第2讲 代数式与整式 （含答案）2026年中考数学一轮复习考点专练（河北）

第2讲 代数式与整式
基础练
1．[2025邯郸经开区一模]表示代数式“”的意义正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2025保定莲池一模]下列各式中,计算结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
3．[2024石家庄长安质检]整式,,下列结论:
结论一:;
结论二:,的公因式为.
下列判断正确的是（ ）
A．结论一正确,结论二不正确 B．结论一不正确,结论二正确
C．结论一、结论二都正确 D．结论一、结论二都不正确
4．[2025秦皇岛学业考试]下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．[2025保定模拟]下列各式中不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A． B．
C． D．
6．[2025廊坊霸州摸底]分解因式:,则的值为（ ）
A．7 B． C．25 D．
7．[2025廊坊固安模拟]单项式的次数是_ _ _ _ .
8．[2024衡水模拟]多项式合并同类项后不含的一次项,则的值是_ _ _ _ .
9．[2025石家庄新华质检]在学习完幂的运算内容后，李老师留了这样一道课后题目：已知为整数，且，求的值.数学兴趣小组进行了讨论：
小鹿：任何非0实数的零指数幂为1.
小唯：底数是1的任何次幂为1.
……
根据上述给出的思路和其他相关结论，聪明的你计算出的值是_ _ _ _ _ _ _ _ ．
10．[2025邢台一模]如图表示地铁在①站发车人数及②站、③站变化人数.
（1） 用含的代数式表示②站的发车人数；
（2） ③站发车时,求地铁上的最少人数.
11．[2025石家庄新华质检]如图，现有一块长为米，宽为米的矩形耕地，其中一块长为米，宽为米的矩形耕地来种植经济作物，其余耕地用来种植小麦．
（1） 求种植小麦的耕地面积；（用含、的代数式表示，要求化简）
（2） 当，时，求种植小麦的耕地面积．
提升练
12．[2025张家口万全摸底]若，是正整数，且满足，则下列与关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．[2025衡水模拟]交换一个两位数的十位数字和个位数字后得到一个新的两位数，若将这个新的两位数与原两位数相减，则所得的差一定是（ ）
A．11的倍数 B．9的倍数 C．偶数 D．奇数
14．[2025石家庄摸底]甲、乙、丙三人按如下步骤玩交换硬币的游戏：
第一步：设每个人都发枚硬币（每个人的硬币数一样，且不少于2枚）；
第二步：甲拿出2枚硬币给丙；
第三步：乙拿出1枚硬币给丙；
第四步：甲有几枚硬币，丙就拿出几枚硬币给甲．
此时，甲的硬币数是丙的硬币数的2倍，下列结论不正确的是（ ）
A．甲最后的硬币比丙的多4枚
B．乙最后的硬币数可表示为
C．丙最后的硬币数与无关
D．甲最后的硬币数最多
15．[2024廊坊安次一模]如图,分别以,,,为边长作正方形,已知且满足,.
图1 图2
（1） 若,,则图1中阴影部分的面积是_ _ _ _ ;
（2） 若图1中阴影部分的面积为3,图2中四边形的面积为5,则图2中的阴影部分的面积是_ _ _ _ _ _ .
16．[2025保定部分学校模拟]我们知道能被3整除的数的规律,设是一个三位数,若可以被3整除,则这个数就能被3整除.
例如,三位数108,,9可以被3整除,就能被3整除.
发现 将三位数去掉末尾数字得到两位数,再用减去的2倍所得的差为.若能被7整除，则三位数就能被7整除.
验证 例如,对于三位数364,,28可以被7整除,就能被7整除.
（1） 用上述方法判断455_ _ _ _ （填“能”或“不能”）被7整除；
探究
（2） 用含,,的代数式表示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（3） 结合（2）论证“发现”中的结论正确.
17．[2025保定一模]甲、乙两个矩形，它们的长和宽如图1所示为正整数，面积分别为，.
图1 图2
（1） 写出与的大小关系：_ _ _ _ .（填“ ”“ ”或“”）
（2） 若，求满足这个不等式的的最大值.
（3） 有4个甲矩形，3个乙矩形，以及两个面积分别为，的矩形恰好拼成一个矩形图案，如图2所示.问：是否存在，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
微专题1 代数推理及规律探索
1．[2025秦皇岛学业考试]用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有2个菱形，第2个图案中有5个菱形，第3个图案中有8个菱形，第4个图案中有11个菱形， ，按此规律，第2 025个图案中菱形的个数是（ ）
A．6 071 B．6 072 C．6 073 D．6 074
2．[2025山东威海]某广场计划用如图①所示的A,B两种瓷砖铺成如图②所示的图案.第一行第一列瓷砖的位置记为,其右边瓷砖的位置记为,其上面瓷砖的位置记为,按照这样的规律,下列说法正确的是（ ）
A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖
C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖
3．[2025沧州部分学校一模]如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个．先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋子中球的个数相同，则_ _ _ _ ．
4．[2025沧州任丘模拟]“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．如图1，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右列，然后用47的每位数字乘51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2 397．如图2，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则的值为_ _ _ _ ．
图1 图2
5．甲、乙、丙三个盒中分别放有不同数量的棋子，其中甲盒中棋子的个数为，乙盒中棋子的个数是甲盒中棋子个数的2倍，丙盒中棋子的个数比乙盒中棋子的个数少.
（1） 请用含的代数式表示乙盒中棋子的个数：_ _ _ _ _ _ ，丙盒中棋子的个数：_ _ _ _ _ _ .
（2） 现从三个盒中分别拿出一些棋子后，使每个盒中剩下的棋子个数均相等.若从丙盒中拿出的棋子个数比从甲盒中拿出的棋子个数多3，从乙盒中拿出的棋子个数是其剩下棋子个数的2倍，则从三个盒中拿出的棋子个数总和是_ _ _ _ .
6．[2024石家庄长安质检]某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式：
第1个等式：;
第2个等式：;
第3个等式：;
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1） 填空：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 已知且为整数，猜想第个等式（用含的等式表示），并证明.
7．[2024唐山一模]数学课上老师给出规定:如果两个数的平方差能被4整除，那么我们称这个算式是“佳偶和谐式”.
小亮写出如下算式:；；.
发现:任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”.
（1） 证明:是“佳偶和谐式”;
（2） 证明:任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”;
（3） 小红通过对小亮的结论推广得到一个命题:任意两个偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”，直接判断此命题是真命题还是假命题.
8．[2025石家庄新华质检]聪聪计算机课上利用软件编写了相关联的程序和,如图,在程序中 处输入一个正整数,则程序自动在处填补出一个比 处的数大1的数并显示计算结果,同时程序会复制程序中相应位置的数值完成程序的计算并显示计算结果.
例: 处输入1,则程序完成运算,程序完成运算.
探究．若 处输入数字2,则程序的结果为_ _ _ _ _ _ ,程序的结果为_ _ _ _ _ _ ；若 处输入数字5,则程序的结果为_ _ _ _ _ _ ,程序的结果为_ _ _ _ _ _ ；若 处输入数100,设程序的结果为,则_ _ _ _ （填“ ”“ ”或“”）.
应用．请观察“探究”中的结果，然后证明:
.
第2讲 代数式与整式
基础练
1．A 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D
7．5
8．2
9．，4，2
10． 解:（1）②站的发车人数.
（2） ，
站发车时，最少有19人.
11．解:（1） 根据题意得，
平方米.
（2） 当，时，
（平方米）.
答:种植小麦的耕地面积为504 000平方米.
提升练
12．D 13．B 14．A
15．（1） 25
（2）
[解析]由题意知，
，即，
.
，，
，
.
两式相加得，即，
.
，.
题图2中的阴影部分的面积是.
16．解:（1） 能.
（2） .
（3） 证明：由题意得，
能被7整除，
设为正整数，
，
，
、为整数，能被7整除，即能被7整除．
17．解:（1）
（2） ,,
,为正整数，
,解得,
的最大值为1 013.
（3） 不存在.理由如下:
,
,
若,
则,
整理得,解得,,均不符合题意， 不存在，使得.
微专题1 代数推理及规律探索
1．D 2．B
3．128
4．2
[解析]如图.
根据题意可得，
，解得.
5．（1） ；
（2） 21
[解析] 从乙盒中拿出的棋子个数是其剩下棋子个数的2倍，
乙盒中剩下的棋子个数为， 甲、乙、丙三盒中剩下的棋子个数均为，
从甲盒中拿出的棋子个数为，从乙盒中拿出的棋子个数为，从丙盒中拿出的棋子个数为，
从丙盒中拿出的棋子个数比从甲盒中拿出的棋子个数多3，
，解得，
从三个盒中拿出的棋子个数总和是.
6． 解:（1） 5 625； .
（2）,且为整数.
证明：
.
7．解:（1） 证明：,
是“佳偶和谐式”.
（2） 证明：设两个连续偶数为和是整数，则
.
是整数，是整数，
一定被4整除，
任意两个连续偶数的平方差都是“佳偶和谐式”.
（3） 真命题.
8．解: 探究 ； ； ； ；
应用 证明：若 处输入数,则程序的结果为,
程序的结果为，
，
同理可得，.
，
成立.