2.4 用因式分解法求解一 元二次方程-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2025九上·游仙期中） 一元二次方程x2-x=0的一个根是（ ）
A．x=-1 B．x=0 C．x=2 D．x=3
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴或，
∴，
∴各选项中符合的答案为B，
故选：B．
【分析】利用因式分解法解一元二次方程，然后逐项判断即可．
2．（2025九上·丰南月考）用因式分解法解一元二次方程，将它转化为两个一元一次方程是 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程为，
根据因式分解法，若两数乘积为0，则至少有一个数为0，
∴，
故选：C
【分析】根据因式分解法解方程即可求出答案.
3．（2024九上·五华期中）一个直角三角形的一条直角边长是4，另一直角边的长是一元二次方程的根，则该三角形的面积是（ ）
A． B．4或 C．8或 D．4
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：解方程得：（舍），
∴该直角三角形的另一条直角边长是，
故该三角形的面积.
故答案为：A.
【分析】先求出一元二次方程的解，再利用直角三角形的面积公式列出算式求解即可.
4．（2021九上·宜兴月考）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：解方程x2 12x＋35＝0
得x＝5或x＝7，
又3＋4＝7，
故长度为3，4，7的线段不能组成三角形，
∴x＝7不合题意，
∴三角形的周长为3＋4＋5＝12．
故答案为：B.
【分析】根据因式分解法求出方程的解，然后根据三角形的三边关系确定出三角形的三边长，据此可得周长.
5．（2024九上·青秀开学考）已知 是一元二次方程 的一个根，则m的值为（ ）
A． B．3或 C．3 D．或1
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：把代入得，
，
，
解得：，，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】把代入解方程可得，，再结合一元二次方程定义即可求出的值．
6．（2024九上·乐山期末）定义一种新运算，其中，当时，的值为（ ）
A． B．4 C．4和 D．3
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：
，即
解得
故答案为：B
【分析】先根据定义新运算得到，进而结合题意解一元二次方程，再根据二次根式有意义的条件即可求解。
7．（2024九上·衡阳期末）关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0，
∴+2k-3=0，且k+3≠0，
∴k=1或k=-3， 且k+3≠0。
∴k=1，
故答案为：B．
【分析】把x=0代入原方程建立k的方程，用因式分解法解方程即可。注意k+3≠0．
8．（2025九上·广州月考）定义：已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求．对于这两个结论判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①当时，方程为，
解得，
∴，
∵符合，且，
∴该方程是“友好方程”，故①正确；
②，
∴，
解得或，
∵该方程是“友好方程”，
∴方程有两个不相等的实数根，
，
∴，
当时，，且，
，且，
∵为整数，
此时的值不存在；
当时，，且，
，且，
∴，
是整数，
∴或，故②正确；
综上，①②都正确，
故选：．
【分析】①将代入方程，再解方程，再根据“友好方程”定义进行判断即可求出答案；②根据因式分解法解方程，根据“友好方程”定义可得方程有两个不相等的实数根，则判别式，则，再根据题意分类同类即可求出答案.
二、填空题
9．（2024九上·张掖期中）一元二次方程的解是 ；
【答案】x1=1，x2=2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得：（x-1)(x-2)=0，
∴x-1=0或x-2=0，
∴x1=1，x2=2．
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，根据方程的特点灵活选择合适的方法求解是解题关键．
观察方程：根据因式分解法中的十字相乘法可得：(x-1)(x-2)=0，令每一个因式=0可得：x-1=0或x-2=0，解得：x1=1，x2=2，由此可得出答案．
10．（2025九上·温州开学考）一元二次方程3x（x-1）=x-1的解是 .
【答案】x1=1，x2=
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
或x-1=0
解得： 或x=1
故答案为： 或x=1.
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可.
11．（2021九上·马关期末）已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长 ．
【答案】20
【知识点】因式分解法解一元二次方程；菱形的性质
【解析】【解答】解：，
则x1=6，x2=8，即菱形的两条对角线长分别为6和8，
则菱形的边长为，
故菱形的周长为5×4=20，
故答案为20
【分析】先求出菱形的两条对角线长分别为6和8，再利用勾股定理和菱形的周长求解即可。
12．（2024九上·衡阳期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则 ．
【答案】1或2
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵同时满足和，
∴关于x的方程两个实数根为，，
∵，
∴或，
∴的根为或，
∵与互为“同伴方程”，
∴或，
故答案为：1或2．
【分析】由和，可得关于x的方程两个实数根为，，由，可得的根为或，根据与互为“同伴方程”，即得或．
13．（2023九上·大厂期中）在平面直角坐标系中，点P的坐标为，称关于x的方程为点P的对应方程．如图，点，点，点．
给出下面三个结论：
①点A的对应方程有两个相等的实数根；
②在图示网格中，若点（均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，则满足条件的点P有3个；
③线段上任意点的对应方程都没有实数根．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；点的坐标；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵，
∴点A的对应方程为，
解得，，
∴点A的对应方程有两个相等的实数根，故①正确；
若点（均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，
∴，即，
∵m、n均为整数，
∴当时，，符合条件，
当时，，符合条件，
∴在图示网格中，满足条件的点P有3个，故②正确；
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线上的任意一点为，
∴这个点的对应方程为，
∵
∵，
∴，即，
∴线段上任意点的对应方程都没有实数根，故③正确，
故答案为：①②③．
【分析】根据点A的对应方程进行求解即可判断①；再根据点P的对应方程有两个相等的实数根可得，即可判断②；求得直线的解析式为，设直线上的任意一点为，可得这个点的对应方程为，再利用判别式即可判断③．
三、计算题
14．（2024九上·确山期中）解方程
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，，
，，
∴，；
（2）解：，
移项，得，
配方，得，即，
开方，得，
即，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解诶一元二次方程即可；
（2）运用配方法解一元二次方程即可．
（1）解：，
，
，，
∴，；
（2）解：，
移项，得，
配方，得，即，
开方，得，
即，．
15．（2025九上·红桥月考）解下列一元二次方程．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原方程化为
解得，
（2）解：原方程化为，可得，，，
∴
∴方程有两个不等的实数根，
由求根公式可得，，
解得，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先将方程变为一般式，再利用因式分解可得，求解即可；
（2）先将方程变为一般式，利用根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求解.
四、解答题
16．（2022九上·卢龙期中）解方程：嘉嘉与淇淇两位同学解方程的过程如下：
嘉嘉： 两边同除以，得 ， 则． 淇淇： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，．
（1）嘉嘉的解法 ___________；淇淇的解法 ___________；（填“正确”或“不正确”）
（2）请你选择合适的方法尝试解一元二次方程．
【答案】（1）不正确，不正确
（2）（2）解：方法1：当即，方程成立；
当即时，
两边同除以，得，则，
∴，．
方法2：移项，得，
提取公因式，得，
则或，
解得，．
【知识点】等式的基本性质；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：嘉嘉的解法中忽略的情况，淇淇的解法中应为，符号错误，故两人的解法都不正确，
故答案为：不正确，不正确；
【分析】（1）根据一元二次方程的解法，嘉嘉的解法中忽略的情况，淇淇的解法中提取公因式中符号错误，进而可作出判断；
（2）可根据两人的方法选择求解即可．本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法和步骤，根据方程特点灵活选用并正确求解是解答的关键．
（1）解：嘉嘉的解法中忽略的情况，淇淇的解法中应为，符号错误，故两人的解法都不正确，
故答案为：不正确，不正确；
（2）解：方法1：当即，方程成立；
当即时，
两边同除以，得，则，
∴，．
方法2：移项，得，
提取公因式，得，
则或，
解得，．
17．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
已知实数a，b同时满足 求代数式 的值.
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当a=b时，a 的值是 .
（2）当a≠b时，代数式 的值是 .
【答案】（1）-2或1
（2）7
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）当a=b时，a2+2a-a-2=0即a2+a-2=0，
∴（a+2）（a-1）=0
解之：a1=-2，a2=1.
故答案为：-2或1。
（2）∵ 实数a，b同时满足
∴a2+2a-b-2=0①，b2+2b-a-2=0②
由①+②得
a2+b2+a+b-4=0即（a+b）2-2ab+a+b-4=0，
由①-②得
a2-b2+3（a-b）=0，
∴（a-b）（a+b+3）=0
∵a≠b，
∴a+b+3=0
解之：a+b=-3，
∴9-2ab-3-4=0
解之：ab=1，
∴原式=.
故答案为：7.
【分析】（1）将a=b代入方程，可得到关于a的一元二次方程，再利用因式分解法求出方程的解，即可得到a的值.
（2）将两个方程转化为a2+2a-b-2=0①，b2+2b-a-2=0②，由①+②可得到（a+b）2-2ab+a+b-4=0，由①-②可得到（a-b）（a+b+3）=0，根据a≠b，可求出a+b的值，再求出ab的值，然后将分式化简后代入求值.
18．（2023九上·南昌月考）已知关于的一元二次方程，其中，，分别是三边的长．
（1）若该方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
（2）若是等边三角形，请求出该方程的实数根．
【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：当是等边三角形时，，
原方程可化为，
∴，
∴，
解得：，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意可得方程，继而再根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）根据等边三角形的三边相等可得，继而可将方程化简为x2+x=0，再利用因式分解法进行求解即可．
（1）解：是直角三角形，
理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：当是等边三角形时，，
原方程可化为，
∴，
∴，
解得：，．
19．（2024九上·金堂期中）关于x的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．
（1）若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请用含m的式子表示n；
（2）若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，两根之和为3，求代数式的值．
【答案】（1）解：∵一元二次方程，
∴，
∵一元二次方程是“倍根方程”，
∴或，
∴或，
解得：；
（2）解：∵
∴x-2a=0或x-b=0，
∴x1=2a，x2=b，
∵一元二次方程是“倍根方程”，
∴或，
∵一元二次方方程两根之和为3，
∴，
∴或，
解得：或，
∴或，
故或．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用求根公式“”求出一元二次方程的两根，根据倍根方程的定义，得到两根间关系，化简得到结果；
（2）利用因式分解法求出一元二次方程的两个根为和b，根据倍根方程的定义得到或，结合条件，求得a，b，进而再将a、b的值代入待求式子计算得到结果．
（1）解：∵一元二次方程，
∴，
∵一元二次方程是“倍根方程”，
∴或，
∴或，
解得：；
（2）解：∵一元二次方程是“倍根方程”，
∴一元二次方程有两个根：和b，
且或，
∵一元二次方方程两根之和为3，
∴，
∴或，
解得：或，
∴或，
故或．
20．（2023九上·太原期中）阅读下列材料，完成相应的任务：
课堂上，老师让同学们复习一元二次方程的多种解法，在讨论这些解法之间的关系时，小组同学发言如下：
小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为的形式(其中m，p均不为零)，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程或 ，依据是____，进而得到原方程的根为，. 小文：既然能用分解因式法求解关于x的一元二次方程，那么，能否运用一元二次方程的根，，将多项式分解因式呢 小颖：可以!例如时，如果方程的两个根为，，逆推回去可得两个一元一次方程是或，则原方程即可表示为，这样就可得到多项式分解因式的结果为! 例如：已知方程的两根为，，则分解因式为； 已知方程的两根为，.则分解因式为.
任务：
（1）上述材料中“▲”处的依据为 (填写字母序号即可)；
：若或，则.
：若，则或.
（2）已知方程的两个根为，，则多项式分解因式的结果为 ；
（3）请从下面，两题中任选一题作答.我选择 ▲ 题.
：根据材料中的思路，直接写出多项式分解因式的结果.
：根据材料中的思路，直接写出多项式分解因式的结果.
【答案】（1）B
（2）
（3）A：
B：
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：若，则或.
故答案为：B.
（2）∵方程的两个根为，，
∴=，
故答案为：；
（3）A、=；
B、=.
【分析】参照题干中的计算方法，利用十字相乘法求解一元二次方程即可.
1 / 12.4 用因式分解法求解一 元二次方程-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2025九上·游仙期中） 一元二次方程x2-x=0的一个根是（ ）
A．x=-1 B．x=0 C．x=2 D．x=3
2．（2025九上·丰南月考）用因式分解法解一元二次方程，将它转化为两个一元一次方程是 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2024九上·五华期中）一个直角三角形的一条直角边长是4，另一直角边的长是一元二次方程的根，则该三角形的面积是（ ）
A． B．4或 C．8或 D．4
4．（2021九上·宜兴月考）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
5．（2024九上·青秀开学考）已知 是一元二次方程 的一个根，则m的值为（ ）
A． B．3或 C．3 D．或1
6．（2024九上·乐山期末）定义一种新运算，其中，当时，的值为（ ）
A． B．4 C．4和 D．3
7．（2024九上·衡阳期末）关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ）
A．或 B． C． D．
8．（2025九上·广州月考）定义：已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求．对于这两个结论判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
二、填空题
9．（2024九上·张掖期中）一元二次方程的解是 ；
10．（2025九上·温州开学考）一元二次方程3x（x-1）=x-1的解是 .
11．（2021九上·马关期末）已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长 ．
12．（2024九上·衡阳期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则 ．
13．（2023九上·大厂期中）在平面直角坐标系中，点P的坐标为，称关于x的方程为点P的对应方程．如图，点，点，点．
给出下面三个结论：
①点A的对应方程有两个相等的实数根；
②在图示网格中，若点（均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，则满足条件的点P有3个；
③线段上任意点的对应方程都没有实数根．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
三、计算题
14．（2024九上·确山期中）解方程
（1）；
（2）．
15．（2025九上·红桥月考）解下列一元二次方程．
（1）；
（2）．
四、解答题
16．（2022九上·卢龙期中）解方程：嘉嘉与淇淇两位同学解方程的过程如下：
嘉嘉： 两边同除以，得 ， 则． 淇淇： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，．
（1）嘉嘉的解法 ___________；淇淇的解法 ___________；（填“正确”或“不正确”）
（2）请你选择合适的方法尝试解一元二次方程．
17．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
已知实数a，b同时满足 求代数式 的值.
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当a=b时，a 的值是 .
（2）当a≠b时，代数式 的值是 .
18．（2023九上·南昌月考）已知关于的一元二次方程，其中，，分别是三边的长．
（1）若该方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
（2）若是等边三角形，请求出该方程的实数根．
19．（2024九上·金堂期中）关于x的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．
（1）若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请用含m的式子表示n；
（2）若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，两根之和为3，求代数式的值．
20．（2023九上·太原期中）阅读下列材料，完成相应的任务：
课堂上，老师让同学们复习一元二次方程的多种解法，在讨论这些解法之间的关系时，小组同学发言如下：
小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为的形式(其中m，p均不为零)，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程或 ，依据是____，进而得到原方程的根为，. 小文：既然能用分解因式法求解关于x的一元二次方程，那么，能否运用一元二次方程的根，，将多项式分解因式呢 小颖：可以!例如时，如果方程的两个根为，，逆推回去可得两个一元一次方程是或，则原方程即可表示为，这样就可得到多项式分解因式的结果为! 例如：已知方程的两根为，，则分解因式为； 已知方程的两根为，.则分解因式为.
任务：
（1）上述材料中“▲”处的依据为 (填写字母序号即可)；
：若或，则.
：若，则或.
（2）已知方程的两个根为，，则多项式分解因式的结果为 ；
（3）请从下面，两题中任选一题作答.我选择 ▲ 题.
：根据材料中的思路，直接写出多项式分解因式的结果.
：根据材料中的思路，直接写出多项式分解因式的结果.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴或，
∴，
∴各选项中符合的答案为B，
故选：B．
【分析】利用因式分解法解一元二次方程，然后逐项判断即可．
2．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程为，
根据因式分解法，若两数乘积为0，则至少有一个数为0，
∴，
故选：C
【分析】根据因式分解法解方程即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：解方程得：（舍），
∴该直角三角形的另一条直角边长是，
故该三角形的面积.
故答案为：A.
【分析】先求出一元二次方程的解，再利用直角三角形的面积公式列出算式求解即可.
4．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：解方程x2 12x＋35＝0
得x＝5或x＝7，
又3＋4＝7，
故长度为3，4，7的线段不能组成三角形，
∴x＝7不合题意，
∴三角形的周长为3＋4＋5＝12．
故答案为：B.
【分析】根据因式分解法求出方程的解，然后根据三角形的三边关系确定出三角形的三边长，据此可得周长.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：把代入得，
，
，
解得：，，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】把代入解方程可得，，再结合一元二次方程定义即可求出的值．
6．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：
，即
解得
故答案为：B
【分析】先根据定义新运算得到，进而结合题意解一元二次方程，再根据二次根式有意义的条件即可求解。
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0，
∴+2k-3=0，且k+3≠0，
∴k=1或k=-3， 且k+3≠0。
∴k=1，
故答案为：B．
【分析】把x=0代入原方程建立k的方程，用因式分解法解方程即可。注意k+3≠0．
8．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①当时，方程为，
解得，
∴，
∵符合，且，
∴该方程是“友好方程”，故①正确；
②，
∴，
解得或，
∵该方程是“友好方程”，
∴方程有两个不相等的实数根，
，
∴，
当时，，且，
，且，
∵为整数，
此时的值不存在；
当时，，且，
，且，
∴，
是整数，
∴或，故②正确；
综上，①②都正确，
故选：．
【分析】①将代入方程，再解方程，再根据“友好方程”定义进行判断即可求出答案；②根据因式分解法解方程，根据“友好方程”定义可得方程有两个不相等的实数根，则判别式，则，再根据题意分类同类即可求出答案.
9．【答案】x1=1，x2=2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得：（x-1)(x-2)=0，
∴x-1=0或x-2=0，
∴x1=1，x2=2．
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，根据方程的特点灵活选择合适的方法求解是解题关键．
观察方程：根据因式分解法中的十字相乘法可得：(x-1)(x-2)=0，令每一个因式=0可得：x-1=0或x-2=0，解得：x1=1，x2=2，由此可得出答案．
10．【答案】x1=1，x2=
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
或x-1=0
解得： 或x=1
故答案为： 或x=1.
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可.
11．【答案】20
【知识点】因式分解法解一元二次方程；菱形的性质
【解析】【解答】解：，
则x1=6，x2=8，即菱形的两条对角线长分别为6和8，
则菱形的边长为，
故菱形的周长为5×4=20，
故答案为20
【分析】先求出菱形的两条对角线长分别为6和8，再利用勾股定理和菱形的周长求解即可。
12．【答案】1或2
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵同时满足和，
∴关于x的方程两个实数根为，，
∵，
∴或，
∴的根为或，
∵与互为“同伴方程”，
∴或，
故答案为：1或2．
【分析】由和，可得关于x的方程两个实数根为，，由，可得的根为或，根据与互为“同伴方程”，即得或．
13．【答案】①②③
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；点的坐标；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵，
∴点A的对应方程为，
解得，，
∴点A的对应方程有两个相等的实数根，故①正确；
若点（均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，
∴，即，
∵m、n均为整数，
∴当时，，符合条件，
当时，，符合条件，
∴在图示网格中，满足条件的点P有3个，故②正确；
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线上的任意一点为，
∴这个点的对应方程为，
∵
∵，
∴，即，
∴线段上任意点的对应方程都没有实数根，故③正确，
故答案为：①②③．
【分析】根据点A的对应方程进行求解即可判断①；再根据点P的对应方程有两个相等的实数根可得，即可判断②；求得直线的解析式为，设直线上的任意一点为，可得这个点的对应方程为，再利用判别式即可判断③．
14．【答案】（1）解：，，
，，
∴，；
（2）解：，
移项，得，
配方，得，即，
开方，得，
即，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解诶一元二次方程即可；
（2）运用配方法解一元二次方程即可．
（1）解：，
，
，，
∴，；
（2）解：，
移项，得，
配方，得，即，
开方，得，
即，．
15．【答案】（1）解：原方程化为
解得，
（2）解：原方程化为，可得，，，
∴
∴方程有两个不等的实数根，
由求根公式可得，，
解得，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先将方程变为一般式，再利用因式分解可得，求解即可；
（2）先将方程变为一般式，利用根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求解.
16．【答案】（1）不正确，不正确
（2）（2）解：方法1：当即，方程成立；
当即时，
两边同除以，得，则，
∴，．
方法2：移项，得，
提取公因式，得，
则或，
解得，．
【知识点】等式的基本性质；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：嘉嘉的解法中忽略的情况，淇淇的解法中应为，符号错误，故两人的解法都不正确，
故答案为：不正确，不正确；
【分析】（1）根据一元二次方程的解法，嘉嘉的解法中忽略的情况，淇淇的解法中提取公因式中符号错误，进而可作出判断；
（2）可根据两人的方法选择求解即可．本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法和步骤，根据方程特点灵活选用并正确求解是解答的关键．
（1）解：嘉嘉的解法中忽略的情况，淇淇的解法中应为，符号错误，故两人的解法都不正确，
故答案为：不正确，不正确；
（2）解：方法1：当即，方程成立；
当即时，
两边同除以，得，则，
∴，．
方法2：移项，得，
提取公因式，得，
则或，
解得，．
17．【答案】（1）-2或1
（2）7
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）当a=b时，a2+2a-a-2=0即a2+a-2=0，
∴（a+2）（a-1）=0
解之：a1=-2，a2=1.
故答案为：-2或1。
（2）∵ 实数a，b同时满足
∴a2+2a-b-2=0①，b2+2b-a-2=0②
由①+②得
a2+b2+a+b-4=0即（a+b）2-2ab+a+b-4=0，
由①-②得
a2-b2+3（a-b）=0，
∴（a-b）（a+b+3）=0
∵a≠b，
∴a+b+3=0
解之：a+b=-3，
∴9-2ab-3-4=0
解之：ab=1，
∴原式=.
故答案为：7.
【分析】（1）将a=b代入方程，可得到关于a的一元二次方程，再利用因式分解法求出方程的解，即可得到a的值.
（2）将两个方程转化为a2+2a-b-2=0①，b2+2b-a-2=0②，由①+②可得到（a+b）2-2ab+a+b-4=0，由①-②可得到（a-b）（a+b+3）=0，根据a≠b，可求出a+b的值，再求出ab的值，然后将分式化简后代入求值.
18．【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：当是等边三角形时，，
原方程可化为，
∴，
∴，
解得：，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意可得方程，继而再根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）根据等边三角形的三边相等可得，继而可将方程化简为x2+x=0，再利用因式分解法进行求解即可．
（1）解：是直角三角形，
理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：当是等边三角形时，，
原方程可化为，
∴，
∴，
解得：，．
19．【答案】（1）解：∵一元二次方程，
∴，
∵一元二次方程是“倍根方程”，
∴或，
∴或，
解得：；
（2）解：∵
∴x-2a=0或x-b=0，
∴x1=2a，x2=b，
∵一元二次方程是“倍根方程”，
∴或，
∵一元二次方方程两根之和为3，
∴，
∴或，
解得：或，
∴或，
故或．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用求根公式“”求出一元二次方程的两根，根据倍根方程的定义，得到两根间关系，化简得到结果；
（2）利用因式分解法求出一元二次方程的两个根为和b，根据倍根方程的定义得到或，结合条件，求得a，b，进而再将a、b的值代入待求式子计算得到结果．
（1）解：∵一元二次方程，
∴，
∵一元二次方程是“倍根方程”，
∴或，
∴或，
解得：；
（2）解：∵一元二次方程是“倍根方程”，
∴一元二次方程有两个根：和b，
且或，
∵一元二次方方程两根之和为3，
∴，
∴或，
解得：或，
∴或，
故或．
20．【答案】（1）B
（2）
（3）A：
B：
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：若，则或.
故答案为：B.
（2）∵方程的两个根为，，
∴=，
故答案为：；
（3）A、=；
B、=.
【分析】参照题干中的计算方法，利用十字相乘法求解一元二次方程即可.
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