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苏科版2025—2026学年九年级上册期中实战演练提分卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·重庆市期中）据了解，某展览中心月份的参观人数为万人，月份的参观人数为万人设参观人数的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·杭州期中）已知的直径是10，点P到圆心O的距离是10，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．点P在圆心
3．（2023九上·贵阳期中）受国际油价影响，2022年我国汽油价格总体呈上升趋势.某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升.设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A．6.2（1+x）2=8.9 B．8.9（1+x）2=6.2
C．6.2（1+x2）=8.9 D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2=8.9
4．（2023九上·金沙期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，且m为正整数，则此方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2023九上·天河期中）已知a、b、m、n为互不相等的实数，且，，则的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．2 D．4
6．（2023九上·舟山期中）如图，点是以为直径的半圆的中点，连接，点是直径上一点，连接，分别过点、点向作垂线，垂足为和，其中，，，，则的长是（ ）
A．10 B．12． C． D．
7．（2022九上·温州期中）已知点A，B，C在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点D.若，，则的长为（ ）
A． B．9 C． D．
8．（2022九上·新丰期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟
C．3秒钟或5秒钟 D．5秒钟
9．（2023九上·贵阳期中）小星参加学校举行的十佳歌手比赛，7位评委给他打分得到一组数据，为了比赛更加公平，这组数据要去掉一个最高分和一个最低分得到一组新数据，比较两组数据．一定不会发生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
10．（2023九上·湖北期中）如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，G， H三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·翁源期中）设是方程的两个实数根，则的值为 ．
12．（2023九上·呼兰期中）若扇形的半径为2，圆心角为则这个扇形的面积为 ．
13．（2023九上·青神期中）已知关于的方程、、为常数，的解是，，那么方程的解是 ．
14．（2022九上·崂山期中）电影《长津湖之水门桥》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房收入达2.88亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为 .
15．（2022九上·陵城期中）如图，半圆的半径为5，将三角板的30°角顶点放在半圆上，这个角的两边分别与半圆相交于点A，B，则 ．
16．（2023九上·余杭期中）如图，已知半圆．点在半圆上，，在取点，连接，作于点，连接，则的最小值等于 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·江津期中）解下列方程：
（1）；
（2）．
18．（2024九上·兴宁期中）按要求解方程：
（1）（公式法）；
（2）（因式分解法）．
19．（2024九上·北京市期中）已知：关于的一元二次方程有两个实数根，．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求的值．
20．（2024九上·长顺期中）西安大唐不夜城在2020年五一假期，接待游客达20万人次，在2022年五一假期，接待游客达28.8万人次．一家特色小面店希望在五一长期限期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗.
（1）求出2020至2022年五一长假期间游客人次的年平均增长率.
（2）为了更好地维护西安城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？
21．（2024九上·乐清期中）如图，是的直径，弦交于点．连接、．已知．
（1）求的度数；
（2）若点为的中点，求的度数．
22．（2024九上·龙华期中）解方程时，我们可以运用分类的思想来解：当时，则原方程可化为，解得或；当时、则原方程可化为，解得或；
综上，原方程的解为：，，，；
（1）请利用这种方法解方程，可得这个方程的解是______；
（2）解方程．
23．（2024九上·中山期中）如图，四边形是的内接四边形，为直径，平分；且的延长线于点E．
（1）求证∶是的切线
（2）若，求的半径和的长．
24．（2022九下·福州期中）如图，已知△ABC，∠B=40°．
（1）在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；
（2）连接EF，DF，求∠EFD的度数．
25．（2023九上·巴东期中）已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为，，若．求k的值．
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苏科版2025—2026学年九年级上册期中实战演练提分卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·重庆市期中）据了解，某展览中心月份的参观人数为万人，月份的参观人数为万人设参观人数的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设参观人数的月平均增长率为，列方程为 ，
故答案为：B.
【分析】设参观人数的月平均增长率为，根据增长率问题的公式“a(1±x)2=b”列方程即可.
2．（2024九上·杭州期中）已知的直径是10，点P到圆心O的距离是10，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．点P在圆心
【答案】C
【解析】【解答】解：∵的直径是10，
∴的半径为5，
∵点P到圆心O的距离为10，而，
∴点P在外，
故答案为：C.
【分析】设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，据此判断即可得出答案.
3．（2023九上·贵阳期中）受国际油价影响，2022年我国汽油价格总体呈上升趋势.某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升.设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ）
A．6.2（1+x）2=8.9 B．8.9（1+x）2=6.2
C．6.2（1+x2）=8.9 D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2=8.9
【答案】A
【解析】【解答】解： 设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程：
6.2（1+x）2=8.9
故答案为：A.
【分析】 设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x， 根据五月底 92号汽油的价格=三月底 的价格（1+增长率）2列出方程，从而求解.
4．（2023九上·金沙期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，且m为正整数，则此方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，
解得m<2，
又m为正整数，
m=1，
原方程为 ，
，
解得，，
故答案为：C.
【分析】先利用根与系数的关系和m的取值范围求出m的值，再利用因式分解法解一元二次方程即可得出结论.
5．（2023九上·天河期中）已知a、b、m、n为互不相等的实数，且，，则的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．2 D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵a、b、m、n为互不相等的实数，
∴a，b是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】先把已知条件变形得到，，则可得a，b是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到，从而得到答案．
6．（2023九上·舟山期中）如图，点是以为直径的半圆的中点，连接，点是直径上一点，连接，分别过点、点向作垂线，垂足为和，其中，，，，则的长是（ ）
A．10 B．12． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：延长BE交圆O于M，连接CM、AC，如图：
∵BC为直径，
∴
∵
∴
∴四边形EFCM为矩形，
∴
∵，
∴
∴
∵点是以为直径的半圆的中点，
∴
∴
∴
故答案为：D.
【分析】延长BE交圆O于M，连接CM、AC，证明四边形EFCM为矩形，得到：即可利用勾股定理求出线段BC的长，进而证明最后利用勾股定理即可求解.
7．（2022九上·温州期中）已知点A，B，C在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点D.若，，则的长为（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：取点D在上的对应点E，连接CE、BE、CD、AC，过C点作CF⊥AD于F点，如图，
∵四边形ABEC内接于，
∴，
∵点D在上的对应点为点E，
∴根据折叠的性质有：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴△ACD是等腰三角形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是直角三角形，
∵，
∴在中，，
∵在中，，
∴，
∴，（负值舍去），
故答案为：C.
【分析】取点D在上的对应点E，连接CE、BE、CD、AC，过C点作CF⊥AD于F点，由圆内接四边形的性质得∠A+∠E=180°，根据折叠性质得∠BEC=∠BDC，根据等角的补角相等得∠A=∠ADC，故△ACD是等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一得AF=FD=2，在Rt△BCF中，根据含30°角直角三角形的性质及勾股定理算出BC即可.
8．（2022九上·新丰期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟
C．3秒钟或5秒钟 D．5秒钟
【答案】B
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，
依题意，得：×2t （8-t）=15，
解得：t1=3，t2=5，
∵2t≤6，
∴t≤3，
∴t=3．
故答案为：B．
【分析】根据题意先求出×2t （8-t）=15，再求出t1=3，t2=5，最后求解即可。
9．（2023九上·贵阳期中）小星参加学校举行的十佳歌手比赛，7位评委给他打分得到一组数据，为了比赛更加公平，这组数据要去掉一个最高分和一个最低分得到一组新数据，比较两组数据．一定不会发生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】C
【解析】【解答】 这组数据要去掉一个最高分和一个最低分得到一组新数据，比较两组数据，一定不会发生变化的统计量是中位数 ，
故答案为：C.
【分析】根据中位数、平均数、方差、众数的概念进行判断，即可得出结论.
10．（2023九上·湖北期中）如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，G， H三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，记过A，G， H三点的圆为则是，的垂直平分线的交点，
记的交点为的交点为 延长交于为的垂直平分线，结合正方形的性质可得：
四边形为正方形，则
设 而AB＝2，CD＝3，EF＝5，结合正方形的性质可得：
而
又 而
解得：
故答案为：A.
【分析】记过A，G， H三点的圆为则是，的垂直平分线的交点，记的交点为的交点为 延长交于为的垂直平分线，结合正方形的性质可得：设利用勾股定理可得 而可得求出最后求出即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·翁源期中）设是方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题关键.
一元二次方程根与系数的关系：对于一元二次方程的两个根为，，则，，根据一元二次方程根与系数的关系代入数据可得：，，代入数据进行计算即可得出答案．
12．（2023九上·呼兰期中）若扇形的半径为2，圆心角为则这个扇形的面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：面积为：
故答案为：.
【分析】利用扇形面积计算公式直接求解.
13．（2023九上·青神期中）已知关于的方程、、为常数，的解是，，那么方程的解是 ．
【答案】5和1
【解析】【解答】解：∵关于的方程、、为常数，的解是，，
∴x-2=3或x-2=-1，
解得：x=5或x=1，
故答案为：5或1.
【分析】利用一元二次方程的解可得x-2=3或x-2=-1，再求出x的值即可.
14．（2022九上·崂山期中）电影《长津湖之水门桥》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房收入达2.88亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为 .
【答案】
【解析】【解答】解：若把增长率记作x，则第二天票房约为亿元，第三天票房约为亿元，
依题意得：．
故答案为：．
【分析】若把增长率记作x，则第二天票房约为亿元，第三天票房约为亿元，根据“ 第三天票房收入达2.88亿元 ”列出方程即可.
15．（2022九上·陵城期中）如图，半圆的半径为5，将三角板的30°角顶点放在半圆上，这个角的两边分别与半圆相交于点A，B，则 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：如图，
设点O为圆心，连接，，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
故答案为：．
【分析】先证明为等边三角形，再利用等边三角形的性质可得。
16．（2023九上·余杭期中）如图，已知半圆．点在半圆上，，在取点，连接，作于点，连接，则的最小值等于 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：连接，取的中点，连接，
∵，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∴，
∵，
∴，
当、、三点共线时，最小，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】如图，取的中点，连接，．由题意点在以为圆心，为半径的上，推出当、、共线时，的值最小．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·江津期中）解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
，；
（2）解：
，；
【解析】【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程即可求解；
（2）根据配方法解一元二次方程即可求解.
（1）解：
，；
（2）
，；
18．（2024九上·兴宁期中）按要求解方程：
（1）（公式法）；
（2）（因式分解法）．
【答案】（1）解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程的公式法的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
19．（2024九上·北京市期中）已知：关于的一元二次方程有两个实数根，．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴，
解得：；
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴，，
∵，
∴，整理得，
解得：，，
由（）得：，
∴，
∴的值为．
【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
（2）根据二次方程根与系数的关系可得，，再整体代入等式，解方程即可求出答案.
（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴，
解得：；
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴，，
∵，
∴，整理得，
解得：，，
由（）得：，
∴，
∴的值为．
20．（2024九上·长顺期中）西安大唐不夜城在2020年五一假期，接待游客达20万人次，在2022年五一假期，接待游客达28.8万人次．一家特色小面店希望在五一长期限期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗.
（1）求出2020至2022年五一长假期间游客人次的年平均增长率.
（2）为了更好地维护西安城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？
【答案】（1）解：设年平均增长率为x，依题意有
，
解得，（舍去）．
答：年平均增长率为；
（2）解：每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，依题意有：，
解得，，
∵每碗售价不得超过20元，
∴．
答：当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元．
【解析】【分析】（1）设年平均增长率为x，根据 “2020年的20万人次到2022年达28.8万人次”可得方程，解方程并取符合题意的值即可；（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，根据“每晚利润×销量=总利润”，即可得出，解方程并取符合题意的值即可。
（1）解：设年平均增长率为x，依题意有
，
解得，（舍去）．
答：年平均增长率为；
（2）每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，依题意有：
，
解得，，
∵每碗售价不得超过20元，
∴．
答：当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元．
21．（2024九上·乐清期中）如图，是的直径，弦交于点．连接、．已知．
（1）求的度数；
（2）若点为的中点，求的度数．
【答案】（1）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵是的外角，
∴．
【解析】【分析】（1）连接OC，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠BOC=2∠BAC=70°，进而根据邻补角求出∠AOC=110°，最后再根据，再根据 同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求出∠D的度数；
（2）先根据“弧，弦，圆心角”之间的关系得AC=CD，由等边对等角得出∠DAC=∠CDA=55°，然后根据三角形的内角和定理求出∠ACD=70°，最后根据三角形外角的性质得出答案．
（1）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵是的外角，
∴．
22．（2024九上·龙华期中）解方程时，我们可以运用分类的思想来解：当时，则原方程可化为，解得或；当时、则原方程可化为，解得或；
综上，原方程的解为：，，，；
（1）请利用这种方法解方程，可得这个方程的解是______；
（2）解方程．
【答案】（1）
（2）解：当，即：时，则原方程化为：，
解得：或，
∴或；
当，即：时，则原方程化为：，
解得：或，
∴或；
∴方程的解为：．
【解析】【解答】（1）解：当时，则原方程可化为，
解得或（舍去）；
当时，则原方程可化为，
解得或（舍去）；
∴这个方程的解是；
故答案为：；
【分析】（1）分类讨论：①当时，则原方程可化为，②当时，则原方程可化为，再分别求解即可；
（2）分类讨论：①当，即：时，则原方程化为：，②当，即：时，则原方程化为：，再分别求解即可.
（1）解：当时，则原方程可化为，
解得或（舍去）；
当时，则原方程可化为，
解得或（舍去）；
∴这个方程的解是；
故答案为：；
（2）解：当，即：时，则原方程化为：，
解得：或，
∴或；
当，即：时，则原方程化为：，
解得：或，
∴或；
∴方程的解为：．
23．（2024九上·中山期中）如图，四边形是的内接四边形，为直径，平分；且的延长线于点E．
（1）求证∶是的切线
（2）若，求的半径和的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，
，
∵平分，
，
，
，
，
，
∴是的切线.
（2）解：如图，取中点，连接，
，
又∵，
∴四边形是矩形，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
∴的长是.
【解析】【分析】（1）连接OA，先利用角的运算和等量代换求出，即，再结合OA是半径，即可证出是的切线；
（2）取中点，连接，先利用勾股定理求出OD的长，可得圆的半径；再求出AD的长即可.
（1）证明：如图，连接，
∵，
，
∵平分，
，
，
，
，
，
∴是的切线；
（2）解：如图，取中点，连接，
，
又∵，
∴四边形是矩形，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
∴的长是
24．（2022九下·福州期中）如图，已知△ABC，∠B=40°．
（1）在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；
（2）连接EF，DF，求∠EFD的度数．
【答案】（1）解：如图1，⊙O即为所求．
（2）解：如图2，
连接OD，OE，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∴∠ODB=∠OEB=90°，
∵∠B=40°，
∴∠DOE=140°，
∴∠EFD=70°．
【解析】【分析】（1）该题重点考察三角形内切圆的尺规作图，分三步：
①作任意两个角的角平分线，其交点就是圆心；
②做圆心到其中任意一边的垂线，该垂线的长度就是圆的半径；
③以该交点为圆心，以垂距为半径做圆，即为所求的内切圆。
（2）
求出圆心角 ∠DOE ，利用同弧所对的圆心角和圆周角的关系，即可求出 ∠EFD 的度数。
25．（2023九上·巴东期中）已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为，，若．求k的值．
【答案】（1）解：因为 关于x的一元二次方程有实数根 ，
所以，解得．
（2）解：∵．
∴．
解这个方程，．
∴k的值为.
【解析】【分析】（1）根据方程有实数根，列出关于k的不等式求解；
（2）利用根与系数的关系，将已知条件适当变形后求解.
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