苏科版七年级下册第9章《9.5 单项式乘多项式法则的再认识------因式分解（一）》公开课教学设计

9.5
单项式乘多项式法则的再认识------因式分解(一)
一、教学目标
1.知道因式分解的概念和提公因式法的意义.
2.会判断一个整式的变形是否为因式分解，并能熟练运用提公因式法进行因式分解.
3.经历通过单项式乘多项式探索用提公因式法进行因式分解的过程，体会单项式乘多项式与提公因式之间的联系，发展逆向思维的能力.
二、教学重点和难点
学习重点：掌握因式分解的概念，会使用提公因式法进行因式分解.
学习难点：能够正确地找出公因式.
三、教具
多媒体
四、教学过程
（一）创设情境
同学们，前面我们已经学习了整式的乘法运算，本节课开始我们将通过对整式乘法的再认识，共同学习新的数学知识。
1.
计算与交流：
计算：.
提问：如何计算上面的式子，请说说你的想法？
解：
追问：你能说说看这样做的依据吗？
乘法分配律的逆运用.
设计思路：通过实际问题引入旨在让学生通过乘法分配律的逆运算这一特殊算法，将式子简化，为提公因式法的引入扫清障碍，为建立因式分解做好准备．
（二）探究新知
1、公因式的概念
（1）.提问：你能把多项式ab＋ac＋ad写成积的形式吗？请说明你的理由.
根据乘法分配律得到ab＋ac＋ad=a(b+c+d)
.
换一种看法也就是把单项式乘多项式的法则a(b+c+d)=
ab＋ac＋ad反过来得到
ab＋ac＋ad=a(b+c+d)
.
（2）.提问：请仔细观察多项式ab＋ac＋ad的每一项，你有什么发现吗？
发现a是多项式ab＋ac＋ad各项都含有的因式.
（3）.提出公因式概念
公因式定义：一个多项式中各项都含有的因式，我们称之为多项式各项的公因式.
例如，a是多项式ab＋ac＋ad各项的公因式.
设计思路：使学生通过类比的思想方法很自然地过渡到正确理解提公因式法的概念上，从而通过探究ab＋ac＋ad
这个多项式每一项的特征，引出公因式这个定义．
（4）.请同学们指出下列多项式的公因式，并填写下表．
多项式
公因式
4x＋4y

4
8x+12y
4
8ax+12ay
4a
8a3bx+12a2b2y
4a2b
提问：根据上面的填表的过程，你能归纳出找一个多项式各项公因式的方法吗？
根据学生的回答总结归纳出找一个多项式各项公因式的方法：
一看系数：当一个多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系
数的最大公约数.
二看字母：公因式的字母应取各项都含有的相同字母.
三看指数：相同字母的指数，取次数最低的.
设计思路：利用公因式的定义找出每个多项式的公因式，并思考总结找一个多项式公因式的方法．
2、因式分解的概念
（1）.请同学们尝试用找公因式的方法填写下表.
多项式
公因式
a2b＋ab2
ab
3x2－6x3

3x2
9abc－6a2b2＋12abc2

3ab
（2）.填空并说说你的方法.
①a2b＋ab2＝ab（
）
②3x2－6x3＝3x2（
）
③9abc－6a2b2＋12abc2＝3ab（
）
设计思路：通过填空让学生熟练掌握找一个多项式公因式的方法，并由此自然得出因式分
解的定义．
（3）.提出因式分解的概念.
像这样，把一个多项式写出几个整式的乘积的形式，叫做多项式的因式分解.
（4）.连一连：把下面左右两列具有相等关系的式子用线连起来.
4a2b(a-2b)
x2-2xy+y2
(x-y)2
m2-n2
(m+n)(m-n)
4a3b-8a2b2
提问：观察上面从左到右和从右到左的过程，你能说出因式分解和整式乘法的区别与联系吗？
通过学生的回答总结出因式分解和整式乘法的区别与联系.
整式的乘法
4a2b(a-2b)
=
4a3b-8a2b2
因式分解
区别：整式乘法：由几个整式的乘积的形式转化成一个多项式的形式.
因式分解：由一个多项式的形式转化成几个整式的乘积的形式.
联系：多项式的因式分解和多项式的乘法是两种相反方向的变形，它们互为逆过程.
设计思路：通过对整式乘法和因式分解的对比，搞清两者之间的关系.
（5）.概念巩固
下列各式由左到右的变形哪些是因式分解，哪些不是？
①
ab＋ac＋d＝a（b＋c）＋d
②
a2－1＝（a＋1）（a－1）
③（a＋1）（a－1）＝a2－1
④8a2b3c＝2a2·2b3·2c
⑤7x2y-21xy=7xy(x-3)
解答：②
⑤是因式分解.
（6）.提公因式法的概念
如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，把多项式写出公因式和另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
设计思路：通过练习加以判别，加深对因式分解的理解，并引入提公因式法的概念．
（三）例题解析
1.例题1.把5x3－10x2因式分解.
（1）.请同学们想一想多项式5x3－10x2各项的公因式是什么？你能把多项式的各项写成公因式和另一个因式乘积的形式吗？你是如何得到另一个因式的？那你现在能对这个式子进行因式分解了吗？
解：5x3－10x2
（2）.总结用提公因式法因式分解的一般步骤.
提问：根据例1的解答过程，你能归纳出用提公因式法分解因式的一般步骤吗？
根据学生回答总结出用提公因式法分解因式的一般步骤:
第一步：找出多项式中各项的公因式；
第二步：把多项式的各项写成公因式和另一个因式乘积的形式；
第三步：逆用单项式乘多项式法则，把多项式转化成公因式和另一个多项式的乘积的形式.
设计思路：通过此例题教学，使学生知道提公因式法分解因式的概念并帮学生总结出用提公因式法分解因式的一般步骤，帮助学生巩固新知，同时教师的板书也能给学生以示范作用．
2.例题2.把下列各式分解因式.
①
②－2m3＋8m2－12m
解：
解：－2m3＋8m2－12m
请同学们想一想，通过例2，我们在用提公因式法分解因式时应该注意些什么呢？
学生回答后归纳.
注意点：1.如果提取的公因式与多项式的某项相同时，那么提取公因式后该项剩下“1”，结果中的“1”不能漏写,多项式有几项，提公因式后的另一个因式也有
几项.
2.当多项式的第一项系数为负数时，通常把“-”号作为公因式的符号写在括号外，
使得括号内的第一项系数变成正数.在提出“-”号时，多项式的每项都要改变
符号.
请同学们想一想，如何来检验因式分解的正确性呢？
检验方法：根据因式分解和整式乘法是互逆过程，可把因式分解的结果进行乘法运算，看所得的结果是否与原多项式相同.
设计思路：通过学生不一样的结果引发冲突，再由教师指出规定，这样可以加深学生的记忆，且此处应该教会学生学会解题后的检查，检查公因式是否提取正确，检查检查是否漏写“1”，检查括号内的第一项的系数是否为“＋”．
3.例题3:把分解因式
(1).
分析：这个多项式就整体而言可以分为两大项3a(x+y)和-2b(x+y)，每一项中都含（x+y）,
所以可以把（x+y）看成公因式提出来.
解：
提问：请同学们想一想，公因式一定是单项式吗？
总结：一个多项式的公因式可以是单项式也可以是多项式.
(2).试一试
①
②
设计思路：探索公因式为多项式的题型，使学生明确公因式不仅是单项式，还可以是多
项式，渗透了“整体法”的思想．
（四）巩固练习
1.练一练：把下列各式分解因式.
①
②
③
④
设计思路：这几题即时巩固了新知，由学生独立完成，能检测全体学生对知识点的掌握情
况，借助实物投影，可以展示多位学生有问题的解答，集体纠错，提高实效．
(五)课堂小结
提问：通过今天的学习，你学会了什么？与大家分享．
设计思路：使学生将所学知识条理化、系统化；让学生在交流中共享．
（六）作业：1.补充习题9.5多项式的因式分解（1）
2.课后思考：你觉得能被7整除吗？
多项式的因式分解（一）教学反思
别桥中学
管青云
本节课主要内容是运用提公因式法进行因式分解，那么怎么实施教学呢？如果直接就给同学们讲把前面在整式的乘法中学习到的单项式与多项式的乘法反过来运用就形成了因式分解的提公因式法，然后就是反复的运用、反复的操练的话，尽管学生短时间里对这一内容掌握的比较好，但是学生对于知识的建构过程缺乏系统思考和逐步理解的过程，对于知识的生成获得缺少体验和感悟。不利于学生对新知识的获得，不利于后续知识的学习，更不能激发学生对数学学习的兴趣。
一、对教学设计的反思：
引入“因式分解”这一概念时，通过复习小学知识利用乘法分配律的逆运算进行简便运算开始，然后把数换成字母让学生运算，这样很自理然的就过度到因式分解上来，由此提出公因式和因式分解的概念，突出了多项式因式分解本质特征是一种式的恒等变形，从而对因式分解的概念和方法有一个整体的认识，也渗透着数学中的类比思想，让学生能体会“因式分解与整式乘法”是互为逆运算。
在学习提取公因式时，首先让学生通过观察多项式中每一项的特征，得到公因式的概念，然后设计了一些多项式，让学生自己找里面的公因式，通过学生自己找公因式的经验，总结出找公因式的方法，让后利用这些方法再去找公因式，并让学生把一个多项式写出公因式和另一个整式相乘的形式，引导学生得出提取公因式法这一因式分解的方法其实就是将被分解的多项式写出公因式和另一个整式相乘的计算过程。此处的意图是充分让学生自主探索，合作学习。而实际上，学生的学习情绪被充分调动起来了。尽管语言的组织方面不够完善，但是均可以得出结论。
接着进行例题学习，学生代表讲解展示后，教师点拨：强调多项式可以有不同形式的表示，而所谓因式分解就是把多项式化为积的形式．公因式可以是多项式这一点对学生来说不是很容易接受，但却很重要，这时进行题组训练让学生对公因式的概念深入理解。在这个环节的教学设计中，我始终围绕提公因式法的步骤及如何找公因式作为本节课的核心问题，围绕这一核心问题，通过对知识的重难点的分析，把对核心问题的掌握化解为对几个次级问题的解决来实现，在问题的设计过程中，充分考虑了学生的潜在知识，对知识认知规律以及对新知识的接受能力。
课堂小结环节上，我把本节课的重点总结成三句话，既简单易懂又总结出本课的重点内容，掌握了知识之间的联系。
二、成功之处
本课设计中，我尽可能的让学生真正成为学习的主体，让学生来多总结，多归纳，遇到比较困惑的问题可以发挥集体智慧的力量，让学生讨论，尽量让学生动起来。而我有时会成为与学生有同样知识水平线的未知者，有时成为能表达学生问题的困惑者，有时成为能帮助学生完整清晰地表达意见的翻译，通过引导学生经历质疑。教学过程中，能做到及时向学生反馈信息。能走下讲台，做到课内批改大部分学生的练习，且对于个别学习本课新知识有困难的学生能单独予以辅导。发现大部分学生都做错及存在的问题能充分利用多媒体向学生展示，或是马上板演为全体学生讲解清楚。
1.备课中体会教材的编写意图，把握新课标的要求，大胆对相关内容进行整合，既点燃了学生学习的激情，又体现了数学的应用价值，再加上由浅入深的问题设置和自然过渡，为提高课堂学习效率奠定了基础。
2.课堂中坚持学生的主体地位，积极引导学生独立思考、交流互动，给学生提供足够的时间和空间动手操作，展示成果，讲解思路，提出疑问，交流看法，完善答案。充分信任学生，尽力做到了学生能讲的教师不讲，学生讲对的不再重复。使学生切身体验知识的形成、巩固和应用过程，实现教学目标。
3.回顾教学过程，学生回答问题都是积极主动的，共有10多位位学生全班交流，独立动手做题6道，使学生主动的、活泼的、有个性的动手动脑，进而发展思维、学会学习。
三、不足之处：
本课的设计，过多强调学生用高度抽象的语言来描述概念，教学设计引入的过程可以进一步简化。对于因式分解的概念，学生可通过自己的一系列练习实践去体会到此概念的特点，故不需在开头引入的地方多加铺垫，浪费了宝贵的时间，在设计的时候脚手架的搭建层次也不够分明。具体如下：
1.目标呈现的时机以及体现呈现目标的作用和意义把握的不够充分。
2.在课前设计的过程中，对学生认知能力上的差异考虑的不够充分。
3.从问题的提出，到问题的解决过程中，没能把学生的思维积极的调动起来，学生对于问题解决的欲望不强烈，思考问题过程中缺乏体会、感悟的过程，学生似乎在等待教师把结果直接告诉他，这反映了学生对知识的获得缺乏思考的习惯。
4.问题设计的系统性、层次性、针对性、一致性还有待进一步研究和完善。
5.整节课在时间分配上有待斟酌，对新知识的巩固强化训练的时间相对太少。
6.课堂上缺少了激情，情绪有点平淡。