2.2 用配方法求解一元二 次方程-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2025九上·游仙期中）把方程x2-4x-3=0转化成（x+m）2=n的形式，则m，n的值是（ ）
A．2，1 B．2，7 C．-2，1 D．-2，7
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
∴， ．
故选：D.
【分析】通过配方法将二次方程转化为完全平方形式，比较系数得出和的值．
2．（2025九上·成都月考）用配方法解一元二次方程x2+4x-10=0，配方后得到的方程是（ ）
A．（x+4）2=10 B．（x+2）2=14 C．（x-2）2=14 D．（x-4）2=10
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2+4x-10=0
x2+4x=10.
x2+4x+4=14
(x+2)2=14
故选：B.
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可.
3．（2024九上·灌云月考）把方程转化成的形式，则，的值是（ ）
A．3，8 B．3，10 C．，3 D．，10
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程移项得：x2-6x=1，
配方得：x2-6x+9=10，即（x-3）2=10，
∵方程x2-6x-1=0转化成（x+m）2=n的形式，
∴m=-3，n=10．
故答案为：D．
【分析】此方程二次项系数为1，故将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“9”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
4．（2024九上·孝感月考）用配方法解方程时，应将其变形为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据用配方法解一元二次方程的步骤"首先将常数项移到等号的右侧，当二次项系数为1时，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式"即可求解．
5．（2021九上·红河期末）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
故答案为：D．
【分析】利用配方法的计算方法求解一元二次方程即可。
6．（2024九上·深圳开学考）已知三个实数，，满足，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵a-2b+2c=0，
∴a+2c=2b，，
∵a+2b+2c＞0，
∴4b＞0，
∴b＞0，
∵，
∴．
故答案为：B.
【分析】先根据a-2b+2c=0，得出a+2c=2b，，结合a+2b+2c＞0，可得b＞0，再将，代入b2-2ac进行计算即可求解.
7．（2024九上·威远期末）用配方法解方程，配方后的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】∵一元二次方程，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用配方法求解一元二次方程的计算方法分析求解即可.
8．（2024·绍兴模拟）方程的所有整数解的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】解一元一次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）当x+3=0，x2+x-1≠0时，解得x=-3；（2）当x2+x-1=1时，解得x=-2或1．
（3）当x2+x-1=-1，x+3为偶数时，解得x=-1
因而原方程所有整数解是-3，-2，1，-1共4个．
故答案为C．
【分析】分为指数为0，底数不为0；底数为-1，指数为偶数三种情况，列方程解题即可．
二、填空题
9．（2025九上·福田开学考）把方程x2-4x-7=0化成（x-n）2=m的形式，则m+n的值是 .
【答案】13
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：x2-4x-7=0
∴
∴
∴
∴m=11，n=2
∴m+n=11+2=13
故答案为：13
【分析】根据配方法化简计算即可求出答案.
10．（2024九上·锦江期中）一元二次方程，配方为，则的值是 ．
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】原方程左边就是一个完全平方式，直接利用完全平方公式将方程左边分解因式即可得出答案.
11．（2024九上·成都期中）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ．
【答案】
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，
，
，
，
解得：，
，
，
代数式的最小值是．
故答案为：．
【分析】根据新定义，两个方程为同族二次方程，需满足顶点坐标相同且二次项系数不同；从而将(m+2)x2+(n-4)x+8=0转化为顶点式，求出m和n的值，再利用二次函数性质求最小值即可.
12．（2024九上·凉州月考）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
与是“同族二次方程”，
∴，，
∴，
由①得，，
代入②得，
解得：，
∴，
，
则代数式的最小值是．
故答案为：．
【分析】根据“同族二次方程”定义列关系式，得到关于m和n的方程组，求出与的值，然后代入化为顶点式求出最值即可．
13．（2024九上·龙华月考）关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值为 ．
【答案】
【知识点】配方法的应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：与是“同族二次方程”，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
【分析】根据同族二次方程的定义可得关于a和b的方程组，解方程组即可求解．
三、计算题
14．（2020九上·梅河口期末）解方程： ；
【答案】解：
X=1+ 或者x=1-
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程的特点，难以利用因式分解法求解，则可选用配方法求解，即先将常数项移到方程的右边，由于二次项次数为1，则直接给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后两边同时开方，进而可求解.
15．（2017九上·顺德月考）解方程： .
【答案】解： x2﹣4x+4=5+4
（x-2）2=9
x﹣2=3或x﹣2=﹣3
x1=5，x2=﹣1；
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程的特点：二次项系数为1，一次项系数为偶数，因此利用配方法或因式分解法解此方程即可。
16．（2024九上·望奎期末）解方程：
（1）（用配方法）；
（2）．
【答案】（1）解：
，，
解得：，
（2）解：
解得：，
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解；
（2）由题意，先去括号，然后根据配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解.
四、解答题
17．（2025九上·深圳月考）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务.
解：二次项系数化为1，得……第一步
配方，得，……第二步
，……第三步
……第四步
由此可得……第五步
解得……第六步
（1）任务一：填空：
①上述小明同学解此一元二次方程的方法是 ，依据的数学公式是 ；
②第 步开始出现错误，错误的原因是 .
（2）任务二：请你写出该方程的正确求解过程.
【答案】（1）配方法；完全平方公式；二；等式的右边没有加上
（2）移项，得，
二次项系数化为1，得，
配方，得，
，
由此可得，
所以，，
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据配方法解方程进行判断即可求出答案.
（2）根据配方法解方程即可求出答案.
18．（2024九上·双峰期末）已知关于x的一元二次方程．
（1）当m为何值时，它是一元一次方程；
（2）当m为何值时，它是一元二次方程，并求出方程的根．
【答案】（1）解：由题意，得且或，
则当时，原方程为；
当时，原方程为．
即或时，方程是一元一次方程
（2）解：由题意，得，
所以，而，则．
方程变为，即，
解得
【知识点】一元一次方程的概念；一元二次方程的定义及相关的量；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用一元一次方程的定义得到关于m的方程解题即可；
（2）利用一元二次方程的定义得到关于m的方程，求出m的值，然后代入接一元二次方程即可．
（1）解：由题意，得且或，
则当时，原方程为；
当时，原方程为．
即或时，方程是一元一次方程；
（2）解：由题意，得，
所以，而，则．
方程变为，即，
解得．
19．（2023九上·巴中月考） 利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题下面给出两个例子：
例、分解因式：
例、求代数式的最小值：
又
当时，代数式有最小值，最小值是．
仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）代数式有最 大、小值，当 时，最值是 ；
（3）当、为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值．
【答案】（1）解：；
（2）大；；
（3）解：
，
当，时，这个多项式有最小值，最小值为．
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【解答】解：（2） ，
∵，
∴，
∴当x=2时， 代数式有最大值，最大值是2，
故答案为：大；2；2.
【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）利用配方法求出，再求出，最后求最值即可；
（3）根据题意先配方，再求出 ， ，最后求最值即可。
20．（2024九上·桂林期末）综合与实践
【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等．
例：求代数式的最小值．
解：原式．
，
，
的最小值为3．
【方法应用】
（1）仿照例题，用配方法求代数式的最小值．
【问题迁移】
（2）若，求，．
【拓展应用】
（3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中，，是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，且，试求四边形的周长．
【答案】解：（1），
，
，
的最小值为；
（2），
，
，
，
，，
，，
，；
（3）由（1）的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，
，
，
，，
，
∴，
∴，
∴（负值舍去），，
四边形的周长为．
【知识点】配方法的应用
【解析】【分析】（1）按照例题给出的方法计算即可；
（2）按照题目给出的方法配方，再根据非负数的性质求出字母的值即可；
（3）根据“勾系一元二次方程”的定义得出一元二次方程各系数的关系，再利用配方法求解即可．
1 / 12.2 用配方法求解一元二 次方程-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2025九上·游仙期中）把方程x2-4x-3=0转化成（x+m）2=n的形式，则m，n的值是（ ）
A．2，1 B．2，7 C．-2，1 D．-2，7
2．（2025九上·成都月考）用配方法解一元二次方程x2+4x-10=0，配方后得到的方程是（ ）
A．（x+4）2=10 B．（x+2）2=14 C．（x-2）2=14 D．（x-4）2=10
3．（2024九上·灌云月考）把方程转化成的形式，则，的值是（ ）
A．3，8 B．3，10 C．，3 D．，10
4．（2024九上·孝感月考）用配方法解方程时，应将其变形为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021九上·红河期末）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·深圳开学考）已知三个实数，，满足，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2024九上·威远期末）用配方法解方程，配方后的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·绍兴模拟）方程的所有整数解的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
9．（2025九上·福田开学考）把方程x2-4x-7=0化成（x-n）2=m的形式，则m+n的值是 .
10．（2024九上·锦江期中）一元二次方程，配方为，则的值是 ．
11．（2024九上·成都期中）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ．
12．（2024九上·凉州月考）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ．
13．（2024九上·龙华月考）关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值为 ．
三、计算题
14．（2020九上·梅河口期末）解方程： ；
15．（2017九上·顺德月考）解方程： .
16．（2024九上·望奎期末）解方程：
（1）（用配方法）；
（2）．
四、解答题
17．（2025九上·深圳月考）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务.
解：二次项系数化为1，得……第一步
配方，得，……第二步
，……第三步
……第四步
由此可得……第五步
解得……第六步
（1）任务一：填空：
①上述小明同学解此一元二次方程的方法是 ，依据的数学公式是 ；
②第 步开始出现错误，错误的原因是 .
（2）任务二：请你写出该方程的正确求解过程.
18．（2024九上·双峰期末）已知关于x的一元二次方程．
（1）当m为何值时，它是一元一次方程；
（2）当m为何值时，它是一元二次方程，并求出方程的根．
19．（2023九上·巴中月考） 利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题下面给出两个例子：
例、分解因式：
例、求代数式的最小值：
又
当时，代数式有最小值，最小值是．
仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）代数式有最 大、小值，当 时，最值是 ；
（3）当、为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值．
20．（2024九上·桂林期末）综合与实践
【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等．
例：求代数式的最小值．
解：原式．
，
，
的最小值为3．
【方法应用】
（1）仿照例题，用配方法求代数式的最小值．
【问题迁移】
（2）若，求，．
【拓展应用】
（3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中，，是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，且，试求四边形的周长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
∴， ．
故选：D.
【分析】通过配方法将二次方程转化为完全平方形式，比较系数得出和的值．
2．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2+4x-10=0
x2+4x=10.
x2+4x+4=14
(x+2)2=14
故选：B.
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可.
3．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程移项得：x2-6x=1，
配方得：x2-6x+9=10，即（x-3）2=10，
∵方程x2-6x-1=0转化成（x+m）2=n的形式，
∴m=-3，n=10．
故答案为：D．
【分析】此方程二次项系数为1，故将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“9”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
4．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据用配方法解一元二次方程的步骤"首先将常数项移到等号的右侧，当二次项系数为1时，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式"即可求解．
5．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
故答案为：D．
【分析】利用配方法的计算方法求解一元二次方程即可。
6．【答案】B
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵a-2b+2c=0，
∴a+2c=2b，，
∵a+2b+2c＞0，
∴4b＞0，
∴b＞0，
∵，
∴．
故答案为：B.
【分析】先根据a-2b+2c=0，得出a+2c=2b，，结合a+2b+2c＞0，可得b＞0，再将，代入b2-2ac进行计算即可求解.
7．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】∵一元二次方程，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用配方法求解一元二次方程的计算方法分析求解即可.
8．【答案】C
【知识点】解一元一次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）当x+3=0，x2+x-1≠0时，解得x=-3；（2）当x2+x-1=1时，解得x=-2或1．
（3）当x2+x-1=-1，x+3为偶数时，解得x=-1
因而原方程所有整数解是-3，-2，1，-1共4个．
故答案为C．
【分析】分为指数为0，底数不为0；底数为-1，指数为偶数三种情况，列方程解题即可．
9．【答案】13
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：x2-4x-7=0
∴
∴
∴
∴m=11，n=2
∴m+n=11+2=13
故答案为：13
【分析】根据配方法化简计算即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】原方程左边就是一个完全平方式，直接利用完全平方公式将方程左边分解因式即可得出答案.
11．【答案】
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，
，
，
，
解得：，
，
，
代数式的最小值是．
故答案为：．
【分析】根据新定义，两个方程为同族二次方程，需满足顶点坐标相同且二次项系数不同；从而将(m+2)x2+(n-4)x+8=0转化为顶点式，求出m和n的值，再利用二次函数性质求最小值即可.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
与是“同族二次方程”，
∴，，
∴，
由①得，，
代入②得，
解得：，
∴，
，
则代数式的最小值是．
故答案为：．
【分析】根据“同族二次方程”定义列关系式，得到关于m和n的方程组，求出与的值，然后代入化为顶点式求出最值即可．
13．【答案】
【知识点】配方法的应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：与是“同族二次方程”，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
【分析】根据同族二次方程的定义可得关于a和b的方程组，解方程组即可求解．
14．【答案】解：
X=1+ 或者x=1-
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程的特点，难以利用因式分解法求解，则可选用配方法求解，即先将常数项移到方程的右边，由于二次项次数为1，则直接给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后两边同时开方，进而可求解.
15．【答案】解： x2﹣4x+4=5+4
（x-2）2=9
x﹣2=3或x﹣2=﹣3
x1=5，x2=﹣1；
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】观察方程的特点：二次项系数为1，一次项系数为偶数，因此利用配方法或因式分解法解此方程即可。
16．【答案】（1）解：
，，
解得：，
（2）解：
解得：，
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解；
（2）由题意，先去括号，然后根据配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解.
17．【答案】（1）配方法；完全平方公式；二；等式的右边没有加上
（2）移项，得，
二次项系数化为1，得，
配方，得，
，
由此可得，
所以，，
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据配方法解方程进行判断即可求出答案.
（2）根据配方法解方程即可求出答案.
18．【答案】（1）解：由题意，得且或，
则当时，原方程为；
当时，原方程为．
即或时，方程是一元一次方程
（2）解：由题意，得，
所以，而，则．
方程变为，即，
解得
【知识点】一元一次方程的概念；一元二次方程的定义及相关的量；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用一元一次方程的定义得到关于m的方程解题即可；
（2）利用一元二次方程的定义得到关于m的方程，求出m的值，然后代入接一元二次方程即可．
（1）解：由题意，得且或，
则当时，原方程为；
当时，原方程为．
即或时，方程是一元一次方程；
（2）解：由题意，得，
所以，而，则．
方程变为，即，
解得．
19．【答案】（1）解：；
（2）大；；
（3）解：
，
当，时，这个多项式有最小值，最小值为．
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【解答】解：（2） ，
∵，
∴，
∴当x=2时， 代数式有最大值，最大值是2，
故答案为：大；2；2.
【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）利用配方法求出，再求出，最后求最值即可；
（3）根据题意先配方，再求出 ， ，最后求最值即可。
20．【答案】解：（1），
，
，
的最小值为；
（2），
，
，
，
，，
，，
，；
（3）由（1）的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，
，
，
，，
，
∴，
∴，
∴（负值舍去），，
四边形的周长为．
【知识点】配方法的应用
【解析】【分析】（1）按照例题给出的方法计算即可；
（2）按照题目给出的方法配方，再根据非负数的性质求出字母的值即可；
（3）根据“勾系一元二次方程”的定义得出一元二次方程各系数的关系，再利用配方法求解即可．
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