2025-2026学年北京市房山区高一上学期学业水平调研（一）数学试卷（PDF版，含答案）

北京市房山区 2025-2026 学年高一上学期学业水平调研（一）
数学试卷
一、选择题
1．已知集合 A {x || x | 1}, B { 2, 1,0,1,2}，则 A B （ ）
A．{ 1,0,1} B．{ 2, 1,0} C．{0} D．{x∣ 1 x 1}
2．已知命题 p : x [ 1,1], x2 1 0，则 p为（ ）
A． x [ 1,1],x2 1 0 B． x [ 1,1], x2 1 0
C． x [ 1,1], x2 1 0 D． x [ 1,1], x2 1 0
3．下列函数中，既是奇函数又在区间 (0, )上单调递增的是（ ）
1
y y = x2A． B． C． y x D． y x
x
4．已知a b 0 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
a 1 1
A．ac2 bc2 B．a2 ab C． 1 D．
b a 1 b 1
5．函数 f (x) x x 1的零点所在的区间（ ）
5 5
A． (1,2) B． (2, ) C． ( ,3) D． (3,4)
2 2
1
6．设 p : a 2,q : 1，则 p 是q的（ ）
a
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知 f (x)是奇函数，且在[1, )上单调递减，则（ ）
A． f ( 2) f (2) 0 B． f ( 2) f (2) 0
C． f ( 1) f (2) 0 D． f ( 1) f (2) 0
x2 ax 5, x 1

8．已知函数 f (x) a 是R 上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
, x 1
x
A．[2, ) B． (0,3] C．[2,3] D． (0, )
9．如图（1），四边形 ABCD为直角梯形， AB∥CD, ABC 90 ，动点 P 从 B 点出发，由
B C D A沿边运动，设点 P 运动的路程为 x, ABP的面积为 f (x)．若 f (x)的图象如
图（2）所示，则VABC 的面积为（ ）
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A．9 B．12 C．15 D．24
10．设全集U {1,2,3,4}，集合 A，B是U 的子集，若 A B {1}，则称 (A, B)为优集（如：
若 A {1}, B {1,2,3,4}，则 (A, B)是一个优集；若 A {1,2}, B {1,2,3,4}，则 (A, B)不是优集），
那么所有优集的个数为（ ）
A．15 B．24 C．27 D．32
二、填空题
1
11．函数 f (x) x 的定义域为 ．
x 1
x2 1, x 2
12．已知函数 f (x) ，则 f (0) ；若 f (x) 3，则 x ．
x 3, x 2
13．若 x1, x
2 2
2是一元二次方程 x2 2x 1 0的两个根，则 x1 x2的值为 ;x1 x2 的值
为 ．
2 2
14．已知集合M x∣2x 3x 1 0 , N x∣x (1 a)x a 0 ．用列举法表示集合M ，则
M ；若M N ，则a的取值范围是 ．
15．设a,b,c是任意整数，且a b，能够说明“若a c,b c，则 a b c ”是假命题的一组a,b,c
的值依次为 ．
16．已知函数 f (x) x x a ,a R ，给出下列四个结论：
①当 a 0时， f (x)在定义域上是增函数；
a
①当 a 0 时， f (x)的单调递减区间为 a, ；
2
①存在实数a，使得函数 f (x)是偶函数；
①若方程 f (x) 1有三个不等的实根，则a 2．
其中正确结论的序号为 ．
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三、解答题
17．已知全集为R ，集合 A {x∣0 x 3}，B {x∣2x 1 3}，C x x a ．
(1)求 A B；
(2)求 R A；
(3)若 A C A，求a的取值范围．
2
18．已知函数 f (x) 2 ． x 1
(1)判断函数 f (x)的奇偶性，并证明你的结论；
(2)依据函数单调性的定义，证明函数 f (x)在 (0, )上是减函数；
(3)直接写出函数 f (x)的值域．
19．已知函数 f (x) mx2 (m 3)x 3,g(x) 6x 2．
(1)当m 1时，求函数 f (x)在[ 2,2]上的最大值和最小值；
(2)当m 1时，求不等式 f (x) 0的解集；
(3)若对任意实数 x, f (x) g(x)恒成立，求实数m的取值范围．
20．为改善学生进行体育活动的环境，学校要建造体育馆．在建造体育馆时需建造隔热层，
并要求隔热层的使用年限为 20 年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是 3 万元．每年的能源
k
消耗费用 P（单位：万元）与隔热层厚度 x（单位：厘米）的函数关系是P （0 x 10 ，
3x 2
k 为常数）．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为 2.5万元．20年的总维修费用为 15 万元．记
f (x)为 20 年的总费用（总费用＝隔热层的建造成本＋使用 20 年的能源消耗费用＋使用 20
年的总维修费用）．
(1)求 f (x)的解析式；
(2)当隔热层的厚度为多少厘米时，20 年的总费用最小，并求出最小值．
21．设集合 A为正整数集的非空子集，对于任意a,b A(a b) ，定义运算 f (a,b) a 2b，
若所有这些运算结果构成的集合记为M (A)，则称M (A)为集合 A的倍差集．
(1)当 A {1,2,3}时，写出集合 A的倍差集M (A)；
(2)设集合 A {2,4,m},m *N ，若其倍差集M (A)中恰好有两个元素，求m的值；
(3)若 A是由 4 个正整数构成的集合，求其倍差集M (A)中元素个数的最小值．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D B C A D C B C
11． x x 0 且 x 1
12． 1； 2
13． 1；6
1 1
14．{ ,1}；a
2 2
15． 2, 3, 4（答案不唯一）
16．①②④
17．（1）① 2x 1 3，① x 1，即B {x∣x 1}，
① A B x x 0 .
（2） R A x x 0或 x 3 .
（3）① A C A，① A C，
①3 a，
即 a a 3 .
18．（1） f (x)是偶函数，证明如下：
2 2
f (x)的定义域为R ， f x f x2 2 ，得证.
x 1 x 1
（2）任取 x1, x2 (0, )，且 x1 x2 ，
2 2 x2 1 x22 1 1 2 x x x x
2 1 2 1

则 f x1 f x2 2 ，
x21 1 x
2 2
2 1 x1 1 x22 1 x21 1 x22 1
因为0 x1 x2，则 x2 x1 0，则 f x1 f x2 0，即 f x1 f x2 ，
所以函数 f (x)在 (0, )上是减函数.
2
（3）因为 f (x)的定义域为R ，且 x 1 1, ，
所以由函数的单调性可得函数 f (x)的值域为 0,2 .
2
19．（1）当m 1时，函数 f (x) x2 2x 3 x 1 4，
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因为 x [ 2,2]，所以，由二次函数的性质知，当 x 1时， f (x)有最小值 4；当 x 2时，
f (x)有最大值5，
所以，当m 1时，函数 f (x)在[ 2,2]上的最大值和最小值分别为5和 4 .
（2）当m 1时，函数 f (x) x2 2x 3，
所以，不等式 f (x) 0的解集即为 x2 2x 3 0的解集，
x2因为 2x 3 x 3 x 1 0，解得 x 3或 x 1，
所以，当m 1时，不等式 f (x) 0的解集为 ( , 3) (1, ) .
（3）因为对任意实数 x, f (x) g(x)恒成立，
即mx2 (m 3)x 3 6x 2对任意实数 x恒成立，
所以，mx2 (m 3)x 1 0对任意实数 x恒成立，
1
当m 0时，mx2 (m 3)x 1 3x 1 0，解得 x ，不满足题意；
3
m 0
当m 0 时，mx2 (m 3)x 1 0对任意实数 x恒成立等价于 2 ，
m 3 4m 0
m 0
即：
m2
，解得 9 m 1
10m 9 0
综上，实数m的取值范围为 9, 1
k
20．（1）由题意得，当 x 0 时， 2.5，解得 k 5 ，
2
5 5 100
所以P ，故 f (x) 3x 20 15 3x 15，0 x 10 ；
3x 2 3x 2 3x 2
100 100 100
（2） f (x) 3x 15 3x 2 13 2 3x 2 13 33，
3x 2 3x 2 3x 2
100 8
当且仅当3x 2 ，即 x 时，等号成立，
3x 2 3
8
故当隔热层的厚度为 厘米时，20 年的总费用最小，最小费用为 33 万元.
3
21．（1）根据倍差集的定义 f (a,b) a 2b，a,b A(a b) ，
当 a 2，b 1时， f (2,1) 2 2 1 0；
当 a 3，b 1时， f (3,1) 3 2 1 1；
当 a 3，b 2 时， f (3,2) 3 2 2 1 .
由集合中元素的互异性，可得M (A) 1,0,1 .
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（2）已知 A 2,4,m ,m *N ，由集合中元素的互异性可知，m 2且m 4 ，
当0 m 4时，m的可能取值为 1 或 3.
当 m 1时， A {1,2,4}， f (2,1) 2 2 1 0， f (4,1) 4 2 1 2， f (4,2) 4 2 2 0 ，
此时M (A) 0,2 ，满足倍差集M (A)中恰好有两个元素，故m 1；
当m 3时，A= {2,3,4}，f (3,2) 3 2 2 1，f (4,2) 4 2 2 0 ，f (4,3) 4 2 3 2，
此时M A 2, 1,0 ，不满足倍差集M (A)中恰好有两个元素，故m 3；
当m 4 时，根据 f a,b a 2b, a,b A(a b) ，得 f (4,2) 4 2 2 0 ， f (m,2) m 4，
f (m,4) m 2 4 m 8 .
由于m 2且m 4，所以m 4 2 且m 4 0，m 8 6且m 8 4，
因为倍差集M (A)中恰好有两个元素，所以分以下情况讨论：
若m 4 m 8 ，此方程无解；
m 8 0
若 ，解得m 8 ，此时M (A) 0,4 ，满足倍差集M (A)中恰好有两个元素，故m 8 ，
m 4 0
综上，若其倍差集M (A)中恰好有两个元素，则m的值为 1 或 8.
（3）设 A c,d ,e, g ，c d e g ，c,d,e, g *N .
根据 f (a,b) a 2b，a,b A(a b) ，则 f g,e g 2e，f g,d g 2d ，f g,c g 2c ，
f e,d e 2d ， f e,c e 2c， f d,c d 2c .
不妨设 A c,2c,4c,8c ，则 f 2c,c 2c 2c 0， f 4c,c 4c 2c 2c ，
f 4c,2c 4c 4c 0， f 8c,c 8c 2c 6c， f 8c,2c 8c 4c 4c，
f 8c,4c 8c 8c 0，
由集合中元素的互异性，可得M (A) 0,2c, 4c,6c ，元素个数为 4.
下证元素个数不少于 4：
将 f g,e g 2e， f g,d g 2d ， f g,c g 2c ， f e,d e 2d ， f e,c e 2c，
f d,c d 2c，
这 6 个值分别记为：B d 2c，C e 2c ，D g 2c，E e 2d ，F g 2d ，G g 2e .
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从而有：C B e d 0 ，即C B，D C g e 0，即D C .
因此D C B ，即 B ，C ，D已经是严格递增的三个数，它们已经占用了 3 个不同的值，
如果倍差集M (A)中只有 3 个元素，那么E ，F ，G 必须在 B,C, D 中取值，且不能引入新
的数.
先看E e 2d ：
若 E B，则e 2d d 2c，即e 2c 3d ；
若 E C ，则e 2d e 2c，即d c，与假设 c d 矛盾；
若E D ，则e 2d g 2c，即 g e 2c 2d ，显然 g e 0 2c 2d 矛盾.
因此E B，此时e 2c 3d .
再看F g 2d ：
若F D，则 g 2d g 2c，即d c，与 c d 矛盾；
若 F C ，则 g 2d e 2c，即 g e 2d 2c；
若F B ，则 g 2d d 2c ，即 g 2c 3d ，而e 2c 3d ，则 g e，与 g e矛盾；
因此F C ，此时 g e 2d 2c，即 g e 2d 2c .
最后看G g 2e，
将 g e 2d 2c代入G ，可得G 2d 2c e，
若G B ，则2d 2c e d 2c ，即d e，与d e矛盾；
若G C ，则2d 2c e e 2c，即d e，与d e矛盾；
若G D ，则2d 2c e g 2c ，即 g 2d e，而 g e 2d 2c，则e c，与c e矛盾.
所以无论如何，G 都不能在 B,C, D 中取值，即G 一定是不同于B,C, D的第四个数.
因此倍差集M (A)中元素个数的最小值为 4.
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