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浙教版2025—2026学年九年级上册期中名校热题精选卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·中山期中）若抛物线的解析式是：，点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·鹤山期中）如图，一块含角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到，当在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·杭州期中）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是( )
A． B．
C． D．
4．（2024九上·茂名期中）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的试验最有可能是
试验总次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上
B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是5
C．在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“剪刀”
D．将一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃
5．（2024九上·温州期中）已知⊙O的半径为2，点A到圆心O的距离为1，则点A在（ ）
A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定
6．（2024九上·拱墅期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线x＝1，有以下结论：①abc＜0，②2a+b＝0，③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2，④设x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两根，若am2+bm+c＝p，则p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
7．（2024九上·吉安期中）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有（ ）个．
A．8 B．9 C．14 D．15
8．（2024九上·平凉期中）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1.则下列说法中正确的是（ ）
A．点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同
B．点火后24 s火箭落于地面
C．点火后10 s的升空高度为139 m
D．火箭升空的最大高度为145 m
9．（2023九上·光明期中）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④对于方程，有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ）
A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③④
10．（2023九上·鄞州期中）如图，在中，直径，弦，点D在的延长线上，线段交于点E，过点E作分别交，于点F，G．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·杭州期中）若二次函数的图象经过原点，则m的值为 ．
12．（2024九上·武汉期中）如图，摩天轮的最高处A到地面l的距离是62米，最低处B到地面l的距离是2米．若游客从B处乘摩天轮绕一周需15分钟，则游客从B处乘摩天轮到地面l的距离是47米时至少需 分钟．
13．（2024九上·龙华期中）一个不透明的袋中装有只有颜色不同的6个红球、2个黄球和若干个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为，则白球的个数为 ．
14．（2023九上·青田期中）一条弦恰好等于圆的半径，则这条弦所对的圆周角为 ．
15．（2023九上·岳阳期中）抛物线与x轴有两个交点，k的取值范围是
16．（2023九上·期中）已知二次函数（m为常数）的图象与x轴有交点，且当x＜-3时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·杭州期中）已知二次函数（a，b，c为已知数，且）与y轴的交点是．
（1）求c的值．
（2）若二次函数与一次函数的图象交于点，求k的值，并用含a的代数式表示b．
（3）在（2）成立的情况下，若，当时，的最大值为m，最小值为n，求的最小值．
18．（2024九上·杭州期中）如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为E，弦的弦心距为．
（1）若，则的度数为 ；
（2）若⊙O的半径为5，，则的长为 ．
19．（2024九上·义乌期中）已知二次函数：（k是实数）．
（1）若，求抛物线与x轴的交点坐标．
（2）抛物线与直线经过x轴上同一点，求k的值．
（3）当时，函数y的值随x的增大而增大，求k的取值范围．
20．（2024九上·惠城期中）广东省2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．已知某品种荔枝的成本价为每千克20元．品种每天的销量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设该品种荔枝每天的销售利润为W元．
（1）诸写出利润W与销售价x之间的函数关系式： ；
（2）该产品销售价格为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，要想获得每天150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
21．（2024九上·长兴期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601
摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601
（1）上表中的 ， ；
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是 （精确到0.1）；
（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？
22．（2024九上·拱墅期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上任意一点，连结AD，AG，GD．
（1）找出图中与∠G相等的角（不添加其它线），并说明理由；
（2）若点C是的中点，且CD＝AG，求∠G的度数．
23．（2023九上·绥阳期中）有一个抛物线形的拱形桥洞，当桥洞的拱顶P（抛物线最高点）离水面的距离为4米时，水面的宽度OA为12米．现将它的截面图形放在如图所示的直角坐标系中．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）当洪水泛滥，水面上升，水面的宽度小于5米时，则必须马上采取紧急措施．某日涨水后，观察员测得桥洞的拱顶P到水面CD的距离只有1.5米，问：是否要采取紧急措施？并说明理由．
24．（2025九上·广州期中）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为2米，且点离地面的高度为3.75米．
请尝试数学建模解决以下问题：
（1）在图1中，以为原点，水平直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体的水平距离为（米），求与之间的函数关系式；
（2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，交于点．为不影响耕作，将点到地面的距离定为1.5米．求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度．
25．（2023九上·龙泉期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点E为弧AC的中点，连结AC，BE交于点D，过点A作AF⊥AB交BE的延长线于点F，AF＝3.
（1）求证：AD=AF；
（2）求△ABD的周长；
（3）若点P为⊙O上一点，当△AEP为等腰三角形时，求AP的长.
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浙教版2025—2026学年九年级上册期中名校热题精选卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·中山期中）若抛物线的解析式是：，点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
，
故选：B．
【分析】根据二函数性质即可求出答案.
2．（2024九上·鹤山期中）如图，一块含角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到，当在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵将一块含角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到，
∴BC与B'C是对应边，是旋转角，，
∴旋转角．
故答案为：A.
【分析】根据题意得BC与B'C是对应边，是旋转角，，最后求出的度数便可.
3．（2024九上·杭州期中）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：点，，
与关于轴对称，故选项A，B不符合题意；
，，
当时，随的增大而增大，故选项C符合题意，选项D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】由点，，的坐标，即可得到与关于轴对称；且时，随的减小而增大，即可解题．
4．（2024九上·茂名期中）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的试验最有可能是
试验总次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上
B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是5
C．在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“剪刀”
D．将一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃
【答案】C
【解析】【解答】根据表格中的数据可得概率最接近0.333约等于，
A、∵掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上的概率是≠，∴A不符合题意；
B、∵掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是5的概率是≠，∴B不符合题意；
C、∵在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“剪刀”的概率是，∴C符合题意；
D、∵将一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃的概率是≠，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】先根据表格中的数据可得概率最接近0.333约等于，再分别求出各项中的概率并比较即可.
5．（2024九上·温州期中）已知⊙O的半径为2，点A到圆心O的距离为1，则点A在（ ）
A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ⊙O的半径为2，点A到圆心O的距离为1 ，
∴1＜2，
∴A点在⊙O内.
故答案为：A.
【分析】根据点到圆心的距离与半径之间关系判断点的位置，大于半径在圆外，等于半径在圆上，小于半径在圆内.
6．（2024九上·拱墅期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线x＝1，有以下结论：①abc＜0，②2a+b＝0，③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2，④设x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两根，若am2+bm+c＝p，则p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与轴的交点在轴正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，故结论①正确；
由①知：，
∴，故结论②正确；
∵，
∴二次函数的图象开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远其函数值就越小，
∵点和在抛物线上，且，，
∴，即到的距离大于到的距离，
∴，故结论③正确；
∵二次函数的图象与轴交于不同两点，设左边交点的横坐标为，右边交点的横坐标为，即，如图所示，
若，则，，，
∴，
若，则，，，
∴，
若，则，，，
∴，
综上所述，，故结论④正确，
∴正确的结论是①②③④．
故答案为：D．
【分析】由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴判断与的关系，可判断①；根据对称轴公式可判断②；根据抛物线的增减性可判断③；根据抛物线与轴交点情况分三种情况进行讨论，可判断④．
7．（2024九上·吉安期中）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有（ ）个．
A．8 B．9 C．14 D．15
【答案】C
【解析】【解答】解：∵摸到白球的频率约为30%，
∴不透明的袋子中一共有球为：6÷30%=20（个），
黑球有20-6=14（个），
故答案为：C．
【分析】根据摸到白球的频率约为30%，用6除以30%得出总球数，再计算求解即可。
8．（2024九上·平凉期中）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1.则下列说法中正确的是（ ）
A．点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同
B．点火后24 s火箭落于地面
C．点火后10 s的升空高度为139 m
D．火箭升空的最大高度为145 m
【答案】D
【解析】【解答】解：A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项不符合题意；
B、当t=24时h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项不符合题意；
C、当t=10时h=141m，此选项不符合题意；
D、由h=-t2+24t+1=-（t-12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】分别求出t=9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D选项
9．（2023九上·光明期中）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④对于方程，有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ）
A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③④
【答案】B
【解析】【解答】解：根据图象得抛物线与x轴有2个交点，
∴＞0，即4ac＜，
故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，
∴点(-1，0)关于直线x=1的对称点的坐标为(3，0)，
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是=-1，=3，
故②正确；
∵对称轴是直线x=，
∴b=-2a，
当x=-1时，y=0，即a-b+c=0，
∴a+2a+c=0，
∴3a+c=0，
故③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为(-1，0)，(3，0)，
∴ax2+bx+c-2=0，ax2+bx+c=2，
∴y=2时有两个x的值，
故④正确.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线与x轴的交点个数可判断①；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，可判断②；由对称轴方程得到b=-2a，当x=-1时函数值为0，得3a+c=0，可判断③；利用抛物线在x轴上方所对应的x的范围可判断④.
10．（2023九上·鄞州期中）如图，在中，直径，弦，点D在的延长线上，线段交于点E，过点E作分别交，于点F，G．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】连接，，
∵是的直径，
∴，，
∵，，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，
∴，
∴．
∵，
∴，，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴．
故选：A
【分析】连接和，由圆周角定理及勾股定理先求出AC，易证△ACD和△BED为等腰直角三角形，从而可求，BD，BE，，然后证，求得和，的长，根据可求得，进而求解．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·杭州期中）若二次函数的图象经过原点，则m的值为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：将代入，得，
解得：，
∵二次函数中，
∴，
故答案为：3．
【分析】将原点坐标代入二次函数解析式求出的值，然后由二次函数的定义中二次项系数不为0，即可得到答案.
12．（2024九上·武汉期中）如图，摩天轮的最高处A到地面l的距离是62米，最低处B到地面l的距离是2米．若游客从B处乘摩天轮绕一周需15分钟，则游客从B处乘摩天轮到地面l的距离是47米时至少需 分钟．
【答案】5
【解析】【解答】解：摩天轮的最高处到地面的距离是62米，最低处到地面的距离是2米得出的长，
，
，
设当到点或点时游客从处乘摩天轮到地面的距离是47米，连接，，，，则，
处乘摩天轮到地面的距离是47米时，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
，
，
游客从处乘摩天轮绕一周需15分钟，
游客从处乘摩天轮到地面的距离是47米时最少需要（分钟）．
故答案为：5．
【分析】根据摩天轮的最高处到地面的距离是62米，最低处到地面的距离是2米得出的长，进而求出的半径，再根据游客从处乘摩天轮到地面的距离是47米时、的长，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，得出的度数，再根据补角即可求出答案.
13．（2024九上·龙华期中）一个不透明的袋中装有只有颜色不同的6个红球、2个黄球和若干个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为，则白球的个数为 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：设白球的个数为，
根据题意得，，
解得，，
经检验，是分式方程的解，且符合要求；
故答案为：4．
【分析】设白球的个数为，根据“ 白球的概率为 ”列出方程，再求解即可.
14．（2023九上·青田期中）一条弦恰好等于圆的半径，则这条弦所对的圆周角为 ．
【答案】30°或150°
【解析】【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
，
为等边三角形，
，
与所对的弧都是，
，
又∵四边形为⊙的内接四边形，
，
，
则所对的圆周角为或．
故答案为：30°或150°．
【分析】先证出为等边三角形，求出∠AOB=60°，再分类讨论，最后利用圆周角的性质及圆内接四边形的性质求解即可.
15．（2023九上·岳阳期中）抛物线与x轴有两个交点，k的取值范围是
【答案】且
【解析】【解答】解：∵为二次函数，
∴，
，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
即，
又一次项系数为，
∴
k的取值范围是：且．
故答案为：且
【分析】根据二次函数的定义可得，再根据抛物线与x轴有两个交点，则对应二次方程有两个不相等的实数根，则，解不等式即可求出答案.
16．（2023九上·期中）已知二次函数（m为常数）的图象与x轴有交点，且当x＜-3时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是
【答案】
【解析】【解答】解：二次函数（m为常数）的图象与x轴有交点 ，则令得则解得，又因为当x＜-3时，y随x的增大而增大 ，且，函数开口向下，则对称轴直线方程：，综上所述
故答案为：.
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质.令得则解得又因为当x＜-3时，y随x的增大而增大 ，且，函数开口向下，则对称轴直线方程：.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·杭州期中）已知二次函数（a，b，c为已知数，且）与y轴的交点是．
（1）求c的值．
（2）若二次函数与一次函数的图象交于点，求k的值，并用含a的代数式表示b．
（3）在（2）成立的情况下，若，当时，的最大值为m，最小值为n，求的最小值．
【答案】（1）解：把代入，即．
（2）解：由题意知一次函数过点，代入得，
由（1）知二次函数为：，
∵在二次函数上，
∴，则；
（3）解：由（2）知二次函数为：，则函数对称轴为，
∵，
∴，
∴，
∵时，的最大值为m，最小值为n，
∴当时，，当时，，
则，
当时，的最小值为．
【解析】【分析】（1）将点代入二次函数即可求得c；
（2）先将交点代入一次函数求得k，求得交点再代入二次函数即可求得表达式；
（3）根据（2）可得二次函数为，求得对称轴，结合a的范围确定对称轴的范围，再结合图像数形结合得出当时，函数在给定范围取最大值，当时，函数在给定范围取最小值，可以将表示为关于a的反比例函数，利用反比例函数的性质即可求得其最小值．
（1）解：把代入，即．
（2）由题意知点过一次函数，则，
由（1）知二次函数为：，
∵在二次函数上，
∴，则；
（3）由（2）知二次函数为：，则函数对称轴为，
∵，
∴，
∴，
∵时，的最大值为m，最小值为n，
∴，，
则，
故的最小值为，．
18．（2024九上·杭州期中）如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为E，弦的弦心距为．
（1）若，则的度数为 ；
（2）若⊙O的半径为5，，则的长为 ．
【答案】；6
【解析】【分析】（1）连接，证明和都是等腰直角三角形即可；
（2）延长交于点，连接，则是的中位线，可以求出，然后根据垂直证明，根据圆周角相等则所对的弦相等得到．
【解答】
解：（1）如图，连接，
是弦的弦心距，
，
和都是等腰直角三角形，
∵，
，
故答案为：；
（2）如图，延长交于点，连接，
由，得是的中位线，
，
在中，，
由勾股定理得
，
，
∵是的直径，
∴，
，
∵
∴，
，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查垂径定理及其推论，圆周角定理，圆心角与弧、弦的关系，三角形的中位线定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
19．（2024九上·义乌期中）已知二次函数：（k是实数）．
（1）若，求抛物线与x轴的交点坐标．
（2）抛物线与直线经过x轴上同一点，求k的值．
（3）当时，函数y的值随x的增大而增大，求k的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
令，则，
解得：，，
∴抛物线与轴的交点为，；
（2）解：由，当时，，
∴抛物线与直线在轴的交点坐标为，
∴，
整理得：
解得：或；
（3）解：∵，
∴对称轴为直线，
∵当时，函数y的值随x的增大而增大，
则，
解得：．
【解析】【分析】（）把k=1代入得二次函数，再令y=0转化为方程即可求解；
（）由得，当时，，可得二次函数与轴的交点坐标为，代入即可求解；
（3）由二次函数的对称轴为，以及时，函数y的值随x的增大而增大，可得，即可求解．
（1）解：当时，，
令，则，
解得：，，
∴抛物线与轴的交点为，；
（2）解：由得，当时，，
∴抛物线与直线在轴的交点坐标为，
∴，
整理得：
解得：或；
（3）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
当时，函数y的值随x的增大而增大，
则，
解得：．
20．（2024九上·惠城期中）广东省2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．已知某品种荔枝的成本价为每千克20元．品种每天的销量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设该品种荔枝每天的销售利润为W元．
（1）诸写出利润W与销售价x之间的函数关系式： ；
（2）该产品销售价格为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，要想获得每天150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
【答案】（1）
（2）解：由题意可得：
，
，
，
，
时，有最大值200，
答：售价为30元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；
（3）解：当时，可得，
解得：，
不合题意，应舍去，
答：该农户若要每天获利150元，售价应定为每千克25元．
【解析】【解答】解：（1）由题意得出：，
，
，
故与的函数关系式为：，
故答案为：；
【分析】（1）根据总利润=单件利润×总数量即可求出答案.
（2）根据二次函数的性质即可求出答案.
（2）将w=150代入关系式，解方程即可求出答案.
（1）由题意得出：，
，
，
故与的函数关系式为：，
故答案为：；
（2）由题意可得：
，
，
，
，
时，有最大值200，
答：售价为30元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；
（3）当时，可得，
解得：，
不合题意，应舍去，
答：该农户若要每天获利150元，售价应定为每千克25元．
21．（2024九上·长兴期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601
摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601
（1）上表中的 ， ；
（2）“摸到白球的”的概率的估计值是 （精确到0.1）；
（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？
【答案】（1）0.59；116
（2）0.6
（3）全部的球：12÷0.6=20（个）
其它颜色的球：20-12=8（个）
【解析】【解答】解：(1)a=59÷100=0.59，b=200×0.58=116，
故答案为：0.59，116.
(2)“摸到白球的”的概率的估计值是0.6；
故答案为：0.6.
【分析】(1)利用频率=频数÷样本容量直接求解即可；
(2)根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；
(3)根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其他颜色的球的个数.
22．（2024九上·拱墅期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上任意一点，连结AD，AG，GD．
（1）找出图中与∠G相等的角（不添加其它线），并说明理由；
（2）若点C是的中点，且CD＝AG，求∠G的度数．
【答案】（1）解：和相等的角是．
证明如下：
∵是的直径且，
∴，
∴．
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵是的直径且，
∴，则，
∵ 点C是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得出，即可解答；
（2）连接，先得出，结合垂径定理推出，再推出，则，进而求出，则，结合圆周角定理，即可求解．
23．（2023九上·绥阳期中）有一个抛物线形的拱形桥洞，当桥洞的拱顶P（抛物线最高点）离水面的距离为4米时，水面的宽度OA为12米．现将它的截面图形放在如图所示的直角坐标系中．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）当洪水泛滥，水面上升，水面的宽度小于5米时，则必须马上采取紧急措施．某日涨水后，观察员测得桥洞的拱顶P到水面CD的距离只有1.5米，问：是否要采取紧急措施？并说明理由．
【答案】（1）解：根据题意，A（12，0），P（6，4），
设抛物线的顶点式为y＝a（x﹣6）2+4，
将A（12，0）代入y＝a（x﹣6）2+4，得0＝a（12﹣6）2+4，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣6）2+4；
（2）解：不需要采取紧急措施，理由如下：
由题意可知，点C，D的纵坐标为y＝4﹣1.5＝2.5，
将y＝2.5代入y＝﹣（x﹣6）2+4，
∴2.5＝﹣（x﹣6）2+4，
解得x＝6±，
∴CD＝6+﹣（6﹣）＝3，
∵3＞5，
∴不需要采取紧急措施．
【解析】【分析】（1）根据顶点式，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）首先求得点C，点D的纵坐标为2.5，然后根据函数解析式求得点C和点D的横坐标分别为：6-和6+，进一步求得CD=，通过比较大小得出＞5，故而得出不需要采取紧急措施
24．（2025九上·广州期中）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为2米，且点离地面的高度为3.75米．
请尝试数学建模解决以下问题：
（1）在图1中，以为原点，水平直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体的水平距离为（米），求与之间的函数关系式；
（2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，交于点．为不影响耕作，将点到地面的距离定为1.5米．求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度．
【答案】（1）解：由题意可得，
设与之间的函数关系式，将点代入，
得，解得．
水流所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：点到地面的距离定为1.5米，
将代入得：
，
解得：，
，
，
设直线的函数关系式为，将点，代入得，
，解得：，
直线的函数关系式为，
设，
，
，
，
，
当时，有最大值，为1，
做这一个支架所需铝合金材料的最大长度为米．
【解析】【分析】（1）设与之间的函数关系式，根据待定系数法将点代入即可求出答案.
（2）将y=1.5代入抛物线表达式可得，再根据两点间距离可得，设直线的函数关系式为，根据待定系数法将点A，E坐标代入可得直线的函数关系式为，设，根据直线平行性质可得，再根据两点间距离可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：由题意可得，
设与之间的函数关系式，将点代入，
得，解得．
水流所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：点到地面的距离定为1.5米，
将代入得：
，
解得：，
，
，
设直线的函数关系式为，将点，代入得，
，解得：，
直线的函数关系式为，
设，
，
，
，
，
当时，有最大值，为1，
做这一个支架所需铝合金材料的最大长度为米．
25．（2023九上·龙泉期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点E为弧AC的中点，连结AC，BE交于点D，过点A作AF⊥AB交BE的延长线于点F，AF＝3.
（1）求证：AD=AF；
（2）求△ABD的周长；
（3）若点P为⊙O上一点，当△AEP为等腰三角形时，求AP的长.
【答案】（1）证明：连接AE，如图：
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∵AF⊥AB，
∴∠FAB=90°
∴∠B+∠F=90°，
∵点E为弧AC得中点，
∴
∴∠B=∠EAD，
∴∠F=∠ADE
∴AD=AF；
（2）解：在Rt△ABF中，∵AF=3，AB=4，
∴FB=5，
∵S△ABF=
∴
∴AE=，
在Rt△ABE中，由勾股定理得BE=，
在Rt△AED中，由勾股定理得ED=，
∴BD=BE－ED=，
∴△ABD的周长4＋3＋=；
（3）解：①当AE=AP时，
∵
∴
②当AE=PE时，连接OE交AC于点M，如图：
∵点E为弧AC的中点，
∴
∴P与C重合，
在中，
在中，
∴
解得：
∴
∴
③当AP=PE时，连接OP交AE于N，如图：
∴
在中，
∴
在中，
延长PO交圆O于点P'，则P'E=P'A，
在中，
综上所述，AP的长为：或或或.
【解析】【分析】（1）连接AE，根据"直径所对的圆周角为直角"得到∠AEB=90°，再根据"等弧所对的圆周角相等"得到∠B=∠EAD，进而根据等角的余角相等得到∠F=∠ADE，最后根据"等角对等边"即可求解；
（2）首先由勾股定理算出FB=5，利用等面积法求出AE的长，再利用勾股定理求出BE和DE的长度，进而得到BD的长度，从而即可求出△ABD的周长；
（3）由题意知需分三种情况，①当AE=AP时，②当AE=PE时，P与C重合，③当AP=PE时，分别计算即可求解.
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