第六模块 圆 （含答案）2026年中考数学一轮复习考点专练（河北）

第六模块 圆
第1讲 与圆有关的概念及性质
课时1 圆的有关概念及性质
基础练
1．[2024张家口一模]如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出的圆的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．[2024石家庄十八县模拟]如图，是的直径，是弦且不是直径，，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．[2025保定一模]如图，，，是圆上的三点，已知 ，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．[2025石家庄十八县二模]如图,已知点,,,,均在上,且为直径,则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．[2024石家庄新华一模]如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点，若， ，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．[2025衡水模拟]如图，将的圆周12等分，点，，是等分点，的度数可能为（ ）
A． B． C． D．
7．[2025沧州学业考试]如图，四边形内接于，连接，，若， ，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．新情境[2025保定定兴一模] 如图，、、、均为圆周上十二等分点，若用直尺量弦长时，发现点、点分别与刻度1和4对齐，则、两点间的距离是（ ）
A． B． C． D．6
9．[2025廊坊结课考试]如图，，，为上的点，为外一点， ，，则的度数可能是（ ）
A． B． C． D．
10．[2025沧州学业考试]如图,，是的两条直径,是劣弧的中点,若 ,则的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．[2025石家庄新华质检]如图，是的内接三角形，, ，是直径，，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
提升练
12．[2025张家口万全摸底]已知线段，如图，甲和乙两位同学用自己的方法确定了以为半径，为圆心的圆．对于这两种作图方法，下列说法正确的是（ ）
A．甲和乙的方法均正确
B．甲和乙的方法均不正确
C．甲的方法正确，乙的方法不正确
D．甲的方法不正确，乙的方法正确
13．[2024邯郸武安二模]如图，是半圆的直径，点，在半圆上，，连接，，，过点作，交的延长线于点．设的面积为，的面积为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
14．[2025邢台结课考试]如图，已知四边形内接于圆， ， ，若，则的长可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
15．[2025张家口一模]一张圆形纸片，圆周被24等分，等分点分别为,,, ,．这张纸片不小心被撕掉了两部分，剩下部分如图所示，已知线段和所在直线所夹锐角的度数为 ，且该夹角位于点的右侧，则_ _ _ _ ．
16．[2025保定部分学校模拟]如图,点,,,,,是的六等分点,连接,,点为弦的中点,点为上一点.已知的直径为4,则的周长最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
17．[2025保定易县一模]如图1,为的外接圆，为的半径.
图1 图2
（1） 当所在的直线垂直于时，_ _ _ _ .（填“ ”“ ”或“”）
（2） 若 ,,求的长.
（3） 嘉嘉发现，当点在上方的圆弧上移动时，总有与的和为定值，请证明这种说法.
（4） 如图2，,交于点,于点.若,直接写出的长.
课时2 圆的性质应用
基础练
1．[2025石家庄模拟改编]某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏，现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图所示，相关信息如下：
信息一：点为喷泉中心，是圆形喷泉的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米．
信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．
请根据以上信息解答下列问题.
（1） 喷泉的半径为_ _ _ _ ；
（2） 要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装_ _ _ _ 盏景观灯 取3.
2．[2025廊坊固安模拟]我省有很多著名的桥梁,淇淇对此很感兴趣.某天淇淇查阅资料发现家乡的一座拱桥为圆弧的一部分（图1）,其示意图可用图2中的来表示.
图1 图2
（1） 若所在圆的圆心为点,是弦的垂直平分线,尺规作图:找出圆心（保留作图痕迹,不写作图过程）；
（2） 若所在圆的半径为10米,拱桥的跨度（弦的长）为16米,求桥拱拱高的中点到弦的距离.
3．新情境[2025石家庄四区联考] 如图是放在水平桌面上的带底座的鱼缸,其主体部分的纵截面是弓形,开口部分与桌面平行,将一玻璃棒斜放进鱼缸（鱼缸内无水）,使玻璃棒底端恰好在弧的中点处,发现,将玻璃棒竖立起来时,测得.
（1） 求的度数,并求的长；
（2） 求弧的长；
（3） 若向鱼缸内加水,使水面的宽度为,求鱼缸内水的深度.
提升练
4．新情境 [2025石家庄十八县一模] 在综合实践课上,老师拿出了如图1所示的三张边长都为的正方形硬纸板,并说:“若将这三张正方形硬纸板互不重叠平放在桌面上,用一张圆形纸片将其完全覆盖,请设计三张正方形硬纸板摆放的方案.”某小组提供了图2的两个方案.
图1 图2
（1） 在图2中,方案一的圆形纸片的面积记为,方案二的圆形纸片的面积记为,则_ _ _ _ （填“ ”“ ”或“”）；
（2） 能完全覆盖图1三张正方形硬纸板的圆形纸片的直径的最小为_ _ _ _ _ _ _ _ .
5．新情境[2025唐山一模] 七巧板是从我国宋代的“燕几图”演变而来的,它能拼出的图形超出1 600种.嘉琪同学用边长为的正方形纸板做出如图1所示的七巧板,然后用七巧板拼接成小鱼图案（外轮廓是轴对称图形），并把图案放到圆中,如图2所示,,,三点在圆上.
图1 图2
（1） 的长为_ _ _ _ ；
（2） 圆的半径是_ _ _ _ _ _ _ _ .
6．[2025沧州部分学校一模]筒车是我国古代的一种水利灌溉工具，如图，表示筒车的外轮廓，筒车的涉水宽度为，涉水深度（筒车下方最低点到水面的距离）为．
（1）
① 在图中，请用无刻度的直尺和圆规作出线段为筒车最低点，用其长度表示涉水深度（保留作图痕迹，不写作法）；
② 求出该筒车的半径.
（2） 筒车工作时，筒车上的每一个盛水筒都按顺时针方向做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．若上处的某盛水筒到水面的距离为，经过35秒后，该盛水筒旋转到点处，则旋转后该盛水筒的竖直高度下降了多少 （结果保留根号）
7．[2025秦皇岛山海关开学考试]某隧道横截面是以为直径的半圆，.、是半圆弧墙壁上的两个照明灯（看成点）,且是的中点,连接、、、.
图1 图2
计算
（1） 如图1,在照明灯、安装过程中,若 ,求和的大小.
应用
（2） 如图2,在照明灯、安装完毕后，调整其位置使.若在处设有一摄像头，按监控阴影区域（含边界）,求能被监控的阴影区域的面积（结果保留）.
探究
（3） 隧道内拟设置单向行车道,要保证高为的机动车能够顺利通过（车顶与隧道壁的竖直距离不小于）.求机动车的最大宽度.
第2讲 与圆有关的位置关系
基础练
1．[2025邢台结课考试]已知直线与圆相交，点在直线上，若点到点的距离等于圆的半径，则点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．大于3
2．[2025石家庄四区联考]如图,,是的切线,,为切点,点为上一点,若 ,则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．[2025石家庄质检]如图,点,分别是的外心和内心,连接,.若 ,则（ ）
A． B． C． D．
4．[2025唐山迁安期末]在一次数学实践活动课上，嘉淇同学在图1上，按下列步骤进行画图：
第一步：将三角尺的直角顶点放在圆上任意一点（与点不重合）处，使三角尺直角边经过点，另一直角边与圆交于点，连接，如图2；
第二步：如图3，转动该三角尺使其直角顶点与重合，一直角边经过点，画出另一直角边所在的直线.
嘉淇得到下面两个结论：
①线段是圆的直径；
②直线与圆相切．
下列说法正确的是（ ）
图1 图2 图3
A．①正确，②不正确 B．①不正确，②正确
C．①②都正确 D．①②都不正确
5．跨学科[2025北京] 如图,是地球的示意图,其中表示赤道,,分别表示北回归线和南回归线, .夏至日正午时,太阳光线所在直线经过地心,此时点处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_ _ _ _ .
6．[2025石家庄十八县一模]如图,是的内切圆,切点分别为,,,已知,,,则的周长为_ _ _ _ .
7．[2025秦皇岛海港一模]如图1,在中, ,,,点在上,以为直径的经过上的点,且.
图1 图2
（1） 求证:是的切线；
（2） 求的半径；
（3） 将沿射线方向平移,如图2,与切于点,与交于、两点,与交于、两点,求的长度.
提升练
8．[2024唐山一模]如图，是半圆的直径，点、将弧分成相等的三段弧，点在的延长线上，连接.三个人给出以下说法：
甲：若为半圆的切线，则 ；
乙：连接、，则 ；
丙：连接、，则.
三位同学中给出的说法正确的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有甲
9．[2024保定竞秀一模]如图，已知及外一定点，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论：
①点是的中点；
②连接，，其所在直线都是的切线；
③点到点、的距离相等；
④连接，，，，，则．
对上述结论描述正确的是（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确
C．①②③正确 D．①②③④都正确
10．[2025邢台结课考试]如图，在中，，点在边上，连接，点是的内心，连接，若 ，则_ _ _ _ ．
11．[2025邯郸部分学校一模]如图,锐角三角形中,.以为直径的半圆,交于点,过点作半圆的切线,交的延长线于点，交于点,,则_ _ _ _ _ _ .
12．[2025河北样卷]如图，是正六边形的中心，，点，分别为，的内心，则长为_ _ _ _ _ _ ．
13．[2025石家庄桥西质检]如图1,的半径为10,直线经过的圆心,且与交于,两点,点在上,且,点是直线上的一个动点（与圆心不重合）,直线与交于点.
图1 图2
图3 图4
（1） 求点到的距离；
（2） 如图2,当与相切时,求的长；
（3） 如图3,连接,当时,求与之间的距离；
（4） 当时,直接写出的长.
微专题9 圆中常见的辅助线作法
1．如图,弦平行于直径,连接, ,则弧所对的圆心角的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图,是的内接三角形,为的直径,过点作于点,若 ,,则劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图,在中,点、、在圆上,点在的延长线上,已知 ,则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的弦，且，点是弧的中点，点是优弧上的一点， ，则的半径等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点，，，，在上，所对的圆心角为 ，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点、、、、在以为直径的上， , ，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知：如图，内接于圆，于点，弦于点，交于点．求证：．
8．[2024邯郸模拟]如图，是的直径，点是弧的中点，过点作于点，连接.
（1） 判断与的位置关系，并证明；
（2） 若，，求的半径．
9．如图，在中， ，的平分线交于点，为上的一点，，以为圆心，长为半径作，，．
（1） 求证：是的切线；
（2） 求线段的长．
第3讲 与圆有关的计算
基础练
1．[2025廊坊结课考试] 如图，工人师傅用活口扳手拧六角螺母，六角螺母为正六边形，边长为，扳手每次旋转一个六角螺母中心角的度数，旋转四次后，顶点经过的弧长为（ ）
A． B． C． D．
2．[2025石家庄裕华质检]如图所示,要用一张扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计）,若该圆锥的底面圆周长为,侧面积为,则这个扇形的圆心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．[2025石家庄裕华质检]魏晋时期数学家刘徽在其著作《九章算术注》中指出“周三径一”不是圆周率值,而是圆内接正六边形周长和直径的比值.刘徽发现,圆内接正多边形边数无限增加时,多边形的周长就无限逼近圆周长,从而创立“割圆术”,为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法.如图1,将半径为2的圆12等分,拼接成近似图2所示的图形.连接,交于点,则的面积为（ ）
图1 图2
A．3 B．4 C． D．
4．[2025邯郸摸底]如图，正八边形内接于，连接，，则_ _ _ _ ．
5．[2025石家庄开学考试]如图，，，，是上的点，半径，， ，连接，则扇形的面积为_ _ _ _ _ _ ．
6．[2025秦皇岛海港一模]如图,的半径为,点,,是上的三个点,若四边形是菱形,则阴影部分的面积为_ _ _ _ .
7．[2025沧州部分学校一模]如图，与正六边形的边，分别相切于点，．已知正六边形的边长为，则劣弧的长为_ _ _ _ _ _ ．
8．[2025邢台结课考试]如图1，、分别是线段上两点，且，以为圆心，长为半径在线段的上方作半圆，是半圆上任意一点．
图1 图2 备用图
（1） 如图2，若，连接交半圆于点，求的长；
（2） 若线段与半圆有两个公共点，求的长的取值范围．
提升练
9．[2025承德兴隆一模]如图,在扇形中, ,半径,是上一点,连接,是上一点,且,连接.若,则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．[2025廊坊安次一模]如图,是边长为的等边三角形的外接圆,点是弧的中点,连接、,以点为圆心,的长为半径在内画弧,则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．数学文化[2025河南] 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时,创立了“割圆术”.如图是研究“割圆术”时的一个图形,所在圆的圆心为点,四边形为矩形,边与相切于点,连接, ,连接交于点.若,则图中阴影部分的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ .
12．[2025秦皇岛山海关开学考试]如图,以正六边形的顶点为圆心,长为半径画扇形（阴影部分）,并连接.
（1） 与扇形所在的圆是否相切？_ _ _ _ .（填“是”或“否”）
（2） 已知正六边形的边长为3,若将扇形围成一个圆锥的侧面,则其底面圆的半径为_ _ _ _ .
13．[2024张家口宣化一模]如图，的周长为20，的半径为1，从与相切的点的位置出发，在外部，按顺时针方向沿三角形的边作无滑动滚动，当滚动一周又回到点的位置时，圆心运动的路径长度_ _ _ _ （填“ ”“ ”或“”）三角形的周长，运动路径的长度为_ _ _ _ _ _ _ _ ．
14．[2025邢台部分学校二模节选]如图,在中,,, ,以为直径画半圆,交于点,点是半圆上的一点（不与点,重合）,连接,将半圆沿折叠,使点落在点处,点落在点处.
备用图
（1） 求阴影部分的面积；
（2） 若点与点重合,求的值；
（3） 当在内部（包括边界）时,求度数的最小值.
参考数据:,,
第六模块检测
45分钟 满分：100分
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．[2025石家庄结课考试]如图，已知的半径为3，平面内有一点到圆心的距离为4，则该点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
2．[2023石家庄一模]如图，用直角曲尺检查制作成半圆形的工件，则合格的工件是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2025湖南长沙]如图,,为的弦,连接,,.若 , ,则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．[2024石家庄十八县模拟]如图，的三个顶点都在的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将绕点顺时针旋转到的位置，且点、落在格点上，则线段扫过的图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．[2024保定、张家口一模]如图是及其内接正四边形和内接正五边形，且点在，之间，则（ ）
A． B． C． D．
6．[2025石家庄长安质检]是的外接圆,在弧上找一点,使点平分弧.对图中的三种作法,下列说法正确的是（ ）
A．三种作法均正确 B．只有作法一和作法二正确
C．只有作法二和作法三正确 D．只有作法二正确
7．[2025廊坊广阳一模]如图,正六边形的边长为2,连接,,以点为圆心,长为半径作弧,则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．[2025唐山路北模拟]如图,以点为圆心,4为半径作扇形,已知,点在上,且,垂直平分,动点在线段上运动（不与点重合）.设的外心为,则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
9．[2024沧州一模]一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，垂直于轴的截面是个半径为的圆，如图所示，杯内水面，则水的最大深度是_ _ _ _ ．
10．[2025唐山路北模拟]如图，为的外接圆，其中 ，点为的内心，连接并延长交于点，连接，，则_ _ _ _ ．
11．[2025石家庄二模]一无盖纸杯如图1所示,经测量:杯口直径,杯底直径,.纸杯的侧面展开示意图为环形的一部分（如图2所示,忽略拼接部分）,则它所对的圆心角的度数为_ _ _ _ _ _ .
图1 图2
12．[2025保定竞秀二模]光圈是相机镜头中一个可调节的开口,通过6片形状和大小相同叶片的闭合情况来影响中间正六边形的面积,达到控制进光量和景深的作用.下图（1）（2）是一组不同通光量下叶片闭合情况的示意图,图（3）中若的延长线恰好过点,圆的半径为,则叶片所占区域（阴影部分）的面积是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
三、解答题（共40分）
13．（8分） [2025沧州学业考试]如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且.
（1） 求证：是的切线；
（2） 若的半径为5，，求的长.
14．（10分） [2025邯郸一模]如图1,的半径,弦.直线与相切于点,.点为弦的中点,连接.
图1 图2
（1） 连接,求的大小及线段的长；
（2） 若弦以圆心为旋转中心,逆时针旋转得到，连接，当时停止,如图2所示,求点走过的路线长.
15．（10分）[2025石家庄二模] 盾构机中某种零件是由两个厚度均为的圆弧形金属块紧密嵌套而成的,装置内部存有一定液体,将该装置放置在水平桌面上,其截面示意图如图1所示,液面记为,内侧金属壁记为,外侧金属壁记为,当外侧金属壁在上无滑动转动一定的角度时,内侧金属壁则向反方向转动相同的角度.已知,其中,内、外壁所在圆的圆心均为，两弧所对的圆心角均为 ,内侧壁所在圆的半径为.外侧壁与桌面的接触点为.
图1 图2 图3
（1） 当内侧金属壁转动到如图2所示的位置时,连接,.求证:.
（2） 如图3,当内侧金属壁转动至点,,共线时,液面的一端恰与点重合,求液面的长.
16．（12分）[2025唐山路北二模] 如图,斜坡与地面的夹角 ,斜坡顶端.半径为2的切于点,切于点,上固定的一点恰在的平分线上.某一时刻,带动点沿斜坡向上滚动（无滑动）,当与切于点时停止滚动,发现此时点恰与点重合,圆心记为.
（1） 当在初始位置时,证明:；
（2） 求斜坡的长结果保留；
（3） 设与的延长线交于另一点,求的长度.
第六模块 圆
第1讲 与圆有关的概念及性质
课时1 圆的有关概念及性质
基础练
1．D 2．B 3．D 4．D 5．A 6．D 7．B 8．C 9．A 10．C 11．D
提升练
12．A 13．A 14．B
15．11
16．
[解析]连接，，，，，，如图，
点，，，，，是的六等分点，，是直径，点和点关于对称，， ,
的周长，
当点，，三点共线时，的周长取得最小值，为的值.
的直径为4，，
由题意得，是等边三角形，， ，
点为弦的中点，
，，
，，
，
易知 , ,
，
，
，即的周长最小值为．
17．解:（1）
（2） 连接.
, ,
则的长 .
（3） 证明:连接.
,.
,
,
又,
,
即与的和为定值.
（4） 4.
课时2 圆的性质应用
基础练
1．（1） 5米
（2） 24
2．解:（1） 如图,点即为所求.
（2） 连接,设的垂直平分线交于点,交于点.
垂直平分,
米, .
米,
米.
米,米.
答：桥拱拱高为4米.
3．解:（1） 设圆心为,连接,,.
为弧的中点,
,,
,,
是等边三角形,
,
,
,
，即的长为.
（2） ,
, ,
优弧所对的圆心角为 ,
,
弧的长为.
（3） 设水面与弧的交点分别为，，与的交点为，
根据题意,得,由（2）得,
.
当圆心在的下方时,
;
当圆心在的上方时,
.
故鱼缸内水的深度为或.
提升练
4．（1）
（2）
[解析]三张硬纸片按如图所示位置摆放，设圆心为，连接，，延长交于点，则，为的中点，此时圆形纸片的直径最小.
设，则，根据勾股定理得，，
，
故圆形纸片的最小直径为.
5．（1） 6（2）
[解析]边长为的正方形纸板做出题图1中的七巧板，
大等腰直角三角形的直角边长为4，中等腰直角三角形的直角边长为，小等腰直角三角形的直角边长为2，小正方形的边长为2，平行四边形的一组邻边长分别为2和.
（1）.
（2）如图，延长交于，设圆心为，连接，
小鱼图案外轮廓是轴对称图形，
垂直平分，
圆心在上，，
由题意可得，
设半径，
则，
在中，，
，解得，
即圆的半径为.
6．解:（1） ① 线段即为所求.
② 由①知,且点在直线上,连接,
,，
设该筒车的半径为,,
在中，,
即,解得.
该筒车的半径为.
（2） 过,分别作,,垂足分别为,,
易知 .
由题意得,
,
在中,, ,
,
在中,,,
即旋转后该盛水筒的竖直高度下降了.
7．解:（1） 是半圆的直径,
，
是的中点,,
,
,
四边形是圆的内接四边形,
.
（2） 连接,,
,
,,，
,
,
,
在中,,在中，边上的高为,
阴影部分的面积.
（3） 取的中点,连接,
,
在上截取,过点作，与半圆交于,两点,连接,,
在中,,
,即机动车的最大宽度为.
第2讲 与圆有关的位置关系
基础练
1．B 2．D 3．D 4．C
5．43
6．26
7．解：（1） 证明:连接,,
在和中,
,,,
,
,
又为半径，是的切线.
（2） 在中, ,,,
,,
,,
.
在中,，
即的半径为.
（3） 过作的垂线,交于点,交于点,过作交于点,连接，
,,，
,
由平移可知,在中,，
，
在中,，.
提升练
8．C 9．C
10．80
11．
12．
[解析]在正六边形中，,由图易得 ,,,.由,分别为，的内心，易得.如图,设与交于点.
由三角形内心的性质得,连接,,易得是等边三角形,
,
,
,
.
13．解：（1） 作于点,
在中,
,，
点到的距离为6.
（2） 与相切,,
,.
设,,则
,,
.
（3） 作于点,于点,由（1）得,
.
.
,.
，
即与之间的距离为.
（4） 5或25
[解析]详解:当点在点右边时,如图,过点作于,
在中，，
在中，，
，
由易知，设，
则，，，
，，
，即；
当点在点左边时，如图，过点作，交延长线于，
同理可得，，
设，则，，，，
，，.
综上，的长为5或25．
微专题9 圆中常见的辅助线作法
1．A 2．B 3．B 4．B 5．A 6．B
7．证明：连接，
，，
，， , ，
，，
，
，.
8．解：（1） 与相切.
证明：连接，
点是弧的中点，
，
，
，，，
为半径，是的切线.
（2） 连接，
是的直径， ，
在中，，.
设，则，
，，
，的半径为5．
9．解：（1） 证明：过点作于.
，.
平分，，
，
与相切.
（2） 在和中，
，，
，.
，均与相切，，
，
．
第3讲 与圆有关的计算
基础练
1．C 2．B 3．A
4．90
5．
6．
7．
8．解：（1） 连接,,
，
,,，
过点作于点,
则，
,,
,,
,
.
（2） 当与半圆相切时,连接,则 ，,，
， ，
.
当点与点重合时， .若线段与半圆有两个公共点,则 .
提升练
9．B 10．C
11．
12．（1） 是
（2） 1
13．；
14．解：（1） 过点作于点,连接.
, ,
.
中,,,
,
.
.
（2） 如图,点与点重合,由折叠可知被垂直平分,且点,,在上.
在中,.,即.
（3） 当在内部（包括边界）时,临界状态为与相切,如图,设切点为，连接，则.
延长交于点,的长即为与之间的距离.
易知.
.
在中,. , .
.
故当在内部（包括边界）时,度数的最小值为 .
第六模块检测
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．D
2．D
3．C
4．B
5．B
6．A
7．B
8．B
[解析]为直角三角形，
的外心是的中点，
当，重合时，最短，,
过作于，于，
垂直平分,,,,
,
易知四边形为矩形，
,
,,
.故选.
二、填空题（每小题5分，共20分）
9．2
10．65
11．
12．
三、解答题（共40分）
13．解：（1） 证明：，，，
， ，
，
，
即 ，，
又是半径，是的切线.
（2） 连接，
是的直径， ,
的半径为5，，
，
，，
，
，
设,,
在中，,
即,解得（负值舍去）,.
14．解:（1） 连接,则.
,,
即 .
.
由题意得垂直平分，
.
.
（2） 连接,,
为直径,点在线段上.
与相切,.
又, ，
即旋转角为 点走过的路线长为 .
15． 解：（1）证明:连接,,,,
由题意知,
,,
又,，
,
.
（2） 如图,连接交于点,则经过点,
由题意得与相切于点,
,
又,,
连接,,则,,
,
，
.
16．解：（1） 证明：连接，，
切于点，切于点，，，
，
，
，
，
，
．
（2） 连接，，
易证，
，
， ，
，
.
点恰在的平分线上，圆心在的平分线上，
，，三点共线，
，
的长,
斜坡的长.
（3） 连接，过点作于，
， .
与相切， ， ，，
，，
，
．
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