高一数学（人教A版）试题 必修二 课时跟踪检测（一） 平面向量的概念（含解析）

课时跟踪检测(一)　平面向量的概念
(满分90分，选填小题每题5分)
1．下列说法正确的是(　　)
A．向量的模都是正实数
B．单位向量只有一个
C．向量的大小与方向无关
D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
2．如图，在☉O中，向量，，是(　　)
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
3．若向量a与向量b不相等，则a与b一定(　　)
A．不共线 B．长度不相等
C．不都是单位向量 D．不都是零向量
4．已知向量a，b是两个非零向量，，分别是与a，b同方向的单位向量，则以下各式正确的是(　　)
A.＝ B.＝或＝
C.＝ D.与的长度相等
5．下列结论正确的是(　　)
A．2 025 cm长的有向线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量
C．方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量不可能是共线向量
D．一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
6.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，||＝2，则||等于(　　)
A．1 B. C. D．2
7．(多选)给出下列四个条件，其中能使a∥b成立的条件是(　　)
A．a＝b B．|a|＝|b|
C．a与b方向相反 D．|a|＝0或|b|＝0
8．(多选)下列结论正确的是(　　)
A．“a∥b且|a|＝|b|”是“a＝b”的必要不充分条件
B．“a∥b且|a|＝|b|”是“a＝b”的既不充分也不必要条件
C．“a与b方向相同且|a|＝|b|”是“a＝b”的充要条件
D．“a与b方向相反或|a|≠|b|”是“a≠b”的充分不必要条件
9.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法正确的是(　　)
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模为模的倍
D.与不共线
10．(多选)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中(　　)
A．向量，的模相等
B．||＝
C．向量，共线
D．||＋||＝10
11．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________；若|m|＝1，则m是______________.
12.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”．若马在B处或C处，则表示马走了“一步”的向量共有________个.
13．(15分)已知线段AB被n(n≥2)等分，等分点为M1，M2，M3，…，Mn－1.从这(n＋1)个点中任取两点作为向量的起点和终点.
(1)当n＝4时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？
(2)求互不相等的非零向量的总数，用n表示．
14.(15分)如图，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝，求证：＝.
配套检测卷答案
课时跟踪检测(一)
1．选C　零向量的模为0，故A不正确；单位向量的方向可以是任意的，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确．
2．选C　，，的模均为圆的半径长，故相等．
3．选D　若向量a与向量b不相等，则说明向量a与向量b的方向和长度至少有一个不同．所以a与b有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量．所以A、B、C都是错误的．但是a与b一定不都是零向量．
4．选D　依题意，a≠0，b≠0，显然向量a，b的关系不确定，而与a同方向，与b同方向，因此与关系不确定，A，B，C都错误．又，都是单位向量，所以与的长度相等，D正确．
5．选B　一个单位长度取2 025 cm时，2 025 cm长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误；根据单位向量的知识可知，B正确；方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量是一对方向相反的向量，因此是平行向量，所以两向量为共线向量，故C错误；根据位移的定义可知，向量表示这个人从A点到B点的位移，所以D错误．
6．选A　如图，连接AC，由||＝||，得∠ABC＝∠OCB＝30°.因为C为半圆上的点，所以∠ACB＝90°，所以||＝||＝1.
7．选ACD　对于A，若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；对于B，若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；对于C，方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；对于D，零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.
8．选ACD　若a＝b，则a与b方向相同，模相等，结合充分、必要条件的定义知A、C、D正确，B错误．
9．选ABC　A项，由相等向量的定义知，与相等的向量只有，故A正确；B项，因为AB＝BC＝CD＝DA＝AC，所以与的模相等的向量除外有9个，故B正确；C项，在Rt△ADO中，∠DAO＝60°，则DO＝DA，所以BD＝DA，故C正确；D项，因为四边形ABCD是菱形，所以与共线，故D错误．
10．选BC　因为||＝＝，||＝＝2，所以||≠||，所以A错误；因为||＝＝，所以B正确；因为∠CDG＝∠CFH＝45°，所以DG∥HF，所以向量，共线，所以C正确；因为||＋||＝＋＝5≠10，所以D错误．故选B、C.
11．解析：∵A，B，C不共线，∴与不共线．又∵m与，都共线，∴m＝0.若|m|＝1，则m是单位向量．
答案：0　单位向量
12．解析：此题中，马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C处有八条路可走．如图，以B点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共3个；以C点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共8个．所以共有11个．
答案：11
13．解：(1)当n＝4时，等分点有M1，M2，M3，共3个，则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点，
模长为||时，有2个，为，，模长为||时，有2个，为，，
模长为||时，有2个，为，，模长为||时，有2个，为，，总共有8个．
(2)由(1)知，当模长为||时，有2个，当模长为||时，有2个，当模长为||时，有2个，依次类推，当模长为||时，有2个，总共有2n个．
14．证明：∵＝，
∴AB＝DC且AB∥DC.
∴四边形ABCD是平行四边形，∴＝.
又＝，∴CN＝MA且CN∥MA.
∴四边形CNAM是平行四边形．
∴＝，∴CM＝NA且CM∥NA.
∵CB＝DA，CM＝NA，∴MB＝DN.
又DN∥MB，∴与的模相等且方向相同，∴＝.