阶段综合检测卷（六） 解析几何 2026年高考数学一轮复习专题练习（含解析）

阶段综合检测卷(六)　解析几何
一、单项选择题
1．已知正数a，b，c满足lg a，lg b，lg c成等差数列，则下列两条直线l1：ax＋y－1＝0，l2：b2x＋cy－c＝0的位置关系是(　　 )
A．垂直 B．重合
C．平行 D．相交
2．椭圆＋y2＝1(a>1)的离心率为，则a＝(　　)
A． B．
C． D．2
3．已知M是圆C：x2＋y2＝2上一个动点，且直线l1：m(x－3)－n(y－2)＝0与直线l2：n(x－2)＋m(y－3)＝0(m，n∈R，m2＋n2≠0)相交于点P，则|PM|的最小值是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．
4．若点M是圆C：x2＋y2－4x＝0上的任一点，直线l：x＋y＋2＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点，则的最小值为(　　)
A．4－2 B．2
C．8－4 D．8
5．已知F为椭圆C：＋y2＝1的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：x2＋(y－3)2＝1上一点，则|PQ|＋|PF|的最大值为(　　)
A．5 B．6
C．4＋2 D．5＋2
6．已知椭圆＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos ∠F1PF2＝＝(　　)
A． B．
C． D．
7．已知F1，F2分别是双曲线Γ：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，BF2平分∠F1BC，则双曲线Γ的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
8．已知直线l：x＋my－1＝0过抛物线C：y2＝2px的焦点，直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点M到抛物线C的准线的距离为，则m＝(　　)
A．±2 B．±
C． D．2
二、多项选择题
9．已知曲线C：，则下列说法正确的是(　　 )
A．若2B．若m>4，则曲线C为焦点在y轴上的双曲线
C．若曲线C为双曲线，则其焦距是定值
D．若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于
10．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：＝1的公共弦AB的长为1，则下列结论正确的有(　　 )
A．a2＋b2＝1
B．直线AB的方程为2ax＋2by－3＝0
C．AB中点的轨迹方程为x2＋y2＝
D．圆C1与圆C2公共部分的面积为
11．抛物线C：y2＝6x，AB是C的焦点弦(　　)
A．点P在C的准线上，则的最小值为0
B．以AB为直径的所有圆中，圆面积的最小值为9π
C．若AB的斜率k＝，则△ABO的面积S＝12
D．存在一个半径为的定圆与以AB为直径的圆都内切
三、填空题
12．以抛物线C：y2＝4x的焦点F为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知＝8，则＝__________．
13．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两点，若|AB|＝2b，则C的离心率为________．
14．如图①，椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．如图②，双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图③，一个光学装置由有公共焦点F1，F2的椭圆C1与双曲线C2构成，已知C1与C2的离心率之比为2∶5.现一光线从右焦点F2发出，依次经C1与C2的反射，又回到了点F2，历时3×10-8 秒．将装置中的C2去掉，如图④，此光线从点F2发出，经C1两次反射后又回到了点F2，历时______秒．
四、解答题
15．已知圆C：＝4，直线l1过定点A.
(1)若l1与圆C相切，求直线l1的方程；
(2)若点P(x，y)为圆C上的一点，求T＝的最大值和最小值．
已知点M到定点F(3，0)的距离和它到直线l：x＝的距离的比是常数.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝16相切，切点N在第四象限，直线l与曲线C交于A，B两点，求证：△FAB的周长为定值．
17．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的焦距为2，圆x2＋y2＝4与椭圆C恰有两个公共点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知结论：若点(x0，y0)为椭圆＝1上一点，则椭圆在该点处的切线方程为＝1.若椭圆C的短轴长小于4，过点T(8，t)作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB过定点．
18．已知A(3，1)，B是双曲线Γ：＝1(a>0，b>0)上的两个点，且关于原点对称．Γ的两条渐近线互相垂直．
(1)求Γ的方程；
(2)设P是双曲线Γ上一点，直线PA，PB分别与直线x＝的最小值．
19．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点．
(1)证明：直线MN过定点；
(2)设G为直线AE与直线BD的交点，求△GMN面积的最小值．
阶段综合检测卷(六)　解析几何
1．解析：由题意得lg a＋lg c＝2lg b，得ac＝b2，
故l2：acx＋cy－c＝0，即ax＋y－1＝0，两直线重合．
答案：B
2．解析：∵e＝，∴a＝.
答案：A
3．解析：由两直线方程可知l1、l2分别过定点A(3，2)，B(2，3)，且两直线互相垂直，
设AB的中点为O，则O(2.5，2.5)，如图所示，
则两直线的交点P的轨迹为以O为圆心，AB为直径的圆O，|AB|＝＝，
可知两圆相离，设直线OC交圆C于E，交圆O于D，
显然|PM|≥|ED|＝|OC|－|CE|－|OD|＝.
答案：D
4．解析：x＋y＋2＝0，令y＝0，则x＝－2，即A(－2，0)，
令x＝0，则y＝－2，即B(0，－2)，
圆C：x2＋y2－4x＝0 (x－2)2＋y2＝4，则设点M(2＋2cos θ，2sin θ)，
＝(4＋2cos θ，2sin θ)·(2，－2)＝8＋4cos θ－4sin θ＝8－4sin ，
当sin ＝1时取得最小值，故min＝8－4.
答案：C
5．解析：依题意a＝2，b＝1，c＝，设椭圆C的左焦点为F1，圆x2＋(y－3)2＝1的圆心为M(0，3)，半径为1，|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋2a－|PF1|＝4＋|PQ|－|PF1|≤4＋|QF1|，
当P，F1，Q三点共线，且F1在P，Q之间时等号成立．
而|QF1|≤|MF1|＋1＝＋1，
所以|PQ|＋|PF|≤4＋2，
当P，F1，M，Q四点共线，且F1在P，Q之间，Q是F1M的延长线与圆M的交点时等号成立．
答案：D
6．解析：由题意椭圆＝1，F1，F2为两个焦点，可得a＝3，b＝，
则|PF1|＋|PF2|＝2a＝6①，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝36，
由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos ∠F1PF2＝2，
cos ∠F1PF2＝，故＝12，②
联立①②，解得|PF1||PF2|＝2＝21，
而＝＝，
即＝＝.
答案：B
7．解析：因为，所以△F1AF2∽△F1BC.
设|F1F2|＝2c，则|F2C|＝6c，设|AF1|＝t，则|BF1|＝4t，|AB|＝3t.
因为BF2平分∠F1BC，由角平分线定理可知，，
所以|BC|＝3|BF1|＝12t，所以|AF2|＝＝3t.
由双曲线定义知|AF2|－|AF1|＝2a，即3t－t＝2a，解得t＝a.
又由|BF1|－|BF2|＝2a，得|BF2|＝4t－2a＝2t＝2a，
所以|AB|＝|AF2|＝3a，即△ABF2是等腰三角形．
由余弦定理知cos ∠F1BF2＝，
即，化简得11a2＝3c2，所以8a2＝3b2，
则双曲线Γ的渐近线方程为y＝±x.
答案：D
8．解析：因为直线l：x＋my－1＝0过定点(1，0)，抛物线C：y2＝2px的焦点在x轴，且直线l过抛物线的焦点，所以抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以＝1，解得p＝2，
所以抛物线C的标准方程为y2＝4x.
联立消去x，可得y2＝4(1－my)，即y2＋4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为Δ＝(4m)2－4×1×(－4)＝16m2＋16>0，
所以y1＋y2＝－4m.
所以x1＋x2＝1－my1＋1－my2＝2－m(y1＋y2)＝2＋4m2.
因为AB的中点M到抛物线C的准线的距离为，且抛物线C的准线方程为x＝－1，
所以xM＋1＝，解得xM＝.
所以，即2＋4m2＝3，解得m＝±.
答案：B
9．解析：对于A，当m＝3时，x2＋y2＝1表示圆，不是椭圆，故A错误；
对于B，当曲线C为焦点在y轴上的双曲线时，解得m>4，故B正确；
对于C，当时，m<2，此时曲线C为焦点在x轴上的双曲线，c2＝4－m＋2－m＝6－2m，则焦距2c不是定值，故C错误；
对于D，由C选项可知，m<2，e＝，令t＝4－m，t>2，则e＝<，故D正确．
答案：BD
10．解析：两圆方程相减可得直线AB的方程为a2＋b2－2ax－2by＝0，即2ax＋2by－a2－b2＝0，
因为圆C1的圆心为C1，半径为1，且公共弦AB的长为1，则C1到直线2ax＋2by－a2－b2＝0的距离为，所以，解得a2＋b2＝3，
所以直线AB的方程为2ax＋2by－3＝0，故A错误，B正确；
由圆的性质可知直线C1C2垂直平分线段AB，所以C1到直线2ax＋2by－a2－b2＝0的距离即为AB中点与点C1的距离，设AB中点坐标为，因此，
即x2＋y2＝，C正确；
因为AB＝C1A＝C1B＝1，所以∠BC1A＝，即圆C1中弧AB所对的圆心角为，所以扇形的面积为×π×12＝，三角形C1AB的面积为，所以圆C1与圆C2公共部分的面积为2×，故D错误．
答案：BC
11．解析：由题意可知，抛物线C：y2＝6x的焦点F，准线x＝－.
对于A，根据抛物线的性质可知：以AB为直径的圆与准线相切，
若点P是以AB为直径的圆与准线的切点，则⊥，所以＝0；
若点P不是以AB为直径的圆与准线的切点，则∠PAB为锐角，所以>0；
综上所述，的最小值为0，故A正确．
对于B，设直线AB：x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程消去x得y2－6my－9＝0，
则Δ＝36m2＋36>0，y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，
可得|AB|＝x1＋x2＋3＝＋＋3＝m(y1＋y2)＋6＝6(m2＋1)，
当m＝0时，|AB|取到最小值6，
此时以AB为直径的圆的面积最小，最小值为π×2＝9π，故B正确．
对于C，若AB的斜率k＝，则m＝，直线AB：x＝，即x－＝0，
由选项B可得：|AB|＝6?＝8，
点O(0，0)到直线AB的距离d＝，
所以△ABO的面积S＝，故C错误．
对于D，由选项B可知：以AB为直径的圆的圆心为M，半径R＝3m2＋3，
设圆N的圆心为N(x0，y0)，半径r＝，
若圆M与圆N内切，则|MN|＝R－r，即，
整理得m2＋6y0m＋－2－＝0，
因为对任意的m恒成立，则
解得
即圆心为N，半径r＝的圆恒与以AB为直径的圆都内切，故D正确．
答案：ABD
12．解析：由抛物线方程知：＝1，
不妨设点A在第一象限，如图所示，由＝8，y2＝4x得A，∴圆的半径r＝＝5，
∴.
答案：2
13．解析：如图所示，
设直线方程为y＝(x－c)，与双曲线方程＝1(a>0，b>0)联立，
解得x＝，
因为|AB|＝2b，所以2×b，
即b2＝2ac，即c2－2ac－a2＝0，解得e＝＋2，
答案：＋2
14．解析：设＝2c，椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为2a2，光速为v，
而C1与C2的离心率之比为2∶5，即，即a2＝a1，
在图③中，＝2a2，
两式相减得：＝2a1－2a2，
即＝2a1－2a2.
在图④中，＝4a1，
在图④中，光线从点F2发出，经C1两次反射后又回到了点F2，设历时t秒，
由题意可知：3×10-8×v＝2a1－2a2，tv＝4a1，则，
故t＝10-7(秒)．
答案：10-7
15．解：(1)若直线l1的斜率不存在，即直线l1的方程为x＝1，符合题意，
若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，
由题意知，圆心(3，4)到直线l1的距离等于半径2，
即＝2，解得k＝.
综上，直线l1的方程为x＝1或3x－4y－3＝0.
(2)因为T＝，所以T可以看作圆C上的点与点(5，－1)距离的平方，
把点(5，－1)代入圆C的方程，得(5－3)2＋(－1－4)2＝4＋25>4，所以点在圆C外，
所以圆C上的点到(5，－1)的最大距离为d＋r,
最小距离为d－r(其中d为圆心C到点(5，－1)的距离)，
又因为d＝，
故最大距离为＋2，最小距离为－2，
所以Tmax＝2＝33＋Tmin＝2＝33－4.
16．解：(1)设M(x，y)，由条件可知：，等号的两边平方，整理后得：＝1.
(2)由(1)的结论知，曲线C是方程为＝1的椭圆，
设N(p，t)，依题意有：t2＋p2＝16，p∈(0，4)，t∈(－4，0)，
则kON＝，∴kAB＝－，所以直线l的方程为y－t＝－(x－p)，y＝，
联立方程得x2－＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
x1·x2＝，
|AB|＝＝，
由条件可知|BF|＝＝，
∴|AF|＋|BF|＝10－(x1＋x2)＝10－，
△ABF的周长＝|AB|＋|BF|＋|AF|＝10，即定值为10.
综上，曲线C的方程为＝1，△ABF的周长为10.
17．解：(1)设椭圆C的半焦距为c.当圆x2＋y2＝4在椭圆C的内部时，b＝2，c＝1，a2＝b2＋c2＝5，椭圆C的方程为＝1；
当圆x2＋y2＝4在椭圆C的外部时，a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3，
椭圆C的方程为＝1.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为椭圆C的短轴长小于4，所以C的方程为＝1.
则由已知可得，切线AT的方程为＝1，BT的方程为＝1，
将T(8，t)代入AT，BT的方程整理可得，
6x1＋ty1－3＝0，6x2＋ty2－3＝0.
显然A，B的坐标都满足方程6x＋ty－3＝0，
故直线AB的方程为6x＋ty－3＝0，
令y＝0，可得x＝，即直线AB过定点.
18．解：(1)由题意得，＝1，因为两条渐近线互相垂直，故a＝b，
可得a2＝b2＝8，所以双曲线方程为＝1.
(2)设P(x0，y0)，则－8，
所以kPA×kPB＝＝1，
设PA：y－1＝k(x－3) y＝kx＋1－3k，所以M，
所以|AM|＝；
设PB：y＋1＝(x＋3) y＝，N，
所以|BN|＝；
令k2＝t>0，s＝|AM|＋|BN|＝，
所以s′＝，则t>4时s′>0，s(t)单调递增；
0所以t＝4，即k＝±2时，.
19．解：(1)设直线AB的方程为x＝my＋1，m≠0，A，B，M(x0，y0)，N(x′0，y′0)，
联立消去x，整理得y2－4my－4＝0，
∴y0＝＝2m，∴x0＝2m2＋1，∴M(2m2＋1，2m)，
∵DE⊥AB，∴kDE·kAB＝－1，∴同理可得N，
当m≠±1时，kMN＝，此时直线MN的方程为y＝(x－2m2－1)＋2m＝(x－3)，直线MN恒过定点(3，0)，
当m＝±1时，显然直线MN：x＝3也过(3，0)，
∴直线MN恒过定点(3，0)．
(2)设H为AD的中点，S为直线GM与AD的交点，由M、H分别为AB，AD的中点知MH∥DG，所以S△GHD＝S△MGD，故S△GSH＝S△MSD.
设T为直线GN与AD的交点，同理可得S△GHT＝S△TAN，
所以S△GMN＝S四边形ADMN.
由(1)得|AB|＝＝4(m2＋1)，
同理可得|DE|＝4.
所以S△GMN＝＝＝2(m2＋1)≥8，当且仅当m2＝1时，等号成立．
因此△GMN的面积的最小值为8.