沪科版数学九年级上册22.3相似的性质冲刺拔高卷（一）
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（2024九上·锦江期中）如图，小明为了测量树的高度，在离点米的处水平放置一个平面镜，小明沿直线方向后退米到点，此时从镜子中恰好看到树梢（点），已知小明的眼睛（点）到地面的高度是米，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得：，，
，
由光的反射原理可得：，
，
，
米，米，米，
，
米．
故答案为：B．
【分析】由垂直定义得，由光的反射原理可得，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得，再利用相似三角形的对应边成比例建立方程，求解即可.
2．（2024九上·金华月考）如图，E，F，G，H分别是矩形四条边上的点，已知，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
3．（2024九上·长春期末）如图，在中，，，，为的中点．若点在边上，与相似，则的长为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质；三角形的中位线定理
4．（2025九上·衡阳期末）如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则与的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
5．（2024九上·鄞州月考）如图，在正方形网格中：、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质
6．（2024九上·西峡期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边长边上的高为，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点E、F分别在上，则这个正方形零件的边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
设正方形零件的边长为，则，
∴，解得：，
即这个正方形零件的边长为，
故选：．
【分析】因为平行于三角形的一边且与另外两边分别相交所构成的三角形与原三角形相似，所以可以得到，接下来可设正方形的边长，即EF=x，利用相似的性质可搭建关于x的方程，解这个方程即可求得正方形的边长.
7．（2024九上·宝安月考）如图所示，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
8．（2024·馆陶模拟）如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；内错角的概念
9．（2024九上·德惠期中）如图，已知矩形的两点、在反比例函数的图象上，点和点都在坐标轴上，且的坐标为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
10．（2024九上·万源期末）如图所示，在中，，，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：连接AE，由题意可得：
∵
∴
∵
∴△ABE∽△CBP
∴
∴
∴
∴E点的运动轨迹为射线AE
当DE⊥AE时，DE最短
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4
∴
∵∠DAE=45°
∴△ADE是等腰直角三角形
∴DE=2
故答案为：2
【分析】根据等腰三角形性质及勾股定理可求出，再根据相似三角形判定定理可得△ABE∽△CBP，则，再根据直线平行判定定理可得，则E点的运动轨迹为射线AE，当DE⊥AE时，DE最短，再根据等腰直角三角形性质即可求出答案.
二、填空题（每题5分，共25分）
11．（2024九上·金山月考）已知：如图， ，若，那么 ．
【答案】9
【知识点】相似三角形的判定与性质
12．（2025九上·福田开学考）如图，把沿平移到的位置，它们重合部分的面积是面积的，若，则移动的距离 ．
【答案】
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定与性质
13．（2024九上·佛山期中）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》图1是描述古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过观衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．如图2，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为为0.4实地测得为2，则井深为 ．
【答案】3.2
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：依题意，，
∴，
∴，
∵测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．
∴
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查相似三角形的应用，通过找出相似三角形和，利用相似三角形对应边成比例的性质来计算井深（即的长度 ）.
14．（2024九上·重庆市月考）如图，在中，平分，垂直平分交的延长线于点F，连接．若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
15．（2024九上·石家庄月考）如图，在中，，，直角的顶点O在上，、分别交、于点P、Q，绕点O任意旋转，当时，的值为 ；当时，的值为 ．（用含m，n的式子表示）
【答案】；
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
三、解答题（共7题，共85分）
16．（2021九上·淮北月考）如图，已知AE为∠BAC的平分线，ED∥CA，若BE=2、EC=3、AC=4，求AD的长．
【答案】解：
，
，，
平分
等腰三角形
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先证明，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入计算即可得到，再利用平分线的定义可得，再利用等量代换可得等腰三角形，即可得到答案。
17．（2024九上·浦东月考）如图，已知，与相交于点O，，，，．
（1）求的长；
（2）如果，，那么求的长．
【答案】（1）
（2）
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
18．（2023九上·朝阳期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1）在图1中，在边上取一点，作出的中线；
（2）在图2中，在边上取一点，使得；
（3）在图3中，在线段上取一点，在线段上取一点，连结使得．
【答案】（1）如图，即为中线；
（2）如图，，点，即可使得；
（3）如图3和4，在线段上取一点，在线段上取一点，连结使得；
如图3，可得，
；
如图4，可得，
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据网格线的特征找出线段AC的中点D，连接即可；
（2）根据网格线的特征，先计算AC的长度，再确定AE的长度，再利用网格的特征找出点E的位置；
（3）利用和相似，面积的比等于相似比的平方可得相似比为， 再根据网格线的特征作图。
19．（2024九上·上海市期中）已知：如图，E是平行四边形的对角线AC上一点，射线与交于点F，与的延长线交于点．
（1）求证：是和的比例中项；
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明：∵在平行四边形中，，
∴，
∴①
∵在平行四边形中，，
∴，
得．②
由①②得 即．
所以是和的比例中项．
（2）解：∵在平行四边形中，，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴，即．
由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得
．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证出和，再利用相似三角形的性质可得和，再利用等量代换可得，即，从而可证出是和的比例中项；
（2）先证出，再利用相似三角形的性质及，可得，即，最后利用相似三角形的性质可得．
（1）证明：∵在平行四边形中，，
∴，
∴①
∵在平行四边形中，，
∴，
得 ．②
由①②得 即．
所以是和的比例中项．
（2）∵在平行四边形中，，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴，即．
由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得
．
20．（2024九上·成都月考）平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，直线l：经过A，B两点，直线l分别交x轴，y轴于D，C两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）当直线l向下平移b个单位时，与的图象有唯一交点，求b的值；
（3）在y轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；
（2）b的值为；
（3）存在，点Q的坐标为或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
21．（2024九上·襄都月考）如图，在中，，，，点P从点A开始向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P、Q两点中有一点到达终点时，则同时停止运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的面积等于？
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的长度等于？
（3）几秒钟后，与相似？
【答案】（1）1秒
（2）2秒
（3）或
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
22．（2024九上·婺城期中）如图1，矩形中，，，点E，F分别为，边上任意一点，现将沿直线对折，点A对应点为点P．
（1）若点B与点F重合
①如图2，若，当点P落在中垂线上时，求的长；
②当点P可以两次落在中垂线上时，求a取值范围；
（2）如图3，连接，若，直线交的边于点G，是否存在点G，使得以E，G，P为顶点的三角形与相似．若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①的长为；②
（2）存在，或或或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
1 / 1沪科版数学九年级上册22.3相似的性质冲刺拔高卷（一）
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（2024九上·锦江期中）如图，小明为了测量树的高度，在离点米的处水平放置一个平面镜，小明沿直线方向后退米到点，此时从镜子中恰好看到树梢（点），已知小明的眼睛（点）到地面的高度是米，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·金华月考）如图，E，F，G，H分别是矩形四条边上的点，已知，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·长春期末）如图，在中，，，，为的中点．若点在边上，与相似，则的长为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
4．（2025九上·衡阳期末）如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则与的比是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·鄞州月考）如图，在正方形网格中：、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．（2024九上·西峡期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边长边上的高为，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点E、F分别在上，则这个正方形零件的边长是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·宝安月考）如图所示，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·馆陶模拟）如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·德惠期中）如图，已知矩形的两点、在反比例函数的图象上，点和点都在坐标轴上，且的坐标为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·万源期末）如图所示，在中，，，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共25分）
11．（2024九上·金山月考）已知：如图， ，若，那么 ．
12．（2025九上·福田开学考）如图，把沿平移到的位置，它们重合部分的面积是面积的，若，则移动的距离 ．
13．（2024九上·佛山期中）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》图1是描述古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过观衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．如图2，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为为0.4实地测得为2，则井深为 ．
14．（2024九上·重庆市月考）如图，在中，平分，垂直平分交的延长线于点F，连接．若，则的长为 ．
15．（2024九上·石家庄月考）如图，在中，，，直角的顶点O在上，、分别交、于点P、Q，绕点O任意旋转，当时，的值为 ；当时，的值为 ．（用含m，n的式子表示）
三、解答题（共7题，共85分）
16．（2021九上·淮北月考）如图，已知AE为∠BAC的平分线，ED∥CA，若BE=2、EC=3、AC=4，求AD的长．
17．（2024九上·浦东月考）如图，已知，与相交于点O，，，，．
（1）求的长；
（2）如果，，那么求的长．
18．（2023九上·朝阳期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1）在图1中，在边上取一点，作出的中线；
（2）在图2中，在边上取一点，使得；
（3）在图3中，在线段上取一点，在线段上取一点，连结使得．
19．（2024九上·上海市期中）已知：如图，E是平行四边形的对角线AC上一点，射线与交于点F，与的延长线交于点．
（1）求证：是和的比例中项；
（2）若，求的值．
20．（2024九上·成都月考）平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，直线l：经过A，B两点，直线l分别交x轴，y轴于D，C两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）当直线l向下平移b个单位时，与的图象有唯一交点，求b的值；
（3）在y轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（2024九上·襄都月考）如图，在中，，，，点P从点A开始向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P、Q两点中有一点到达终点时，则同时停止运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的面积等于？
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的长度等于？
（3）几秒钟后，与相似？
22．（2024九上·婺城期中）如图1，矩形中，，，点E，F分别为，边上任意一点，现将沿直线对折，点A对应点为点P．
（1）若点B与点F重合
①如图2，若，当点P落在中垂线上时，求的长；
②当点P可以两次落在中垂线上时，求a取值范围；
（2）如图3，连接，若，直线交的边于点G，是否存在点G，使得以E，G，P为顶点的三角形与相似．若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得：，，
，
由光的反射原理可得：，
，
，
米，米，米，
，
米．
故答案为：B．
【分析】由垂直定义得，由光的反射原理可得，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得，再利用相似三角形的对应边成比例建立方程，求解即可.
2．【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质；三角形的中位线定理
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质
6．【答案】B
【知识点】正方形的性质；相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
设正方形零件的边长为，则，
∴，解得：，
即这个正方形零件的边长为，
故选：．
【分析】因为平行于三角形的一边且与另外两边分别相交所构成的三角形与原三角形相似，所以可以得到，接下来可设正方形的边长，即EF=x，利用相似的性质可搭建关于x的方程，解这个方程即可求得正方形的边长.
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
8．【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；内错角的概念
9．【答案】D
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
10．【答案】B
【知识点】平行线的判定；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：连接AE，由题意可得：
∵
∴
∵
∴△ABE∽△CBP
∴
∴
∴
∴E点的运动轨迹为射线AE
当DE⊥AE时，DE最短
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4
∴
∵∠DAE=45°
∴△ADE是等腰直角三角形
∴DE=2
故答案为：2
【分析】根据等腰三角形性质及勾股定理可求出，再根据相似三角形判定定理可得△ABE∽△CBP，则，再根据直线平行判定定理可得，则E点的运动轨迹为射线AE，当DE⊥AE时，DE最短，再根据等腰直角三角形性质即可求出答案.
11．【答案】9
【知识点】相似三角形的判定与性质
12．【答案】
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定与性质
13．【答案】3.2
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：依题意，，
∴，
∴，
∵测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．
∴
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查相似三角形的应用，通过找出相似三角形和，利用相似三角形对应边成比例的性质来计算井深（即的长度 ）.
14．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
15．【答案】；
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
16．【答案】解：
，
，，
平分
等腰三角形
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先证明，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入计算即可得到，再利用平分线的定义可得，再利用等量代换可得等腰三角形，即可得到答案。
17．【答案】（1）
（2）
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
18．【答案】（1）如图，即为中线；
（2）如图，，点，即可使得；
（3）如图3和4，在线段上取一点，在线段上取一点，连结使得；
如图3，可得，
；
如图4，可得，
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据网格线的特征找出线段AC的中点D，连接即可；
（2）根据网格线的特征，先计算AC的长度，再确定AE的长度，再利用网格的特征找出点E的位置；
（3）利用和相似，面积的比等于相似比的平方可得相似比为， 再根据网格线的特征作图。
19．【答案】（1）证明：∵在平行四边形中，，
∴，
∴①
∵在平行四边形中，，
∴，
得．②
由①②得 即．
所以是和的比例中项．
（2）解：∵在平行四边形中，，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴，即．
由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得
．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证出和，再利用相似三角形的性质可得和，再利用等量代换可得，即，从而可证出是和的比例中项；
（2）先证出，再利用相似三角形的性质及，可得，即，最后利用相似三角形的性质可得．
（1）证明：∵在平行四边形中，，
∴，
∴①
∵在平行四边形中，，
∴，
得 ．②
由①②得 即．
所以是和的比例中项．
（2）∵在平行四边形中，，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴，即．
由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得
．
20．【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；
（2）b的值为；
（3）存在，点Q的坐标为或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
21．【答案】（1）1秒
（2）2秒
（3）或
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
22．【答案】（1）①的长为；②
（2）存在，或或或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
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