沪科版数学九年级上册22.1比例线段专项练习
一、黄金数与黄金分割
1．（2026九上·金华月考）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段AB的黄金分割点（AP＞PB）．如果AB的长度为10cm，那么AP的长度是（ ）
A． B． C．6.18cm D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据黄金分割的定义进行计算得： m，
故答案为：A .
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答.
2．（2024九上·怀宁期中）已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（ ）
A．AB2＝AC2+BC2 B．BC2＝AC BA
C． D．
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：黄金分割定义知，，所以AC2=AB．
设AB=1，AC=x，
，
解得：x=．
．
故选：C．
【分析】对于线段AB上一点C，若AC>BC，且AC2＝ABBC，则把点C叫线段AB的黄金分割点，且有.
3． 如图，在△ABC 中，AB=AC=3，BC=4.若 D，E 分别是边 BC 上的两个黄金分割点，则△ADE 的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；黄金分割；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点 A 作AH⊥BC 于点 H.
∵ AB=AC，AH⊥BC，BC =4，
∴，
在Rt△ABH中， ，
∵ D，E 是边BC上的两个黄金分割点，
∴，，
∴，
，
.
.
故答案为：A .
【分析】利用等腰三角形三线合一可得，在Rt△ABH中，利用勾股定理可得，再利用黄金分割的定义可得，，结合已知条件即可计算出CD、BD、DE的长度，最后利用三角形面积公式即可求解.
4． 如图，线段AB=60，AD=13，DE=17，EF=7，在 D，E，F 三点中，最接近线段 AB 的黄金分割点的是( )
A．点 D B．点 E
C．点 F D．点 D 或点 F
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵AB=60，AD=13，DE=17，EF=7，
∴ BD=47，AE=BE=30，AF=37，
∴ BD：AB=47：60≈0.783，AF：AB=37：60≈0.617，
∴ 点 F 最接近线段AB 的黄金分割点.
故答案为：C .
【分析】根据黄金分割的定义，计算线段比值，判断比值是否接近黄金比0.618即可求解.
5．（2024九上·洞口开学考）如图，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．设，，则，所以，即叫做黄金比．一些美术家认为：人的上、下身长之比接近黄金比，可以增加美感．如图的人体雕像高为，下身长为，为增加视觉美感，若图中为米，则为 米．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵雕像的腰部以下n与全身m的高度比值接近黄金比，
∴，
∴米，
故答案为：.
【分析】由题意得，把m=2代入求解即可得出答案．
6．（2024九上·恩平月考）综合与实践．实践主题：黄金分割数．
（1）材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．
若设线段，的长为x，则可表示为，
∵， ∴，
…，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）．
（2）实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）．
【答案】（1）
（2）解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，
则令“千斤”下面一截琴弦长为，
所以，
解得，
所以“千斤”下面一截琴弦长为．
【知识点】公式法解一元二次方程；黄金分割
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴
∴，
整理得：
解得：，（舍去），
故黄金分割数为；
【分析】（1）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）令“千斤”下面一截琴弦长为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵，
∴
∴，
整理得：
解得：，（舍去），
故黄金分割数为；
（2）解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，
则令“千斤”下面一截琴弦长为，
所以，
解得，
所以“千斤”下面一截琴弦长为．
7．阅读下面的材料，并解答问题.
小明参加了一次折叠活动，折叠步骤如下：第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图①所示的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平.
第二步：如图②，把这个正方形折成两个完全一样的矩形，再把纸片展平.
第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB 折到图③所示的AD 处.
第四步：展平纸片，按照所得的点 D 折出图④所示的矩形 BCDE.
已知矩形 BCDE 为黄金矩形，你能说明为什么吗((注：当矩形的宽与长的比为 时，我们称这个矩形为黄金矩形)
【答案】解：由题意可知，BC=2，∠NCB=90°.
由第二步，可得
如题图③，在Rt△ABC中，AB=
∴ 矩形 BCDE 为黄金矩形
【知识点】勾股定理；黄金分割
【解析】【分析】结合已知条件，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得，根据图形翻折的性质易得AD=AB，利用线段的和差计算出CD的长，再利用黄金分割的定义即可证明.
二、比例线段
8．（2025九上·成都月考）已知，则a+2c+3e= .
【答案】4
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴，，，
∴，
∴a+2c+3e=4，
故答案为：4.
【分析】根据比例的性质可得出，，，代入b+2d+3f=6中，即可解答.
9．（2025九上·成都月考）若实数x、y、z满足，则k的值为 .
【答案】
【知识点】比例的性质
10．（2025九上·兰溪月考）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题.
（1）若a=4cm，b=9cm，c是a，b的比例中项线段，求c的长；
（2）若，求a，b，c的长.
【答案】（1）解：∵c是a，b的比例中项线段，
∴c2=4×9=36，
∴c=6(负值舍去)
即c的长为6cm；
（2）解：设
∴a=3k，b=4k，c=5k，
∵ca+b+c=48，
∴3k+4k+5k=48，
∴k=4，
∴a=12；b=16；c=20
【知识点】比例的性质；比例中项
【解析】【分析】(1)根据比例中项的定义列式得到c2=ab，即c2=36，然后根据算术平方根的定义求解，即可得到c的长；
(2)设，然后用k表示a，b，c，再代入a+b+c=48，求解得到k，即可得到a，b，c的值.
11．（2024九上·青羊期中）已知实数a、b、c满足，则的值为 ．
【答案】6
【知识点】比例的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：设，则，
．
故答案为：6.
【分析】由等比性质，可设，然后将a、b、c都用字母k的式子表示出来，进而将a、b、c代表的式子代入待求式子，根据整式加减法法则计算可得答案.
12．（2024九上·成都期中）已知，且，则的值为 ．
【答案】
【知识点】分式的化简求值；比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴设，，，
又∵，
∴
．
故答案为：．
【分析】根据等比的性质，可设，，，然后代入待求式子，分子、分母分别合并同类项后再约分即可.
13．（2023九上·永州月考）已知均为非零的实数，且满足，则的值为 ．
【答案】或
【知识点】分式的化简求值；比例的性质
【解析】【解答】解：当时，
，
则原式=，
当时，利用比例性质得，
，
综上所知：k的值为或；
故答案为： 或
【分析】若时，则，可得出k的值为-2，若时，利用比例性质得，综合可得出答案.
三、预备定理-平行线分线段对应成比例
14． 如图，△ABC的中线AD，BE 相交于点F，过点 E 作EG∥AD 交BC 于点G，则 EG： AF的值是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中线
【解析】【解答】解： 连接DE.
∵ △ABC 的中线AD，BE 相交于点 F，
∴ AE=EC，BD=
即 AD，
故答案为： C.
【分析】连接DE，根据中位线定理及三角形的相似可以得到AF=2FD，再根据ED//AD得，即可求解.
15．（2024九上·上海市月考）如图，若，，，，则长为 ．
【答案】2
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】∵，
∴．
∵，
∴，
解得．
故答案为：2．
【分析】
直接应用平行线分线段成比例定理即可．
16．（2025九上·梧州期末）如图，在中，D、E分别是、上的点，与相交于点G，若，，则的值是 ．
【答案】
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：过点D作交于点H，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值是．
故答案为：．
【分析】
过点D作交于点H，根据平行线分线段成比例定理得出，，即可解答．
17．（2023九上·南海期中）如图，点D、E是边 上的点，，连接，交点为F，，那么的值是 ．
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图所示，过作，交于，
则，即：，，
，即：，
∴．
故答案为：．
【分析】过作，交于，依据平行线分线段成比例定理，即可得到，，进而可得的值．
18．（2022九上·嘉定期中）如图，已知，与相交于点E，点F在线段上，，．
（1）求证：；
（2）求．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）由平行线分线段成比例可得到，结合可得， 利用平行线分线段可证结论；
（2）由平行线分线段成比例可得，，继而得解.
19．（2023九上·保定月考）如图，是的中线．
①若为的中点，射线交于点，则的值为 ；
②若为上的一点，且，射线交于点，则的值为 ．
【答案】；
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：①过点D作于点G，
∴，，
∵是的中线，
∴，
∴，即，
∵为的中点，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
②∵，，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】①过点D作于点G，根据平行线分线段成比例可得，，再由是的中线，为的中点，可得，，再进行等量替换即可求出答案.
②根据，可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
20．（2022九上·新昌月考）定义：如图1，点、把线段分割成三条线段、和，若，则称是线段的比例中段，、是线段的中段分点.
（1）已知点、是线段的中段分点.
①若，，则 ▲ ；
②在图1中，若，，求的长.
（2）如图2，在中，是线段的比例中段，、分别是线段、延长线上的点，且，、的延长线分别交线段于点，.探究是否为线段的比例中段，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由..
【答案】（1）解：①；②设，则由题可得：，
解得或4，
的长为1或4；
（2）解：是线段的比例中段.
理由如下：设，
，
，
同理，，，
，，，
是线段的比例中段，
，
，
，
即是线段的比例中段.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；定义新运算
【解析】【分析】（1）①根据MN2=AM·BN可得BN的值；
②设AM=x，则BM=5-x，根据MN2=AM·BN可得x的值，即为AM的长；
（2）设，根据平行线分线段成比例的性质可得，同理可得，，则GK=kBN，KP=kMN，PF=kAM，根据比例中项的概念可得MN2=AM·BN，代入化简可得KP2=GK·PF，据此证明.
1 / 1沪科版数学九年级上册22.1比例线段专项练习
一、黄金数与黄金分割
1．（2026九上·金华月考）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段AB的黄金分割点（AP＞PB）．如果AB的长度为10cm，那么AP的长度是（ ）
A． B． C．6.18cm D．
2．（2024九上·怀宁期中）已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（ ）
A．AB2＝AC2+BC2 B．BC2＝AC BA
C． D．
3． 如图，在△ABC 中，AB=AC=3，BC=4.若 D，E 分别是边 BC 上的两个黄金分割点，则△ADE 的面积为( )
A． B． C． D．
4． 如图，线段AB=60，AD=13，DE=17，EF=7，在 D，E，F 三点中，最接近线段 AB 的黄金分割点的是( )
A．点 D B．点 E
C．点 F D．点 D 或点 F
5．（2024九上·洞口开学考）如图，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．设，，则，所以，即叫做黄金比．一些美术家认为：人的上、下身长之比接近黄金比，可以增加美感．如图的人体雕像高为，下身长为，为增加视觉美感，若图中为米，则为 米．
6．（2024九上·恩平月考）综合与实践．实践主题：黄金分割数．
（1）材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．
若设线段，的长为x，则可表示为，
∵， ∴，
…，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）．
（2）实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）．
7．阅读下面的材料，并解答问题.
小明参加了一次折叠活动，折叠步骤如下：第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图①所示的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平.
第二步：如图②，把这个正方形折成两个完全一样的矩形，再把纸片展平.
第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB 折到图③所示的AD 处.
第四步：展平纸片，按照所得的点 D 折出图④所示的矩形 BCDE.
已知矩形 BCDE 为黄金矩形，你能说明为什么吗((注：当矩形的宽与长的比为 时，我们称这个矩形为黄金矩形)
二、比例线段
8．（2025九上·成都月考）已知，则a+2c+3e= .
9．（2025九上·成都月考）若实数x、y、z满足，则k的值为 .
10．（2025九上·兰溪月考）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题.
（1）若a=4cm，b=9cm，c是a，b的比例中项线段，求c的长；
（2）若，求a，b，c的长.
11．（2024九上·青羊期中）已知实数a、b、c满足，则的值为 ．
12．（2024九上·成都期中）已知，且，则的值为 ．
13．（2023九上·永州月考）已知均为非零的实数，且满足，则的值为 ．
三、预备定理-平行线分线段对应成比例
14． 如图，△ABC的中线AD，BE 相交于点F，过点 E 作EG∥AD 交BC 于点G，则 EG： AF的值是( )
A． B． C． D．
15．（2024九上·上海市月考）如图，若，，，，则长为 ．
16．（2025九上·梧州期末）如图，在中，D、E分别是、上的点，与相交于点G，若，，则的值是 ．
17．（2023九上·南海期中）如图，点D、E是边 上的点，，连接，交点为F，，那么的值是 ．
18．（2022九上·嘉定期中）如图，已知，与相交于点E，点F在线段上，，．
（1）求证：；
（2）求．
19．（2023九上·保定月考）如图，是的中线．
①若为的中点，射线交于点，则的值为 ；
②若为上的一点，且，射线交于点，则的值为 ．
20．（2022九上·新昌月考）定义：如图1，点、把线段分割成三条线段、和，若，则称是线段的比例中段，、是线段的中段分点.
（1）已知点、是线段的中段分点.
①若，，则 ▲ ；
②在图1中，若，，求的长.
（2）如图2，在中，是线段的比例中段，、分别是线段、延长线上的点，且，、的延长线分别交线段于点，.探究是否为线段的比例中段，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由..
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据黄金分割的定义进行计算得： m，
故答案为：A .
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答.
2．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：黄金分割定义知，，所以AC2=AB．
设AB=1，AC=x，
，
解得：x=．
．
故选：C．
【分析】对于线段AB上一点C，若AC>BC，且AC2＝ABBC，则把点C叫线段AB的黄金分割点，且有.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；黄金分割；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点 A 作AH⊥BC 于点 H.
∵ AB=AC，AH⊥BC，BC =4，
∴，
在Rt△ABH中， ，
∵ D，E 是边BC上的两个黄金分割点，
∴，，
∴，
，
.
.
故答案为：A .
【分析】利用等腰三角形三线合一可得，在Rt△ABH中，利用勾股定理可得，再利用黄金分割的定义可得，，结合已知条件即可计算出CD、BD、DE的长度，最后利用三角形面积公式即可求解.
4．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵AB=60，AD=13，DE=17，EF=7，
∴ BD=47，AE=BE=30，AF=37，
∴ BD：AB=47：60≈0.783，AF：AB=37：60≈0.617，
∴ 点 F 最接近线段AB 的黄金分割点.
故答案为：C .
【分析】根据黄金分割的定义，计算线段比值，判断比值是否接近黄金比0.618即可求解.
5．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵雕像的腰部以下n与全身m的高度比值接近黄金比，
∴，
∴米，
故答案为：.
【分析】由题意得，把m=2代入求解即可得出答案．
6．【答案】（1）
（2）解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，
则令“千斤”下面一截琴弦长为，
所以，
解得，
所以“千斤”下面一截琴弦长为．
【知识点】公式法解一元二次方程；黄金分割
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴
∴，
整理得：
解得：，（舍去），
故黄金分割数为；
【分析】（1）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）令“千斤”下面一截琴弦长为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵，
∴
∴，
整理得：
解得：，（舍去），
故黄金分割数为；
（2）解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，
则令“千斤”下面一截琴弦长为，
所以，
解得，
所以“千斤”下面一截琴弦长为．
7．【答案】解：由题意可知，BC=2，∠NCB=90°.
由第二步，可得
如题图③，在Rt△ABC中，AB=
∴ 矩形 BCDE 为黄金矩形
【知识点】勾股定理；黄金分割
【解析】【分析】结合已知条件，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得，根据图形翻折的性质易得AD=AB，利用线段的和差计算出CD的长，再利用黄金分割的定义即可证明.
8．【答案】4
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴，，，
∴，
∴a+2c+3e=4，
故答案为：4.
【分析】根据比例的性质可得出，，，代入b+2d+3f=6中，即可解答.
9．【答案】
【知识点】比例的性质
10．【答案】（1）解：∵c是a，b的比例中项线段，
∴c2=4×9=36，
∴c=6(负值舍去)
即c的长为6cm；
（2）解：设
∴a=3k，b=4k，c=5k，
∵ca+b+c=48，
∴3k+4k+5k=48，
∴k=4，
∴a=12；b=16；c=20
【知识点】比例的性质；比例中项
【解析】【分析】(1)根据比例中项的定义列式得到c2=ab，即c2=36，然后根据算术平方根的定义求解，即可得到c的长；
(2)设，然后用k表示a，b，c，再代入a+b+c=48，求解得到k，即可得到a，b，c的值.
11．【答案】6
【知识点】比例的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：设，则，
．
故答案为：6.
【分析】由等比性质，可设，然后将a、b、c都用字母k的式子表示出来，进而将a、b、c代表的式子代入待求式子，根据整式加减法法则计算可得答案.
12．【答案】
【知识点】分式的化简求值；比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴设，，，
又∵，
∴
．
故答案为：．
【分析】根据等比的性质，可设，，，然后代入待求式子，分子、分母分别合并同类项后再约分即可.
13．【答案】或
【知识点】分式的化简求值；比例的性质
【解析】【解答】解：当时，
，
则原式=，
当时，利用比例性质得，
，
综上所知：k的值为或；
故答案为： 或
【分析】若时，则，可得出k的值为-2，若时，利用比例性质得，综合可得出答案.
14．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中线
【解析】【解答】解： 连接DE.
∵ △ABC 的中线AD，BE 相交于点 F，
∴ AE=EC，BD=
即 AD，
故答案为： C.
【分析】连接DE，根据中位线定理及三角形的相似可以得到AF=2FD，再根据ED//AD得，即可求解.
15．【答案】2
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】∵，
∴．
∵，
∴，
解得．
故答案为：2．
【分析】
直接应用平行线分线段成比例定理即可．
16．【答案】
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：过点D作交于点H，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值是．
故答案为：．
【分析】
过点D作交于点H，根据平行线分线段成比例定理得出，，即可解答．
17．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图所示，过作，交于，
则，即：，，
，即：，
∴．
故答案为：．
【分析】过作，交于，依据平行线分线段成比例定理，即可得到，，进而可得的值．
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）由平行线分线段成比例可得到，结合可得， 利用平行线分线段可证结论；
（2）由平行线分线段成比例可得，，继而得解.
19．【答案】；
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：①过点D作于点G，
∴，，
∵是的中线，
∴，
∴，即，
∵为的中点，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
②∵，，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】①过点D作于点G，根据平行线分线段成比例可得，，再由是的中线，为的中点，可得，，再进行等量替换即可求出答案.
②根据，可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
20．【答案】（1）解：①；②设，则由题可得：，
解得或4，
的长为1或4；
（2）解：是线段的比例中段.
理由如下：设，
，
，
同理，，，
，，，
是线段的比例中段，
，
，
，
即是线段的比例中段.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；定义新运算
【解析】【分析】（1）①根据MN2=AM·BN可得BN的值；
②设AM=x，则BM=5-x，根据MN2=AM·BN可得x的值，即为AM的长；
（2）设，根据平行线分线段成比例的性质可得，同理可得，，则GK=kBN，KP=kMN，PF=kAM，根据比例中项的概念可得MN2=AM·BN，代入化简可得KP2=GK·PF，据此证明.
1 / 1
