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湘教版2025—2026学年九年级上册期中复习闯关卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一元二次方程x2＝4的解是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝± D．x＝±2
2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知 = ，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
5．一元 次方程 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．如图，已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD、BC的延长线相交于点E，AC、BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N．则S△AOE：S△BOE等于（ ）
A．1∶1 B．4∶3 C．3∶4 D．3∶2
7．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）．
A． B．
C． 且 D． 且
8． 某大型超市一月份的营业额为1000万元，预计三月份的营业额比一月份的多440万元．设该超市营业额的月平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．方程 的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
10．等积变换法是证明勾股定理的常用方法之一.如图，在中，，以AB为边向下做正方形ADEB，CN平分分别交AB，DE于M，N，过点A，B分别作，，交CN于点G，F，连接DG，利用此图形可以证明勾股定理，记，的面积分别为，，若，，则AB的长为（ ）
A． B．5 C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图所示，点A是反比例函数y＝ （x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点P，点P在x轴上，若△ABP的面积是2，则k＝ ．
12．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点B落在点处，交于点E，若，则的值为 ．
13．如图，设双曲线与直线＝交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限内的一支沿射线方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于，两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（阴影部分）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”．当k＝6时，“眸径”的长为 ．
14．若等腰△ABC的一边长6，另两边长恰好是关于x方程x2-10x+m=0的两个实数根，则△ABC的面积为
15．如图，已知△和四边形的面积相等，点E在边上，交于点F，，，则的长是 .
16．将反比例函数y= (k>0，x>0)的图象绕着原点O顺时针旋转45°得到新的双曲线图象C1(如图1所示)，直线l⊥x轴，F为x轴上的一个定点。已知：图象C1上的任意一点P到F的距离与直线l的距离之比为定值，记为e。即e= ，(e＞1)
（1）如图1，若直线l经过点B(1，0)，双曲线C1的解析式为y=± ，且e=2，则F点的坐标为 ；
（2）如图2，若直线l经过点B(1，0)，双曲线C2的解析式为y=± ，且F(5，0)．P为双曲线C2在第一象限内图象上的动点连接 (PF、Q) 为线段PF上靠近点P的三等分点，连接HQ，在点P运动的过程中，当HQ= HP时，点P的坐标为 。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 选择适当的方法解方程；
（1）
（2）
18．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，求出x的最小值．
19．嘉嘉解方程的过程如图14所示．
（1）在嘉嘉解方程过程中，是用 （填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来求解的；从第 步开始出现错误；
（2）请你用不同于（1）中的方法解该方程．
20．如图，已知点在反比函数的图象上，点在直线的图象上，点B的纵坐标为－1，轴，且．
（1）求点A的坐标和k的值；
（2）若点P在反比例函数的图象上，点Q在直线的图象上，P、Q两点关于y轴对称，设点P的坐标为，求的值．
21．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）．以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得到△A1B1C1，作出△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
22．学校打算用长20米的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠在长为12米的墙上，面积为42平方米，求生物园的长和宽.
23．已知.
（1）求的值.
（2）求的值.
（3）比较(1)，(2)的结论，你能发现什么规律
24． 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点点．
（1）求此一次函数和反比例函数的表达式；
（2）如图所示，请直接写出不等式的解集；
（3） 在轴上存在一点，使的周长最小，求点P的坐标.
25．
如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，根据画出的图形，可以猜想：
DE∥BC，且DE=BC
对此，我们可以用演绎推理给出证明．
（1） [定理证明]请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
（2） [定理应用]如图②，四边形ABCD中，M、N、P分别为AD、BC、BD的中点，边BA、CD延长线交于点E，∠E=40°，则∠MPN= ．
（3）如图③，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB=8，E、F分别为CA、CB上一点，M、N分别为AF、BE的中点，当CE=CF=2时，MN=
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湘教版2025—2026学年九年级上册期中复习闯关卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一元二次方程x2＝4的解是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝± D．x＝±2
【答案】D
【解析】【解答】∵x2=4，∴x=±2．
故答案为：D．
【分析】根据直接开平方法求解即可．
2．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，是二元一次方程，故A不符合题意；
，整理德得：，是一元一次方程，故B不符合题意；
，分母中含有未知数，不是一元二次方程，故C不符合题意；
是一元二次方程，故D符合题意．
故答案为：D.
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程，据此判断.
3．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意建立等量关系，得：．
故答案为：A．
【分析】根据图形，再利用矩形的面积公式可得。
4．已知 = ，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵ = ，
∴ ；
故答案为：C．
【分析】根据 = ，计算求解即可。
5．一元 次方程 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【解析】【解答】解：∵
∴有两个不相等的实数根．
故答案为：B．
【分析】先计算根的判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此判断即可.
6．如图，已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD、BC的延长线相交于点E，AC、BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N．则S△AOE：S△BOE等于（ ）
A．1∶1 B．4∶3 C．3∶4 D．3∶2
【答案】A
【解析】【解答】解：∵CD∥AB，
∴△DEN∽△AEM，△OND∽△OMB，
∴，同理，
∴，
∴，同理，
∴，
∴，
∴AM=BM，
∴S△EAM=S△EBM，S△AOM=S△BOM，
∵S△EAM-S△AOM=S△EBM-S△BOM，
∴S△AOE=S△BOE，
∴S△AOE：S△BOE=1：1，
故答案为：A.
【分析】由在梯形ABCD中，CDIAB，易证得△DEN∽△AEM，△OND∽△OMB，然后由相似三角形的对应边成比例，易证得，即可得AM=BM，即可得S△EAM=S△EBM，S△AOM=S△BOM，则可求得S△AOE：S△BOE.
7．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）．
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】C
8． 某大型超市一月份的营业额为1000万元，预计三月份的营业额比一月份的多440万元．设该超市营业额的月平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题可得： 故B正确，A、C、D错误；
正确答案：B.
【分析】列一元二次方程解答增长率问题，由题易知一月份营业额为1000万元，则二月份营业额为1000（1+x）万元，三月份营业额为1000（1+x）(1+x)，也即1000（1+x ）2，又三月份营业额比一月份多440万元，故可得方程。
9．方程 的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】【解答】解：∵x2 3x+2=0，
∴Δ=（ 3）2 4×1×2=1＞0，
∴方程x2 3x+2=0有两个不相等的实数根，
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根的判别式逐项判断即可。
10．等积变换法是证明勾股定理的常用方法之一.如图，在中，，以AB为边向下做正方形ADEB，CN平分分别交AB，DE于M，N，过点A，B分别作，，交CN于点G，F，连接DG，利用此图形可以证明勾股定理，记，的面积分别为，，若，，则AB的长为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设
∵，
∴∠
∵∠
∴∠即∠
∵四边形是正方形，
∴AB//DE
∴∠
∴∠
∵平分∠
∴∠
∵，
∴∠
∴∠
∴
在△和△中
∴△
∴∠
∴∠
∴∠
∴∠
∵AB//DE，
∴∠，
∴△，
∴，
∴即，
同理可得，，
过点C作于R，于P，于Q，
∵为∠ACB的平分线，
∴，
∴
∴
∴，
∵
∴①
又
∵
∴即，
∴
∴，②
①-②，得：，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】设AC=x，BC=y，根据平行线的性质可得∠GAC+∠ACB=90°，根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=∠ADE=90°，AB//DE，根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DAG，根据角平分线的概念可得∠ACN=∠BCN，根据平行线的性质可得∠AGC=∠BCN，推出AG=AC，证明△ABC≌△ADG，得到∠AGD=∠ACB=90°，DG=BC，推出∠GDN=∠BAC，证明△DNG∽△AMC，根据相似三角形的性质可得S2，同理可得S1，过点C作CR⊥AB于R，MP⊥AC于P，MQ⊥BC于Q，根据角平分线的性质可得MP=MQ，结合三角形的面积公式可得MP，然后表示出S△AMC、S△BMC，结合S1+2=7可得x2-xy+y2=14，根据FG=2可得x-y=2，联立可得x2+y2=24，接下来利用勾股定理计算即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图所示，点A是反比例函数y＝ （x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点P，点P在x轴上，若△ABP的面积是2，则k＝ ．
【答案】-4
【解析】【解答】解：连接OA，
∵AB⊥y轴
∴AB∥x轴
∴S△ABP=S△ABO=2
∵S△ABO=|k|=2，
解之：k=-4（取负值）.
故答案为：-4.
【分析】连接OA，利用已知条件可证得AB∥x轴，由此可得到S△ABP=S△ABO=2；再根据反比例函数的几何意义，可建立关于k的方程，解方程求出k的值，结合函数图象所在的象限，可求出k的值.
12．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点B落在点处，交于点E，若，则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设宽为，
∵宽与长的比是，
∴长为：，
由折叠的性质可知，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，，
变形得：，
∴，
故答案为∶．
【分析】设宽为，根据题意可得长为，再根据折叠性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，设，再根据勾股定理建立方程，化简计算即可求出答案.
13．如图，设双曲线与直线＝交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限内的一支沿射线方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于，两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（阴影部分）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”．当k＝6时，“眸径”的长为 ．
【答案】12
【解析】【解答】解：根据题意，得
，
解得或，
∴点A的坐标（，），点B的坐标（，），
∴从A到B的平移方式是向右平移个单位，再向上平移个单位，
设PQ=2m，根据中心对称性质，则PO==，
∵PQ与直线y=x垂直，
∴PQ与y轴的夹角为45°，
∴点P的坐标为（，），
∴点D的坐标为（，），
∵点P平移的对应点D是在反比例函数上，
∴（）（）=6，
解得m=12或m=-12（舍去）
故PQ=12，
故答案为：12．
【分析】先求出点A、B的坐标，设PQ=2m，根据中心对称性质，则PO==，求出点P、D的坐标，再将点坐标代入反比例可得（）（）=6，求出m的值，即可得到答案。
14．若等腰△ABC的一边长6，另两边长恰好是关于x方程x2-10x+m=0的两个实数根，则△ABC的面积为
【答案】12或8
【解析】【解答】解：当底边长为6时，则腰长为x，
∴b2-4ac=100-4m=0
解之：m=25，
∴ x2-10x+25=0
解之：x1=x2=5，
∵5×2=10＞6，
∴腰长为5，则这个三角形底边上的高为，
∴这个三角形的面积为；
当腰长为6时，设底边长为n，
∴n+6=10，
解之：n=4，
∴这个等腰三角形底边上的高为，
∴这个等腰三角形的面积为.
故答案为：12或8
【分析】分情况讨论：当底边长为6时，则腰长为x，可得到b2-4ac=100-4m=0，解方程求出m的值，然后求出方程的解，可得到腰长为5，利用等腰三角形的性质和勾股定理求出这个三角形底边上的高，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积；当腰长为6时，设底边长为n，利用一元二次方程根与系数，可求出n的值，再利用勾股定理求出这个等腰三角形底边上的高；然后利用三角形的面积公式求出这个三角形的面积.
15．如图，已知△和四边形的面积相等，点E在边上，交于点F，，，则的长是 .
【答案】7
【解析】【解答】解：∵△和四边形的面积相等，
∴与的面积相等，
∵，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴
∴
∴
∴.
故答案为：7.
【分析】由题意可得△BEA与△BCD的面积相等，易证△BEF∽△BCD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，则，根据等高的三角形面积比等于底之比可得，则，据此计算.
16．将反比例函数y= (k>0，x>0)的图象绕着原点O顺时针旋转45°得到新的双曲线图象C1(如图1所示)，直线l⊥x轴，F为x轴上的一个定点。已知：图象C1上的任意一点P到F的距离与直线l的距离之比为定值，记为e。即e= ，(e＞1)
（1）如图1，若直线l经过点B(1，0)，双曲线C1的解析式为y=± ，且e=2，则F点的坐标为 ；
（2）如图2，若直线l经过点B(1，0)，双曲线C2的解析式为y=± ，且F(5，0)．P为双曲线C2在第一象限内图象上的动点连接 (PF、Q) 为线段PF上靠近点P的三等分点，连接HQ，在点P运动的过程中，当HQ= HP时，点P的坐标为 。
【答案】（1）F（4，0）
（2）P（ ， ）
【解析】【解答】解： (1)、∵y=± ，当y=0时，± =0，
解得：x=2或x=-2(舍去)，
∵B点坐标为（1，0），得OB=1，
∴AB=OA-OB=1，
由题意得：
又∵e=2，
∴ ，
∴AF=2AB=2，
∴OF=OA+AF=4，
∴F点坐标为（4，0）；
（2）设点P（x， ），
∵Q为线段PF上靠近点P的三等分点，
∴Q（x+ ， ），H(1， )，
由HQ= HP ，得（x+
-1）2+()2=[ (x-1)]2，
整理化简得：15x2-54x+39=0，
解得：x= ，或x=1（舍去），
当x= 时，y= ，
∴P点坐标为P（ ， ） .
【分析】（1）设 y=± =0，求出A点坐标，得出OA的长度，结合OB得长度，求出AB的长度， 由于图象C1上的任意一点P到F的距离与直线l的距离之比为定值，得，据此求出AF的长，则OF的长度可求，从而求得F点坐标；
（2）根据 y=± ，设P点坐标，把H点坐标用含x的代数式表示出来，结合Q为线段PF上靠近点P的三等分点，把Q点坐标用含x的代数式表示出来，利用两点间距离公式把HQ和HP表示出来，根据HQ= HP列关系式，解出x，再把x代入y= 中求得y，则可得出P点坐标。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 选择适当的方法解方程；
（1）
（2）
【答案】（1）解：
或
解得：；
（2）解：
解得：．
【解析】【分析】（1）运用因式分解法解方程即可求解；
（2）根据题意配方，进而即可求解。
18．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，求出x的最小值．
【答案】解：如图，由题可得CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得x＝10，
∴x的最小值为10．
【解析】【分析】先证明△OCD∽△OAB，再根据相似三角形的性质得到 ＝ ，从而求得x的最小值．
19．嘉嘉解方程的过程如图14所示．
（1）在嘉嘉解方程过程中，是用 （填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来求解的；从第 步开始出现错误；
（2）请你用不同于（1）中的方法解该方程．
【答案】（1）配方法；二
（2）解：，
∴，
∴，
解得：，．
【解析】【解答】解：（1）在嘉嘉解方程过程中，是用配方法来求解的；从第二步开始出现错误；
故答案为：配方法；二.
【分析】利用配方法求解一元二次方程的计算方法和步骤分析求解即可.
20．如图，已知点在反比函数的图象上，点在直线的图象上，点B的纵坐标为－1，轴，且．
（1）求点A的坐标和k的值；
（2）若点P在反比例函数的图象上，点Q在直线的图象上，P、Q两点关于y轴对称，设点P的坐标为，求的值．
【答案】（1）解：由题意，
，
，
轴，
，
在的图象上，
.
（2）解：设，则，
∵点Q在上，
，
整理得：，
解得或2，
当，时，，
当，时，，
故.
【解析】【分析】（1）易得B（2，-1）， 由可得AB=4，由AB∥y轴可得A（2，-5） ，把点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k值；
（2）设，则， 把点Q坐标代入在中， 建立关于m方程可求出m值，即的n值，然后代入计算即可.
21．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）．以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得到△A1B1C1，作出△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
【答案】解：如图，△A1B1C1即为所求作.
A1（6，2），B1（2，4），C1（8，6）
【解析】【分析】根据位似图形的定义作出图象，再利用平面直角坐标系直接写出点坐标即可。
22．学校打算用长20米的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠在长为12米的墙上，面积为42平方米，求生物园的长和宽.
【答案】解：设垂直于墙的一边长为 米，则平行于墙的一边长为 米，
依题意，得： .
整理，得： ，
解得： .
当 时， ，不合题意，舍去；
当 时，
答：生物园的长为7米，宽为6米
【解析】【分析】可设垂直于墙的一边长为 米，则平行于墙的一边长为 米，根据等量关系：面积是42.列出方程求解即可．
23．已知.
（1）求的值.
（2）求的值.
（3）比较(1)，(2)的结论，你能发现什么规律
【答案】（1）解：由题意，得，
则；
（2）解：由题意，得，
则 ；
（3）解：若，
则.
【解析】【分析】（1）根据等比的性质可得，然后代入待求式子的分子，逆用乘法分配律变形后约分化简即可得出答案；
（2）根据等比的性质可得，然后代入待求式子的分子，逆用乘法分配律变形后约分化简即可得出答案；
（3）通过观察（1）（2）的结论及等比的性质即可得出结论.
24． 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点点．
（1）求此一次函数和反比例函数的表达式；
（2）如图所示，请直接写出不等式的解集；
（3） 在轴上存在一点，使的周长最小，求点P的坐标.
【答案】（1）解：点在反比例函数图象上，
，
解得，
反比例函数的解析式是，
点在反比例函数图象上，
，
点的坐标是，
一次函数的图象经过点、点
解得．
一次函数解析式是；
（2）解：不等式的解集为：；
（3）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于，则，此时最小，即的周长最小，
点和关于轴对称，
点的坐标为，
设直线的表达式为，
，
解得：，
直线的表达式为：，
当时，则，
点坐标为．
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，最后将点A、B的坐标代入求出一次函数解析式即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；
（3）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，最后求出点P的坐标即可.
25．
如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，根据画出的图形，可以猜想：
DE∥BC，且DE=BC
对此，我们可以用演绎推理给出证明．
（1） [定理证明]请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
（2） [定理应用]如图②，四边形ABCD中，M、N、P分别为AD、BC、BD的中点，边BA、CD延长线交于点E，∠E=40°，则∠MPN= ．
（3）如图③，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB=8，E、F分别为CA、CB上一点，M、N分别为AF、BE的中点，当CE=CF=2时，MN=
【答案】（1）证明： 点D、E分别是AB与AC的中点
又
即
（2）140
（3）
【解析】【解答】解：(2)M、N、P分别为AD、BC、BD的中点
MP、NP是各自所在三角形的中位线
又
故填：140
（3）如图所示，
取AB中点O，连接ON，OM，
∵∠C=90°，CA=CB=8，CE=CF=2，
∴BF=AE=BC-CF=AC-CE=6，
又∵M、N分别为AF、BE的中点，
∴ON∥AE，ON=AE=3，
∴∠BON=∠BAC=45°，
同理，OM=3，∠AOM=45°，
∴∠MON=180°-∠BON-∠AOM=90°，
∴△OMN为等腰直角三角形，
∴.
故填：
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等两个三角形相似和性质定理可证；（2）给定中点，根据中位线性质判定平行，根据平行性质得出等角，等量代换，即可求解；（3）从中点结合中位线的思路，取AB中点O构造中位线，结合中位线的性质易证△OMN为等腰直角三角形，从而得出MN的长.
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