第七模块 图形的变化 （含答案） 2026年中考数学一轮复习考点专练（河北）

第七模块 图形的变化
第1讲 投影与视图
基础练
1．[2024张家口一模]在阳光照射下，矩形木框在地面上的影子不可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2025石家庄十八县二模]爱学习的小华将“数学很好玩”这五个字分别写在如图所示的方格纸中,现将这五个方格剪下（沿外部实线剪）,再沿实线折叠成无盖的正方体盒子,则哪个字所在面的相对面没有字？（ ）
A．数 B．学 C．很 D．好
3．[2025石家庄桥西质检]如图所示的几何体由五块相同的小正方体组成,则其俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
4．[2025石家庄新华质检]如图，这是某学校领奖台的示意图，其左视图为（ ）
A． B．
C． D．
5．[2025邢台结课考试]如图表示的是白天某一时刻两棵树及它们的影子，其中一棵树及影子被不透光的硬纸片遮住了，则遮住的可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．[2025秦皇岛海港一模]如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体.如果增加一个小正方体,将增加的小正方体放置到的右侧和的正上方,那么它的三视图变化情况是（ ）
A．只有主视图会发生改变 B．只有左视图会发生改变
C．只有俯视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变
7．[2025邯郸经开区一模]某几何体的俯视图如图所示,则该几何体可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．[2024保定一模]将一张矩形纸片沿虚线折叠，围成一个直三棱柱的侧面，尺寸如图所示，则的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．新考法[2025保定蠡县一模]如图是一个正方体的表面展开图，正方体相对面上的两个代数式的积相同，则为（ ）
A． B． C． D．
提升练
10．[2025秦皇岛山海关开学考试]图1的每一个正方形上都写有一个数字,可折叠成为图2的正方体,将正方体放在一个的正方形网格平台上,一次一个小格地按箭头所指的方向依次翻转.当正方体落在位置“☆”时,紧贴位置“☆”的一面上的数字为（ ）
图1 图2
A．1 B．3 C．5 D．6
11．[2025张家口万全摸底]如图是嘉嘉用6个相同的小正方体搭成的几何体，若淇淇拿走其中的个小正方体后，发现该几何体的左视图没有发生变化，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．[2025保定定兴一模]如图，将由6个棱长为1的小正方体组成的几何体在桌面上逆时针旋转 后，主视图的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
13．[2025唐山路北模拟]如图是一个正方体的表面展开图，将其折叠成正方体后，下面各点中到点的距离最大的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
14．[2025衡水模拟]一个长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，现在两部分已拼接完毕，如图所示，下列选项中能与它们拼成长方体的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
15．[2025邢台结课考试]图1是由9个大小相同的小正方体组成的几何体．
图1 图2 图3
（1） 在图2和图3中分别画出图1所示几何体的主视图和俯视图；
（2） 若从图1所示几何体中拿走个小正方体后，左视图没有发生变化，则的最大值是_ _ _ _ ．
16．新考法[2025河北样卷]风力发电是我国电力资源的重要组成部分.嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量其影子长度的方法进行计算.如图（图中所有点均在同一平面内，太阳光线视为平行光线），线段，，表示三片风叶，， ，某时刻，的影子恰好重合为线段，于点，测得，，同一时刻测得高为的标杆的影长为．
（1） 直接写出的度数及的长；
（2） 求风叶转动时点到地面的最小距离．
第2讲 图形的变换
课时1 图形的轴对称（含折叠）
基础练
1．[2025邢台一模]如图,若有一条线段与线段成轴对称,则这条线段可以是（ ）
A． B． C． D．
2．[2025邢台任泽摸底]在综合实践课上，同学们进行折纸活动，根据下列折纸的示意图（其中是点的对应点，是点的对应点），其中线段一定是的中线的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2025保定部分学校模拟]如图,四边形中,,点关于的对称点恰好落在上.若 ,则（ ）
A． B． C． D．
4．[2024保定曲阳期末]如图，中，点在上，分别以、所在直线为对称轴，画出点的对称点、，并连接、．根据图中标示的角度，可知的度数为_ _ _ _ _ _ _ _ ．
5．[2025邢台部分学校二模]如图,将沿直线折叠,使点落在线段上的点处,并测得 ,,,则_ _ _ _ _ _ .
6．[2025石家庄裕华质检]如图,在的正方形网格中,直线外有,两点.在直线上求一点,使得的值最小,则点的位置应选在点_ _ _ _ 处.（填图中的字母）
7．[2025石家庄模拟]如图1,在矩形纸片中,,,点是射线上一点,连接,将矩形纸片沿折叠,使点落在点的位置,交于点.
图1 图2 图3
【操作一】 如图2,当点与点重合时,求证:是等腰三角形.
【操作二】 如图3,当点在的延长线上时,设交于点,点落在点的位置,判断的形状.若,求该三角形的面积.
提升练
8．[2024石家庄正定一模]如图，在三角形纸片中，， ，点是边上的动点，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，当时，（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
9．[2025河北样卷]如图，中，，，将沿对角线折叠，使点落在平面上处．连接，若，则的长为（ ）
A．8 B． C．7.8 D．
10．[2025保定模拟]如图,已知,,,点为射线上一个动点,连接,将沿折叠,点落在点处,过点作的垂线,分别交,于,两点.
下列结论：①当点为的中点时,;
②当点为的三等分点时,或;
③当时, .
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
11．[2025石家庄质检]如图,在正六边形中,,点从点出发,以每秒3个单位长度的速度沿折线运动,运动时间为秒,过点的直线垂直于所在的直线,点与关于直线对称,连接.当的值最小时,的值为_ _ _ _ _ _ .
12．[2025石家庄模拟]如图,点,,连接,点为轴上点左侧的一点,点,分别为,上的点,点,关于直线对称.
（1） 当点,重合时,点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 当时,点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（3） 当最长时,的长为_ _ _ _ .
13．[2025邢台结课考试]在平行四边形中，点在折线上，点在边上，沿将平行四边形折叠，点的对应点为，点的对应点为，已知，．
图1 图2 备用图
（1） 已知 .
① 如图1，若点在边上，点落在边上，求的最大值；
② 如图2，若点在边上，点落在边上，，求点到的距离．
（2） 若点与点重合，点与点重合，连接，且，求的值．
课时2 图形的平移与旋转
基础练
1．[2024邯郸、邢台模拟]如图，与成中心对称，则对称中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
2．[2025保定竞秀一模]如图,绕点顺时针旋转 到的位置,点,的对应点分别是点,.下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2025河北样卷]如图，将绕点逆时针旋转 得到．当点，，在同一直线上， ，时，（ ）
A． B． C． D．
4．[2025保定蠡县一模]如图，在的正方形网格中，将平移到的位置，对于甲、乙的说法，下列判断正确的是（ ）
甲：线段的长可以看作平移的最短距离；
乙:连接，，四边形是平行四边形.
A．只有甲的说法对 B．只有乙的说法对
C．甲、乙的说法都对 D．甲、乙的说法都不对
5．[2024石家庄裕华校级二模]如图，在中， ， ，，将绕点顺时针旋转得到，当点落在边上时，线段的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
6．[2025沧州部分学校一模]如图，在中，， ，将绕点按逆时针方向旋转 后得到，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．12 D．
7．[2025石家庄裕华质检]如图,已知,两点的坐标分别为,,将线段平移得到线段.若点的对应点是,则点的对应点的坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ .
8．[2024唐山一模]如图，已知平面直角坐标系中点，，．
（1） 若线段绕点旋转，使点与点重合，设点的对应点为，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 若将线段绕另一点旋转一定的角度，可使得到的线段与（1）中的线段重合，则这个旋转中心的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ ．
提升练
9．[2024邯郸馆陶模拟]如图，在折线段中，，，可绕点旋转，线段上有一点，将线段分成两部分，可绕点旋转．旋转，，当线段，，首尾顺次相连构成等腰三角形时，的长可为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．[2025唐山路北模拟]如图,在中,,将绕点逆时针旋转得到,当点落在边上时,的延长线恰好经过点,则的长为（ ）
A．1 B． C． D．
11．[2024石家庄一模]如图，将一把三角尺绕点按顺时针方向旋转 ，得到，连接，且， ，则线段的长度为 （ ）
A． B． C． D．1
12．[2025唐山期末]如图，在中，，，．点为边上任意一点，连接，将绕点逆时针旋转 得到线段．当点恰好落在直线上时，旋转到所扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．
13．[2025石家庄模拟]如图，已知，分别在轴和轴上，将线段绕点顺时针旋转 至线段，连接，将沿轴正方向平移至.当曲线恰好同时经过点，时，_ _ _ _ ．
14．[2025廊坊安次一模]如图,在正方形中,,点在边上,,将线段绕点旋转,得到线段,连接,,当最大时,的长为_ _ _ _ _ _ _ _ .
15．[2025石家庄质检节选]如图1,在正方形中,,点,分别在边,上,.将绕点逆时针旋转,连接,所在直线交直线于点,连接.
图1 图2 图3
（1） 与的数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ,位置关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 如图2,当时,求证:;
（3） 如图3,若点与重合于左侧,且,求的值.
微专题10 图形的折叠、裁剪与拼接
1．[2024沧州任丘一模]如图1，在中，、分别是、的中点，将沿所在直线向下折叠，得到图2，下列关于图2的结论中，不一定成立的是（ ）
A． B．是等腰三角形
C．点落在边的中点处 D．
2．[2024石家庄正定一模]淇淇用六张图1中的纸片拼接出图2中的图形，图2中的图形的外轮廓是正六边形．如果用若干张纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正边形图案，那么的值为（ ）
图1 图2 图3
A．7 B．8 C．9 D．10
3．[2025重庆]如图,正方形的边长为2,点是边的中点,连接,将沿直线翻折到正方形所在的平面内,得,延长交于点和的平分线,相交于点,连接,则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．[2024沧州任丘一模]一张燕尾形纸片如图1所示，，延长，，分别交、于点，.如图2，沿，剪开纸片，恰好拼成一个正方形，如图3.则在图1中：
图1 图2 图3
（1） _ _ _ _ _ _ ；
（2） _ _ _ _ _ _ ．
5．[2025保定摸底]【情境】部分图形通过剪拼能够得到矩形．
【操作1】嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形．
图1
（1） 若，拼接时应将沿平移_ _ _ _ ．
【操作2】淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形．
图2
（2） 依据图中呈现的操作方法，可知与的数量关系为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，与的位置关系为_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【操作3】淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法剪拼成了矩形．
请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（在原图形上画图，裁剪线用虚线，矩形用实线）
图3
【操作4】嘉淇将如图4所示的菱形沿剪开，将筝形
沿剪开，之后通过旋转、平移的操作拼成了矩形.
若，，求的长．
图4
微专题11 几何最值问题
1．如图，在中， ，，，点是半径为2的上一动点，连接，点是的中点，则长度的最大值是（ ）
A．3 B．3.5 C． D．
[2025秦皇岛山海关开学考试]如图,在中, ,
,,点是边上一点.将绕点按顺时针方向旋转,得到,点是边上一点,且.针对的长度,甲、乙两人的说法如下:
甲:长度的最小值是;
乙:长度的最大值是.
下列判断正确的是（ ）
A．甲对,乙不对 B．甲不对,乙对
C．甲和乙都对 D．甲和乙都不对
3．[2024邯郸十三中三模]如图，在边长为1的菱形中， ，将沿射线的方向平移得到，分别连接，
，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
4．如图,的半径是6,是的弦,是上一点,,,点是上一动点,则点与点之间的最大距离是_ _ _ _ _ _ _ _ ；最小距离是_ _ _ _ _ _ _ _ .
5．[2025张家口万全摸底]如图，将沿弦向下翻折，使翻折后的弧恰好经过原所在圆的圆心，已知，若点是的中点，点在弦上，则周长的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ ．
6．[2025保定摸底]如图，等边的边长为4，点在边所在直线的下方（且在的内部），，，，的面积分别记为，，，．若，则线段长度的最小值是_ _ _ _ _ _ ．
[2025石家庄长安质检]如图,在中, ,
,是线段外一动点,,连接,将线段绕点逆时针旋转 得到线段,连接,,,则的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
8．[2025保定模拟]如图,正方形的边长为6,以点为圆心,2为半径作为上的动点,连接,并将绕点逆时针旋转 得到,连接.在点运动的过程中，的最大值是_ _ _ _ _ _ _ _ .
第3讲 尺规作图
基础练
1．[2025邢台一模]如图,根据尺规作图的痕迹,可以判断是的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
2．[2025廊坊广阳一模]如图,在的两边上分别截取,,使,分别以,为圆心,的长为半径画弧,两弧交于点,连接,,,,若,四边形的面积为,则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．[2024河北联考]下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在中， .
求作：的外接圆.
作法：如图2.
（1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于,两点；
（2）作直线,交于点；
（3）以为圆心，的长为半径作.即为所求作的圆.
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
图1 图2
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
4．[2025湖北]如图,内接于, .分别以点和点为圆心,大于的长为半径作弧,两弧交于,两点,作直线交于点,连接并延长交于点,连接,,则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．[2025保定莲池一模]如图,点是正六边形的中心,且,根据尺规作图痕迹,可得四边形的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ .
6．新考法[2025张家口一模] 如图1，已知直线以及直线外一点.
图1 图2
（1） 在图1中，请用直尺和圆规，经过点作垂直于的直线，垂足为点（不要求写作法，保留作图痕迹）．
（2） 在（1）的基础上，作图2，其中，点在上．设．
① 若 ，求的度数；
② 判断与的位置关系，并加以证明．
提升练
[2024石家庄新华一模]如图1，已知，画一个，使得.在已有 的条件下，图2，图3分别是嘉嘉、琪琪两位同学的画图过程．下列说法错误的是（ ）
图1 图2 图3
A．嘉嘉第一步作图是以为圆心，线段的长为半径画弧
B．嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是
C．琪琪第二步作图是以为圆心，线段的长为半径画弧
D．琪琪作图判定两个三角形全等的依据是
8．[2025邯郸一模]如图,以下是嘉淇通过尺规作图解决问题的部分过程:
①以点为圆心,适当长为半径画弧,分别交,于点,；
②以为圆心,长为半径画弧,与前弧交于点；
③作射线,与的延长线交于点,点为延长线上一点.
根据以上作法,下列结论不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
9．[2025石家庄桥西质检]如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、；②作直线交于点，连接.若， ，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C．为的外心 D．
10．[2025保定竞秀一模]如图1,矩形中,,,嘉嘉和琪琪各自利用尺规作图的方法在矩形内作出了一个新的四边形,作图痕迹如下图所示.
嘉嘉的作法:如图2,四边形.
琪琪的作法:如图3,四边形.
图1 图2（嘉嘉） 图3（琪琪）
下面对四边形和四边形的判断正确的是（ ）
A．四边形是矩形
B．四边形不是菱形
C．四边形的周长等于四边形的周长
D．四边形的面积为37.5
11．[2025邢台信都一模]如图,在中, .
（1） 尺规作图（不写作法,保留作图痕迹）:
①作边的垂直平分线,使交于点,交于点；
②过点作边的垂线,交于点，在线段的延长线上截取,使,连接,,.
（2） 若,四边形的面积为24,求,两点之间的距离.
第七模块检测
45分钟 满分：100分
一、选择题（每小题6分，共60分）
1．[2025唐山一模]如图,正方体展开图中每个小正方形内都有一个汉字,则原正方体的表面上,“心”字对面的字是（ ）
A．数 B．学 C．素 D．养
2．[2025石家庄晋州模拟]下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．[2025唐山丰润二模]已知图2为图1所示几何体的三视图,则观察几何体的主视方向是（ ）
图1 图2
A．① B．② C．③ D．④
4．[2025石家庄模拟]如图,将折叠,使点,重合,展开后,折痕与,分别交于点,点,连接,下列结论正确的是（ ）
A．一定平分 B．一定平分
C．一定平分的周长 D．一定平分的面积
5．[2025邢台信都一模]如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．[2025石家庄四区联考]如图是由五个小正方体组成的几何体,若要在图中序号对应的位置上添加一个小正方体,使得添加后该几何体的主视图和左视图均保持不变,则添加的位置应是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7．[2024石家庄新华二模]如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为16，阴影部分的面积为9．若，则等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
8．[2025唐山迁安二模]七巧板是中国古代人民创造的益智玩具.如图,用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图，若七巧板中最大的两块等腰直角三角形的直角边的长为,则拼出的“灵蛇开运”图的面积是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
9．[2025张家口桥东模拟]如图,在中,,, ,点是边上一点,点是边上一点,将四边形沿折叠,得到四边形,点的对应点为点,点的对应点为点,则的长为（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
10．[2025唐山路北二模]如图,在中, , ,为的中点,分别以点、为圆心,长为半径画弧,两弧交于点,分别以点、为圆心,长为半径画弧,两弧交于点,连接,,,,,.以下4个结论:
,,三点共线；②四边形为平行四边形；;.
其中正确的是（ ）
A．只有①② B．只有①②③
C．只有③④ D．①②③④
二、填空题（每小题6分，共12分）
11．[2025邢台任泽摸底]如图，嘉淇利用“ ，，”这些条件作时，她先作出了边和，在用圆规作时，发现以点为圆心，长为半径的圆弧与的另一条边交于和两个点，则的长为_ _ _ _ _ _ ．
12．[2025邯郸二模]如图,四边形是矩形纸片,,对折矩形纸片,使与重合,折痕为,展平后再沿折叠矩形纸片,使点落在上的点处,折痕与相交于点,与相交于点，再次展平,连接,,延长交于点.若为线段上一动点,是的中点,则的最小值是_ _ _ _ .
三、解答题（共28分）
13．（14分）[2025邯郸一模改编] 如图1,图2,中, ,
,.绕点逆时针旋转得到.
图1 图2
（1） 如图1,当时,与交于点,求证:;
（2） 若点落在上,连接，求的长;
（3） 如图2,点为的中点,若点落在射线上,的延长线交于,求的长.
14．（14分）[2025石家庄裕华质检] 综合与实践——数学拼图活动
问题情境 图1是一张菱形纸片,其中, .点是对角线上的一点,且,剪去（阴影部分）得到如图2所示的不规则多边形纸片.
图1 图2 图3 图4
数学思考
（1） 求图1中线段的长.
实践操作
（2） 在图2中,以连接某两个顶点的线段为裁剪线,使裁剪后的两部分纸片可拼接为如图3所示的五边形.在图2中画出裁剪线,在图3中画出拼接线.（要求:拼接时,两部分纸片无缝隙、不重叠且没有剩余）
（3） 图4是一个与图3全等的五边形.请你在图4中画一条裁剪线,使该五边形沿你所画的裁剪线剪开后,可以拼得一个矩形.要求:只能用无刻度的直尺作图,保留作图痕迹,标明裁剪线,并直接写出所拼得的矩形的周长.
第七模块 图形的变化
第1讲 投影与视图
基础练
1．C 2．B 3．D 4．B 5．A 6．A 7．C 8．D 9．D
提升练
10．C 11．C 12．A 13．C 14．A
15． 解：（1）主视图、俯视图如图所示.
（2） 5.
16．解：（1） .
（2） 过点作于点，过点作于点，
在中，由勾股定理得.易证，
，，.
由题意得，，,，.
在中， ，
.
当时，.
答：风叶转动时点到地面的最小距离为.
第2讲 图形的变换
课时1 图形的轴对称（含折叠）
基础练
1．D 2．A 3．C
4．
5．
6．
7．解:【操作一】 证明: 四边形是矩形,.
根据折叠的性质,得.
,,
,,
是等腰三角形.
【操作二】 在矩形中，，，由折叠得，，，是等腰三角形.
易证，.
,解得,
.
设,则,
在中,根据勾股定理可得,解得,
,.
提升练
8．A
[解析]如图1，，且点与点在直线的异侧，
图1
由折叠得，
，
，
， ；
如图2，，且点与点在直线的同侧，
图2
，且 ，
， .
综上所述， 或 ．
9．C
[解析]设与交于点,过点作于点,过点作于点,
由折叠得,,,易得,又,
,,
,即,设,,,,,即,,易得,,即，
.
10．B
[解析]由题意得四边形是矩形， ,，
，
，，
由折叠得.
当为中点时，，，
，解得，故①正确.
当时，
，，；
当时，
，，.
或，故②错误.
当时，如图，
，
，
，
，
，
故③正确.故选.
11．
12．（1）
（2）
[解析]如图1,由题可得,当时,,,.由对称可知,,，
，,,,
,
,
点的坐标为.
图1
（3） 2.5
[解析]如图2,当,重合时,最长，,.
在中,,
,，
,.
图2
13．解：（1） ① 过点作于，
四边形是平行四边形，
， ，
.
由题意得，，
当时，的值最小，即的值最小，的值最大，
的最小值为的长，即,
的最大值为.
② 过点作，交的延长线于点，连接，设，
， ，
，，
,
在中， ,，即，,
到的距离.
（2） 设交于点，
由题意得，，,
四边形是平行四边形，
，,
，，
，，
，
，，
，
，
，
，,
易证，
，.
过点作于，设,
由勾股定理得，
,
,.
课时2 图形的平移与旋转
基础练
1．A 2．C 3．B 4．C 5．D 6．B
7．
8．（1）
（2）
提升练
9．B
10．C
11．A
12．D
[解析]如图，当点落在直线上时，过点作于，过点作于．
则四边形是矩形．
在中，，，易知，，.
由旋转的性质可得， ，，，
.
旋转到所扫过的面积为 ，故选.
13．6
14．5或
[解析]由题意得点的运动轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，
当与相切时，最大.
当点在左侧时，如图1，，，.
过点作，交的延长线于点，易证，
，即，
，，
,
.
图1 图2
当点在右侧时，如图2，
同理可得，，
，
．
综上，的长为5或．
15． 解：（1） ；
（2） 证明:如图,过点作与的延长线交于点,
.在四边形中, ,
.
,
.
在正方形中,, ,,
.
,.
是等腰直角三角形.
,.
,
.
（3）过点作于点,
在中,,
.
,.
,.
,
,.
微专题10 图形的折叠、裁剪与拼接
1．C
2．C
3．A
[解析]连接，
四边形是正方形，
，，
点是边的中点，，
将沿直线翻折得，
，，，，
，，
.设，则，，
根据勾股定理可得，
即，解得，
，，
和的平分线，相交于点，
点到，，的距离相等，
，故选．
4．（1）
（2）
5．解：（1） 10
（2） ； .
（3） 补全剪拼过程和剪拼后的矩形如图.（答案不唯一）
（4） 如图，连接,由拼接知,设与相交于点,
四边形是菱形,,,,
在中,,
由勾股定理得,,
.
微专题11 几何最值问题
1．B
2．A
3．C
[解析]在菱形中，， ，
， ，
由平移得，，
，，
四边形是平行四边形，
，.
易得点在过点且平行于的定直线上.作点关于定直线的对称点，与定直线交于，连接交定直线于，则的长度即为的最小值.
在中， ，，，
，，
， ，
．故选.
4．；
5．
6．
[解析]设，相交于点.
，，
，
，
设中边上的高为，中边上的高为，则，
是等边三角形，
，
，
点在平行于，且到的距离等于的直线上，
当时，取得最小值，
线段长度的最小值为.
7．
[解析]由题意可得和都是等腰直角三角形，
，
，
即.
，，，，
．，，
，
当点在的延长线上时，取得最大值，为．
8．
[解析]连接,，如图.
由旋转的性质得, ， .
四边形为正方形，, ，，
,
，
在点运动的过程中，点始终在以点为圆心，2为半径的圆上运动，连接，当点运动到的延长线上时，的长最大，如图.
, ，
，
的最大值.
第3讲 尺规作图
基础练
1．D 2．B 3．D 4．C
5．
6．解:（1） 如图所示.
（2） ① , ,
.
又, .
② 垂直.
证明:延长交于点.
, .
又, .
, ,
,
,即.
提升练
7．C 8．C 9．A 10．D
11． 解：（1）①②如图
（2） 由（1）中的尺规作图过程可知, .
, 四边形为矩形..
易知，.
为的中点，.
又,.
.
,，.
.
连接,过点作,交于点,则四边形为矩形,
,,
.
，
即，两点之间的距离为.
第七模块检测
一、选择题（每小题6分，共60分）
1．B 2．A 3．C 4．A 5．C 6．B 7．B 8．B 9．B 10．B
二、填空题（每小题6分，共12分）
11．
12．
三、解答题（共28分）
13．解：（1） 证明：由旋转可知,.
,,
,.
（2） 如图,作于,
，，，则，,,,.
（3） 点为中点, ,
,.
,,
,.
作于,则为的中点,,,
.
易知,
,即,
.
14．解：（1） 如图,作于点,
,,
菱形中， ,
,.
（2） 如图,为裁剪线.
如图,或为拼接线.
（3） 如图,即为所求.
矩形的周长为.
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