)=loga(2-x)(a>1).
(1)当x∈[1,2]时,求函数f(x)的表达式;
(2)若函数f(x)的最大值为1,当x∈[-2,2]时,求不等式f(x)>12的解集.
17.已知函数f(x)=ln x-kx(k∈R).
(1)若函数f(x)有一个零点,求k的取值范围;
(2)已知函数g(x)=ex,若g(x)-f(x)≥1恒成立,求k的取值范围.
18.某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒,已知在一定范围内,每喷洒1个单位的消毒剂,空气中释放的浓度y(单位:毫米/立方米)随着时间x(单位:小时)变化的关系如下:当0≤x≤4时,y=168?x-1;当4(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂,则有效杀灭时间可达几小时?
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂,6小时后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的消毒剂,要使接下来的4小时中能够持续有效消毒,试求a的最小值.(精确到0.1,参考数据:2≈1.4)
19.已知函数fx=x?a+2ln x-a+1x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设gx=ex+mx2-e2-3,当a=e2-1时,对任意x1∈1,+∞在x2∈1,+∞,使gx2≤f(x1),求实数m的取值范围.
阶段综合检测卷(二) 函数与导数
1.解析:因为fx=sin 2x+f′0cos x-1,
故可得f′(x)=2cos 2x-f′(0)sin x,
令x=0,则f′(0)=2,故fx=sin 2x+2cos x-1,则f0=1.
答案:C
2.解析:因为fx =log26?x,x<1,2x?1 ,x≥1,
所以f?2=log28=3,flog26=2log26?1=3,所以f(-2)+flog26=6.
答案:B
3.解析:令gx=x2ex?e?x,其定义域为R,
且gx+g?x=x2ex?e?x?x2ex?e?x=0,故gx为奇函数.
则ft+f?t=gt+2+g?t+2=4,又ft=4,
故可得f?t=0.
答案:B
4.解析:由题意可得a=ln44=ln22,b=4?ln4e2=lne22e22,c=e2e=lnee,
设f(x)=lnxx,x>0,则f′(x)=1?lnxx2,
故当x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
因为a=f(4)=f(2),b=fe22,c=fe,且0可得a=f(2)>fe=c,a=f(4)答案:D
5.解析:由题意得,16=k·a10,112 =k·a20,解得a=12110,k=13,
所以c=13·12t10,
当c=1120时,得1120 =13·12t10,即12t10=140,
两边取对数得t10=log12140=log240=3+log25≈3+2.32=5.32,
所以t=5.32×10=53.2,
即这种有机体体液内该放射性元素浓度c为1120时,大约需要53年.
答案:B
6.解析:因为函数f(x)是R上的偶函数,
所以f(-x)=f(x),
因为f(x)的图象关于点(1,0)对称,
所以f(-x)+f(2+x)=0,即f(x)+f(2+x)=0,
所以f(2+x)=-f(x),
所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),
所以函数f(x)是R上周期为4的函数,
当x∈[0,1]时,f(x)=2-2x,
所以f(0)=1,f(1)=0,
又f(2)=-f(0)=-1,f(3)=-f(1)=0,
所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,
所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 024)=f(2 024)=f(0)=1.
答案:D
7.解析:在同一平面直角坐标系绘制函数y=ex+1,y=ln (x-1),y=-x+5的图象,
由题意可知x1,x2的值分别为图中点P1,P2的横坐标,
则ex1+1,ln (x2-1)的值分别为图中点P1,P2的纵坐标,
因为函数y=ex+1和y=ln (x-1)互为反函数,
互为反函数的图象关于直线y=x对称,设直线y=x与y=-x+5的交点为P3,
易知P352,52,结合对称性可知ex1+1+ln (x2-1)=2×52=5.
答案:D
8.解析:设gx=2x+2-x-2,因为g?x =gx,所以gx是偶函数,
g0=0,gx=2x+2?x ?2≥22x·2?x-2=0(当且仅当x=0时等号成立),
故gx是偶函数,且最小值为0,
函数y=2x-1+21-x-2可以由函数g(x)=2x+2-x-2的图象向右平移1个单位长度得到,
函数fx的图象如图所示:
则x3+x4=2,且fx3≤f0=12,
因为fx1=fx2,所以log4?x1=-log4?x2,
所以log4?x1+log4?x2=0,即?x1?x2=1,
故x1+x2=1x2+x2,
因为| log?4(?x)|≤12,即log4?x2≥?12,
所以x2∈ ?1,?12,
设ht=t+1t,t∈?1,?12,任取t1,t2∈?1,?12,且t1则ht1?ht2=t1+1t1?t2?1t2=t1?t2+t2?t1t1t2=t1t2?1t1?t2t1t2
因为t1-t2<0,t1t2-1<0,所以ht1?ht2>0,即ht1>ht2.
所以y=ht=t+1t在t∈?1,?12上单调递减,
所以x1+x2≥-2-12=?52,所以x1+x2+x3+x4的最小值是-12.
答案:D
9.解析:对于A,∵幂函数y=xm(0b>1可知am>bm,故A错误;
对于B,∵指数函数y=mx(0b>1可知ma对于C,∵对数函数y=logmx(0b>1可知logma对于D,由C可知logma1logmb,即logam>logbm,故D错误.
答案:BC
10.解析:因为非常数函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R,
若f(2-x)为奇函数,则f(2+x)=-f(2-x),则f(x)的图象关于点(2,0)对称,且f(2)=0,故A错误;
因为f(2x+4)为偶函数,所以f(2x+4)=f(-2x+4),即f(x+4)=f(-x+4),则f(x)=f(8-x),
又f(2+x)=-f(2-x),所以f(x)=-f(4-x),
所以f(8-x)=-f(4-x),即f(x+4)=-f(x),所以f(x+8)=f(x),
故f(x)的周期为8,所以f(2 024)=f(0),f(2 020)=f(4),在f(x+4)=-f(x)中,令x=0,得f(4)=-f(0),所以f(2 024)=-f(2 020),故B正确;
对f(x+8)=f(x)两边同时求导,得f′(x+8)=f′(x),
所以导函数f′(x)的周期为8,所以f′(-1)=f′(7),故C正确;
由f′(x)周期T=8,得f′(-2 021)=f′(3),f′(2 025)=f′(1),对f(x)=-f(4-x)两边同时求导,得f′(x)=f′(4-x),令x=1,得f′(1)=f′(3),
所以f′(-2 021)=f′(2 025),故D正确.
答案:BCD
11.解析:作出函数fx的大致图象,如图所示,
设fx1=fx2=fx3=t,
数形结合得:x1,x3均是关于t的增函数,x2是关于t的减函数,且2当0所以16不妨设x2=23,则t=fx2=4sin 2π3=23=fx3,此时x2fx3= 433>2,所以B错误;
因为x1+x2=1,所以x1x2=x11?x1=?x1?122+14∈536 ,14,且x1x2与x3均为关于t的增函数,所以x1x2x3∈536,12,C正确;
因为x1为关于t的增函数,16答案:ACD
12.解析:因为fx+2=?fx,所以fx =?fx?2,故fx+2 =fx?2,可知函数fx的最小正周期为4,结合函数为偶函数,可以构造fx=cos π2x.
答案:cos π2x(答案不唯一)
解析:f′(x)=ex-a+xex,由题意f′(x)=ex-a+xex=0有两个不等的实根,即a=ex+xex有两个不等的实根,
设g(x)=ex+xex,则g′(x)=ex+ex+xex=(x+2)ex,
x<-2时,g′(x)<0,g(x)递减,x>-2时,g′(x)>0,g(x)递增,
所以g(x)min=g(-2)=-e-2=-1e2,
又x<-1时,g(x)=(x+1)ex<0,且x→-∞时,g(x)→0,g(-1)=0,
所以-1e2答案:-1e2解析:因为g′(x)=1xln2,记h(x)=g′(x) ,则h′(x)=-1x2ln2,
所以g′(1)=1ln2,h′(1)=-1ln2;R|x=1=1+1ln?22321ln?2,K|x=1=1Rx=1=1ln21+1ln2232=ln221+ln2232;
由曲率定义可知,曲率值K描述曲线弯曲程度大小,且结合曲线y=g(x)各点曲率值K的变化趋势可知,曲线弯曲程度越大,曲率值K越大,所以椭圆C曲率值K最大点为其左、右顶点处.
椭圆C:b2x2+a2y2=a2b2的焦点均在x轴上,
经旋转得焦点在y轴上的椭圆E:b2y2+a2x2=a2b2,即b2y2=a2b2-a2x2(*),
在(*)式中两边分别对y,x求导得2b2y·y′=-2a2x(**),所以y′=-a2xb2 y,y'|x=0=0,
在(**)式中两边分别对y,x求导,令y′=Y,得y′·y′+Y′·y=-a2b2 ,且y'|x=0=0,
所以Y′|x=0=-ab2 ,所以R|x=0=b2 a ,K|x=0=ab2,即Kmax=ab2.
答案:ln221+ln2232 ab2
15.解:(1)因为f′(x)=1x+2x+a,所以f′(2)=92+a,
又直线2x+3y=0的斜率为-23,且f(x)在(2,f(2))处的切线与直线2x+3y=0垂直,
则92+a×?23=-1,解得a=-3.
(2)由(1)可知f(x)=ln x+x2-3x+2,x>0,
令f′(x)=1x+2x?3=2x2?3x+1x=2x?1x?1x=0,解得x=12或1,
故f(x)在0,12上单调递增,在12,1上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以f(x)极大值=f12=ln 12+34,f(x)极小值=f(1)=0.
16.解:(1)由fx+2=f?x,可得fx图象关于x=1对称.
因为x∈[1,2],所以-x+2∈[0,1],f(-x+2)=logax,
又f(-x+2)=f(x),故所求的表达式为logax,x∈[1,2].
(1)因为f(x)是R上的偶函数,所以f(x+2)=f(x),即函数f(x)是以2为周期的函数.
因为a>1,由函数f(x)的最大值为1,知f(x)max=f(0)=f(-x)=loga2=1,即a=2.
若x∈[0,1],则loga(2-x)>12,所以0≤x<2-2,
当x∈[-1,0]时,f(x)是R上的偶函数,可得2-2所以此时满足不等式的解集为2?2,2?2.
因为f(x)是以2为周期的周期函数,
当x∈[-2,-1]时,f(x)>12的解集为-2,-2,
当x∈[1,2]时,f(x)>12的解集为2,2.
综上所述,f(x)>12的解集为2?2,2?2∪?2,?2∪2,2.
17.解:(1)f(x)定义域为0,+∞,由于f(x)=ln x-kx有一个零点,可得方程k=lnxx有且仅有一个实根,
令h(x)=lnxx,h'x=1?lnxx2,由h'x>0,得0e,
∴h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
∴h(x)的最大值为h(e)=1e,又h(1)=0,
∴x∈(0,1)时,h(x)<0;x∈(1,+∞)时,h(x)>0.
画出h(x)=lnxx大致图象如图所示,
若直线y=k与y=hx的图象有一个交点,则k≤0或k=1e.
∴k的取值范围是?∞,0∪1e.
(1)若gx?fx≥1恒成立,即ex-ln x+kx≥1恒成立.
∵x>0,∴k≥1+lnx?exx恒成立,只需k≥1+lnx?exxmax,
令φx=1+lnx?exx,φ'x=1x?exx?1+lnx?exx2=ex1?x?lnxx2,
令μx=ex1?x-ln xx>0,μ'x=-exx-1x<0,
所以μx在0,+∞上单调递减,而μ1=0,
∴x∈0,1,μx>0;x∈1,+∞,μx<0,
即x∈0,1时,φ'x>0,x∈1,+∞,φ'x<0.
∴φx在0,1上单调递增,在1,+∞上单调递减.
故φxmax=φ1=1-e.所以k的取值范围是1-e,+∞.
18.解:(1)因为一次喷洒4个单位的消毒剂,
所以其浓度为fx=4y=648?x?4,0≤x≤4,20?2x,4当0≤x≤4时,648?x-4≥4,解得x≥0,此时0≤x≤4,
当4所以若一次喷洒4个单位的消毒剂,则有效杀灭时间可达8小时.
(2)设从第一次喷洒起,经x6≤x≤10小时后,其浓度gx=25?12x+a168-x-6-1168-x-6-1=10?x+16a14?x?a=14?x+16a14?x-a-4,
因为14-x∈4,8,a∈1,4,
所以14-x+16a14?x?a?4≥214?x·16a14?x?a?4=8a-a-4,
当且仅当14-x=16a14?x,即x=14-4a∈6,10时,等号成立;
所以其最小值为8a-a-4,由8a-a-4≥4,解得24-162≤a≤4,
所以a的最小值为24-162≈1.6.
19.解:(1)fx =x?a+2ln x-a+1x定义域为0,+∞,
f'x=1?a+2x+a+1x2=x?1x?a+1x2,
令f'x=0,得x=1或x=a+1.
当a+1≤0,即a≤-1时:
x∈0,1,f'x<0,函数fx在0,1上单调递减;
x∈1,+∞,f'x>0,函数fx在1,+∞单调递增;
当0x∈0,a+1,>0,函数fx在0,a+1单调递增;
x∈a+1,1,f'x<0,函数fx在a+1,1上单调递减;
x∈1,+∞,f'x>0,函数fx在1,+∞上单调递增;
当a+1=1,即a=0时:
x∈0,+∞,f'x≥0,函数fx在0,+∞单调递增;
当a+1>1,即a>0时:
x∈0,1,f'x>0,函数fx在0,1单调递增;
x∈1,a+1,f'x<0,函数fx在1,a+1上单调递减;
x∈a+1,+∞,f'x>0,函数fx在a+1,+∞上单调递增;
综上:当a≤-1时,单调递减区间有(0,1),单调递增区间有1,+∞;
当-1当a=0时,单调递增区间有0,+∞,无单调递减区间;
当a>0时,单调递减区间有1,a+1,单调递增区间有0,1,a+1,+∞.
(2)当a=e2-1时,由(1)得函数f(x)在区间1,e2上单调递减,在区间0,1,
e2,+∞上单调递增,
从而函数f(x)在区间1,+∞最小值为fe2=-e2-3,
即存在x2∈1,+∞,使gx2≤-e2-3,
即存在x∈1,+∞,使得ex+mx2-e2-3≤-e2-3,
即m≤-exx2,令hx=?exx2,x∈1,+∞,则m≤hxmax,
由h′x=ex2?xx3,当x∈1,2时,f′x>0,函数fx单调递增;
当x∈2,+∞时,f′x<0,函数fx单调递减,
所以hxmax=h2=?e24,所以m≤-e24.
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