沪科版数学九年级上册22.3相似的性质冲刺拔高卷（三）
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（2024九上·泉州期末）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
2．（2024九上·金水期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若，则的面积是（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
3．（2023九上·义乌月考）如图，在中，D、E分别是边、上的点，且∥，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
4．（2023九上·慈利期中）如图，在四边形中，，，，平分．设，，则关于的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，∴，
∵平分，∴，
∴，则，即为等腰三角形，
过点做于点，如图所示：
则垂直平分，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
故答案为：D．
【分析】过点做于点，先证出，可得，将数据代入可得，再化简可得，再结合，作出函数图象即可.
5．（2024九上·石家庄期中）已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】比例线段；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
6．（2024九上·石家庄月考）如图，在中，，，，垂足为点，过点作射线，点是边上任意一点，连接并延长与射线相交于点，设，两点之间的距离为，过点作直线的垂线，垂足为．岑岑同学思考后给出了下面五条结论，正确的共有（ ）
①；
②当时，；
③当时，四边形是平行四边形；
④当或时，都有；
⑤当时，与一定相似．
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
7．（2024·马鞍山模拟）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．
根据以上的操作，若，，则线段的长是（ ）
A．3 B． C．2 D．1
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
8．（2024九上·桂林月考）如图，反比例函数图象经过正方形的顶点A，边与y轴交于点D，若正方形的面积为14，，则k的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
9．（2024九上·温州开学考）如图，在中，，是上的一点，且，是的中点，连结，交于点．若时，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，过点作交延长线于点，
∵，
∴，，
∴，
∵是的中点，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】过点A作交CE延长线于点G，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的对应边之比相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，推出，，根据计算面积得出.
10．（2024九上·襄都月考）如图，矩形中，平分，过点作，连接并延长交于点，交于点．则下列结论：①；②；③若，，则；④若，则．其中正确的是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
二、填空题（每题5分，共25分）
11．（2023九上·秦安期中）如图，是等腰直角三角形，，D为边上一点，连接，过点B作，交的延长线于点E．若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
12．（2024九上·普陀月考）如图，在中，边，高，矩形的一边在上，两个顶点P、 Q分别在、上．如果，那么矩形的面积为 ．
【答案】24
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
13．（2024九上·鄞州月考）如图，在矩形中，，，点E，F分别为，的中点，，相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
14．（2024九上·丰城月考）如图，东汉末年数学家刘徽利用青朱出入图，证明了勾股定理，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”．若，，则正方形的面积为
【答案】117
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
15．（2024九上·哈尔滨月考）如图，在菱形 中 ， 与 交于点，过 点作于点，点为的中点，连接，若，，则 的长为 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定与性质
三、解答题（共7题，共85分）
16．（2024九上·蚌埠期中）已知a，b，c是的三边长，且．
（1）求的值；
（2）若，相似比为，且的周长为，求的周长．
【答案】（1）
（2）的周长为
【知识点】比例的性质；相似三角形的性质
17．（2024九上·杭州期中）为了加快城市发展，保障市民出行方便，在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路.小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长.如图，该桥两侧河岸平行他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB，AC的延长线上取点D，E，使得 DE∥BC .经测量BC=80米，DE=140米，且点E到河岸BC的距离为90米，已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度
【答案】解：
如图所示，过E作 于G，
∵AF⊥BC， EG⊥BC，
∴∠EGC=∠AFC=90°，
又∵∠ACF=∠GCE，
∴△ACF∽△ECG，
即：
解得AF=120，
∴桥AF的长度为120米.
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】过E作于G，依据 即可得出 依据，即可得到 进而得出AF的长.
18．（2025九上·兰州期中）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD．EG＝15里，HG经过点A，则FH等于多少里？请你根据上述题意，求出FH的长度．
【答案】1.05里
【知识点】相似三角形的实际应用
19．（2024九上·武侯月考）如图，在中，对角线、交于点，过点作，交延长线于点，交于点，若，，，求的长.
【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质
20．（2024九上·上海市月考）在平面直角坐标系中，直线经过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）若点C为直线上的点，且，直接写出点C的坐标；
（3）在直线上是否存在点P，使得与相似，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）点C的坐标或
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
21．（2024九上·长春月考）【基础问题】如图1，在矩形中，点、分别在边、上，，，，，求长．
【拓展延伸】
（1）如图2，在等边中，为边上一点，为边上一点，且，，，则长为______________．
（2）如图3，在四边形中，，交于点，，交于点，，，，则______________．
【答案】基础问题：；（1）18；（2）
【知识点】等边三角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
22．（2022九上·东阳期中）如图1，在矩形中，，点， 分别是，边上的动点，，将沿直线对折，点对应点为点，连结．
（1）如图2，当点落在对角线上时，求的长；
（2）如图3，当，求的长；
（3）若直线 交于点，在点的运动过程中，是否存在某一位置，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）存在，或或．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
1 / 1沪科版数学九年级上册22.3相似的性质冲刺拔高卷（三）
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（2024九上·泉州期末）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·金水期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若，则的面积是（ ）
A． B． C．4 D．
3．（2023九上·义乌月考）如图，在中，D、E分别是边、上的点，且∥，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·慈利期中）如图，在四边形中，，，，平分．设，，则关于的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·石家庄期中）已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024九上·石家庄月考）如图，在中，，，，垂足为点，过点作射线，点是边上任意一点，连接并延长与射线相交于点，设，两点之间的距离为，过点作直线的垂线，垂足为．岑岑同学思考后给出了下面五条结论，正确的共有（ ）
①；
②当时，；
③当时，四边形是平行四边形；
④当或时，都有；
⑤当时，与一定相似．
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
7．（2024·马鞍山模拟）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．
根据以上的操作，若，，则线段的长是（ ）
A．3 B． C．2 D．1
8．（2024九上·桂林月考）如图，反比例函数图象经过正方形的顶点A，边与y轴交于点D，若正方形的面积为14，，则k的值为（ ）
A．3 B． C． D．
9．（2024九上·温州开学考）如图，在中，，是上的一点，且，是的中点，连结，交于点．若时，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·襄都月考）如图，矩形中，平分，过点作，连接并延长交于点，交于点．则下列结论：①；②；③若，，则；④若，则．其中正确的是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每题5分，共25分）
11．（2023九上·秦安期中）如图，是等腰直角三角形，，D为边上一点，连接，过点B作，交的延长线于点E．若，则的值为 ．
12．（2024九上·普陀月考）如图，在中，边，高，矩形的一边在上，两个顶点P、 Q分别在、上．如果，那么矩形的面积为 ．
13．（2024九上·鄞州月考）如图，在矩形中，，，点E，F分别为，的中点，，相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是．
14．（2024九上·丰城月考）如图，东汉末年数学家刘徽利用青朱出入图，证明了勾股定理，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”．若，，则正方形的面积为
15．（2024九上·哈尔滨月考）如图，在菱形 中 ， 与 交于点，过 点作于点，点为的中点，连接，若，，则 的长为 ．
三、解答题（共7题，共85分）
16．（2024九上·蚌埠期中）已知a，b，c是的三边长，且．
（1）求的值；
（2）若，相似比为，且的周长为，求的周长．
17．（2024九上·杭州期中）为了加快城市发展，保障市民出行方便，在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路.小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长.如图，该桥两侧河岸平行他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB，AC的延长线上取点D，E，使得 DE∥BC .经测量BC=80米，DE=140米，且点E到河岸BC的距离为90米，已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度
18．（2025九上·兰州期中）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD．EG＝15里，HG经过点A，则FH等于多少里？请你根据上述题意，求出FH的长度．
19．（2024九上·武侯月考）如图，在中，对角线、交于点，过点作，交延长线于点，交于点，若，，，求的长.
20．（2024九上·上海市月考）在平面直角坐标系中，直线经过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）若点C为直线上的点，且，直接写出点C的坐标；
（3）在直线上是否存在点P，使得与相似，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
21．（2024九上·长春月考）【基础问题】如图1，在矩形中，点、分别在边、上，，，，，求长．
【拓展延伸】
（1）如图2，在等边中，为边上一点，为边上一点，且，，，则长为______________．
（2）如图3，在四边形中，，交于点，，交于点，，，，则______________．
22．（2022九上·东阳期中）如图1，在矩形中，，点， 分别是，边上的动点，，将沿直线对折，点对应点为点，连结．
（1）如图2，当点落在对角线上时，求的长；
（2）如图3，当，求的长；
（3）若直线 交于点，在点的运动过程中，是否存在某一位置，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
4．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，∴，
∵平分，∴，
∴，则，即为等腰三角形，
过点做于点，如图所示：
则垂直平分，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
故答案为：D．
【分析】过点做于点，先证出，可得，将数据代入可得，再化简可得，再结合，作出函数图象即可.
5．【答案】D
【知识点】比例线段；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
6．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
8．【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
9．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，过点作交延长线于点，
∵，
∴，，
∴，
∵是的中点，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】过点A作交CE延长线于点G，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的对应边之比相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，推出，，根据计算面积得出.
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
11．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
12．【答案】24
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
13．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
14．【答案】117
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
15．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定与性质
16．【答案】（1）
（2）的周长为
【知识点】比例的性质；相似三角形的性质
17．【答案】解：
如图所示，过E作 于G，
∵AF⊥BC， EG⊥BC，
∴∠EGC=∠AFC=90°，
又∵∠ACF=∠GCE，
∴△ACF∽△ECG，
即：
解得AF=120，
∴桥AF的长度为120米.
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】过E作于G，依据 即可得出 依据，即可得到 进而得出AF的长.
18．【答案】1.05里
【知识点】相似三角形的实际应用
19．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质
20．【答案】（1），
（2）点C的坐标或
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
21．【答案】基础问题：；（1）18；（2）
【知识点】等边三角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
22．【答案】（1）；
（2）；
（3）存在，或或．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
1 / 1
