沪科版数学九年级上册22.3相似的性质冲刺拔高卷（二）
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（2023九上·冷水滩期中）如图，已知△ABC和△A'B'C'相似，则图中角度和边长x分别为（ ）
A．30°，9 B．30°，6 C．40°，9 D．40°，6
2．（2025九上·长春开学考）如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3）
3．（2024九上·北京市月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（ ）
A． B． C． D．3
4．（2024九上·长春开学考）如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·鄞州月考）如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧，与交于点D，再分别以A、D为圆心的长为半径画弧，两弧交于点M、N，分别交、于点E、F，则的长度为（ ）
A． B．3 C． D．
6．（2024九上·上海市月考）如图， 点 是线段 的中点， ， 下列结论中， 说法错误的是（ ）
A． 与 相似 B． 与 相似
C． D．
7．（2024九上·嘉定月考）如图，已知在中，点是边上一点，连接，将沿翻折，得到，交中点.若，若，求点到线段的距离（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·禅城月考）如图，为等边三角形，点分别在边上，，如果，，则的长度是（ ）
A．3 B．4 C． D．5
9．（2024九上·深圳月考）如图，矩形ABCD中，点E，点F分别是BC，CD的中点，AE交对角线BD于点G，BF交AE于点H．则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021九上·大渡口期末）如图，过原点的直线与反比例函数 的图象交于 、 两点，点 在第一象限，点 在 轴正半轴上，连接 交反比例函数图象于点 ， 为 的平分线，过点 作 的垂线，垂足为 ，连接 ，若 ， 的面积为8，则 的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
11．（2023九上·兰溪月考）如图在的网格中，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图．（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
（1）在图1中，画出的重心G；
（2）在图2中，画线段，点E在上，使得；
（3）图3中，在内寻找一格点N，使，并标注点N的位置．
二、填空题（每题5分，共25分）
12．（2025九上·长春高新技术产业开发月考）如图，在中，是高，矩形的一边在边上，另两个顶点、分别在边、上，与相交于点．若，，，则 ．
13．（2024九上·德惠期中）已知面积为40，点M为的三等分点，且，N为的中点，交对角线于点O，则阴影部分的面积为
14．（2024九上·山东月考）中国古人发明利用物体的影子确定四季的工具——土圭，具体方法是在平台中央竖立一根杆子，尺，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角．和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第二时刻的影长为24尺，则第一时刻的影长为 尺．
15．（2024九上·上海市月考）已知，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，且点的坐标为，连接，与轴相交于点，点在轴上，如果和相似，则点的坐标为 ．
16．（2024九上·义乌月考）如图，中，，，，是斜边上的中线，在直线上方作，，分别与边交于点M，N，当与相似时，线段长度为 ．
三、解答题（共6题，共73分）
17．（2023九上·兴化月考）如图，．
（1）若CD平分，，求的度数；
（2）若，，求AC的长．
18．（2024九上·蒙城期末）如图，和中，已知，，，，求的长．
19．（2024九上·鞍山期末）如图，在中，，在中，，，，三点在同一直线上，且点为的中点，若，垂足为，，，求的长．
20．（2023九上·江阴月考）阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．
图算法 图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：得出，当时，．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法． 再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值． 图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．
任务：
（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；
（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：
①用公式计算：当，时，的值为多少；
②如图，在中，，是的角平分线，，，用你所学的几何知识求线段的长．
21．（2024九上·双阳期末）【教材呈现】华师版九年级上册63页例1．
如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE=5，求BC的长．
【应用拓展】
（1）如图①，在△ABC中，点D是边AB的中点，点F为BC延长线上一点，连接DF交AC于点E，若DE：EF=3：1，DG∥AC，EC=2，则AC的长为 ．
（2）如图②，在△ABC中，点D为边BA延长线上一点，点E为BC上一点，连接DE交AC于点F，若点A为DB的中点，CE：EB=1：2，△DBE的面积为4，则△CFE（阴影部分）面积为 ．
22．（2023九上·祁阳期末）阅读下面材料：
小波遇到这样一个问题：如图1，在中，是边上的中线，点D在边上，与相交于点P．
（1）小波发现，，过点C作，交的延长线于点F，通过构造（如图2），经过推理和计算得到的值为______．
（2）参考小波思考问题的方法，解决问题：
①如图3，在中，点D在的延长线上，，点E在上，且，求的值；
②如图4，在中，点D在的延长线上，，点E在上，且，求出的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意：△ABC∽△A'B'C'，
∴∠=∠＝40°，
，即，
∴解得，
经检验符合意义，是原方程的解．
故答案为：C
【分析】根据相似三角形性质可得∠=∠＝40°，，代值计算即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
5．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
8．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
9．【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
10．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴于点F，过点D作DH⊥x轴于点H，过点D作DG⊥AF于点G，
∵过原点的直线与反比例函数y= （k＞0）的图象交于A，B两点，
∴A与B关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BE⊥AE，
∴OE=OA，
∴∠OAE=∠AEO，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠OAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠AEO，
∴AD//OE，
∴S△ACE=S△AOC，
∵AD=2DC
∴AC=3DC，
∵△ADE的面积为8，
∴S△ACE=S△AOC=12，
设点A（m， ），
∵AC=3DC，DH//AF，
∴3DH=AF，
∴D（3m， ），
∵CH//GD，AG//DH，
∴△DHC∽△AGD，
∴S△HDC= S△ADG，
∵S△AOC=S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC
=
=
= ，
∴2k=12，
∴k=6.
故答案为：B.
【分析】连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，由于AB经过原点，则A与B关于原点对称，由BE⊥AE，AE为∠BAC的平分线，得AD//OE，继而得S△ACE=S△AOC，设A（m， ），由AC=3DC，DH//AF，得3DH=AF，则D（3m， ），证△DHC∽△AGD，可得S△HDC= S△ADG，根据S△AOC=S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC即可求解.
11．【答案】（1）解：如图所示，中线和重心点G即为所作；
（2）解：如图所示，即为所作；
（3）解：如图，点O即为所作，
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【分析】（1）找出线段BC和AB上的中线，他们连线的交点即是重心G；
（2）取格点M，N，连接交于点E，连接即可；
（3）取点D，连接，则，根据三边成比例可得，则，点N即为所求.
12．【答案】
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
13．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
14．【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用
15．【答案】或
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；相似三角形的判定与性质
16．【答案】或
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
17．【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；相似三角形的性质
18．【答案】．
【知识点】相似三角形的判定与性质
19．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
20．【答案】（1）图算法方便；直观；或不用公式计算即可得出结果等；（2）①；②
【知识点】相似三角形的判定与性质
21．【答案】（1）16
（2）
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：[教材呈现]
点是边的三等分点，
，
，
，
，
，
；
[应用拓展]
（1），
，
，
，
，即，
解得；
故答案为：16．
（2）过点作，
点为的中点，
，
，
，
的面积为4，
的面积为1，
的面积2，
，即，
的面积为．
故答案为：．
【分析】[教材呈现]利用可得，再利用相似比即可求解．
[应用拓展]（1）由得出，利用可得，利用相似比即可求解．
（2）过点作，根据平行线分线段成比例得出，结合题意可证，根据的面积为4求出的面积为1，的面积为2，再利用面积和相似比的关系即可求解．
22．【答案】（1）
（2）①，②
【知识点】相似三角形的判定与性质
1 / 1沪科版数学九年级上册22.3相似的性质冲刺拔高卷（二）
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（2023九上·冷水滩期中）如图，已知△ABC和△A'B'C'相似，则图中角度和边长x分别为（ ）
A．30°，9 B．30°，6 C．40°，9 D．40°，6
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意：△ABC∽△A'B'C'，
∴∠=∠＝40°，
，即，
∴解得，
经检验符合意义，是原方程的解．
故答案为：C
【分析】根据相似三角形性质可得∠=∠＝40°，，代值计算即可求出答案.
2．（2025九上·长春开学考）如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3）
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
3．（2024九上·北京市月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
4．（2024九上·长春开学考）如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
5．（2024九上·鄞州月考）如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧，与交于点D，再分别以A、D为圆心的长为半径画弧，两弧交于点M、N，分别交、于点E、F，则的长度为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
6．（2024九上·上海市月考）如图， 点 是线段 的中点， ， 下列结论中， 说法错误的是（ ）
A． 与 相似 B． 与 相似
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
7．（2024九上·嘉定月考）如图，已知在中，点是边上一点，连接，将沿翻折，得到，交中点.若，若，求点到线段的距离（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
8．（2024九上·禅城月考）如图，为等边三角形，点分别在边上，，如果，，则的长度是（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
9．（2024九上·深圳月考）如图，矩形ABCD中，点E，点F分别是BC，CD的中点，AE交对角线BD于点G，BF交AE于点H．则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
10．（2021九上·大渡口期末）如图，过原点的直线与反比例函数 的图象交于 、 两点，点 在第一象限，点 在 轴正半轴上，连接 交反比例函数图象于点 ， 为 的平分线，过点 作 的垂线，垂足为 ，连接 ，若 ， 的面积为8，则 的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴于点F，过点D作DH⊥x轴于点H，过点D作DG⊥AF于点G，
∵过原点的直线与反比例函数y= （k＞0）的图象交于A，B两点，
∴A与B关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BE⊥AE，
∴OE=OA，
∴∠OAE=∠AEO，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠OAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠AEO，
∴AD//OE，
∴S△ACE=S△AOC，
∵AD=2DC
∴AC=3DC，
∵△ADE的面积为8，
∴S△ACE=S△AOC=12，
设点A（m， ），
∵AC=3DC，DH//AF，
∴3DH=AF，
∴D（3m， ），
∵CH//GD，AG//DH，
∴△DHC∽△AGD，
∴S△HDC= S△ADG，
∵S△AOC=S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC
=
=
= ，
∴2k=12，
∴k=6.
故答案为：B.
【分析】连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，由于AB经过原点，则A与B关于原点对称，由BE⊥AE，AE为∠BAC的平分线，得AD//OE，继而得S△ACE=S△AOC，设A（m， ），由AC=3DC，DH//AF，得3DH=AF，则D（3m， ），证△DHC∽△AGD，可得S△HDC= S△ADG，根据S△AOC=S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC即可求解.
11．（2023九上·兰溪月考）如图在的网格中，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图．（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
（1）在图1中，画出的重心G；
（2）在图2中，画线段，点E在上，使得；
（3）图3中，在内寻找一格点N，使，并标注点N的位置．
【答案】（1）解：如图所示，中线和重心点G即为所作；
（2）解：如图所示，即为所作；
（3）解：如图，点O即为所作，
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【分析】（1）找出线段BC和AB上的中线，他们连线的交点即是重心G；
（2）取格点M，N，连接交于点E，连接即可；
（3）取点D，连接，则，根据三边成比例可得，则，点N即为所求.
二、填空题（每题5分，共25分）
12．（2025九上·长春高新技术产业开发月考）如图，在中，是高，矩形的一边在边上，另两个顶点、分别在边、上，与相交于点．若，，，则 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
13．（2024九上·德惠期中）已知面积为40，点M为的三等分点，且，N为的中点，交对角线于点O，则阴影部分的面积为
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
14．（2024九上·山东月考）中国古人发明利用物体的影子确定四季的工具——土圭，具体方法是在平台中央竖立一根杆子，尺，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角．和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第二时刻的影长为24尺，则第一时刻的影长为 尺．
【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用
15．（2024九上·上海市月考）已知，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，且点的坐标为，连接，与轴相交于点，点在轴上，如果和相似，则点的坐标为 ．
【答案】或
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；相似三角形的判定与性质
16．（2024九上·义乌月考）如图，中，，，，是斜边上的中线，在直线上方作，，分别与边交于点M，N，当与相似时，线段长度为 ．
【答案】或
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
三、解答题（共6题，共73分）
17．（2023九上·兴化月考）如图，．
（1）若CD平分，，求的度数；
（2）若，，求AC的长．
【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；相似三角形的性质
18．（2024九上·蒙城期末）如图，和中，已知，，，，求的长．
【答案】．
【知识点】相似三角形的判定与性质
19．（2024九上·鞍山期末）如图，在中，，在中，，，，三点在同一直线上，且点为的中点，若，垂足为，，，求的长．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
20．（2023九上·江阴月考）阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．
图算法 图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：得出，当时，．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法． 再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值． 图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．
任务：
（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；
（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：
①用公式计算：当，时，的值为多少；
②如图，在中，，是的角平分线，，，用你所学的几何知识求线段的长．
【答案】（1）图算法方便；直观；或不用公式计算即可得出结果等；（2）①；②
【知识点】相似三角形的判定与性质
21．（2024九上·双阳期末）【教材呈现】华师版九年级上册63页例1．
如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE=5，求BC的长．
【应用拓展】
（1）如图①，在△ABC中，点D是边AB的中点，点F为BC延长线上一点，连接DF交AC于点E，若DE：EF=3：1，DG∥AC，EC=2，则AC的长为 ．
（2）如图②，在△ABC中，点D为边BA延长线上一点，点E为BC上一点，连接DE交AC于点F，若点A为DB的中点，CE：EB=1：2，△DBE的面积为4，则△CFE（阴影部分）面积为 ．
【答案】（1）16
（2）
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：[教材呈现]
点是边的三等分点，
，
，
，
，
，
；
[应用拓展]
（1），
，
，
，
，即，
解得；
故答案为：16．
（2）过点作，
点为的中点，
，
，
，
的面积为4，
的面积为1，
的面积2，
，即，
的面积为．
故答案为：．
【分析】[教材呈现]利用可得，再利用相似比即可求解．
[应用拓展]（1）由得出，利用可得，利用相似比即可求解．
（2）过点作，根据平行线分线段成比例得出，结合题意可证，根据的面积为4求出的面积为1，的面积为2，再利用面积和相似比的关系即可求解．
22．（2023九上·祁阳期末）阅读下面材料：
小波遇到这样一个问题：如图1，在中，是边上的中线，点D在边上，与相交于点P．
（1）小波发现，，过点C作，交的延长线于点F，通过构造（如图2），经过推理和计算得到的值为______．
（2）参考小波思考问题的方法，解决问题：
①如图3，在中，点D在的延长线上，，点E在上，且，求的值；
②如图4，在中，点D在的延长线上，，点E在上，且，求出的值．
【答案】（1）
（2）①，②
【知识点】相似三角形的判定与性质
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