阶段综合检测卷（三） 三角函数与平面向量 2026年高考数学一轮复习专题练习（含解析）

阶段综合检测卷(三)　三角函数与平面向量
一、单项选择题
1．已知，则＝(　　)
A． B．
C．2 D．1
2．已知α∈(0，π)，sin ＝，则cos 2α＝(　　 )
A． B．－
C．－ D．
3．已知向量a，b满足(a＋b)·b＝3，且|b|＝1，则向量a在向量b上的向量为(　　)
A．1 B．－1
C．2b D．b
4．已知θ∈，tan 2θ＝－4tan，则＝(　　)
A． B．
C．1 D．
5．中国古代数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理”)．如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角α为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积S1与大正方形面积S2之比为1∶25，则sin ＝(　　 )
A． B．－
C． D．－
6．记函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)＝为f(x)的一个零点，则ω的最小值为(　　)
A． B．3
C．6 D．
7．骑自行车是一种能改善心肺功能的耐力型有氧运动，深受大众喜爱．如图所示是某一型号自行车的平面结构示意图，已知图中自行车的前轮圆A，后轮圆D的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均为边长为4的正三角形，设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为(　　 )
A．12 B．24
C．36 D．48
8．在△ABC中，∠A＝2∠B，AC＝4，BC＝6，则△ABC的面积为(　　)
A．2 B．
C．3 D．
二、多项选择题
9．重庆荣昌折扇是中国三大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品入朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”，图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中∠COD＝，OC＝3OA＝3，动点P在上(含端点)，连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且则下列说法正确的是(　　 )
A．若y＝x，则x＋y＝
B．若y＝2x，则＝0
C．≥－2
D．
10．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的外接圆半径为2，且a＝2，则(　　)
A．A＝
B．2C．的取值范围为(0，6)
D．b＋c的最大值为4
关于函数下列结论正确的是(　　)
A．的最小值为
B．在上单调递增
C．函数在上有3个零点
D．曲线关于直线对称
三、填空题
12．函数f(x)＝|sin 2x－cos 2x|的最小正周期为___________.
13．在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，则AB＋BC的最大值为______．
14．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形是以正三角形ABC的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的．已知AB＝2，点P为上一点，则·的最小值为______．
四、解答题
15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下面给出有关△ABC的三个论断：①a2＋c2－b2＝ac；②c＝2b cos B；③a cos C＋a sin C＝b＋c.化简上述三个论断，求出角的值或角的关系，并以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出所有可能的真命题．(不必证明)
16．如图，BD是平面四边形ABCD的一条对角线，已知在△ABD中满足AD cos ∠ADB＝cos ∠ABD.
(1)求∠ABD；
(2)若AB＝AD，BC＝4，CD＝2，求四边形ABCD面积的最大值．
17．已知向量a＝，b＝，设f(x)＝a·b＋2，且f(x)的图象关于点对称．
(1)若tan x＝，求f(x)的值；
(2)若函数g(x)的图象与函数f(x)的图象关于直线x＝对称，且g(x)在区间
18．在锐角△ABC中，sin C＋cos C＝.
(1)求A；
(2)若△ABC的外接圆的圆心为O，且求·的取值范围．
19．某街道路宽OD为10 米，在道路的边缘点O安装高度为11米(即OA＝11)的路灯，灯杆AB与灯柱OA成120°角．当灯罩轴线BC与灯杆AB垂直时，灯罩轴线正好通过OD的中点．
(1)求灯杆AB的长；
(2)路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩轴线BC与灯的边缘光线(如图BM，BN)都成30°角．设∠ABC＝θ，是否存在θ，能使路灯的光线照亮整个路面？若存在，求tan θ的取值范围；若不存在，在M，N都落在路面OD上的条件下，求MN的最大值．
阶段综合检测卷(三)　三角函数与平面向量
1．解析：由＝1＋i，得z＝(1＋i)2＝2i，
则＝－2i，所以＝2.
答案：C
2．解析：因为α∈(0，π)，－α∈，sin ＝>0，所以－α∈，cos ＝，
cos 2α＝cos [－]＝sin ＝2sin ·cos ＝2×.
答案：A
3．解析：由题知，因为|b|＝1，(a＋b)·b＝3，
所以(a＋b)·b＝a·b＋b2＝a·b＋|b|2＝a·b＋1＝3，所以a·b＝2，
向量a在向量b上的投影向量为＝2b.
答案：C
4．解析：∵tan 2θ＝－4tan ，即tan2θ＋5tanθ＋2＝0，tan θ＝－或－2，∵θ∈，∴tan θ∈(－1，0)，∴tan θ＝－
答案：A
5．解析：如图所示，由图中小正方形的面积S1与大正方形面积S2之比为1∶25，
可得DC＝5EH，
因为CE＝DC sin α，可得DE＝DC cos α＝EC－EH＝DC sin α－DC，
所以sin α－cos α＝，所以1－2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝，
所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
因为α∈，所以sin α＋cos α＝，
所以sin ＝sin αcos ＋cos αsin (sin α＋cos α)＝.
答案：C
6．解析：由函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的最小正周期为T＝，
因为f(T)＝，可得f(T)＝cos ＝cos φ＝，
又因为0<φ<π，可得φ＝，所以f(x)＝cos ，
因为x＝为函数f(x)的一个零点，所以cos ＝0，
解得ω×＋kπ，k∈Z，即ω＝3＋9k，k∈Z，
又因为ω>0，所以ω的最小值为3.
答案：B
7．解析：选择为基，
＋·≤24＋＝36.
答案：C
8．解析：由正弦定理得，
因为∠A＝2∠B，AC＝4，BC＝6，
所以，故cos B＝，
则cos A＝cos 2B＝2cos2B－1＝，
因为A，B∈(0，π)，
所以sinB＝，sinA＝，
故sinC＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝，
故S△ABC＝AC·BC sin C＝.
答案：D
9．解析：如图，作OE⊥OC，分别以OC，OE为x，y轴建立平面直角坐标系，
则A(1，0)，C(3，0)，B
设Q(cos θ，sin θ)，θ∈，则P(3cos θ，3sin θ)，
由可得cos θ＝3x－y，sin θ＝y，且x>0，y>0，
若y＝x，则cos2θ＋sin2θ＝2＋2＝1，
解得x＝y＝(负值舍去)，故x＋y＝，A正确；
若y＝2x，则cosθ＝3x－＝(1，0)·(0，3)＝0，故B正确；
＝·(－2cos θ，－2sin θ)＝3cos θ－sin θ＝sin
由于θ∈，故－θ∈，故2sin ≥－3，故C错误；
由于＝(1－3cos θ，－3sin θ)，＝(－3cos θ，，
故＝(1－3cos θ，－3sin θ)·(－3cos θ，＝－3sin ，而θ＋∈，
故－3sin ，故D正确，
答案：ABD
10．解析：在锐角△ABC中，因为a＝2且R＝2，根据正弦定理＝2R＝4，
可得sin A＝，因为A∈，所以A＝，所以A正确；
根据正弦定理得b＝4sin B，且A＝，△ABC是锐角三角形，
所以C＝－B<，所以由正弦定理，可得c cos B＝2×4sin C cos B＝＝8cos Bcos B＋)＝12cos2B＋4sinB cos B＝6＋6cos 2B＋2sin 2B＝6＋4cos ，
因为可得cos∈，所以6＋4cos∈(0，12)，
即∈(0，12)，所以C错误；
由b＋c＝4(sin B＋sin C)＝4
因为可得
所以当时，即时，取得最大值，所以D正确.
答案：ABD
解析：因为
所以
对于A，当时，
因为，所以，的最小值为；
当时，
因为，所以，的最小值为
对于B，
令由先增后减，B不正确.
对于C，
因为，所以x＋或x＋，即x＝0或x＝；
当x∈(－π，0)时，令f(x)＝1得cos ＝，
因为x＋∈，所以x＋，即x＝－；所以共有3个零点，C正确．
对于D，因为f(2π－x)＝cos (2π－x)＋|sin (2π－x)|＝cos x＋|sin x|＝f(x)，
所以曲线y＝f(x)关于直线x＝π对称，D正确．
答案：CD
12．解析：因为f(x)＝|sin 2x－cos 2x|＝，
f＝|sin [－]|＝＝＝＝f(x)，
如图所示：
结合图形可知，函数f(x)的最小正周期为.
答案：
13．解析：因为∠B＝30°，AC＝2，可得＝4，
则AB＝4sin C，BC＝4sin A，且A＋C＝150°，即A＝150°－C，
所以AB＋BC＝4sin C＋4sin A＝4sin C＋4sin (150°－C)
＝4sin C＋4·(cos C＋＝10sin C＋2cos C
＝4sin (C＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝，
当C＋φ＝90°，即C＝90°－φ时，AB＋BC取得最大值4.
答案：4
14．解析：设D为BC的中点，E为AD的中点，如图所示，
所以·＝2＝2·＝2·＝＝2
因为CE＝，所以min＝2－＝2－·的最小值为22－.
答案：10－4
15．解：论断①：由余弦定理得cos B＝，
∵B∈(0，π)，∴B＝.
论断②：∵c＝2b cos B，由正弦定理得sin C＝2sin B cos B＝sin 2B，
∵C∈(0，π)，2B∈(0，2π)，∴C＝2B或C＋2B＝π.
论断③：由正弦定理得sin A cos C＋sin A sin C＝sin B＋sin C，
即sin A cos C＋sin A sin C＝sin (A＋C)＋sin C，
∴sin A cos C＋sin A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C＋sin C，
即sin A sin C＝cos A sin C＋sin C，
∵C∈(0，π)，∴sin C≠0，∴sin A＝cos A＋1，
即sin A－cos A＝2sin ＝1，即sin ＝，
又A∈(0，π)，∴A－∈，∴A－，解得A＝.
以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，所有可能的真命题有：
①③ ②和①② ③.
16．解：(1)∵AD cos ∠ADB＝cos ∠ABD，
∴在△ABD中由正弦定理得sin ∠ABD cos ∠ADB＝cos ∠ABD，
∴sin ∠BAD cos ∠ABD＝sin ∠ABD cos ∠ADB＋cos ∠ABD sin ∠ADB，
∴sin ∠BAD cos ∠ABD＝sin (∠ABD＋∠ADB)，
∴sin ∠BAD cos ∠ABD＝sin ∠BAD，
∵sin ∠BAD≠0，∴cos ∠ABD＝，
∵0<∠ABD<π，∴∠ABD＝.
(2)记∠BCD＝θ，
在△BCD中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos θ＝20－16cos θ，
∵AB＝AD，∠ABD＝，
∴△ABD为等腰直角三角形，AB⊥AD，
∴S△ABD＝BD2＝5－4cos θ，
S△BCD＝BC·CD·sin θ＝4sin θ，
∴四边形ABCD的面积为S＝S△ABD＋S△BCD＝5－4cos θ＋4sin θ＝5＋4sin ≤5＋4，
当θ＝时，sin ＝1，等号成立．
∴四边形ABCD面积的最大值为5＋4.
17．解：(1)=.
若，
∴，
∴，∴.
若.
∴.
(2)，
则.
因为，
而≤2，即－2≤2sin ≤1，
因为2sin ＝2sin ＝1，所以－，
∴－，故t的取值范围为．
18．解：(1)在△ABC中，sin C＋cos C＝，
整理得sin C sin A＋sin A cos C＝sin B＋sin C＝sin (A＋C)＋sin C，
即sin C sin A＋sin A cos C＝sin A cos C＋cos A sin C＋sin C，
所以sin C sin A＝cos A sin C＋sin C，
因为sin C≠0，所以sin A－cos A＝1，
即sin A－cos A＝，所以sin ＝，
又因为0所以A－，解得A＝.
(2)由(1)知A＝，则B＋C＝，则C＝－B<，即B>，
又在锐角△ABC中B<，故因为O为△ABC的外接圆圆心，所以∠BOC＝2A＝，∠AOB＝2C，∠AOC＝2B.
设△ABC的外接圆的半径为R，
则＝R×R×cos ∠BOC＝－，解得R＝1.
∴＝＝＝R＝1，
∴·＝
＝·＋·＝
＝2
＝cos 2C＋cos 2B－2＝cos ＋cos 2B－2
＝cos 2B－sin 2B－2＝cos －2.
因为所以·的取值范围为.
19．解：(1)如图，连接AC，依题意OC＝5，OA＝11，
所以AC＝＝14，所以sin ∠OAC＝，cos ∠OAC＝，
又∠OAB＝120°，所以∠CAB＝120°－∠OAC，
所以cos ∠CAB＝cos (120°－∠OAC)＝cos 120°cos ∠OAC＋sin 120°sin ∠OAC＝，
又∠ABC＝90°，所以AB＝AC cos ∠CAB＝14×＝2.
(2)建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，11)，C，
又∠OAB＝120°，所以∠yAB＝60°，又AB＝2，所以B.
假定存在θ，能使路灯的光线照亮整个路面．
由∠ABC＝θ，有∠BCD＝θ＋30°，则∠BND＝θ＋60°，∠BMD＝θ.
当θ＝90°时，BM⊥x轴，由(1)得M，
此时OM段没有光线照射到，不满足要求，则θ<90°.
由题意，BM、BN所在直线的斜率均存在，其中BM的方程为y＝tan θ＋12，
令y＝0，得x＝，即M，同理得N.
令≤0，得0令，得tan θ≥.
∵>4，故不存在θ，能使路灯的光线照亮整个路面．
∴当4≤tan θ≤时，MN＝.
设f(θ)＝，
又2sin θsin (θ＋60°)＝sin2θ＋sinθcos θ＝sin 2θ＝＋sin (2θ－30°)．
∵tan θ≥4，
又tan 75°＝tan (45°＋30°)＝<4，
∴75°<θ<90°，则120°<2θ－30°<150°.
∴sin (2θ－30°)单调递减，故f(θ)在定义域内单调递增．
当tan θ＝时，MN最大，最大值为.
故不存在θ，能使路灯的光线照亮整个路面；在M，N都落在路面OD上的条件下，MN的最大值为 米．