参考答案
一，选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
D A B C A C B D
8.解：函数有且仅有个零点，
即的图象与的图象有且仅有个公共点，
作出的图象，
易知当时，与的图象最多有个公共点，故，
作出函数的大致图象，结合题意可得解得．
故选：．
二、多选题
9. 【答案】ACD
【详解】过点的直线l与直线平行，
设直线l方程为，代入可得，解得：,所以直线l的方程为：，A正确，
直线l的斜率，直线l的倾斜角为，则B错误，
l与直线的距离为，C正确，
过点P且与直线l垂直的直线可设为：，代入可得，解得：,则过点P且与直线l垂直的直线为：，D正确.
10.【答案】BC 【详解】在正方体中，由于点是侧面的中心，
所以，
所以，，即．
11. 【答案】ABD
【详解】显然，
当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不合要求，
设直线为，联立得，
，设，则,,
设，则，
其中，所以，
A选项，点到轴的最短距离为，显然当时，取得最小值，
故，解得，A正确；
B选项，由焦半径公式得，，
其中，，所以，
C选项，，，
故，，，C错误.
D选项，由于，，消去可得，
故点的轨迹方程是，D正确；
三、填空题
12. 【答案】2
【详解】，则.
13. 【答案】
【详解】因为圆M与直线.相切，
所以点到直线：的距离即为圆M的半径，
所以，圆C的面积为.
14. 【答案】
【详解】由题设数列的公比为，则，整理得，
当时，易知，符合题意；但当时，，
解得，且,则公比的取值范围是.
四、解答题
15. 解：由正弦定理得：，
所以，即，
因为，所以，又，所以；
由余弦定理得：，即，
所以，即，又，
16. 解：因为在直三棱柱中，则四边形是正方形，故，
又在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以，
又，，，平面，则平面，
而平面，故，
由，，且，，平面，得平面
以B为原点，BA，BC，所在直线分别为x，y，z轴，建空间直角坐标系，
则，，，则，，
设平面的法向量，由，，得，
取，则，又，，
设平面的法向量，由，，得，
取，则
设平面与平面的夹角为，由图像可知，为锐角，
则
17. (1)
(2)；最大值为
【详解】（1）设数列的公差为，则，，解得，
则数列的通项公式为.
（2），，
因二次函数在处取最大值，故的最大值为.
18. (1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）根据题意作图如下：
由题意知.因为点到直线的距离为，所以，
解得或，又因为，所以，所以抛物线的标准方程为.
（2）根据题意作图如下：
将代入，得，
则，
所以.
（3）证明：由则又
所以所以
设直线l的方程为，联立方程组，则
当时，有，得
所以直线l的方程为，所以直线过定点
19．(1)的方程为；.
(2)（i）；（ii）.
【详解】（1）由题意，，则，，
则的方程为，短轴长.
（2）（i）当直线斜率不存在时，，，不合题意，
故设直线的方程为：，，
联立，得，，
所以， ，
，由得，解得，
所以直线的方程为：.
（ii）由于点在上，故设，
由对称性，设，，，
则点到的距离
其中，
当时，，
.
所以△面积的最大值为.
第2页，共5页玉溪一中2025—2026学年上学期高二年级期中考
数学 学科试卷
总分：150分，考试时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
已知集合A={x | -2≤x≤2}，B={0, 2, 4}，则A ∩ B =
A. B. C. D.
若点在圆的内部，则实数a的取值范围是
A． B． C．或 D．
如图，已知正方体的棱长为1，则四棱锥的体积为
A． B． C． D．
已知偶函数在上单调递减，则满足的x的取值范围是
A. B.
C. D.
已知椭圆的左右焦点分别为，，点P在椭圆C上且，则三角形的面积为
A. B. C. 1 D. 2
设等差数列，的前项和分别为 ∈N*，若，则的值为
A. B. C. D.
已知直线与双曲线无公共交点，则C的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个. 高斯函数y=[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例如[1.8]=1，[-1.9]=2，若函数且有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
过点的直线l与直线平行，则下列说法正确的是
A．直线l的方程为：
B．直线l的倾斜角为
C．直线l与直线间的距离为
D．过点P且与直线l垂直的直线为：
在正方体中，若点是侧面的中心，且，则
A． B． C． D．
过抛物线的焦点的直线交于两点，其中是的中点，点到轴的距离的最小值为，为坐标原点，则下列命题正确的是
A．
B．
C．
D．点的轨迹方程是
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知复数，则 .
13．已知一圆的圆心为，且与直线相切，则该圆的面积为 .
14．若存在等比数列，使得，则公比的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(13分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
求
若，求△ABC面积的取值范围.
16．(15分)如图，在直三棱柱中，，
求证：平面
求平面与平面夹角的余弦值.
17．(15分)已知为等差数列，且，.
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和及的最大值.
18．(17分)已知抛物线的焦点到直线的距离为，不过原点的直线与交于两点.
(1)求的标准方程；
(2)若直线的方程为，求；
(3)若OA垂直于OB，求证∶直线过定点；
19．(17分) 已知椭圆的离心率为，右焦点为，过的直线交于两点，为的中点．
(1)求的标准方程；
(2)若的垂直平分线交轴于，且.
（i）求直线的方程；
（ii）点在上，求△面积的最大值．
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