沪科版数学九年级上册21.4二次函数的应用之动态几何的函数图像问题（培优练习）
一、动点所成三角形面积
1．（2025九上·长兴月考）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，O同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·剑阁期中）如图，菱形ABCD的边长为2cm，动点E，F同时从点A都以1cm/s的速度出发，点E沿A→B→C路线，点F沿A→D→C路线运动，连接EF．设运动时间为ts，△AEF的面积为Scm2，则下列图象中能大致表示S与t的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·献县月考）如图，在等腰直角中，，，点从点出发沿方向向点匀速运动，同时点从点出发沿方向向点匀速运动，点，的运动速度均为每秒个单位长度，连接，设运动时间为秒，的面积为（当点与点或点重合时，规定），则与之间的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·衡阳月考）如图，在矩形中，，，点从点出发沿路径运动，点从点出发沿路径运动，两点同时出发且运动速度均为每秒1个单位长度，当，两点到达点同时停止运动，设两点的运动时间为秒，的面积为，则能反映与之间函数关系的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·西湖月考）如图，在四边形中，，，，，三个动点，，同时分别沿，，的方向以的速度匀速运动，运动过程中的面积与运动时间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若，，设，的面积是y，则下列图像能大致反映y与x的函数关系是（ ）
A． B．B．
C． D．
7．（2024九上·青秀月考）如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则随变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·衡阳月考）如图，在矩形ABCD中，AB = 8，AD = 4，E为CD的中点，连接AE、BE，点M从点A出发沿AE方向向点E匀速运动，同时点N从点E出发沿EB方向向点B匀速运动，点M、N运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t，连接MN，设△EMN的面积为S，则S关于t的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
二、动点所成多边形面积
9．（2024九上·柳南月考）矩形中，．动点E从点C开始沿边向点B以的速度运动，同时动点F从点C出发沿边向点D以的速度运动至点D停止．如图可得到矩形，设运动时间为x（单位：），此时矩形去掉矩形后剩余部分的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023九上·裕安月考）如图，在中，，，于点点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
三、图形运动所成重叠面积
11．（2025九上·遵义期末）如图，将与正方形按如图所示的方式摆放，边在直线上，，以的速度沿着方向运动，初始时点G与点B重合，当点F与点C重合时停止运动．在运动过程中，与正方形重叠部分面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024九上·北京市月考）如图，点、、、在直线上，且，，四边形，，均为正方形，将正方形沿直线向右平移，若起始位置为点与点重合，终止位置为点与点重合．设点平移的距离为，正方形的边位于矩形内部的长度为，则与的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024九上·德阳期中）如图，等腰的边与正方形的边重合，．从如图所示位置水平向右匀速运动，直到点落在边上．设，运动过程中与正方形的重合部分面积为，则能反映与的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2023九上·蓬江期中）如图，在等腰中，，直角边长与正方形的边长均为与在直线上．开始时点与点重合，让向右平移，直到点与点重合时为止，设与正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积为，的长度为，则与之间的函数关系大致是( )
A． B．
C． D．
15．（2024九上·广州月考）如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为，且与在同一条直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右平移，直到点与点重合为止．设的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2024九上·定海开学考）已知等腰直角的斜边，正方形的边长为，把和正方形如图放置，点与点重合，边与在同一条直线上，将沿方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点与点重合时停止移动．在移动过程中，与正方形重叠部分的面积与移动时间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2020九上·硚口月考）如图 和 都是边长为2的等边三角形，它们的边 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
四、其他类型的二次函数动态几何问题
18．（2024九上·绍兴月考）如图，在中，，将折叠，使点的对应点落在边上，折痕为．若的长为，的长为，那么与之间的关系图象大约是（ ）
A． B．
C． D．
19．（2021九上·新抚期末）如图，直线 与x轴和y轴分别相交于A、B两点，平行于直线 的直线 从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴和y轴分别相交于C、D两点，运动时间为t秒 .以 为斜边作等腰直角 （E、O两点分别在 两侧），若 和 的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2025九上·鄞州期末）如图 1 所示风筝的箏面可以抽象成图 2 的箏形 ，风箏的骨架由 3 条竹棒 组成，其中 分别是 和 的中点．现有一根总长为 90 cm 的竹棒可截成三段做风箏的骨架．为合理利用筝面 的材料，作了如下探究：
（1）设筝面 的面积为 ，骨架 的长度为 ，求 关于 的函数关系式；
（2）在图 3 中画出（1）中 关于 的函数图象；
（3）利用图象分析，当骨架 长度大于 长度且筝面的面积超过 时，骨架 的长度范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正方形的性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：①当 时，
∵正方形的边长为2cm，
②当 时，
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合，
故答案为：A.
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论： 时，根据 列出函数关系式，从而得到函数图象； 时，根据 列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解.
2．【答案】C
【知识点】菱形的性质；二次函数-动态几何问题；已知正弦值求边长
3．【答案】D
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
4．【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题；一次函数的实际应用-几何问题
5．【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
6．【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴∠BAO=30°，
∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴四边形PEOF是矩形，
∴EP=OF，
∵AB=8，
∴
∵AP=x，
∴
∴
∵
∴当x=4时，y有最大值，最大值为
故函数图象是开口向下的抛物线，当x=4时，最大值为
故选：B．
【分析】根据菱形的性质求出 根据三角形的面积公式求出有与x的函数解析式，再根据函数的性质求最值，从而判断函数图象.
7．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
8．【答案】D
【知识点】二次函数-动态几何问题
9．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
10．【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：在中，，，
，，
于点，
，
，，
四边形是矩形，
，，
点运动的路程为，
，
则，
，
四边形的面积为，
当点从点出发，沿路径运动时，
即时，
，
当时，抛物线开口向下；
当点沿路径运动时，
即时，
是的平分线，
，
四边形是正方形，
，，
，
．
当时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映与之间函数关系的图象是：．
故选：．
【分析】根据动点的坐标特点，找到矩形长和宽的表达式，进一步找到面积的表达式；根据二次函数的图象特点判定最终图象。
11．【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由题意，当点与点重合时：，
当点与点重合时：，
当点与点重合时：，
∴当时，如图，重叠部分为梯形，
由题意，得：是等腰直角三角形，
∴，
则：，，
∴；
此时函数图象为开口向下的抛物线的一部分；
当时，如图，重叠部分为，
∴，
此时图象为平行于轴的直线的一部分；
当时，如图，重合部分为的面积，
此时，
∴，
此时图象为开口向上的抛物线的一部分；
综上，符合题意的只有选项A；
故答案为：A．
【分析】结合图形并利用三角形的面积公式和题型的面积公式求出阴影部分的面积，可得函数解析式，再结合解析式求出函数图象即可.
12．【答案】A
【知识点】解直角三角形；二次函数-动态几何问题
13．【答案】D
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
14．【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：当0≤x≤2时，重合部分是边长为x的等腰直角三角形，阴影部分的面积为：y＝x2，
它的图象是一条开口向上、对称轴为y轴的抛物线段；
当2＜x≤4时，重合部分是直角梯形，面积为：y＝2﹣（x﹣2）2，
它的图象是一条开口向下、对称轴为直线x=2的抛物线段．
纵观各选项，只有A选项符合题意．
故答案为：A
【分析】本题考查二次函数与图形运动问题.根据题意应分两种情况讨论：当0≤x≤2时，重合部分是边长为x的等腰直角三角形，利用三角形的面积计算公式可列出解析式为：y＝x2，据此可判断此段的图像；当2＜x≤4时，重合部分是直角梯形，再利用梯形的面积计算公式可得：y＝2﹣（x﹣2）2，据此可判断此段的图像；进而可选出选项.
15．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
16．【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：①当时，，
函数图象为开口方向向上的抛物线；∴B选项不符合题意
②当时，如图，
设交于，则，
则，
，
函数图象为开口方向向下的抛物线；
③当时，；∴A选项不符合题意
④当时，同理可得，
函数图象为开口方向向下的抛物线；∴D选项不符合题意；
故只有选项C符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据题意在移动的过程中，需要分为四段，分别是，，，，依据运动特点，分别求出对应的函数关系式，根据函数关系式对函数图象进行判断即可.
17．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：C点移动到F点，重叠部分三角形的边长为x，由于是等边三角形，则高为 ，面积为y=x· · = ，
B点移动到F点，重叠部分三角形的边长为(4－x)，高为 ，面积为
y=(4－x)· · = ，
两个三角形重合时面积正好为 .
由二次函数图象的性质可判断答案为A，
故答案为：A.
【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x，根据特殊角三角函数可得高为 ，由此得出面积y是x的二次函数，直到重合面积固定，再往右移动重叠部分的边长变为(4－x)，同时可得
18．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵的长为， 的长为，
∴，
在中，利用勾股定理，
得，
解得：其中；
故答案为：B.
【分析】根据折叠的性质及勾股定理即可列出与之间的关系式，由关系式即可判断图象.
19．【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】当0＜t≤2时，S＝ t2，
当2＜t≤4时，S＝ t2 （2t 4）2＝ t2＋8t 8，
观察图象可知，S与t之间的函数关系的图象大致是C.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，结合函数图象分别求出当0＜t≤2时和当2＜t≤4时的函数图象，由此可得到S与t之间的函数关系的图象的选项.
20．【答案】（1）解：，
∴AC是BD的垂直平分线，
∵E， F分别是CB和CD的中点，
设筝面ABCD的面积为 骨 架BD的长度为x(cm)，
；
（2）解：
∴.当 时， s取最大值675；
当 时， 得：
解得： ∴函数的图象，如图即为所求；
（3）解：当 时，
解得 或48，
由 得，
解得
∴当 时，箏面的面积不超过
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)根据题意可知AC是BD的垂直平分线，根据面积公式列函数解析式；
(2)根据 (1)中函数解析式及自变量的范围画函数图象即可；
(3)根据筝面的面积为 即 求出x的值，结合骨架AC长度必须骨架AC长度大于BD长度且筝面的面积超过 确定x的值可得.
1 / 1沪科版数学九年级上册21.4二次函数的应用之动态几何的函数图像问题（培优练习）
一、动点所成三角形面积
1．（2025九上·长兴月考）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，O同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：①当 时，
∵正方形的边长为2cm，
②当 时，
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合，
故答案为：A.
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论： 时，根据 列出函数关系式，从而得到函数图象； 时，根据 列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解.
2．（2024九上·剑阁期中）如图，菱形ABCD的边长为2cm，动点E，F同时从点A都以1cm/s的速度出发，点E沿A→B→C路线，点F沿A→D→C路线运动，连接EF．设运动时间为ts，△AEF的面积为Scm2，则下列图象中能大致表示S与t的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；二次函数-动态几何问题；已知正弦值求边长
3．（2024九上·献县月考）如图，在等腰直角中，，，点从点出发沿方向向点匀速运动，同时点从点出发沿方向向点匀速运动，点，的运动速度均为每秒个单位长度，连接，设运动时间为秒，的面积为（当点与点或点重合时，规定），则与之间的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
4．（2024九上·衡阳月考）如图，在矩形中，，，点从点出发沿路径运动，点从点出发沿路径运动，两点同时出发且运动速度均为每秒1个单位长度，当，两点到达点同时停止运动，设两点的运动时间为秒，的面积为，则能反映与之间函数关系的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题；一次函数的实际应用-几何问题
5．（2024九上·西湖月考）如图，在四边形中，，，，，三个动点，，同时分别沿，，的方向以的速度匀速运动，运动过程中的面积与运动时间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若，，设，的面积是y，则下列图像能大致反映y与x的函数关系是（ ）
A． B．B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴∠BAO=30°，
∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴四边形PEOF是矩形，
∴EP=OF，
∵AB=8，
∴
∵AP=x，
∴
∴
∵
∴当x=4时，y有最大值，最大值为
故函数图象是开口向下的抛物线，当x=4时，最大值为
故选：B．
【分析】根据菱形的性质求出 根据三角形的面积公式求出有与x的函数解析式，再根据函数的性质求最值，从而判断函数图象.
7．（2024九上·青秀月考）如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则随变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
8．（2024九上·衡阳月考）如图，在矩形ABCD中，AB = 8，AD = 4，E为CD的中点，连接AE、BE，点M从点A出发沿AE方向向点E匀速运动，同时点N从点E出发沿EB方向向点B匀速运动，点M、N运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t，连接MN，设△EMN的面积为S，则S关于t的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数-动态几何问题
二、动点所成多边形面积
9．（2024九上·柳南月考）矩形中，．动点E从点C开始沿边向点B以的速度运动，同时动点F从点C出发沿边向点D以的速度运动至点D停止．如图可得到矩形，设运动时间为x（单位：），此时矩形去掉矩形后剩余部分的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
10．（2023九上·裕安月考）如图，在中，，，于点点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：在中，，，
，，
于点，
，
，，
四边形是矩形，
，，
点运动的路程为，
，
则，
，
四边形的面积为，
当点从点出发，沿路径运动时，
即时，
，
当时，抛物线开口向下；
当点沿路径运动时，
即时，
是的平分线，
，
四边形是正方形，
，，
，
．
当时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映与之间函数关系的图象是：．
故选：．
【分析】根据动点的坐标特点，找到矩形长和宽的表达式，进一步找到面积的表达式；根据二次函数的图象特点判定最终图象。
三、图形运动所成重叠面积
11．（2025九上·遵义期末）如图，将与正方形按如图所示的方式摆放，边在直线上，，以的速度沿着方向运动，初始时点G与点B重合，当点F与点C重合时停止运动．在运动过程中，与正方形重叠部分面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由题意，当点与点重合时：，
当点与点重合时：，
当点与点重合时：，
∴当时，如图，重叠部分为梯形，
由题意，得：是等腰直角三角形，
∴，
则：，，
∴；
此时函数图象为开口向下的抛物线的一部分；
当时，如图，重叠部分为，
∴，
此时图象为平行于轴的直线的一部分；
当时，如图，重合部分为的面积，
此时，
∴，
此时图象为开口向上的抛物线的一部分；
综上，符合题意的只有选项A；
故答案为：A．
【分析】结合图形并利用三角形的面积公式和题型的面积公式求出阴影部分的面积，可得函数解析式，再结合解析式求出函数图象即可.
12．（2024九上·北京市月考）如图，点、、、在直线上，且，，四边形，，均为正方形，将正方形沿直线向右平移，若起始位置为点与点重合，终止位置为点与点重合．设点平移的距离为，正方形的边位于矩形内部的长度为，则与的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形；二次函数-动态几何问题
13．（2024九上·德阳期中）如图，等腰的边与正方形的边重合，．从如图所示位置水平向右匀速运动，直到点落在边上．设，运动过程中与正方形的重合部分面积为，则能反映与的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
14．（2023九上·蓬江期中）如图，在等腰中，，直角边长与正方形的边长均为与在直线上．开始时点与点重合，让向右平移，直到点与点重合时为止，设与正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积为，的长度为，则与之间的函数关系大致是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：当0≤x≤2时，重合部分是边长为x的等腰直角三角形，阴影部分的面积为：y＝x2，
它的图象是一条开口向上、对称轴为y轴的抛物线段；
当2＜x≤4时，重合部分是直角梯形，面积为：y＝2﹣（x﹣2）2，
它的图象是一条开口向下、对称轴为直线x=2的抛物线段．
纵观各选项，只有A选项符合题意．
故答案为：A
【分析】本题考查二次函数与图形运动问题.根据题意应分两种情况讨论：当0≤x≤2时，重合部分是边长为x的等腰直角三角形，利用三角形的面积计算公式可列出解析式为：y＝x2，据此可判断此段的图像；当2＜x≤4时，重合部分是直角梯形，再利用梯形的面积计算公式可得：y＝2﹣（x﹣2）2，据此可判断此段的图像；进而可选出选项.
15．（2024九上·广州月考）如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为，且与在同一条直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右平移，直到点与点重合为止．设的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
16．（2024九上·定海开学考）已知等腰直角的斜边，正方形的边长为，把和正方形如图放置，点与点重合，边与在同一条直线上，将沿方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点与点重合时停止移动．在移动过程中，与正方形重叠部分的面积与移动时间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：①当时，，
函数图象为开口方向向上的抛物线；∴B选项不符合题意
②当时，如图，
设交于，则，
则，
，
函数图象为开口方向向下的抛物线；
③当时，；∴A选项不符合题意
④当时，同理可得，
函数图象为开口方向向下的抛物线；∴D选项不符合题意；
故只有选项C符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据题意在移动的过程中，需要分为四段，分别是，，，，依据运动特点，分别求出对应的函数关系式，根据函数关系式对函数图象进行判断即可.
17．（2020九上·硚口月考）如图 和 都是边长为2的等边三角形，它们的边 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：C点移动到F点，重叠部分三角形的边长为x，由于是等边三角形，则高为 ，面积为y=x· · = ，
B点移动到F点，重叠部分三角形的边长为(4－x)，高为 ，面积为
y=(4－x)· · = ，
两个三角形重合时面积正好为 .
由二次函数图象的性质可判断答案为A，
故答案为：A.
【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x，根据特殊角三角函数可得高为 ，由此得出面积y是x的二次函数，直到重合面积固定，再往右移动重叠部分的边长变为(4－x)，同时可得
四、其他类型的二次函数动态几何问题
18．（2024九上·绍兴月考）如图，在中，，将折叠，使点的对应点落在边上，折痕为．若的长为，的长为，那么与之间的关系图象大约是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵的长为， 的长为，
∴，
在中，利用勾股定理，
得，
解得：其中；
故答案为：B.
【分析】根据折叠的性质及勾股定理即可列出与之间的关系式，由关系式即可判断图象.
19．（2021九上·新抚期末）如图，直线 与x轴和y轴分别相交于A、B两点，平行于直线 的直线 从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴和y轴分别相交于C、D两点，运动时间为t秒 .以 为斜边作等腰直角 （E、O两点分别在 两侧），若 和 的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】当0＜t≤2时，S＝ t2，
当2＜t≤4时，S＝ t2 （2t 4）2＝ t2＋8t 8，
观察图象可知，S与t之间的函数关系的图象大致是C.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，结合函数图象分别求出当0＜t≤2时和当2＜t≤4时的函数图象，由此可得到S与t之间的函数关系的图象的选项.
20．（2025九上·鄞州期末）如图 1 所示风筝的箏面可以抽象成图 2 的箏形 ，风箏的骨架由 3 条竹棒 组成，其中 分别是 和 的中点．现有一根总长为 90 cm 的竹棒可截成三段做风箏的骨架．为合理利用筝面 的材料，作了如下探究：
（1）设筝面 的面积为 ，骨架 的长度为 ，求 关于 的函数关系式；
（2）在图 3 中画出（1）中 关于 的函数图象；
（3）利用图象分析，当骨架 长度大于 长度且筝面的面积超过 时，骨架 的长度范围．
【答案】（1）解：，
∴AC是BD的垂直平分线，
∵E， F分别是CB和CD的中点，
设筝面ABCD的面积为 骨 架BD的长度为x(cm)，
；
（2）解：
∴.当 时， s取最大值675；
当 时， 得：
解得： ∴函数的图象，如图即为所求；
（3）解：当 时，
解得 或48，
由 得，
解得
∴当 时，箏面的面积不超过
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)根据题意可知AC是BD的垂直平分线，根据面积公式列函数解析式；
(2)根据 (1)中函数解析式及自变量的范围画函数图象即可；
(3)根据筝面的面积为 即 求出x的值，结合骨架AC长度必须骨架AC长度大于BD长度且筝面的面积超过 确定x的值可得.
1 / 1
