第三模块 函数 （含答案） 2026年中考数学一轮复习考点专练（河北）
文档属性
| 名称 | 第三模块 函数 （含答案） 2026年中考数学一轮复习考点专练（河北） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-08 16:54:04 | ||
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文档简介
第三模块 函数
第1讲 平面直角坐标系与函数
基础练
1．[2025四川成都]在平面直角坐标系中,点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．[2025湖南]在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度到处，则点的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
3．[2024石家庄桥西质检]某种正方形合金板材的成本（元）与它的边长（厘米）成正比.当时，,则当成本为18元时，边长为（ ）
A．6厘米 B．4厘米 C．3厘米 D．厘米
4．[2024九地市摸底]小刚向空壶内匀速注水，壶内水的深度（单位：）与注水时间（单位：）的函数关系如图所示，选项中是各种水壶的平面示意图，则小刚使用的水壶是 （ ）
A． B．
C． D．
5．[2025衡水模拟]如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿的路径匀速散步，能近似表示小亮到出发点的距离与时间之间关系的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．跨学科[2025广西] 生态学家G.通过多次单独培养大草履虫实验,研究其种群数量随时间的变化情况,得到了如图所示的“”形曲线.下列说法正确的是（ ）
A．第5天的种群数量为300个 B．前3天种群数量持续增长
C．第3天的种群数量达到最大 D．每天增加的种群数量相同
7．新情境[2025邯郸摸底] 图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），为入口，，为出口，其中直行道为，，，且；弯道为以点为圆心的一段弧，且，，所对的圆心角均为 ．甲、乙两车由口同时驶入立交桥，均以的速度行驶，从不同出口驶出，两车到点的距离与时间的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法正确的是 （ ）
图1 图2
A．甲车在立交桥上共行驶
B．从口出比从口出多行驶
C．甲车从口出，乙车从口出
D．立交桥总长为
8．[2025邢台结课考试]平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则点到轴的距离是_ _ _ _ ．
9．[2025石家庄质检]某物流公司推行环保运输政策,通过分段计价引导客户集约化运输,并制定如下计价规则.
计价规则 货物质量不超过时,价格为6元/； 货物质量超过但不超过时,超过部分价格为5元/； 货物质量超过时,超过的部分价格为4元/,并一次性额外收取30元的碳排放附加费.
设货物质量为,运费为（元）.
（1） 若货物质量为,货物质量为,分别计算两个货物的运费；
（2） 当时,求关于的函数解析式；
（3） 若某货物的运费为170元,求该货物质量为多少.
提升练
10．[2025廊坊固安模拟]已知点在第四象限,点到轴的距离为,到轴的距离为,若,,满足,则的值为 （ ）
A． B． C． D．0
11．[2025保定一模]如图，把正六边形放置在平面直角坐标系上使点与原点重合，点在轴负半轴上.点，分别是，上的点，满足.已知，，那么点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
12．新情境[2025邢台部分学校二模] 如图1,一把张开的伞的伞柄总是平分同一平面内的两条伞架所夹的角,示意图如图2,点为伞托,可沿伞柄上、下移动,当伞完全闭合时,点、点重合.已知伞架,伞面的半径,.
设, ,且与 关系的大致图象如图3,同学们提出了下列两种说法:
说法一:;
说法二:当时,.
图1 图2 图3
下列判断正确的是（ ）
A．说法一、说法二都正确 B．说法一、说法二都不正确
C．说法一正确、说法二不正确 D．说法一不正确、说法二正确
13．[2025石家庄十八县二模]如图1,是的半径,点是的中点,点在上从点开始沿逆时针方向运动一周回到点,运动停止,设运动过程中的长为,的长为,图2是随变化的关系图象,则的值为（ ）
图1 图2
A．2 B． C． D．3
14．[2024石家庄十八县摸底]在平面直角坐标系中，点的坐标为是第一象限内任意一点，连接,.若 , ,则我们把叫作点的“角坐标”.
（1） 若点的坐标为,则点的“角坐标”为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 若点到轴的距离为1，则的最小值为_ _ _ _ .
微专题2 函数图象的分析与判断
1．[2024石家庄正定模拟]如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止.设注水时间为,（细实线）表示铁桶中水面高度，（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则,随时间变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．[2024石家庄长安质检]刘阿姨早晨从家里出发去公园锻炼，匀速走了后回到家.下图表示她出发后离家的距离与行走时间之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述刘阿姨行走路线的是（ ）
A． B．
C． D．
3．一段笔直的公路长20千米，途中有一处休息点,长15千米,甲、乙两名长跑爱好者同时从点出发.甲以15千米/时的速度匀速跑至点，原地休息半小时后,再以10千米/时的速度匀速跑至终点;乙以12千米/时的速度匀速跑至终点，然后在终点处休息.下列选项中,能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程（千米）与时间（小时）之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，过三角形纸片的一组邻边上的两点（不包括顶点）剪去一角，得到一个四边形，设剪去的这个角的度数为 ,图中的 ，则与的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．[2025唐山路南一模]甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2 400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了30分钟；③乙用12分钟追上甲；④乙到达终点时甲离终点还有380米.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．[2025石家庄部分学校学业考试]如图1，在矩形中，,是边上的一个动点，,交于点，设,，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ）
图1 图2
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图1，正方形中，点是边的中点，动点从点出发，在正方形的边上沿的路线匀速运动到点停止，设点的运动路程为，，图2是点运动时随变化关系的图象，根据图中的数据，可知点的坐标为（ ）
图1 图2
A． B．
C． D．
8．[2024石家庄十八县一模]如图，在矩形中，，，点从点出发沿路径运动，点从点出发沿路径运动，两点同时出发且运动速度均为每秒1个单位长度，当，两点到达点时停止运动，设两点的运动时间为秒，的面积为，则与之间函数关系的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．[2025石家庄长安质检]将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示,动点从点出发,沿路径匀速运动,速度为,点到达终点后停止运动,的面积与点的运动时间的关系如图2所示,以下结论:;；③点从点运动到点需要.其中正确的结论是 （ ）
图1 图2
A．③ B．①② C．①③ D．②③
10．[2025石家庄结课考试]如图，在中， ，，，和分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着和的方向运动，运动速度都是每秒1个单位长度，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为（秒），则与之间的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
第2讲 一次函数的图象与性质
基础练
1．[2024石家庄模拟]在如图所示的计算程序中，与之间的函数关系式所对应的图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2025秦皇岛学业考试]若正比例函数图象过点，则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象过第一、三象限
B．函数图象过点
C．函数值随自变量的增大而增大
D．函数图象向右平移1个单位后对应的函数解析式是
3．[2024石家庄裕华一模]如图，直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式组的整数解为（ ）
A． B． C． D．
4．[2025保定部分学校模拟]如图,平面直角坐标系中有一个的正方形网格,其中,,,是四个格点,随为任意常数的变化,点会经过的位置是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
5．[2024唐山摸底]如图，直线与两坐标轴交于，两点，点是线段上一动点（不与，重合）．过点作轴于点，轴于点.小明认为矩形的周长不变且始终为6；小红认为当点运动到线段的中点时，点到原点的距离最短，且最短距离为．关于两人的判断，下面说法正确的是（ ）
A．小明与小红都是正确的
B．小明与小红都是错误的
C．小明是正确的，小红是错误的
D．小明是错误的，小红是正确的
6．[2025沧州部分学校一模]如图，已知点，，一次函数的图象经过线段的中点，则的值为_ _ _ _ ．
7．[2025保定定兴一模]在平面直角坐标系中，，，直线与轴相交于点.
图1 图2
（1） 如图1，当点，关于轴对称，且直线经过点时，求的值；
（2） 如图2，当时，直线与线段存在交点（不与点，重合），且，求的取值范围．
8．[2025张家口一模]如图，直线与坐标轴交于点，，直线经过点,与交于点,点的横坐标为1．
（1） 求直线的解析式．
（2） 点是线段上一点，过点作垂直于轴的直线，分别与轴和直线交于点，．设点的横坐标为．
① 当时，求点的坐标；
② 若，求线段的长．
提升练
9．新考法 [2025江苏扬州] 已知,则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．[2025保定莲池一模]在平面直角坐标系中,已知点,点.若点与点关于直线成轴对称,则直线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
11．新考法[2025保定一模] 在平面直角坐标系中，点从原点出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度.例如：平移一次后点的坐标为或；平移两次后点的坐标为或或.点从点出发经过次平移后，到达直线上的点位置，平移的路径长不小于50且不超过56，则的值是（ ）
A．50或56 B．40或46 C．38或44 D．39或42
12．[2025石家庄桥西质检]如图，在平面直角坐标系中,正方形,正方形,正方形, 的顶点,,, 在轴上，顶点,,, 在直线上,若,,则有下列说法：
①点的坐标为；
②直线的表达式为；
;
④点的横坐标为.
其中说法正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③
13．[2025邢台一模]如图，在平面直角坐标系中,,,直线经过点、,直线与直线相交于点,直线与直线、分别相交于点、点.
（1） 求直线的解析式；
（2） 若点的横、纵坐标均为整数,求的值；
（3） 当时,点在点的正上方,求的取值范围.
第3讲 一次函数的应用
基础练
1．[2025石家庄新华质检]如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于点，，直线经过点，且与轴交于的中点，以，，为顶点的在第一象限内，将向左平移个单位，若平移后的的边始终与直线或直线有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．[2024衡水模拟]在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点为，，则直线的函数表达式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
3．[2025邯郸部分学校一模]某商店准备购进甲、乙两种商品共100件,商品甲的进价是40元/件,售价是50元/件；商品乙的进价是48元/件,售价是60元/件.设商品甲购进件,销售完购进商品所获得的总利润是元.
（1） 求与的函数关系式.
（2） 某同学说：“有一种进货方案,可获得利润980元.”这种方案存在吗 为什么
（3） 若计划购进商品甲的数量不低于商品乙数量的2倍,如何设计进货方案商店才能获得最大利润 最大利润是多少
4．跨学科 [2025保定竞秀一模] 如图,平面直角坐标系中,放置一平面镜,其中,的坐标分别为,.从轴上一光源处发射的光照射到平面镜上（含端点），入射光线.
（1） 请说明:入射光线必过点.
（2） 求入射光照射到镜面上时,的取值范围.
（3） 一条感光带置于轴上,其中,的坐标分别为,,光照到感光带任何一点,感光带都会发光.请判断从处发射的光经平面镜反射后能否使感光带发光.若能,请直接写出的取值范围;若不能,请说明理由，并直接写出将平面镜至少向右平移多少个单位长度，反射的光才能使感光带发光.
提升练
5．[2024邯郸武安二模]某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道,长度为的金属滑块在上面往返滑动.如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为,滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿,然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止.设时间为时，滑块左端离点的距离为,右端离点的距离为,记,与具有函数关系，已知滑块在从左向右滑动过程中，当和5.5时，与之对应的的两个值互为相反数;滑块从点出发到最后返回点,整个过程总用时（含停顿时间）.请你根据所给条件解决下列问题：
（1） 滑块从点到点的滑动过程中，的值_ _ _ _ _ _ _ _ ;（填“由负到正”或“由正到负”）
（2） 滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式；
（3） 在整个往返过程中，若,求的值.
6．新角度 [2025保定莲池一模] 媛媛在斜坡上进行跑步训练.在训练过程中,始终有一架无人机在媛媛正上方随她一起运动,无人机速度为,距水平地面的高度总为.现就媛媛训练中部分路段作出如下函数图象.已知,斜坡的坡度,斜坡的坡角为 .
（1） 求点的坐标,以及段关于的函数解析式.
（2） 媛媛在斜坡上跑步的平均速度是多少？
（3） 在媛媛跑步训练过程中,求无人机与媛媛之间距离不超过的时长参考数据:,,
7．[2025石家庄裕华质检]如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点,直线与轴交于点,与交于点.点为轴正半轴上一动点,过点作轴的垂线，与直线,分别相交于,两点,过点作轴交直线于点.
（1） 求的值及的函数表达式.
（2） 当时,求点的坐标.
（3） 以,为边作矩形,当点在运动过程中,试探究的运动轨迹是不是在一条直线上.若是,直接写出该直线解析式;若不是,请说明理由.
8．新角度[2025唐山一模] 定义:平面直角坐标系中,对于,两点,称为,两点的“折线距离”,记为.
【探究应用】
平面直角坐标系中,，.
图1 图2 图3
（1） 如图1,轴,轴,_ _ _ _ .
（2） 如图2,一次函数的图象与轴交于点,与轴交于点,在线段上任取一点,是不是定值 如果是,请求出的值；如果不是,请说明理由.
（3） 如图3,若点是直线上一动点,画出满足的所有点构成的线段,并直接写出此线段的长度.
（4） 直接写出满足的所有点围成的图形的面积.
第4讲 反比例函数
基础练
1．[2024石家庄桥西质检]若,互为倒数，则反比例函数的图象所在的象限为（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
2．[2025廊坊安次一模]如图,在平面直角坐标系中有,,,四个点,其中恰有三点在反比例函数的图象上,根据图中四点的位置,其中不在反比例函数图象上的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
3．[2025秦皇岛学业考试]矩形的面积是，它的长与宽之间的函数关系大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．[2025沧州学业考试]如图,矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上,点的坐标为,则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．[2025石家庄裕华质检]某种气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的压强是气球体积的反比例函数,其图象如图所示.当气球内的压强大于时,气球将会爆炸,为了安全,气球的体积应该（ ）
A．不大于 B．大于
C．不小于 D．小于
6．[2025石家庄长安质检]如图,点在反比例函数的图象上,点在反比例函数和的图象之间,轴,写出一个符合条件的点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ .
7．[2025秦皇岛海港一模]已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和点,如图，当时,自变量的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
8．[2025邯郸摸底]如图，在边长为1的正方形网格上建立直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被擦掉了一部分，已知点，在格点上，则_ _ _ _ ．
9．[2025保定部分学校模拟]如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与轴,轴分别交于,两点,与反比例函数的图象交于点.若,则的值为_ _ _ _ .
10．[2025秦皇岛学业考试]如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线,相交于点，反比例函数的图象经过点.
（1） 求这个反比例函数的表达式；
（2） 画出反比例函数的图象；
（3） 将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求矩形平移的距离.
提升练
11．[2025保定一模]如图，一个厚度，宽度可以任意调节的长方体盒子，里面装有一定量的水，随着的变化，水面高度也发生变化.设，水面高度为，则随变化的函数图象是如图所示的曲线，它与直线只有一个公共点，则盒子里水的体积是（ ）
A． B． C． D．
12．[2025唐山一模]如图,点,在反比例函数的图象上,点,在反比例函数的图象上,轴,,,与之间的距离为1,则的值是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．8
13．[2025沧州献县模拟]如图,,是反比例函数的图象上的两点,若是等腰三角形,且, ,则的值是_ _ _ _ .
14．[2025保定莲池一模]已知在平面直角坐标系中,反比例函数的图象如图所示,,连接,过点作轴的垂线,垂足为.
（1） 当反比例函数的图象经过线段的中点时,的值为_ _ _ _ _ _ ；
（2） 当反比例函数的图象把线段上横、纵坐标均为整数的点分布在其左右两侧,且左侧点的个数∶右侧点的个数时,的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
15．[2025石家庄模拟]如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，，一次函数的图象与轴交于点.
图1 图2
（1） 求反比例函数和一次函数的解析式；
（2） 连接，，求的面积；
（3） 如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转 ，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标．
第5讲 二次函数的图象与性质
课时1 二次函数的图象与性质
基础练
1．[2025邢台结课考试]在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
2．[2024沧州一模]若抛物线经过，两点，则抛物线的对称轴为直线 （ ）
A． B． C． D．
3．[2024石家庄摸底]以下是四位同学以接力的方式将二次函数化为顶点式的过程，每位同学只能看到上一步的结果并负责接下来的一步，其中出错的步骤有（ ）
解：
.④
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
4．[2025沧州学业考试]一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．[2025张家口一模]点在函数的图象上，已知，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．[2025秦皇岛山海关开学考试]二次函数的图象经过点,,已知,的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．[2025唐山期末]若抛物线的顶点在轴上，则_ _ _ _ ．
8．[2024沧州一模]设二次函数、的图象的顶点坐标分别为、，若，，且两图象开口方向相同，则称是的“同倍项二次函数”．
（1） 写出二次函数的一个“同倍项二次函数”；
（2） 已知关于的二次函数和，若是的“同倍项二次函数”，求的值．
提升练
9．新情境 [2025沧州部分学校一模] 已知点为抛物线上一点，在透明胶片上描画出包含点的抛物线的一段，向上平移该胶片得到点和抛物线，如图．已知抛物线的顶点的纵坐标为，且，则平移得到的点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．[2025石家庄结课考试]如图，二次函数的图象经过点,，顶点在第四象限，以下是两位同学的说法，则（ ）
嘉嘉：由题意可知，与的关系为．
琪琪：由题意可知，的范围是．
A．只有嘉嘉的说法正确 B．只有琪琪的说法正确
C．两人的说法都正确 D．两人的说法都不正确
11．[2024唐山摸底]如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点的坐标为．
（1） 请求出抛物线的解析式及对称轴．
（2） 当点在抛物线上时，求的值．
（3） 过点作轴的垂线，分别与轴、抛物线交于点，．若，，三点不重合，当其中两点关于第三点对称时，直接写出的值．
12．[2025承德期末]如图1，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
图1 图2
（1） 求抛物线的解析式及点的坐标.
（2） 如图2，点，为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴，交于点，过点作轴，交于点．
① 求直线的解析式；
② 求的最大值及此时点的坐标．
课时2 二次函数与方程、不等式的关系
基础练
1．[2025保定部分学校模拟]已知抛物线与轴交于点和,则的值为（ ）
A． B． C．3 D．7
2．[2024保定竞秀开学考试]二次函数，，为常数，且中，与的部分对应值如下表：
… 1 2 3 4 …
… 0 1 0 …
有以下结论：
①该二次函数图象开口向上；②当时，该二次函数取最大值1；③当时，；④若点，在该二次函数图象上，则；⑤关于的方程没有实数根.
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②⑤ C．②③⑤ D．②③④⑤
3．[2025邢台结课考试]如图所示的抛物线对称轴为直线，且经过点，嘉嘉和淇淇作出如下判断：
嘉嘉：.
淇淇：若是实数，则.
对于这两个判断，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对
C．嘉嘉对，淇淇不对 D．淇淇对，嘉嘉不对
4．[2025衡水期末]如图,抛物线与直线的两个交点坐标分别为,，则关于的方程的解是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
5．[2025唐山路北模拟]如图,抛物线与轴交于点,,把抛物线在轴及其上方的部分记作,将向右平移得到,与轴交于,两点.若直线与始终有公共点,则的最大值是_ _ _ _ _ _ _ _ .
6．[2024石家庄平山摸底]在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比横坐标大2，则把这样的点称为“龙点”，例如，点,都是“龙点”.如图，抛物线为常数与轴交于点,.
（1） 写出抛物线的对称轴，并求当抛物线与轴的交点恰为“龙点”时，的值.
（2） 我们发现，若用来表示“龙点”，则无论怎样变化，“龙点”始终在一条确定的直线上.
① 直接写出直线的解析式；
② 当抛物线上有两个不同的“龙点”时，求的取值范围.
提升练
7．[2025保定竞秀开学考试]如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点在线段上运动，轴，，，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．当时，一定有随的增大而增大
C．
D．若点的坐标为，则点的坐标为
8．[2025石家庄十八县一模]如图,二次函数的图象与轴交于,两点,与轴交于点,且对称轴为直线,点的坐标为,则有以下的五个结论:
；；③当时,或；；为实数.
其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．②③④⑤
9．[2025保定一模]在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点.已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
10．[2025石家庄开学考试]在平面直角坐标系内，已知点，点都在直线上，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
11．[2025唐山遵化二模]某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式，通过输入不同的，的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象.
图1 图2
（1） 若输入，，得到如图1所示的图象，求顶点的坐标及抛物线与轴的交点，的坐标.
（2） 已知点，.
① 若输入，的值后，得到如图2所示的图象且图象恰好经过，两点，求出，的值；
② 淇淇输入的值，嘉嘉输入，若得到二次函数的图象与线段有公共点，求淇淇输入的的取值范围.
课时3 二次函数图象与性质的应用
1．[2025邯郸经开区一模]如图,抛物线与交于点,有以下结论:
①无论取何值,总是负数；
可由向右平移3个单位,再向下平移3个单位得到;
③当时,随着的增大,的值先增大后减小.
下列说法正确的是（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确
C．只有③不正确 D．①②③都正确
2．[2025秦皇岛抚宁期末]如图1，在正方形中，动点，分别从点，同时出发，以相同的速度匀速运动到点，停止，连接，，.设点运动的路程为，的面积为，与之间的函数关系图象如图2所示，则正方形的边长是（ ）
图1 图2
A．4 B． C．6 D．
3．[2025廊坊霸州摸底]已知直线过点,,二次函数的图象和直线交于点,在的左侧,若,则满足条件的的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．[2025保定摸底]已知一元二次方程没有两个不相等的实数根，且二次函数的最小值为3，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．[2025唐山一模]已知平面直角坐标系中,二次函数的图象交轴于点.若将点向右平移4个单位,再次落在该函数的图象上,则的值为_ _ _ _ .
6．[2024保定莲池一模]在平面直角坐标系中，点和在抛物线上，设该抛物线的对称轴为直线.
（1） 当时，的值为_ _ _ _ _ _ ；
（2） 若,则满足条件的整数有_ _ _ _ 个.
7．[2024保定竞秀模拟]点在抛物线，均为常数且上，交轴于点，连接．
（1） _ _ _ _ _ _ _ _ （用含的代数式表示）.
（2） 横、纵坐标都是整数的点叫作整点．如图，当时，若在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有5个整点，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
8．[2025石家庄结课考试]已知函数．
（1） 若，则该函数图象与轴的交点坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 当时，函数的最小值为4，则的值为_ _ _ _ ．
9．[2024石家庄新乐模拟]已知二次函数的图象过点,顶点坐标为
.
（1） 求这个二次函数的表达式；
（2） 与轴相交于,两点（点在点左侧），求,两点坐标；
（3） 将向上平移个单位长度，与轴相交于,两点，若点在线段上，求的取值范围.
10．[2025石家庄质检]如图,抛物线与轴交于,两点,抛物线与轴交于点和点,其中.抛物线,与轴分别交于点,.
图1 图2
（1） 求,两点的坐标；
（2） 如图1,当点，重合时,求抛物线的表达式及其顶点坐标;
（3） 如图2,连接,若抛物线的顶点落在由线段及抛物线围成的封闭图形内部（不含边界）,求的取值范围.
11．[2024廊坊广阳一模]如图，抛物线与轴交于,两点，与轴交于点，是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为,抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象.
备用图
（1） 求抛物线的解析式.
（2） 当符合什么条件时，图象对应函数的最大值与最小值的差为4？
（3） 将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，若抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的最短路程.
第6讲 二次函数的综合应用
1．[2025廊坊结课考试]如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点.将抛物线位于点左侧的部分绕点旋转 得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若四边形为矩形，则，应满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
2．[2025衡水模拟]已知二次函数，截取该函数图象在间的部分记为图象，设经过点且垂直于轴的直线为，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，图象在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象，若新函数的最大值与最小值的差不大于5，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．[2025邢台任泽摸底]如图，矩形的三个顶点坐标分别为，，．二次函数（其中为常数）的图象在矩形内（不含边界）的部分均为随的增大而减小，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
4．[2025石家庄十八县二模节选]如图,抛物线过点,与轴交于点和点（点在点左侧）,与轴交于点.顶点的坐标为.
（1） 求抛物线的表达式和点的坐标；
（2） 点是线段上一动点,求周长的最小值.
5．[2025邯郸一模]如图,中, ,,.以为原点,直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系.抛物线过点,与轴正半轴的交点记为点.
（1） 用含的代数式表示.
（2） 若点坐标为,是抛物线上一动点,且在点,之间，过点垂直于轴的直线交折线段于点.
① 求抛物线的解析式；
② 若为抛物线的顶点,求的长；
③ 若记②中的长为,改变的位置,使得,请直接写出满足条件的的横坐标的取值范围.
6．[2025石家庄裕华质检]如图①,在平面直角坐标系中,二次函数的图象经过原点和点,点,,与抛物线交于点.连接、.
图① 图②
（1） 的长度为_ _ _ _ .
（2） 的长度为_ _ _ _ .
（3） 求这个二次函数的表达式.
（4） 如图②,点从点出发,沿射线向点运动；同时,点从点出发,沿射线向点运动.两点运动的时间为秒,速度均为1个单位长度/秒,当点到达点时停止运动,点也随之停止运动.作轴,交于点，连接.直接写出当直线垂直于的一条边时,的值.
7．[2025保定莲池一模]已知抛物线交轴于、两点,交轴于点,矩形各顶点坐标分别是,,,.
（1） 求抛物线顶点的坐标,以及与轴交点的坐标,并求的长度.
（2） 抛物线是原抛物线通过平移得到的新抛物线,此抛物线与轴的交点为和在的左侧,若线段的长度范围为,则的取值范围是多少？
（3） 若抛物线与轴的交点为,顶点为,当为何值时,以、、、为顶点的四边形为菱形？（直接写出答案）
第7讲 二次函数的实际应用
基础练
1．[2025保定竞秀开学考试]用总长为米的材料做成如图1所示的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为平方米，关于的函数图象如图2所示，则的值是（ ）
图1 图2
A．16 B．12 C．8 D．4
2．新情境 [2024石家庄平山摸底] 一个装满水的水杯竖直放置在水平桌面上时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线,都是抛物线的一部分，已知水杯底部宽为，水杯高度为,杯口直径为，且.以杯底的中点为原点，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系.
图1 图2
（1） 轮廓线,所在的抛物线的解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 将水杯绕点倾斜倒出部分水，杯中水面.如图2，当倾斜角 时，水面宽度_ _ _ _ .
3．[2025廊坊安次一模]掷实心球是中招体育考试的选考项目,图①是一名女生在掷实心球,实心球行进路线是一条抛物线,行进高度与水平距离之间的函数关系如图②所示,掷出时起点处高度为,当水平距离为时,实心球行进至最高点处.
图① 图②
（1） 求抛物线的表达式.
（2） 根据中招体育考试评分标准（女生）,投掷过程中,实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于,此项考试满分为10分.该女生在此项考试中是否得满分？请说明理由.
（3） 在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下,提高掷出点,可提高成绩.当掷出点的高度至少达到多少时,可得满分？
4．[2025唐山路北模拟]某商贸公司购进的某种商品成本为20元/,经过市场调研发现,这种商品在未来30天的销售价格（元/）与时间（天）之间的函数关系式为为整数,且日销量与时间（天）之间的变化规律符合一次函数关系,如表:
时间天 1 3 6 10 …
日销量 142 138 132 124 …
（1） 求与的函数关系式.
（2） 哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3） 在实际销售中,公司决定每销售商品就捐赠元利润给当地福利院,后发现:在这30天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大,求的取值范围.
提升练
5．新角度[2025河北样卷] 如图，斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从处喷出的水流恰好落在处，水流呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系，得到点，点．已知喷水管及所有树木都与垂直，抛物线的解析式为.
（1） 求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标．
（2） 若抛物线恰好过小树的树顶，点在斜坡上，且点到，两点距离相等，求点的坐标．
（3） 若，为两棵等高小树在左侧，小树粗细忽略不计，点，均在斜坡上且与点不重合，抛物线恰好经过，两点．
① 当时，求的长；
② 直接写出的横坐标的取值范围．
6．[2024唐山一模]如图1，灌溉车为观光绿化带浇水.图2为喷水口喷水的横截面，该喷水口离地竖直高度为.可以把喷出水的上、下边缘分别抽象为两条抛物线的一部分，把绿化带横截面抽象为矩形,其中,.下边缘抛物线由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口,喷水口到绿化带的水平距离为（单位：）.
图1 图2
（1） 求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程;
（2） 通过计算求点的坐标；
（3） 绿化带右侧（图中点的右侧）1米外是人行道，要使喷出的水能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人，直接写出的取值范围.
7．新情境 [2025秦皇岛海港一模] 琪琪在学习二次函数之后,想用二次函数的知识解决生活中的实际问题.她观察发现,家中有一款铁艺工艺品（厚度忽略不计）,它由两个成轴对称的“花瓣”构成,图1是该工艺品的平面示意图,“花瓣”外边缘可以近似地看成抛物线形,内边缘是线段.如图2,两个“花瓣”公共顶点为,对称轴为直线,内边缘为线段,,琪琪测得外边缘上一点与点水平距离为时,点到对称轴的距离为,点与点水平距离为,点到对称轴的距离为.
图1 图2 图3
（1） 如图3,以为原点,以直线为轴，建立平面直角坐标系.
① 求出对称轴上方抛物线的解析式；
② 点在抛物线上,且点到对称轴的距离最大,求点的坐标.
（2） 如图3,琪琪想在工艺品上安装4条竖直的铁丝,每条铁丝的两端分别固定在同一“花瓣”的内、外边缘上,且使得安装后的工艺品仍然关于直线对称.琪琪说:总长的铁丝一定够用（不考虑损耗）.你认为琪琪的说法对吗 并说明理由.
（3） 琪琪想:若把这个“花瓣”形工艺品平放在一个正方形的托盘中,这个正方形托盘边长（单位：）的最小值是多少呢 请直接写出这个最小值.
8．新考法[2025张家口一模] 如图，滑道是抛物线的一部分，滑道起点在轴的正半轴上，顶点在轴的正半轴上，，，终点可以沿抛物线调节，设点的横坐标为．一个小球（看作一点）从点发射出去，沿着滑道滑动，并从点滑出，滑出后运动路线也是某抛物线的一部分（设其解析式的二次项系数为），其顶点为，点，关于点成中心对称．
（1） 求的解析式．
（2） 若，小球沿能砸中点吗？请通过计算说明理由．
（3） 淇淇发现，的值与无关．请你验证这个结论．
（4） 在空中停留一物体（可看作线段），，，若小球不会撞到这个物体，直接写出的取值范围．
微专题3 二次函数中的最值问题
1．[2025石家庄十八县摸底]如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．
2．已知二次函数的表达式为,当时，函数有最大值,则的最小值是_ _ _ _ _ _ .
3．某水果店包装一个果篮需要，两种水果，种水果的单价比种水果的单价少3元，用600元购进种水果和用900元购进种水果的质量一样，包装一个果篮需要种水果4千克和种水果2千克，每个果篮还需包装费8元.市场调查发现：设每个果篮的售价是（元）是整数，该果篮每月的销量（个）与售价（元）的关系式为.
（1） 求一个果篮的成本（成本进价包装费）；
（2） 若每月的利润是（元），求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3） 若每个果篮的售价不超过元是大于70的常数，且是整数，直接写出每月的最大利润.
4．[2024石家庄桥西摸底]如图1，抛物线与轴交于点，,与轴交于点.
图1 图2
（1） 求抛物线的函数表达式．
（2） 如图2，为上一点，当点从点向点匀速运动时，过点作交抛物线于点，交直线于点，连接,．求的最大值．
5．[2025秦皇岛山海关开学考试节选]如图,在平面直角坐标系中,抛物线交轴于,两点（点在点左侧）,交轴于点.
（1） 求点,的坐标；
（2） 将抛物线绕某点旋转 得到抛物线,且也经过,两点,求抛物线的解析式；
（3） 在（2）的条件下,点为抛物线上，之间的一点,作轴交于点，求线段长度的最大值.
6．[2025邯郸摸底]如图，抛物线为常数．
（1） 求证：抛物线一定与轴有两个交点，并且这两个交点分布在原点的两侧.
（2） 当抛物线经过点，时，
① 求抛物线的顶点坐标，并求出抛物线与轴在原点右侧的交点坐标；
② 当时，函数的最大值与最小值的差总为，求的取值范围．
7．[2025秦皇岛学业考试]如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且点与点的坐标分别为、，点是抛物线的顶点．
（1） 求二次函数的解析式.
（2） 点为线段上一个动点，过点作轴于点.设点的横坐标为，的面积为．
① 求与的函数解析式，写出自变量的取值范围；
② 求的最大值．
微专题4 二次函数图象中的公共点问题
1．课堂上，老师给出一道题目：“如图，将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，翻折后得到的图形与抛物线在轴及其上方的部分记为,已知直线与图象有两个公共点，求的取值范围.”甲同学的结果是,乙同学的结果是.下列说法正确的是（ ）
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙结果合在一起才正确
D．甲、乙结果合在一起也不正确
2．[2025河北样卷]如图，正方形的三个顶点坐标分别为，，．抛物线经过点，顶点坐标为，将此抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图象．若直线与图象有唯一交点，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或或
3．[2024邯郸武安二模]对于二次函数,定义函数是它的相关函数.若直线与二次函数的相关函数的图象恰好有两个公共点，则的值可能是（ ）
A． B．0 C． D．2
4．[2025沧州南皮一模]如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为．已知点，，将函数图象向上平移个单位长度，若平移后的函数图象与线段只有一个公共点，则的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C． D．或
5．在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为和,抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
6．[2025张家口万全摸底]如图，已知抛物线，线段，若抛物线和线段有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数的值为_ _ _ _ ．
7．在平面直角坐标系中，已知点，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点.
（1） 点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 若抛物线与线段有公共点，求的取值范围．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点点在点的右侧，顶点为点.
（1） 求的长；
（2） 反比例函数的图象记作.
① 若点落在轴上，抛物线与图象的交点在第三象限，点的横坐标为,且，求的取值范围；
② 已知图象经过点,点,若抛物线与线段有唯一的公共点（包括线段的端点），求的取值范围.
9．如图，抛物线常数与轴的交点从左到右为，，过线段的中点作轴，交双曲线于点，且.
（1） 求的值；
（2） 当时，求的长，并求直线与的对称轴之间的距离；
（3） 把在直线左侧的部分（含与直线的交点）记为图象，用表示图象的最高点的坐标；
（4） 设与双曲线有个交点的坐标为，且满足，通过的位置随变化的过程，直接写出的取值范围.
第三模块检测
45分钟 满分：100分
一、选择题（每小题6分，共48分）
1．[2024石家庄新乐模拟]点到轴的距离是 （ ）
A．2 B． C． D．4
2．[2025唐山迁安二模]如图,用四根木条制作一个平行四边形框架,现将它的一组对角慢慢向两边拉动,直至变为矩形框架,在这个变化过程中,设平行四边形的面积为,其中一边上的高为,则与之间的函数图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
3．[2025唐山丰润二模]在平面直角坐标系中,反比例函数的部分图象如图所示,图象上有一点,且轴于点,点在轴上,若的面积为2,则的值为（ ）
A． B．4 C．2 D．
4．[2024唐山模拟]下列结论：①若，在直线上，且，则；②若直线经过第一、二、三象限，则，；③若一次函数的图象交轴于点，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．[2025邯郸一模]定义新运算:按此规定可得的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．[2025张家口一模]如图1，在中， ，，点在上，，点为上一动点，连接，.设，，图2是点从点运动到点的过程中与之间的函数图象，为最低点．甲、乙、丙三名同学分别得到了如下结论：
甲：点的纵坐标为6；
乙：点的纵坐标为；
丙：点的纵坐标为．
则下列判断正确的是（ ）
图1 图2
A．甲错，乙、丙都对 B．甲、丙都错，乙对
C．甲、乙、丙都对 D．甲、乙、丙都错
7．[2025唐山玉田二模]如图,已知二次函数的图象与轴交于点、,与轴交于点.若点为抛物线上的一点,点为对称轴上的一点,且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形,则满足条件的点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．[2024邢台信都摸底]如图，二次函数的图象与轴的交点、的横坐标分别为3和，该图象与轴围成封闭图形，图形内部（不包含边界）恰有4个整点（横、纵坐标均为整数的点），系数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题6分，共24分）
9．[2024石家庄裕华质检]验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，关于的函数图象如图所示.经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则眼镜的度数减少了_ _ _ _ 度.
10．[2025邢台一模]如图,已知点和点均在双曲线上,点的横坐标为,连接交轴于点,点的横坐标为,用含的代数式表示，则_ _ _ _ _ _ .
11．[2025保定竞秀一模]在平面直角坐标系中,嘉琪做走棋的游戏,其走法是:棋子从原点出发,第1步向右走1个单位,第2步向右走2个单位,第3步向上走1个单位,第4步向右走1个单位……依此类推,第步的走法是当能被3整除时,则向上走1个单位;当被3除,余数为1时,则向右走1个单位;当被3除,余数为2时,则向右走2个单位.当走完第50步时,棋子所处位置的坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
12．[2024邢台一模改编]规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点，双曲线经过点,直线与轴相交于点，与双曲线相交于点，线段,及,两点之间的曲线所围成的区域记作.
（1） _ _ _ _ ；
（2） 若区域（不包括边界）内的整点的个数为3，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
三、解答题（共28分）
13．（13分）[2025石家庄二模] 在平面直角坐标系中,已知直线过,两点,直线.
（1） 若直线与直线交于点，
① 求直线的函数解析式；
② 当时,请直接写出的取值范围.
（2） 将线段在平面直角坐标系内平移得到线段,其中点的对应点为点,点的对应点为点.若平移后点落在直线上,此时关于的函数图象必经过一个定点,请求出该定点的坐标.
14．（15分） [2025张家口二模]如图,抛物线经过点,,点是抛物线的顶点.
（1） 求,的值及点的坐标.
（2） 将抛物线平移,使其顶点落在轴上,得到抛物线.
① 直接写出抛物线平移的最短路程及此时抛物线的顶点坐标；
② 在①的条件下,抛物线上有一个动点,其横坐标为,当时,点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2,求的取值范围.
第三模块 函数
第1讲 平面直角坐标系与函数
基础练
1．B 2．B 3．C 4．A 5．C 6．B 7．B
8．2
9．解:（1） 当时,；当时,.
货物,的运费分别为48元、85元.
（2） 当时,.
（3） 当时,， 当运费为170元时,.
，解得.
该货物质量为.
提升练
10．C 11．C 12．A 13．C
14．（1）
（2） 90
[解析]若取得最小值,则取得最小值,根据三角形内角和定理可得需取得最大值.如图,当以中点为圆心,1为半径的圆与直线相切于点时,最大,且 .
的最小值为90.
微专题2 函数图象的分析与判断
1．C
2．C
3．A
4．C
5．C
6．A
7．C
8．A
9．C
10．A
[解析]如图，连接，作于点，则，
点是中点，.
点,分别是,的中点，
,.
当时，点在上，点在上，，
.
如图，当时，点在上，点在上，
，
，，，
.
如图，当时，点、都在上，
.
综上，选项中的图象符合题意，故选.
第2讲 一次函数的图象与性质
基础练
1．B 2．D 3．C 4．A 5．A
6．5
7．解:（1） 点，关于轴对称，
，解得，
.
直线经过点，
，解得．
（2） 当时，.
直线与线段存在交点，
点的纵坐标为2.
当时，，解得，即点的坐标为.
，且点不与点，重合，
，解得.
故的取值范围是．
8．解:（1） 设直线的解析式为．将代入直线的解析式，得，．
直线经过点，，
解得
直线的解析式为．
（2） ① 当时，，
．
将代入，得，
．
② 由题意，得．
，，
解得，．
令，解得，
，，
即线段的长为2.
提升练
9．D
10．C
11．D
[解析]设点从点出发经过的次平移中次向上平移，则次向右平移， 平移后的点坐标为.由点在直线上可得，解得，
平移的路径长.
平移的路径长不小于50且不超过56，,，
易知点的坐标为正整数，是3的倍数,即可以取39、42,故选.
12．C
[解析]连接，，，根据正方形的性质，有轴分别垂直平分，，.
，， 点的坐标为，点的坐标为，故①正确；
将和的坐标代入易得直线的表达式为，故②正确；
由题意可知，，易证，
，故③错误；
设, 点的坐标为，将点的坐标代入得，，解得，
点的纵坐标为．
同理可得点的纵坐标为， ，
点的纵坐标为，
代入，可得点的横坐标为，故④正确．
故选.
13．解:（1） 设直线的解析式为， 点，在直线上，
解得
直线的解析式为.
（2） 由得
.
点的横、纵坐标均为整数，
或,
,.
（3） 直线与直线、分别相交于点、点，
,,
当时，点在点的正上方，
,,
,,
,，
解得.
的取值范围为.
第3讲 一次函数的应用
基础练
1．B
2．
3．解:（1） .
（2） 这种方案不存在.理由如下:
当时，,
解得,
, 这种方案不存在.
（3） 根据题意，得,
解得.
,随的增大而减小，
且为整数， 当时，最大，最大值为1 066.
（件）.
答:购进商品甲67件、商品乙33件商店能获得最大利润，最大利润是1 066元.
4． 解:（1）当时,，
入射光线必过点.
（2） 将代入，解得；将代入，
解得，
的取值范围是.
（3） 不能.
理由:入射光照射到镜面上点时,根据入射角和反射角的关系可知反射光线与轴的交点为,而的坐标为,所以不能使感光带发光.
将平面镜至少向右平移1个单位长度，反射的光才能使感光带发光.
提升练
5．解:（1） 由负到正
（2） 设轨道的长为,当滑块从左向右滑动时，,
,
是的一次函数，
当和5.5时，与之对应的的两个值互为相反数,
当时，,,
, 滑块从点到点所用的时间为.
由题意得滑块从返回到所用的时间为 滑块返回的速度为,
当时，,
,,
滑块从点到点的过程中，与的函数表达式为.
（3） 当时，有两种情况：
①当时，,
;
②当时，,
.
综上所述，的值为6或18.
6．解:（1） 过点作于点,
,
,斜坡的坡度， 结合勾股定理易得，,, 点的坐标为.
设段关于的函数解析式为,将代入,
得,解得,
段关于的函数解析式为.
（2） 在中,, ,
,,
,,
在训练过程中,始终有一架无人机在媛媛正上方随她一起运动，无人机速度为, 媛媛在斜坡上跑步的时间为,
媛媛在斜坡上跑步的平均速度是.
（3） 在段上，无人机与媛媛之间的距离为时,有,解得,
,,,,
易求得段关于的函数解析式为，
在段上,无人机与媛媛之间距离为时,有,解得,
无人机与媛媛之间距离不超过 的时长为.
7．解:（1） 直线经过点,.
利用待定系数法可得直线的解析式为.
（2） 设点,则,,
则,
即,
（舍去）或,.
（3） 是,.
8．解:（1） 4
（2） 是定值.
由题意得，，
设点，
则，
是定值，且.
（3） 作图略.所求线段的长为.
[解析]详解：设，依题意得.
令，则，
令，则.
①当时，，，
则，解得，
；
②当时，，，则，解得，
；
③当时，，，
则，解得（舍去）.
综上，，
此时，所有点构成的线段为点到点的线段，
长度为.
（4） 32.
提示：设，，
，
当时，或，
当时，或，
易得满足的点构成以为中心的正方形，各顶点分别为，，，，
即满足的所有点围成的图形的面积为．
第4讲 反比例函数
基础练
1．B 2．D 3．D 4．B 5．C
6． （答案不唯一）
7．或
8．4
9．12
10．解:（1） 反比例函数的表达式为.
（2） 不妨取三个点，，，如图所示.
（3） 由题图可知.
当时，，
矩形向下平移的距离为．
提升练
11．D 12．C
13．
14．（1）
（2）
15．解:（1） 反比例函数解析式为.一次函数解析式为.
（2） 易知.
，，
.
（3） 如图,过点作轴的平行线,
作于点,于点,
设,
,,.
由题意得， ,,
.
，
.
在和中,
,,
,.
点在这个反比例函数的图象上，，解得或（舍去），
.
第5讲 二次函数的图象与性质
课时1 二次函数的图象与性质
基础练
1．B 2．B 3．B 4．D 5．C 6．D
7．9
8．解:（1） 二次函数的图象的顶点坐标为，
二次函数的一个“同倍项二次函数”的解析式为.（答案不唯一）
（2） ，其图象的顶点坐标为，
，对应图象的顶点坐标为，
是的“同倍项二次函数”，
，解得．
提升练
9．D 10．C
11． 解:（1）抛物线的解析式为，其对称轴为直线.
（2） 点在抛物线上，，
解得，，
的值为或4.
（3） 的值为2或5或8.
[解析]详解：由题意知，
，，
，,三点不重合， 点不在轴上且不在上，由（2）及题意可知且且.
当点，关于点对称，即点为线段的中点时，
，
解得或（舍）.
当点，关于点对称，即点为线段的中点时，
，
解得（舍）或.
当点，关于点对称，即点为线段的中点时，
，
解得（舍）或.
综上所述，的值为2或5或8．
12．解:（1） 抛物线的解析式为．
点的坐标为．
（2） ① 设直线的解析式为．把,代入，得解得
直线的解析式为．
② 设，
则，
，，
，，
．
， 当时，取最大值，为4，
此时，，
点的坐标为．
课时2 二次函数与方程、不等式的关系
基础练
1．A 2．C 3．D
4．,
5．
[解析]由题意易得点、的坐标分别为、,
由平移得， 抛物线的解析式为,
易知直线过点,
当且直线与只有一个公共点时,的值最大,
联立得
整理得,
,
,
,解得,
公共点横坐标满足,
,解得,
的最大值是.
6． 解:（1）抛物线的对称轴为直线.抛物线与轴交点的坐标为，由题意得,
解得.
（2） ① 直线的解析式为.
② 令,
整理得.
抛物线上有两个不同的“龙点”，
,
解得.
提升练
7．D 8．A
9．
[解析]令,即， 二次函数图象上有且只有一个完美点,
,即,
把代入得,,，
，
该二次函数图象的顶点坐标为,与轴交点为,根据对称性,可知点也是该二次函数图象上的点,
由题意得，当时,函数的最小值为,最大值为1,则.
10．或
[解析] 抛物线与线段有两个不同的交点，
令,
则.
.
①当时，
解得.
②当时，
解得.
综上所述,或.
11．解:（1） 顶点的坐标为，，.
（2） ① ,.
② 由题意得二次函数.
当抛物线的右半部分与线段有交点时，将代入中，得，
令，解得；
当抛物线的左半部分与线段有交点时，将代入中，得，
令，解得，
综上，淇淇输入的的取值范围为或.
课时3 二次函数图象与性质的应用
1．C
2．A
3．C
4．A
[解析]由题意得，
易得.
，
若,则当时,取得最小值,即,则（舍去）;
若,则当时,取得最小值,即,则;
若,则当时,取得最小值,即,方程无解.
综上所述,的值为.故选.
5．2
6．（1）
（2） 2
7．（1）
（2）
[解析]由（1）得，
抛物线的顶点纵坐标为．
当时，，.
经过点和，开口向下， 所求区域内的整点为对称轴上的整点， 当该区域中恰有5个整点时，这5个整点的坐标为,,,,，
解得．
8．（1）
（2） 0或4
[解析]由题意可得抛物线开口向上，对称轴为直线.
当时，时函数取得最小值，
，
解得或（舍去）；
当时，时函数取得最小值，
，解得.
综上所述，的值为0或4.
9．解:（1） 这个二次函数的表达式为.
（2） ，两点坐标分别为,.
（3） 将向上平移个单位长度，得到新抛物线的表达式为，
设点为新抛物线上一点，其横坐标为,则纵坐标为.
若点在线段上，则点的纵坐标大于或等于零，
即，则，
，.
10．解:（1） 点坐标是,点坐标是.
（2） 易知点的坐标是.
抛物线与轴交于点和点，
抛物线的表达式可记为.将代入,
得,解得.
,
即.
顶点坐标是.
（3） 抛物线的顶点坐标是,抛物线.
当点在抛物线上时,
,
解得.令,
得.
.又, 直线的表达式为,
当点在线段上时,
,解得.
的取值范围是.
11．解:（1） 抛物线的解析式为.
（2） 易知,
,
抛物线的顶点坐标为.
当时，,
或.
当时，图象对应函数的最大值为9，最小值为,
,
解得（舍）或；
当时，图象对应函数的最大值为9，最小值为5，满足题意;
当时，图象对应函数的最大值小于9，最小值为5，不满足题意；
当时，图象对应函数的最大值为5，最小值为,
,解得或（舍）.
综上所述，符合的条件为或.
（3） ,，
将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度可得,,
线段的两个三等分点的坐标为,.
设平移后的抛物线解析式为,将两个三等分点坐标代入得，解得
平移后的抛物线解析式为,其顶点坐标为.又抛物线的顶点坐标为,
平移前、后抛物线的顶点之间的距离为,
抛物线平移的最短路程为.
第6讲 二次函数的综合应用
1．C
2．D
[解析]如图,, 顶点坐标为.当时,, 点.当时,, 点.如图1，当时,点的对应点为.此时新函数的最大值为5,最小值为0.
如图2,当时,新函数的最小值为,最大值为4.
综上所述,.故选.
图1 图2
3．或
[解析]由题意知抛物线开口向上,对称轴为直线，顶点坐标为,
抛物线顶点在抛物线上.由题意得点坐标为.
当抛物线对称轴与所在直线重合时符合题意,
此时，解得.
将代入得
,解得,
满足题意.
将代入得,解得,
将代入得,解得,
满足题意.
综上所述,或.
4． 解:（1）抛物线的表达式为.
点的坐标为.
（2） 易知点的坐标为,
直线的表达式为.
作关于的对称点,连接,则,设垂足为,则点为的中点,连接，.
易得直线的表达式为,
联立直线与的表达式可得点的坐标为,
点的坐标为.
,,,
,,
，
即周长的最小值为.
解:（1） ，，.
设,，
则，解得，，
把代入得
，即．
（2） ① 由,易求得抛物线解析式为．
②
，.
易得直线的解析式为，
当时，，
,即的长为5.
③ 或．
提示：的坐标为，，当点在线段上时，点的坐标为，
，
，，结合，易得.
易知抛物线与轴的交点坐标为，当点在线段上时，由易得．
综上，满足条件的的横坐标的取值范围为或．
6．解:（1） 3
（2） 5
（3） 二次函数的表达式为.
（4） 的值为2或或.
[解析]详解：由题意得，,
则,
易得直线的表达式为,则,
当时,点、的横坐标相同,即,则；
分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为，，.
当时，易得，
,
即，,.
当时，易得，
同理可得，，
.综上,或或.
7． 解:（1），
抛物线的顶点坐标为.
当时,，.
.
（2） 令,解得,，
,.
抛物线的对称轴为直线，
当时,点的坐标为,则;
当时,点的坐标为,将代入,得,解得.
.
（3） .
第7讲 二次函数的实际应用
基础练
1．B
2．（1）
（2） 14
[解析]如图，设、分别与轴交于点、,易知 ,
在中，,
.由水杯高度为可知,
,易得直线的解析式为,令,
解得,,
将代入,得,
,
.
3．解:（1） 抛物线的表达式为．
（2） 该女生在此项考试中没有得满分．理由如下：
令，即，
解得，（舍去），
，
该女生在此项考试中没有得满分．
（3） 不妨设新的抛物线的解析式为．
把代入得，
，解得．
，
即.
答：当掷出点的高度至少达到时，可得满分．
4．解:（1） 与的函数关系式为且为整数.
（2） 设日销售利润为元,根据题意可得，
.
当时,日销售利润最大，为1 568元.
（3） 设每天扣除捐赠后的日销售利润为元,根据题意可得，
,
其图象对称轴为直线,
在这30天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大,,,
又,.
提升练
5．解:（1） 抛物线解析式为.
抛物线顶点的坐标为.
（2） ,，点在轴上，，
直线的解析式为，
点在直线上，
设，
,轴，点,
，
点在抛物线上，
，
解得（舍去）或，
此时，．
（3） ① 设小树高度为，
则，
即，
，
，
解得,，
在左侧，
，，
在中，，.
易得．
② .
提示：令，得或，
， 当时，取最大值，
在左侧，且，点，均与点不重合， 点的横坐标的取值范围是.
6．解:（1） 由题意可知上边缘抛物线的函数解析式为.
令，
解得或.
点在轴的正半轴上，，
即喷出水的最大射程为.
（2） 点关于直线的对称点为， 下边缘抛物线可看作是由上边缘抛物线向左平移4个单位长度得到的.
,.
（3） .
[解析]详解：令，解得.， 当时，灌溉车行驶时能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人.由，知当时，人行道边缘恰为点，故的取值范围为.
7．解:（1） ① 抛物线过点,
设抛物线的解析式为.根据题意得,,
由待定系数法可得抛物线的解析式为.
② ，
点的坐标为.
（2） 琪琪的说法对,理由如下:
易知直线的解析式为，
由，
可知在同一“花瓣”的内、外边缘上安装竖直的铁丝最大长度是, 安装4条铁丝的总长小于, 总长的铁丝一定够用.
（3） 最小值为.
提示：如图,工艺品和正方形托盘都是关于轴对称的图形,
直线与轴的夹角为 .设直线的解析式为,由直线与抛物线只有一个公共点可得方程有两个相等实数根,整理得,由,解得.. 点的坐标为,由②知抛物线的对称轴为直线,由对称性可知正方形的顶点的坐标为,即,
，
即正方形托盘边长的最小值为.
8．解:（1） 的解析式为.
（2） 不能.理由:将代入的解析式,得,.
点,关于点成中心对称,且,,
,将点的坐标代入,得,解得,
.
当时,,
不能砸中点.
（3） ,,
，
.
将点的坐标代入,得.
,,
解得,故的值与无关.
（4） 或.
[解析]详解：由（3）知
当时,解得或（舍去）,
.
, 当时,与线段有一个公共点,
若小球不会撞到物体,则.
将代入,得,
解得或（舍去）,
此时.
当时,,小球能越过点, 当时,小球不会撞到物体.
综上所述,的取值范围是或.
微专题3 二次函数中的最值问题
1．A
[解析]由题意得该抛物线的解析式为,
，
的周长，且是定值， 只需的值最小，
如图1，作点关于轴对称的点，连接与轴的交点记为，则，连接，则.
图1
易求得直线的解析式为，
即，；
如图2，作点关于轴对称的点，连接与轴的交点记为点，连接，同理可得，.
点为时，的周长最小，故选.
图2
2．
[解析]由二次函数的表达式可知函数图象开口向下，对称轴为直线.当时，时，取最大值，即；当时，时，取最大值，即；当时，时，取最大值，即.综上所述，的最小值为.
3．解:（1） 设种水果的单价为元，则种水果的单价为元.
依题意，得，解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 一个果篮的成本为（元）.
答：一个果篮的成本为50元.
（2） 依题意得.
（3） 当且为整数时，每月的最大利润为 9 000元，当且为整数时，每月的最大利润为元.
4．解:（1） 抛物线的函数表达式为.
（2） 直线的表达式为，
设，则,
， 当时，的长取最大值，为，
，
的最大值为.
5．解:（1） ,.
（2） 抛物线由旋转得到,且经过,两点,
设抛物线的解析式为,将代入,
得,解得,
抛物线的解析式为.
（3） 轴, 点,的横坐标相同,设点,的横坐标为,则
,,
,
,且,
当时,线段的长取最大值.
6．解:（1） 证明：令，
，
方程有两个不相等的实数根，即抛物线与轴有两个交点.
设方程的两根分别为,，
， 该一元二次方程有两个异号的实数根，
抛物线与轴的两个交点分布在原点的两侧.
（2） ① 抛物线经过点,， 抛物线的对称轴为直线，，
即抛物线．
抛物线的顶点坐标为，
令,解得.
抛物线与轴在原点右侧的交点坐标为．
② 记抛物线与轴交于点，点关于直线的对称点为，
点与顶点的竖直距离为，
当时，函数的最大值与最小值的差总为．
7．解:（1） 二次函数的解析式为.
（2） ① ，，
设直线的解析式为，
将，代入得，
解得
直线的解析式为，
点的横坐标为，
,，
的面积.
的取值范围为.
② ，,
，满足，
的面积的最大值为．
微专题4 二次函数图象中的公共点问题
1．C
2．A
[解析]设抛物线与边的另一个交点为，由题意得，
易得抛物线解析式为，
当时，解得,，.
易得直线过定点，
当时，，
直线与抛物线必有两个交点.
直线与图象有唯一交点， 当时，需满足当时，，解得.
当时，需满足当时，，解得.
综上所述，或，故选.
3．D
[解析]由题意得二次函数的相关函数为
二次函数的图象开口向上，与轴的交点为，对称轴为直线,当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大;二次函数的图象开口向下，与轴的交点为，对称轴为直线，当时，随的增大而增大.
直线与轴的交点为.
直线与二次函数的相关函数的图象恰好有两个公共点，可分为以下两种情况：
①直线分别与函数，的图象有一个交点，则有，解得；
②直线与函数的图象有两个交点，与函数的图象没有交点，则，令，即有两个不相等的实数根，
，
解得，.
综上所述，或，
的值可能是2，故选.
4．A
[解析]由图象可知抛物线的对称轴是直线，易知抛物线与轴的另一个交点为，
抛物线解析式为，
抛物线向上平移个单位长度后解析式为， 平移后的抛物线的顶点坐标为.
①当平移后抛物线顶点落在上时，，解得；
②当平移后抛物线经过点时，，解得；
当平移后抛物线经过点时，
，解得，
当时，平移后的抛物线与线段只有一个公共点．
综上，或．故选.
5．或
[解析]当抛物线经过点时，,.当抛物线经过点时，,,
故当时，抛物线与线段只有一个公共点.
当抛物线顶点在线段上时，关于的方程,即有两个相等的实数根，
,
或（舍）.
综上，的取值范围是或.
6．2或4
[解析]由题意，联立得，
不妨设方程的两根为,,，.
线段，且两个交点均为整点,
当时，，即，解得；
当时，，即，解得.
的值为2或4.
7．解:（1）
（2） ,
抛物线的顶点坐标为,
由题意可知，抛物线恒过点,，
①当时，如图1，此时需满足
，；
②当时，如图2，此时需满足
,.
图1 图2
综上所述，的取值范围是或．
8．解:（1） 令,则,,,
.
（2） ① 点落在轴上，
,,
联立得即,
点的横坐标为，,
即,当时，,
当时，,.
② 图象经过点,，
,解得,
,,
当抛物线经过时，或,
当抛物线经过时，或,
如图1，当时，抛物线与线段有唯一公共点.
如图2，当时，抛物线与线段有唯一公共点.
图1 图2
综上所述，或时，抛物线与线段有唯一的公共点.
9． 解:（1）设点，则，由的中点为知，代入，得，
即.
（2） 当时，，
令，
，.
由点在点左边，得，，.
易知的对称轴为直线，点的坐标为， 直线与的对称轴之间的距离为.
（3） 由题意得，，
的对称轴为直线.
又直线为，
当，即时，顶点就是图象的最高点；
当时，与的交点就是图象的最高点.
（4） 或.
提示：对于双曲线，当时，，即与双曲线在，之间有一个交点.
①由，
得，；
②由，
得，.
随着的逐渐增大，随着点向右平移，如图所示.
当时，在对称轴右侧的部分过点；
当时，在对称轴右侧的部分过点，即.
当时，在对称轴右侧的部分离开点，而左侧的部分未到点，即与该段无交点，舍去.
当时，在对称轴左侧的部分过点；
当时，在对称轴左侧的部分过点，即.
综上，的取值范围是或.
第三模块检测
一、选择题（每小题6分，共48分）
1．D
2．B
3．B
4．B
5．C
6．A
7．C
8．B
[解析]由题意得二次函数解析式为，对称轴为直线，抛物线顶点坐标为，与轴的交点坐标为，
如图所示， 图形内部（不包含边界）恰有4个整点，
解得，
选项符合题意，故选.
二、填空题（每小题6分，共24分）
9．200
10．
11．
12．（1） 6
（2） 或
[解析]易知，
直线的表达式为.
当点在上方时，显然区域内的整点为，，，当时，,，
.
当点在下方时，区域内的整点为，，.
当时，,则,，,此时且,满足题意.
综上，的取值范围是或.
三、解答题（共28分）
13．解：（1） ① 由题意易求得直线的解析式为，将代入得,.
把代入，得, 直线的函数解析式为.
② .
（2） 由平移得,且,
则点与点之间的对应坐标差和点与点之间的对应坐标差相等,
点,点,
,,
,
把代入得,
,
即,
当时,无论取何值都有,此时,
关于的函数的图象必过定点.
14．解：（1） 根据题意知抛物线的对称轴为直线,
,.
.
将代入,
得,即.
,
点的坐标为.
（2） ① 抛物线平移的最短路程为3.此时顶点坐标为.
② 由①得,抛物线的表达式为.
令,则,
点在抛物线上关于对称轴对称的点为,且当时,点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2,
.
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第1讲 平面直角坐标系与函数
基础练
1．[2025四川成都]在平面直角坐标系中,点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．[2025湖南]在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度到处，则点的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
3．[2024石家庄桥西质检]某种正方形合金板材的成本（元）与它的边长（厘米）成正比.当时，,则当成本为18元时，边长为（ ）
A．6厘米 B．4厘米 C．3厘米 D．厘米
4．[2024九地市摸底]小刚向空壶内匀速注水，壶内水的深度（单位：）与注水时间（单位：）的函数关系如图所示，选项中是各种水壶的平面示意图，则小刚使用的水壶是 （ ）
A． B．
C． D．
5．[2025衡水模拟]如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿的路径匀速散步，能近似表示小亮到出发点的距离与时间之间关系的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．跨学科[2025广西] 生态学家G.通过多次单独培养大草履虫实验,研究其种群数量随时间的变化情况,得到了如图所示的“”形曲线.下列说法正确的是（ ）
A．第5天的种群数量为300个 B．前3天种群数量持续增长
C．第3天的种群数量达到最大 D．每天增加的种群数量相同
7．新情境[2025邯郸摸底] 图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），为入口，，为出口，其中直行道为，，，且；弯道为以点为圆心的一段弧，且，，所对的圆心角均为 ．甲、乙两车由口同时驶入立交桥，均以的速度行驶，从不同出口驶出，两车到点的距离与时间的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法正确的是 （ ）
图1 图2
A．甲车在立交桥上共行驶
B．从口出比从口出多行驶
C．甲车从口出，乙车从口出
D．立交桥总长为
8．[2025邢台结课考试]平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则点到轴的距离是_ _ _ _ ．
9．[2025石家庄质检]某物流公司推行环保运输政策,通过分段计价引导客户集约化运输,并制定如下计价规则.
计价规则 货物质量不超过时,价格为6元/； 货物质量超过但不超过时,超过部分价格为5元/； 货物质量超过时,超过的部分价格为4元/,并一次性额外收取30元的碳排放附加费.
设货物质量为,运费为（元）.
（1） 若货物质量为,货物质量为,分别计算两个货物的运费；
（2） 当时,求关于的函数解析式；
（3） 若某货物的运费为170元,求该货物质量为多少.
提升练
10．[2025廊坊固安模拟]已知点在第四象限,点到轴的距离为,到轴的距离为,若,,满足,则的值为 （ ）
A． B． C． D．0
11．[2025保定一模]如图，把正六边形放置在平面直角坐标系上使点与原点重合，点在轴负半轴上.点，分别是，上的点，满足.已知，，那么点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
12．新情境[2025邢台部分学校二模] 如图1,一把张开的伞的伞柄总是平分同一平面内的两条伞架所夹的角,示意图如图2,点为伞托,可沿伞柄上、下移动,当伞完全闭合时,点、点重合.已知伞架,伞面的半径,.
设, ,且与 关系的大致图象如图3,同学们提出了下列两种说法:
说法一:;
说法二:当时,.
图1 图2 图3
下列判断正确的是（ ）
A．说法一、说法二都正确 B．说法一、说法二都不正确
C．说法一正确、说法二不正确 D．说法一不正确、说法二正确
13．[2025石家庄十八县二模]如图1,是的半径,点是的中点,点在上从点开始沿逆时针方向运动一周回到点,运动停止,设运动过程中的长为,的长为,图2是随变化的关系图象,则的值为（ ）
图1 图2
A．2 B． C． D．3
14．[2024石家庄十八县摸底]在平面直角坐标系中，点的坐标为是第一象限内任意一点，连接,.若 , ,则我们把叫作点的“角坐标”.
（1） 若点的坐标为,则点的“角坐标”为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 若点到轴的距离为1，则的最小值为_ _ _ _ .
微专题2 函数图象的分析与判断
1．[2024石家庄正定模拟]如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止.设注水时间为,（细实线）表示铁桶中水面高度，（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则,随时间变化的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．[2024石家庄长安质检]刘阿姨早晨从家里出发去公园锻炼，匀速走了后回到家.下图表示她出发后离家的距离与行走时间之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述刘阿姨行走路线的是（ ）
A． B．
C． D．
3．一段笔直的公路长20千米，途中有一处休息点,长15千米,甲、乙两名长跑爱好者同时从点出发.甲以15千米/时的速度匀速跑至点，原地休息半小时后,再以10千米/时的速度匀速跑至终点;乙以12千米/时的速度匀速跑至终点，然后在终点处休息.下列选项中,能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程（千米）与时间（小时）之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，过三角形纸片的一组邻边上的两点（不包括顶点）剪去一角，得到一个四边形，设剪去的这个角的度数为 ,图中的 ，则与的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．[2025唐山路南一模]甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2 400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了30分钟；③乙用12分钟追上甲；④乙到达终点时甲离终点还有380米.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．[2025石家庄部分学校学业考试]如图1，在矩形中，,是边上的一个动点，,交于点，设,，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ）
图1 图2
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图1，正方形中，点是边的中点，动点从点出发，在正方形的边上沿的路线匀速运动到点停止，设点的运动路程为，，图2是点运动时随变化关系的图象，根据图中的数据，可知点的坐标为（ ）
图1 图2
A． B．
C． D．
8．[2024石家庄十八县一模]如图，在矩形中，，，点从点出发沿路径运动，点从点出发沿路径运动，两点同时出发且运动速度均为每秒1个单位长度，当，两点到达点时停止运动，设两点的运动时间为秒，的面积为，则与之间函数关系的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．[2025石家庄长安质检]将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示,动点从点出发,沿路径匀速运动,速度为,点到达终点后停止运动,的面积与点的运动时间的关系如图2所示,以下结论:;；③点从点运动到点需要.其中正确的结论是 （ ）
图1 图2
A．③ B．①② C．①③ D．②③
10．[2025石家庄结课考试]如图，在中， ，，，和分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着和的方向运动，运动速度都是每秒1个单位长度，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为（秒），则与之间的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
第2讲 一次函数的图象与性质
基础练
1．[2024石家庄模拟]在如图所示的计算程序中，与之间的函数关系式所对应的图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2025秦皇岛学业考试]若正比例函数图象过点，则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象过第一、三象限
B．函数图象过点
C．函数值随自变量的增大而增大
D．函数图象向右平移1个单位后对应的函数解析式是
3．[2024石家庄裕华一模]如图，直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式组的整数解为（ ）
A． B． C． D．
4．[2025保定部分学校模拟]如图,平面直角坐标系中有一个的正方形网格,其中,,,是四个格点,随为任意常数的变化,点会经过的位置是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
5．[2024唐山摸底]如图，直线与两坐标轴交于，两点，点是线段上一动点（不与，重合）．过点作轴于点，轴于点.小明认为矩形的周长不变且始终为6；小红认为当点运动到线段的中点时，点到原点的距离最短，且最短距离为．关于两人的判断，下面说法正确的是（ ）
A．小明与小红都是正确的
B．小明与小红都是错误的
C．小明是正确的，小红是错误的
D．小明是错误的，小红是正确的
6．[2025沧州部分学校一模]如图，已知点，，一次函数的图象经过线段的中点，则的值为_ _ _ _ ．
7．[2025保定定兴一模]在平面直角坐标系中，，，直线与轴相交于点.
图1 图2
（1） 如图1，当点，关于轴对称，且直线经过点时，求的值；
（2） 如图2，当时，直线与线段存在交点（不与点，重合），且，求的取值范围．
8．[2025张家口一模]如图，直线与坐标轴交于点，，直线经过点,与交于点,点的横坐标为1．
（1） 求直线的解析式．
（2） 点是线段上一点，过点作垂直于轴的直线，分别与轴和直线交于点，．设点的横坐标为．
① 当时，求点的坐标；
② 若，求线段的长．
提升练
9．新考法 [2025江苏扬州] 已知,则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．[2025保定莲池一模]在平面直角坐标系中,已知点,点.若点与点关于直线成轴对称,则直线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
11．新考法[2025保定一模] 在平面直角坐标系中，点从原点出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度.例如：平移一次后点的坐标为或；平移两次后点的坐标为或或.点从点出发经过次平移后，到达直线上的点位置，平移的路径长不小于50且不超过56，则的值是（ ）
A．50或56 B．40或46 C．38或44 D．39或42
12．[2025石家庄桥西质检]如图，在平面直角坐标系中,正方形,正方形,正方形, 的顶点,,, 在轴上，顶点,,, 在直线上,若,,则有下列说法：
①点的坐标为；
②直线的表达式为；
;
④点的横坐标为.
其中说法正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③
13．[2025邢台一模]如图，在平面直角坐标系中,,,直线经过点、,直线与直线相交于点,直线与直线、分别相交于点、点.
（1） 求直线的解析式；
（2） 若点的横、纵坐标均为整数,求的值；
（3） 当时,点在点的正上方,求的取值范围.
第3讲 一次函数的应用
基础练
1．[2025石家庄新华质检]如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于点，，直线经过点，且与轴交于的中点，以，，为顶点的在第一象限内，将向左平移个单位，若平移后的的边始终与直线或直线有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．[2024衡水模拟]在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点为，，则直线的函数表达式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
3．[2025邯郸部分学校一模]某商店准备购进甲、乙两种商品共100件,商品甲的进价是40元/件,售价是50元/件；商品乙的进价是48元/件,售价是60元/件.设商品甲购进件,销售完购进商品所获得的总利润是元.
（1） 求与的函数关系式.
（2） 某同学说：“有一种进货方案,可获得利润980元.”这种方案存在吗 为什么
（3） 若计划购进商品甲的数量不低于商品乙数量的2倍,如何设计进货方案商店才能获得最大利润 最大利润是多少
4．跨学科 [2025保定竞秀一模] 如图,平面直角坐标系中,放置一平面镜,其中,的坐标分别为,.从轴上一光源处发射的光照射到平面镜上（含端点），入射光线.
（1） 请说明:入射光线必过点.
（2） 求入射光照射到镜面上时,的取值范围.
（3） 一条感光带置于轴上,其中,的坐标分别为,,光照到感光带任何一点,感光带都会发光.请判断从处发射的光经平面镜反射后能否使感光带发光.若能,请直接写出的取值范围;若不能,请说明理由，并直接写出将平面镜至少向右平移多少个单位长度，反射的光才能使感光带发光.
提升练
5．[2024邯郸武安二模]某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道,长度为的金属滑块在上面往返滑动.如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为,滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿,然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止.设时间为时，滑块左端离点的距离为,右端离点的距离为,记,与具有函数关系，已知滑块在从左向右滑动过程中，当和5.5时，与之对应的的两个值互为相反数;滑块从点出发到最后返回点,整个过程总用时（含停顿时间）.请你根据所给条件解决下列问题：
（1） 滑块从点到点的滑动过程中，的值_ _ _ _ _ _ _ _ ;（填“由负到正”或“由正到负”）
（2） 滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式；
（3） 在整个往返过程中，若,求的值.
6．新角度 [2025保定莲池一模] 媛媛在斜坡上进行跑步训练.在训练过程中,始终有一架无人机在媛媛正上方随她一起运动,无人机速度为,距水平地面的高度总为.现就媛媛训练中部分路段作出如下函数图象.已知,斜坡的坡度,斜坡的坡角为 .
（1） 求点的坐标,以及段关于的函数解析式.
（2） 媛媛在斜坡上跑步的平均速度是多少？
（3） 在媛媛跑步训练过程中,求无人机与媛媛之间距离不超过的时长参考数据:,,
7．[2025石家庄裕华质检]如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点,直线与轴交于点,与交于点.点为轴正半轴上一动点,过点作轴的垂线，与直线,分别相交于,两点,过点作轴交直线于点.
（1） 求的值及的函数表达式.
（2） 当时,求点的坐标.
（3） 以,为边作矩形,当点在运动过程中,试探究的运动轨迹是不是在一条直线上.若是,直接写出该直线解析式;若不是,请说明理由.
8．新角度[2025唐山一模] 定义:平面直角坐标系中,对于,两点,称为,两点的“折线距离”,记为.
【探究应用】
平面直角坐标系中,，.
图1 图2 图3
（1） 如图1,轴,轴,_ _ _ _ .
（2） 如图2,一次函数的图象与轴交于点,与轴交于点,在线段上任取一点,是不是定值 如果是,请求出的值；如果不是,请说明理由.
（3） 如图3,若点是直线上一动点,画出满足的所有点构成的线段,并直接写出此线段的长度.
（4） 直接写出满足的所有点围成的图形的面积.
第4讲 反比例函数
基础练
1．[2024石家庄桥西质检]若,互为倒数，则反比例函数的图象所在的象限为（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
2．[2025廊坊安次一模]如图,在平面直角坐标系中有,,,四个点,其中恰有三点在反比例函数的图象上,根据图中四点的位置,其中不在反比例函数图象上的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
3．[2025秦皇岛学业考试]矩形的面积是，它的长与宽之间的函数关系大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．[2025沧州学业考试]如图,矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上,点的坐标为,则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．[2025石家庄裕华质检]某种气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的压强是气球体积的反比例函数,其图象如图所示.当气球内的压强大于时,气球将会爆炸,为了安全,气球的体积应该（ ）
A．不大于 B．大于
C．不小于 D．小于
6．[2025石家庄长安质检]如图,点在反比例函数的图象上,点在反比例函数和的图象之间,轴,写出一个符合条件的点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ .
7．[2025秦皇岛海港一模]已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和点,如图，当时,自变量的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
8．[2025邯郸摸底]如图，在边长为1的正方形网格上建立直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被擦掉了一部分，已知点，在格点上，则_ _ _ _ ．
9．[2025保定部分学校模拟]如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与轴,轴分别交于,两点,与反比例函数的图象交于点.若,则的值为_ _ _ _ .
10．[2025秦皇岛学业考试]如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线,相交于点，反比例函数的图象经过点.
（1） 求这个反比例函数的表达式；
（2） 画出反比例函数的图象；
（3） 将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求矩形平移的距离.
提升练
11．[2025保定一模]如图，一个厚度，宽度可以任意调节的长方体盒子，里面装有一定量的水，随着的变化，水面高度也发生变化.设，水面高度为，则随变化的函数图象是如图所示的曲线，它与直线只有一个公共点，则盒子里水的体积是（ ）
A． B． C． D．
12．[2025唐山一模]如图,点,在反比例函数的图象上,点,在反比例函数的图象上,轴,,,与之间的距离为1,则的值是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．8
13．[2025沧州献县模拟]如图,,是反比例函数的图象上的两点,若是等腰三角形,且, ,则的值是_ _ _ _ .
14．[2025保定莲池一模]已知在平面直角坐标系中,反比例函数的图象如图所示,,连接,过点作轴的垂线,垂足为.
（1） 当反比例函数的图象经过线段的中点时,的值为_ _ _ _ _ _ ；
（2） 当反比例函数的图象把线段上横、纵坐标均为整数的点分布在其左右两侧,且左侧点的个数∶右侧点的个数时,的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
15．[2025石家庄模拟]如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，，一次函数的图象与轴交于点.
图1 图2
（1） 求反比例函数和一次函数的解析式；
（2） 连接，，求的面积；
（3） 如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转 ，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标．
第5讲 二次函数的图象与性质
课时1 二次函数的图象与性质
基础练
1．[2025邢台结课考试]在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
2．[2024沧州一模]若抛物线经过，两点，则抛物线的对称轴为直线 （ ）
A． B． C． D．
3．[2024石家庄摸底]以下是四位同学以接力的方式将二次函数化为顶点式的过程，每位同学只能看到上一步的结果并负责接下来的一步，其中出错的步骤有（ ）
解：
.④
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
4．[2025沧州学业考试]一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．[2025张家口一模]点在函数的图象上，已知，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．[2025秦皇岛山海关开学考试]二次函数的图象经过点,,已知,的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．[2025唐山期末]若抛物线的顶点在轴上，则_ _ _ _ ．
8．[2024沧州一模]设二次函数、的图象的顶点坐标分别为、，若，，且两图象开口方向相同，则称是的“同倍项二次函数”．
（1） 写出二次函数的一个“同倍项二次函数”；
（2） 已知关于的二次函数和，若是的“同倍项二次函数”，求的值．
提升练
9．新情境 [2025沧州部分学校一模] 已知点为抛物线上一点，在透明胶片上描画出包含点的抛物线的一段，向上平移该胶片得到点和抛物线，如图．已知抛物线的顶点的纵坐标为，且，则平移得到的点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．[2025石家庄结课考试]如图，二次函数的图象经过点,，顶点在第四象限，以下是两位同学的说法，则（ ）
嘉嘉：由题意可知，与的关系为．
琪琪：由题意可知，的范围是．
A．只有嘉嘉的说法正确 B．只有琪琪的说法正确
C．两人的说法都正确 D．两人的说法都不正确
11．[2024唐山摸底]如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点的坐标为．
（1） 请求出抛物线的解析式及对称轴．
（2） 当点在抛物线上时，求的值．
（3） 过点作轴的垂线，分别与轴、抛物线交于点，．若，，三点不重合，当其中两点关于第三点对称时，直接写出的值．
12．[2025承德期末]如图1，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
图1 图2
（1） 求抛物线的解析式及点的坐标.
（2） 如图2，点，为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴，交于点，过点作轴，交于点．
① 求直线的解析式；
② 求的最大值及此时点的坐标．
课时2 二次函数与方程、不等式的关系
基础练
1．[2025保定部分学校模拟]已知抛物线与轴交于点和,则的值为（ ）
A． B． C．3 D．7
2．[2024保定竞秀开学考试]二次函数，，为常数，且中，与的部分对应值如下表：
… 1 2 3 4 …
… 0 1 0 …
有以下结论：
①该二次函数图象开口向上；②当时，该二次函数取最大值1；③当时，；④若点，在该二次函数图象上，则；⑤关于的方程没有实数根.
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②⑤ C．②③⑤ D．②③④⑤
3．[2025邢台结课考试]如图所示的抛物线对称轴为直线，且经过点，嘉嘉和淇淇作出如下判断：
嘉嘉：.
淇淇：若是实数，则.
对于这两个判断，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对
C．嘉嘉对，淇淇不对 D．淇淇对，嘉嘉不对
4．[2025衡水期末]如图,抛物线与直线的两个交点坐标分别为,，则关于的方程的解是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
5．[2025唐山路北模拟]如图,抛物线与轴交于点,,把抛物线在轴及其上方的部分记作,将向右平移得到,与轴交于,两点.若直线与始终有公共点,则的最大值是_ _ _ _ _ _ _ _ .
6．[2024石家庄平山摸底]在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比横坐标大2，则把这样的点称为“龙点”，例如，点,都是“龙点”.如图，抛物线为常数与轴交于点,.
（1） 写出抛物线的对称轴，并求当抛物线与轴的交点恰为“龙点”时，的值.
（2） 我们发现，若用来表示“龙点”，则无论怎样变化，“龙点”始终在一条确定的直线上.
① 直接写出直线的解析式；
② 当抛物线上有两个不同的“龙点”时，求的取值范围.
提升练
7．[2025保定竞秀开学考试]如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点在线段上运动，轴，，，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．当时，一定有随的增大而增大
C．
D．若点的坐标为，则点的坐标为
8．[2025石家庄十八县一模]如图,二次函数的图象与轴交于,两点,与轴交于点,且对称轴为直线,点的坐标为,则有以下的五个结论:
；；③当时,或；；为实数.
其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．②③④⑤
9．[2025保定一模]在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点.已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
10．[2025石家庄开学考试]在平面直角坐标系内，已知点，点都在直线上，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
11．[2025唐山遵化二模]某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式，通过输入不同的，的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象.
图1 图2
（1） 若输入，，得到如图1所示的图象，求顶点的坐标及抛物线与轴的交点，的坐标.
（2） 已知点，.
① 若输入，的值后，得到如图2所示的图象且图象恰好经过，两点，求出，的值；
② 淇淇输入的值，嘉嘉输入，若得到二次函数的图象与线段有公共点，求淇淇输入的的取值范围.
课时3 二次函数图象与性质的应用
1．[2025邯郸经开区一模]如图,抛物线与交于点,有以下结论:
①无论取何值,总是负数；
可由向右平移3个单位,再向下平移3个单位得到;
③当时,随着的增大,的值先增大后减小.
下列说法正确的是（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确
C．只有③不正确 D．①②③都正确
2．[2025秦皇岛抚宁期末]如图1，在正方形中，动点，分别从点，同时出发，以相同的速度匀速运动到点，停止，连接，，.设点运动的路程为，的面积为，与之间的函数关系图象如图2所示，则正方形的边长是（ ）
图1 图2
A．4 B． C．6 D．
3．[2025廊坊霸州摸底]已知直线过点,,二次函数的图象和直线交于点,在的左侧,若,则满足条件的的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．[2025保定摸底]已知一元二次方程没有两个不相等的实数根，且二次函数的最小值为3，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．[2025唐山一模]已知平面直角坐标系中,二次函数的图象交轴于点.若将点向右平移4个单位,再次落在该函数的图象上,则的值为_ _ _ _ .
6．[2024保定莲池一模]在平面直角坐标系中，点和在抛物线上，设该抛物线的对称轴为直线.
（1） 当时，的值为_ _ _ _ _ _ ；
（2） 若,则满足条件的整数有_ _ _ _ 个.
7．[2024保定竞秀模拟]点在抛物线，均为常数且上，交轴于点，连接．
（1） _ _ _ _ _ _ _ _ （用含的代数式表示）.
（2） 横、纵坐标都是整数的点叫作整点．如图，当时，若在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有5个整点，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
8．[2025石家庄结课考试]已知函数．
（1） 若，则该函数图象与轴的交点坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 当时，函数的最小值为4，则的值为_ _ _ _ ．
9．[2024石家庄新乐模拟]已知二次函数的图象过点,顶点坐标为
.
（1） 求这个二次函数的表达式；
（2） 与轴相交于,两点（点在点左侧），求,两点坐标；
（3） 将向上平移个单位长度，与轴相交于,两点，若点在线段上，求的取值范围.
10．[2025石家庄质检]如图,抛物线与轴交于,两点,抛物线与轴交于点和点,其中.抛物线,与轴分别交于点,.
图1 图2
（1） 求,两点的坐标；
（2） 如图1,当点，重合时,求抛物线的表达式及其顶点坐标;
（3） 如图2,连接,若抛物线的顶点落在由线段及抛物线围成的封闭图形内部（不含边界）,求的取值范围.
11．[2024廊坊广阳一模]如图，抛物线与轴交于,两点，与轴交于点，是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为,抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象.
备用图
（1） 求抛物线的解析式.
（2） 当符合什么条件时，图象对应函数的最大值与最小值的差为4？
（3） 将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，若抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的最短路程.
第6讲 二次函数的综合应用
1．[2025廊坊结课考试]如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点.将抛物线位于点左侧的部分绕点旋转 得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若四边形为矩形，则，应满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
2．[2025衡水模拟]已知二次函数，截取该函数图象在间的部分记为图象，设经过点且垂直于轴的直线为，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，图象在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象，若新函数的最大值与最小值的差不大于5，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．[2025邢台任泽摸底]如图，矩形的三个顶点坐标分别为，，．二次函数（其中为常数）的图象在矩形内（不含边界）的部分均为随的增大而减小，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
4．[2025石家庄十八县二模节选]如图,抛物线过点,与轴交于点和点（点在点左侧）,与轴交于点.顶点的坐标为.
（1） 求抛物线的表达式和点的坐标；
（2） 点是线段上一动点,求周长的最小值.
5．[2025邯郸一模]如图,中, ,,.以为原点,直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系.抛物线过点,与轴正半轴的交点记为点.
（1） 用含的代数式表示.
（2） 若点坐标为,是抛物线上一动点,且在点,之间，过点垂直于轴的直线交折线段于点.
① 求抛物线的解析式；
② 若为抛物线的顶点,求的长；
③ 若记②中的长为,改变的位置,使得,请直接写出满足条件的的横坐标的取值范围.
6．[2025石家庄裕华质检]如图①,在平面直角坐标系中,二次函数的图象经过原点和点,点,,与抛物线交于点.连接、.
图① 图②
（1） 的长度为_ _ _ _ .
（2） 的长度为_ _ _ _ .
（3） 求这个二次函数的表达式.
（4） 如图②,点从点出发,沿射线向点运动；同时,点从点出发,沿射线向点运动.两点运动的时间为秒,速度均为1个单位长度/秒,当点到达点时停止运动,点也随之停止运动.作轴,交于点，连接.直接写出当直线垂直于的一条边时,的值.
7．[2025保定莲池一模]已知抛物线交轴于、两点,交轴于点,矩形各顶点坐标分别是,,,.
（1） 求抛物线顶点的坐标,以及与轴交点的坐标,并求的长度.
（2） 抛物线是原抛物线通过平移得到的新抛物线,此抛物线与轴的交点为和在的左侧,若线段的长度范围为,则的取值范围是多少？
（3） 若抛物线与轴的交点为,顶点为,当为何值时,以、、、为顶点的四边形为菱形？（直接写出答案）
第7讲 二次函数的实际应用
基础练
1．[2025保定竞秀开学考试]用总长为米的材料做成如图1所示的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为平方米，关于的函数图象如图2所示，则的值是（ ）
图1 图2
A．16 B．12 C．8 D．4
2．新情境 [2024石家庄平山摸底] 一个装满水的水杯竖直放置在水平桌面上时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线,都是抛物线的一部分，已知水杯底部宽为，水杯高度为,杯口直径为，且.以杯底的中点为原点，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系.
图1 图2
（1） 轮廓线,所在的抛物线的解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 将水杯绕点倾斜倒出部分水，杯中水面.如图2，当倾斜角 时，水面宽度_ _ _ _ .
3．[2025廊坊安次一模]掷实心球是中招体育考试的选考项目,图①是一名女生在掷实心球,实心球行进路线是一条抛物线,行进高度与水平距离之间的函数关系如图②所示,掷出时起点处高度为,当水平距离为时,实心球行进至最高点处.
图① 图②
（1） 求抛物线的表达式.
（2） 根据中招体育考试评分标准（女生）,投掷过程中,实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于,此项考试满分为10分.该女生在此项考试中是否得满分？请说明理由.
（3） 在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下,提高掷出点,可提高成绩.当掷出点的高度至少达到多少时,可得满分？
4．[2025唐山路北模拟]某商贸公司购进的某种商品成本为20元/,经过市场调研发现,这种商品在未来30天的销售价格（元/）与时间（天）之间的函数关系式为为整数,且日销量与时间（天）之间的变化规律符合一次函数关系,如表:
时间天 1 3 6 10 …
日销量 142 138 132 124 …
（1） 求与的函数关系式.
（2） 哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3） 在实际销售中,公司决定每销售商品就捐赠元利润给当地福利院,后发现:在这30天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大,求的取值范围.
提升练
5．新角度[2025河北样卷] 如图，斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从处喷出的水流恰好落在处，水流呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系，得到点，点．已知喷水管及所有树木都与垂直，抛物线的解析式为.
（1） 求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标．
（2） 若抛物线恰好过小树的树顶，点在斜坡上，且点到，两点距离相等，求点的坐标．
（3） 若，为两棵等高小树在左侧，小树粗细忽略不计，点，均在斜坡上且与点不重合，抛物线恰好经过，两点．
① 当时，求的长；
② 直接写出的横坐标的取值范围．
6．[2024唐山一模]如图1，灌溉车为观光绿化带浇水.图2为喷水口喷水的横截面，该喷水口离地竖直高度为.可以把喷出水的上、下边缘分别抽象为两条抛物线的一部分，把绿化带横截面抽象为矩形,其中,.下边缘抛物线由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口,喷水口到绿化带的水平距离为（单位：）.
图1 图2
（1） 求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程;
（2） 通过计算求点的坐标；
（3） 绿化带右侧（图中点的右侧）1米外是人行道，要使喷出的水能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人，直接写出的取值范围.
7．新情境 [2025秦皇岛海港一模] 琪琪在学习二次函数之后,想用二次函数的知识解决生活中的实际问题.她观察发现,家中有一款铁艺工艺品（厚度忽略不计）,它由两个成轴对称的“花瓣”构成,图1是该工艺品的平面示意图,“花瓣”外边缘可以近似地看成抛物线形,内边缘是线段.如图2,两个“花瓣”公共顶点为,对称轴为直线,内边缘为线段,,琪琪测得外边缘上一点与点水平距离为时,点到对称轴的距离为,点与点水平距离为,点到对称轴的距离为.
图1 图2 图3
（1） 如图3,以为原点,以直线为轴，建立平面直角坐标系.
① 求出对称轴上方抛物线的解析式；
② 点在抛物线上,且点到对称轴的距离最大,求点的坐标.
（2） 如图3,琪琪想在工艺品上安装4条竖直的铁丝,每条铁丝的两端分别固定在同一“花瓣”的内、外边缘上,且使得安装后的工艺品仍然关于直线对称.琪琪说:总长的铁丝一定够用（不考虑损耗）.你认为琪琪的说法对吗 并说明理由.
（3） 琪琪想:若把这个“花瓣”形工艺品平放在一个正方形的托盘中,这个正方形托盘边长（单位：）的最小值是多少呢 请直接写出这个最小值.
8．新考法[2025张家口一模] 如图，滑道是抛物线的一部分，滑道起点在轴的正半轴上，顶点在轴的正半轴上，，，终点可以沿抛物线调节，设点的横坐标为．一个小球（看作一点）从点发射出去，沿着滑道滑动，并从点滑出，滑出后运动路线也是某抛物线的一部分（设其解析式的二次项系数为），其顶点为，点，关于点成中心对称．
（1） 求的解析式．
（2） 若，小球沿能砸中点吗？请通过计算说明理由．
（3） 淇淇发现，的值与无关．请你验证这个结论．
（4） 在空中停留一物体（可看作线段），，，若小球不会撞到这个物体，直接写出的取值范围．
微专题3 二次函数中的最值问题
1．[2025石家庄十八县摸底]如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．
2．已知二次函数的表达式为,当时，函数有最大值,则的最小值是_ _ _ _ _ _ .
3．某水果店包装一个果篮需要，两种水果，种水果的单价比种水果的单价少3元，用600元购进种水果和用900元购进种水果的质量一样，包装一个果篮需要种水果4千克和种水果2千克，每个果篮还需包装费8元.市场调查发现：设每个果篮的售价是（元）是整数，该果篮每月的销量（个）与售价（元）的关系式为.
（1） 求一个果篮的成本（成本进价包装费）；
（2） 若每月的利润是（元），求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3） 若每个果篮的售价不超过元是大于70的常数，且是整数，直接写出每月的最大利润.
4．[2024石家庄桥西摸底]如图1，抛物线与轴交于点，,与轴交于点.
图1 图2
（1） 求抛物线的函数表达式．
（2） 如图2，为上一点，当点从点向点匀速运动时，过点作交抛物线于点，交直线于点，连接,．求的最大值．
5．[2025秦皇岛山海关开学考试节选]如图,在平面直角坐标系中,抛物线交轴于,两点（点在点左侧）,交轴于点.
（1） 求点,的坐标；
（2） 将抛物线绕某点旋转 得到抛物线,且也经过,两点,求抛物线的解析式；
（3） 在（2）的条件下,点为抛物线上，之间的一点,作轴交于点，求线段长度的最大值.
6．[2025邯郸摸底]如图，抛物线为常数．
（1） 求证：抛物线一定与轴有两个交点，并且这两个交点分布在原点的两侧.
（2） 当抛物线经过点，时，
① 求抛物线的顶点坐标，并求出抛物线与轴在原点右侧的交点坐标；
② 当时，函数的最大值与最小值的差总为，求的取值范围．
7．[2025秦皇岛学业考试]如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且点与点的坐标分别为、，点是抛物线的顶点．
（1） 求二次函数的解析式.
（2） 点为线段上一个动点，过点作轴于点.设点的横坐标为，的面积为．
① 求与的函数解析式，写出自变量的取值范围；
② 求的最大值．
微专题4 二次函数图象中的公共点问题
1．课堂上，老师给出一道题目：“如图，将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，翻折后得到的图形与抛物线在轴及其上方的部分记为,已知直线与图象有两个公共点，求的取值范围.”甲同学的结果是,乙同学的结果是.下列说法正确的是（ ）
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙结果合在一起才正确
D．甲、乙结果合在一起也不正确
2．[2025河北样卷]如图，正方形的三个顶点坐标分别为，，．抛物线经过点，顶点坐标为，将此抛物线在正方形内（含边界）的部分记为图象．若直线与图象有唯一交点，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或或
3．[2024邯郸武安二模]对于二次函数,定义函数是它的相关函数.若直线与二次函数的相关函数的图象恰好有两个公共点，则的值可能是（ ）
A． B．0 C． D．2
4．[2025沧州南皮一模]如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为．已知点，，将函数图象向上平移个单位长度，若平移后的函数图象与线段只有一个公共点，则的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C． D．或
5．在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为和,抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
6．[2025张家口万全摸底]如图，已知抛物线，线段，若抛物线和线段有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数的值为_ _ _ _ ．
7．在平面直角坐标系中，已知点，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点.
（1） 点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 若抛物线与线段有公共点，求的取值范围．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点点在点的右侧，顶点为点.
（1） 求的长；
（2） 反比例函数的图象记作.
① 若点落在轴上，抛物线与图象的交点在第三象限，点的横坐标为,且，求的取值范围；
② 已知图象经过点,点,若抛物线与线段有唯一的公共点（包括线段的端点），求的取值范围.
9．如图，抛物线常数与轴的交点从左到右为，，过线段的中点作轴，交双曲线于点，且.
（1） 求的值；
（2） 当时，求的长，并求直线与的对称轴之间的距离；
（3） 把在直线左侧的部分（含与直线的交点）记为图象，用表示图象的最高点的坐标；
（4） 设与双曲线有个交点的坐标为，且满足，通过的位置随变化的过程，直接写出的取值范围.
第三模块检测
45分钟 满分：100分
一、选择题（每小题6分，共48分）
1．[2024石家庄新乐模拟]点到轴的距离是 （ ）
A．2 B． C． D．4
2．[2025唐山迁安二模]如图,用四根木条制作一个平行四边形框架,现将它的一组对角慢慢向两边拉动,直至变为矩形框架,在这个变化过程中,设平行四边形的面积为,其中一边上的高为,则与之间的函数图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
3．[2025唐山丰润二模]在平面直角坐标系中,反比例函数的部分图象如图所示,图象上有一点,且轴于点,点在轴上,若的面积为2,则的值为（ ）
A． B．4 C．2 D．
4．[2024唐山模拟]下列结论：①若，在直线上，且，则；②若直线经过第一、二、三象限，则，；③若一次函数的图象交轴于点，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．[2025邯郸一模]定义新运算:按此规定可得的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．[2025张家口一模]如图1，在中， ，，点在上，，点为上一动点，连接，.设，，图2是点从点运动到点的过程中与之间的函数图象，为最低点．甲、乙、丙三名同学分别得到了如下结论：
甲：点的纵坐标为6；
乙：点的纵坐标为；
丙：点的纵坐标为．
则下列判断正确的是（ ）
图1 图2
A．甲错，乙、丙都对 B．甲、丙都错，乙对
C．甲、乙、丙都对 D．甲、乙、丙都错
7．[2025唐山玉田二模]如图,已知二次函数的图象与轴交于点、,与轴交于点.若点为抛物线上的一点,点为对称轴上的一点,且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形,则满足条件的点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．[2024邢台信都摸底]如图，二次函数的图象与轴的交点、的横坐标分别为3和，该图象与轴围成封闭图形，图形内部（不包含边界）恰有4个整点（横、纵坐标均为整数的点），系数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题6分，共24分）
9．[2024石家庄裕华质检]验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，关于的函数图象如图所示.经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则眼镜的度数减少了_ _ _ _ 度.
10．[2025邢台一模]如图,已知点和点均在双曲线上,点的横坐标为,连接交轴于点,点的横坐标为,用含的代数式表示，则_ _ _ _ _ _ .
11．[2025保定竞秀一模]在平面直角坐标系中,嘉琪做走棋的游戏,其走法是:棋子从原点出发,第1步向右走1个单位,第2步向右走2个单位,第3步向上走1个单位,第4步向右走1个单位……依此类推,第步的走法是当能被3整除时,则向上走1个单位;当被3除,余数为1时,则向右走1个单位;当被3除,余数为2时,则向右走2个单位.当走完第50步时,棋子所处位置的坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
12．[2024邢台一模改编]规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点，双曲线经过点,直线与轴相交于点，与双曲线相交于点，线段,及,两点之间的曲线所围成的区域记作.
（1） _ _ _ _ ；
（2） 若区域（不包括边界）内的整点的个数为3，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
三、解答题（共28分）
13．（13分）[2025石家庄二模] 在平面直角坐标系中,已知直线过,两点,直线.
（1） 若直线与直线交于点，
① 求直线的函数解析式；
② 当时,请直接写出的取值范围.
（2） 将线段在平面直角坐标系内平移得到线段,其中点的对应点为点,点的对应点为点.若平移后点落在直线上,此时关于的函数图象必经过一个定点,请求出该定点的坐标.
14．（15分） [2025张家口二模]如图,抛物线经过点,,点是抛物线的顶点.
（1） 求,的值及点的坐标.
（2） 将抛物线平移,使其顶点落在轴上,得到抛物线.
① 直接写出抛物线平移的最短路程及此时抛物线的顶点坐标；
② 在①的条件下,抛物线上有一个动点,其横坐标为,当时,点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2,求的取值范围.
第三模块 函数
第1讲 平面直角坐标系与函数
基础练
1．B 2．B 3．C 4．A 5．C 6．B 7．B
8．2
9．解:（1） 当时,；当时,.
货物,的运费分别为48元、85元.
（2） 当时,.
（3） 当时,， 当运费为170元时,.
，解得.
该货物质量为.
提升练
10．C 11．C 12．A 13．C
14．（1）
（2） 90
[解析]若取得最小值,则取得最小值,根据三角形内角和定理可得需取得最大值.如图,当以中点为圆心,1为半径的圆与直线相切于点时,最大,且 .
的最小值为90.
微专题2 函数图象的分析与判断
1．C
2．C
3．A
4．C
5．C
6．A
7．C
8．A
9．C
10．A
[解析]如图，连接，作于点，则，
点是中点，.
点,分别是,的中点，
,.
当时，点在上，点在上，，
.
如图，当时，点在上，点在上，
，
，，，
.
如图，当时，点、都在上，
.
综上，选项中的图象符合题意，故选.
第2讲 一次函数的图象与性质
基础练
1．B 2．D 3．C 4．A 5．A
6．5
7．解:（1） 点，关于轴对称，
，解得，
.
直线经过点，
，解得．
（2） 当时，.
直线与线段存在交点，
点的纵坐标为2.
当时，，解得，即点的坐标为.
，且点不与点，重合，
，解得.
故的取值范围是．
8．解:（1） 设直线的解析式为．将代入直线的解析式，得，．
直线经过点，，
解得
直线的解析式为．
（2） ① 当时，，
．
将代入，得，
．
② 由题意，得．
，，
解得，．
令，解得，
，，
即线段的长为2.
提升练
9．D
10．C
11．D
[解析]设点从点出发经过的次平移中次向上平移，则次向右平移， 平移后的点坐标为.由点在直线上可得，解得，
平移的路径长.
平移的路径长不小于50且不超过56，,，
易知点的坐标为正整数，是3的倍数,即可以取39、42,故选.
12．C
[解析]连接，，，根据正方形的性质，有轴分别垂直平分，，.
，， 点的坐标为，点的坐标为，故①正确；
将和的坐标代入易得直线的表达式为，故②正确；
由题意可知，，易证，
，故③错误；
设, 点的坐标为，将点的坐标代入得，，解得，
点的纵坐标为．
同理可得点的纵坐标为， ，
点的纵坐标为，
代入，可得点的横坐标为，故④正确．
故选.
13．解:（1） 设直线的解析式为， 点，在直线上，
解得
直线的解析式为.
（2） 由得
.
点的横、纵坐标均为整数，
或,
,.
（3） 直线与直线、分别相交于点、点，
,,
当时，点在点的正上方，
,,
,,
,，
解得.
的取值范围为.
第3讲 一次函数的应用
基础练
1．B
2．
3．解:（1） .
（2） 这种方案不存在.理由如下:
当时，,
解得,
, 这种方案不存在.
（3） 根据题意，得,
解得.
,随的增大而减小，
且为整数， 当时，最大，最大值为1 066.
（件）.
答:购进商品甲67件、商品乙33件商店能获得最大利润，最大利润是1 066元.
4． 解:（1）当时,，
入射光线必过点.
（2） 将代入，解得；将代入，
解得，
的取值范围是.
（3） 不能.
理由:入射光照射到镜面上点时,根据入射角和反射角的关系可知反射光线与轴的交点为,而的坐标为,所以不能使感光带发光.
将平面镜至少向右平移1个单位长度，反射的光才能使感光带发光.
提升练
5．解:（1） 由负到正
（2） 设轨道的长为,当滑块从左向右滑动时，,
,
是的一次函数，
当和5.5时，与之对应的的两个值互为相反数,
当时，,,
, 滑块从点到点所用的时间为.
由题意得滑块从返回到所用的时间为 滑块返回的速度为,
当时，,
,,
滑块从点到点的过程中，与的函数表达式为.
（3） 当时，有两种情况：
①当时，,
;
②当时，,
.
综上所述，的值为6或18.
6．解:（1） 过点作于点,
,
,斜坡的坡度， 结合勾股定理易得，,, 点的坐标为.
设段关于的函数解析式为,将代入,
得,解得,
段关于的函数解析式为.
（2） 在中,, ,
,,
,,
在训练过程中,始终有一架无人机在媛媛正上方随她一起运动，无人机速度为, 媛媛在斜坡上跑步的时间为,
媛媛在斜坡上跑步的平均速度是.
（3） 在段上，无人机与媛媛之间的距离为时,有,解得,
,,,,
易求得段关于的函数解析式为，
在段上,无人机与媛媛之间距离为时,有,解得,
无人机与媛媛之间距离不超过 的时长为.
7．解:（1） 直线经过点,.
利用待定系数法可得直线的解析式为.
（2） 设点,则,,
则,
即,
（舍去）或,.
（3） 是,.
8．解:（1） 4
（2） 是定值.
由题意得，，
设点，
则，
是定值，且.
（3） 作图略.所求线段的长为.
[解析]详解：设，依题意得.
令，则，
令，则.
①当时，，，
则，解得，
；
②当时，，，则，解得，
；
③当时，，，
则，解得（舍去）.
综上，，
此时，所有点构成的线段为点到点的线段，
长度为.
（4） 32.
提示：设，，
，
当时，或，
当时，或，
易得满足的点构成以为中心的正方形，各顶点分别为，，，，
即满足的所有点围成的图形的面积为．
第4讲 反比例函数
基础练
1．B 2．D 3．D 4．B 5．C
6． （答案不唯一）
7．或
8．4
9．12
10．解:（1） 反比例函数的表达式为.
（2） 不妨取三个点，，，如图所示.
（3） 由题图可知.
当时，，
矩形向下平移的距离为．
提升练
11．D 12．C
13．
14．（1）
（2）
15．解:（1） 反比例函数解析式为.一次函数解析式为.
（2） 易知.
，，
.
（3） 如图,过点作轴的平行线,
作于点,于点,
设,
,,.
由题意得， ,,
.
，
.
在和中,
,,
,.
点在这个反比例函数的图象上，，解得或（舍去），
.
第5讲 二次函数的图象与性质
课时1 二次函数的图象与性质
基础练
1．B 2．B 3．B 4．D 5．C 6．D
7．9
8．解:（1） 二次函数的图象的顶点坐标为，
二次函数的一个“同倍项二次函数”的解析式为.（答案不唯一）
（2） ，其图象的顶点坐标为，
，对应图象的顶点坐标为，
是的“同倍项二次函数”，
，解得．
提升练
9．D 10．C
11． 解:（1）抛物线的解析式为，其对称轴为直线.
（2） 点在抛物线上，，
解得，，
的值为或4.
（3） 的值为2或5或8.
[解析]详解：由题意知，
，，
，,三点不重合， 点不在轴上且不在上，由（2）及题意可知且且.
当点，关于点对称，即点为线段的中点时，
，
解得或（舍）.
当点，关于点对称，即点为线段的中点时，
，
解得（舍）或.
当点，关于点对称，即点为线段的中点时，
，
解得（舍）或.
综上所述，的值为2或5或8．
12．解:（1） 抛物线的解析式为．
点的坐标为．
（2） ① 设直线的解析式为．把,代入，得解得
直线的解析式为．
② 设，
则，
，，
，，
．
， 当时，取最大值，为4，
此时，，
点的坐标为．
课时2 二次函数与方程、不等式的关系
基础练
1．A 2．C 3．D
4．,
5．
[解析]由题意易得点、的坐标分别为、,
由平移得， 抛物线的解析式为,
易知直线过点,
当且直线与只有一个公共点时,的值最大,
联立得
整理得,
,
,
,解得,
公共点横坐标满足,
,解得,
的最大值是.
6． 解:（1）抛物线的对称轴为直线.抛物线与轴交点的坐标为，由题意得,
解得.
（2） ① 直线的解析式为.
② 令,
整理得.
抛物线上有两个不同的“龙点”，
,
解得.
提升练
7．D 8．A
9．
[解析]令,即， 二次函数图象上有且只有一个完美点,
,即,
把代入得,,，
，
该二次函数图象的顶点坐标为,与轴交点为,根据对称性,可知点也是该二次函数图象上的点,
由题意得，当时,函数的最小值为,最大值为1,则.
10．或
[解析] 抛物线与线段有两个不同的交点，
令,
则.
.
①当时，
解得.
②当时，
解得.
综上所述,或.
11．解:（1） 顶点的坐标为，，.
（2） ① ,.
② 由题意得二次函数.
当抛物线的右半部分与线段有交点时，将代入中，得，
令，解得；
当抛物线的左半部分与线段有交点时，将代入中，得，
令，解得，
综上，淇淇输入的的取值范围为或.
课时3 二次函数图象与性质的应用
1．C
2．A
3．C
4．A
[解析]由题意得，
易得.
，
若,则当时,取得最小值,即,则（舍去）;
若,则当时,取得最小值,即,则;
若,则当时,取得最小值,即,方程无解.
综上所述,的值为.故选.
5．2
6．（1）
（2） 2
7．（1）
（2）
[解析]由（1）得，
抛物线的顶点纵坐标为．
当时，，.
经过点和，开口向下， 所求区域内的整点为对称轴上的整点， 当该区域中恰有5个整点时，这5个整点的坐标为,,,,，
解得．
8．（1）
（2） 0或4
[解析]由题意可得抛物线开口向上，对称轴为直线.
当时，时函数取得最小值，
，
解得或（舍去）；
当时，时函数取得最小值，
，解得.
综上所述，的值为0或4.
9．解:（1） 这个二次函数的表达式为.
（2） ，两点坐标分别为,.
（3） 将向上平移个单位长度，得到新抛物线的表达式为，
设点为新抛物线上一点，其横坐标为,则纵坐标为.
若点在线段上，则点的纵坐标大于或等于零，
即，则，
，.
10．解:（1） 点坐标是,点坐标是.
（2） 易知点的坐标是.
抛物线与轴交于点和点，
抛物线的表达式可记为.将代入,
得,解得.
,
即.
顶点坐标是.
（3） 抛物线的顶点坐标是,抛物线.
当点在抛物线上时,
,
解得.令,
得.
.又, 直线的表达式为,
当点在线段上时,
,解得.
的取值范围是.
11．解:（1） 抛物线的解析式为.
（2） 易知,
,
抛物线的顶点坐标为.
当时，,
或.
当时，图象对应函数的最大值为9，最小值为,
,
解得（舍）或；
当时，图象对应函数的最大值为9，最小值为5，满足题意;
当时，图象对应函数的最大值小于9，最小值为5，不满足题意；
当时，图象对应函数的最大值为5，最小值为,
,解得或（舍）.
综上所述，符合的条件为或.
（3） ,，
将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度可得,,
线段的两个三等分点的坐标为,.
设平移后的抛物线解析式为,将两个三等分点坐标代入得，解得
平移后的抛物线解析式为,其顶点坐标为.又抛物线的顶点坐标为,
平移前、后抛物线的顶点之间的距离为,
抛物线平移的最短路程为.
第6讲 二次函数的综合应用
1．C
2．D
[解析]如图,, 顶点坐标为.当时,, 点.当时,, 点.如图1，当时,点的对应点为.此时新函数的最大值为5,最小值为0.
如图2,当时,新函数的最小值为,最大值为4.
综上所述,.故选.
图1 图2
3．或
[解析]由题意知抛物线开口向上,对称轴为直线，顶点坐标为,
抛物线顶点在抛物线上.由题意得点坐标为.
当抛物线对称轴与所在直线重合时符合题意,
此时，解得.
将代入得
,解得,
满足题意.
将代入得,解得,
将代入得,解得,
满足题意.
综上所述,或.
4． 解:（1）抛物线的表达式为.
点的坐标为.
（2） 易知点的坐标为,
直线的表达式为.
作关于的对称点,连接,则,设垂足为,则点为的中点,连接，.
易得直线的表达式为,
联立直线与的表达式可得点的坐标为,
点的坐标为.
,,,
,,
，
即周长的最小值为.
解:（1） ，，.
设,，
则，解得，，
把代入得
，即．
（2） ① 由,易求得抛物线解析式为．
②
，.
易得直线的解析式为，
当时，，
,即的长为5.
③ 或．
提示：的坐标为，，当点在线段上时，点的坐标为，
，
，，结合，易得.
易知抛物线与轴的交点坐标为，当点在线段上时，由易得．
综上，满足条件的的横坐标的取值范围为或．
6．解:（1） 3
（2） 5
（3） 二次函数的表达式为.
（4） 的值为2或或.
[解析]详解：由题意得，,
则,
易得直线的表达式为,则,
当时,点、的横坐标相同,即,则；
分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为，，.
当时，易得，
,
即，,.
当时，易得，
同理可得，，
.综上,或或.
7． 解:（1），
抛物线的顶点坐标为.
当时,，.
.
（2） 令,解得,，
,.
抛物线的对称轴为直线，
当时,点的坐标为,则;
当时,点的坐标为,将代入,得,解得.
.
（3） .
第7讲 二次函数的实际应用
基础练
1．B
2．（1）
（2） 14
[解析]如图，设、分别与轴交于点、,易知 ,
在中，,
.由水杯高度为可知,
,易得直线的解析式为,令,
解得,,
将代入,得,
,
.
3．解:（1） 抛物线的表达式为．
（2） 该女生在此项考试中没有得满分．理由如下：
令，即，
解得，（舍去），
，
该女生在此项考试中没有得满分．
（3） 不妨设新的抛物线的解析式为．
把代入得，
，解得．
，
即.
答：当掷出点的高度至少达到时，可得满分．
4．解:（1） 与的函数关系式为且为整数.
（2） 设日销售利润为元,根据题意可得，
.
当时,日销售利润最大，为1 568元.
（3） 设每天扣除捐赠后的日销售利润为元,根据题意可得，
,
其图象对称轴为直线,
在这30天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大,,,
又,.
提升练
5．解:（1） 抛物线解析式为.
抛物线顶点的坐标为.
（2） ,，点在轴上，，
直线的解析式为，
点在直线上，
设，
,轴，点,
，
点在抛物线上，
，
解得（舍去）或，
此时，．
（3） ① 设小树高度为，
则，
即，
，
，
解得,，
在左侧，
，，
在中，，.
易得．
② .
提示：令，得或，
， 当时，取最大值，
在左侧，且，点，均与点不重合， 点的横坐标的取值范围是.
6．解:（1） 由题意可知上边缘抛物线的函数解析式为.
令，
解得或.
点在轴的正半轴上，，
即喷出水的最大射程为.
（2） 点关于直线的对称点为， 下边缘抛物线可看作是由上边缘抛物线向左平移4个单位长度得到的.
,.
（3） .
[解析]详解：令，解得.， 当时，灌溉车行驶时能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人.由，知当时，人行道边缘恰为点，故的取值范围为.
7．解:（1） ① 抛物线过点,
设抛物线的解析式为.根据题意得,,
由待定系数法可得抛物线的解析式为.
② ，
点的坐标为.
（2） 琪琪的说法对,理由如下:
易知直线的解析式为，
由，
可知在同一“花瓣”的内、外边缘上安装竖直的铁丝最大长度是, 安装4条铁丝的总长小于, 总长的铁丝一定够用.
（3） 最小值为.
提示：如图,工艺品和正方形托盘都是关于轴对称的图形,
直线与轴的夹角为 .设直线的解析式为,由直线与抛物线只有一个公共点可得方程有两个相等实数根,整理得,由,解得.. 点的坐标为,由②知抛物线的对称轴为直线,由对称性可知正方形的顶点的坐标为,即,
，
即正方形托盘边长的最小值为.
8．解:（1） 的解析式为.
（2） 不能.理由:将代入的解析式,得,.
点,关于点成中心对称,且,,
,将点的坐标代入,得,解得,
.
当时,,
不能砸中点.
（3） ,,
，
.
将点的坐标代入,得.
,,
解得,故的值与无关.
（4） 或.
[解析]详解：由（3）知
当时,解得或（舍去）,
.
, 当时,与线段有一个公共点,
若小球不会撞到物体,则.
将代入,得,
解得或（舍去）,
此时.
当时,,小球能越过点, 当时,小球不会撞到物体.
综上所述,的取值范围是或.
微专题3 二次函数中的最值问题
1．A
[解析]由题意得该抛物线的解析式为,
，
的周长，且是定值， 只需的值最小，
如图1，作点关于轴对称的点，连接与轴的交点记为，则，连接，则.
图1
易求得直线的解析式为，
即，；
如图2，作点关于轴对称的点，连接与轴的交点记为点，连接，同理可得，.
点为时，的周长最小，故选.
图2
2．
[解析]由二次函数的表达式可知函数图象开口向下，对称轴为直线.当时，时，取最大值，即；当时，时，取最大值，即；当时，时，取最大值，即.综上所述，的最小值为.
3．解:（1） 设种水果的单价为元，则种水果的单价为元.
依题意，得，解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 一个果篮的成本为（元）.
答：一个果篮的成本为50元.
（2） 依题意得.
（3） 当且为整数时，每月的最大利润为 9 000元，当且为整数时，每月的最大利润为元.
4．解:（1） 抛物线的函数表达式为.
（2） 直线的表达式为，
设，则,
， 当时，的长取最大值，为，
，
的最大值为.
5．解:（1） ,.
（2） 抛物线由旋转得到,且经过,两点,
设抛物线的解析式为,将代入,
得,解得,
抛物线的解析式为.
（3） 轴, 点,的横坐标相同,设点,的横坐标为,则
,,
,
,且,
当时,线段的长取最大值.
6．解:（1） 证明：令，
，
方程有两个不相等的实数根，即抛物线与轴有两个交点.
设方程的两根分别为,，
， 该一元二次方程有两个异号的实数根，
抛物线与轴的两个交点分布在原点的两侧.
（2） ① 抛物线经过点,， 抛物线的对称轴为直线，，
即抛物线．
抛物线的顶点坐标为，
令,解得.
抛物线与轴在原点右侧的交点坐标为．
② 记抛物线与轴交于点，点关于直线的对称点为，
点与顶点的竖直距离为，
当时，函数的最大值与最小值的差总为．
7．解:（1） 二次函数的解析式为.
（2） ① ，，
设直线的解析式为，
将，代入得，
解得
直线的解析式为，
点的横坐标为，
,，
的面积.
的取值范围为.
② ，,
，满足，
的面积的最大值为．
微专题4 二次函数图象中的公共点问题
1．C
2．A
[解析]设抛物线与边的另一个交点为，由题意得，
易得抛物线解析式为，
当时，解得,，.
易得直线过定点，
当时，，
直线与抛物线必有两个交点.
直线与图象有唯一交点， 当时，需满足当时，，解得.
当时，需满足当时，，解得.
综上所述，或，故选.
3．D
[解析]由题意得二次函数的相关函数为
二次函数的图象开口向上，与轴的交点为，对称轴为直线,当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大;二次函数的图象开口向下，与轴的交点为，对称轴为直线，当时，随的增大而增大.
直线与轴的交点为.
直线与二次函数的相关函数的图象恰好有两个公共点，可分为以下两种情况：
①直线分别与函数，的图象有一个交点，则有，解得；
②直线与函数的图象有两个交点，与函数的图象没有交点，则，令，即有两个不相等的实数根，
，
解得，.
综上所述，或，
的值可能是2，故选.
4．A
[解析]由图象可知抛物线的对称轴是直线，易知抛物线与轴的另一个交点为，
抛物线解析式为，
抛物线向上平移个单位长度后解析式为， 平移后的抛物线的顶点坐标为.
①当平移后抛物线顶点落在上时，，解得；
②当平移后抛物线经过点时，，解得；
当平移后抛物线经过点时，
，解得，
当时，平移后的抛物线与线段只有一个公共点．
综上，或．故选.
5．或
[解析]当抛物线经过点时，,.当抛物线经过点时，,,
故当时，抛物线与线段只有一个公共点.
当抛物线顶点在线段上时，关于的方程,即有两个相等的实数根，
,
或（舍）.
综上，的取值范围是或.
6．2或4
[解析]由题意，联立得，
不妨设方程的两根为,,，.
线段，且两个交点均为整点,
当时，，即，解得；
当时，，即，解得.
的值为2或4.
7．解:（1）
（2） ,
抛物线的顶点坐标为,
由题意可知，抛物线恒过点,，
①当时，如图1，此时需满足
，；
②当时，如图2，此时需满足
,.
图1 图2
综上所述，的取值范围是或．
8．解:（1） 令,则,,,
.
（2） ① 点落在轴上，
,,
联立得即,
点的横坐标为，,
即,当时，,
当时，,.
② 图象经过点,，
,解得,
,,
当抛物线经过时，或,
当抛物线经过时，或,
如图1，当时，抛物线与线段有唯一公共点.
如图2，当时，抛物线与线段有唯一公共点.
图1 图2
综上所述，或时，抛物线与线段有唯一的公共点.
9． 解:（1）设点，则，由的中点为知，代入，得，
即.
（2） 当时，，
令，
，.
由点在点左边，得，，.
易知的对称轴为直线，点的坐标为， 直线与的对称轴之间的距离为.
（3） 由题意得，，
的对称轴为直线.
又直线为，
当，即时，顶点就是图象的最高点；
当时，与的交点就是图象的最高点.
（4） 或.
提示：对于双曲线，当时，，即与双曲线在，之间有一个交点.
①由，
得，；
②由，
得，.
随着的逐渐增大，随着点向右平移，如图所示.
当时，在对称轴右侧的部分过点；
当时，在对称轴右侧的部分过点，即.
当时，在对称轴右侧的部分离开点，而左侧的部分未到点，即与该段无交点，舍去.
当时，在对称轴左侧的部分过点；
当时，在对称轴左侧的部分过点，即.
综上，的取值范围是或.
第三模块检测
一、选择题（每小题6分，共48分）
1．D
2．B
3．B
4．B
5．C
6．A
7．C
8．B
[解析]由题意得二次函数解析式为，对称轴为直线，抛物线顶点坐标为，与轴的交点坐标为，
如图所示， 图形内部（不包含边界）恰有4个整点，
解得，
选项符合题意，故选.
二、填空题（每小题6分，共24分）
9．200
10．
11．
12．（1） 6
（2） 或
[解析]易知，
直线的表达式为.
当点在上方时，显然区域内的整点为，，，当时，,，
.
当点在下方时，区域内的整点为，，.
当时，,则,，,此时且,满足题意.
综上，的取值范围是或.
三、解答题（共28分）
13．解：（1） ① 由题意易求得直线的解析式为，将代入得,.
把代入，得, 直线的函数解析式为.
② .
（2） 由平移得,且,
则点与点之间的对应坐标差和点与点之间的对应坐标差相等,
点,点,
,,
,
把代入得,
,
即,
当时,无论取何值都有,此时,
关于的函数的图象必过定点.
14．解：（1） 根据题意知抛物线的对称轴为直线,
,.
.
将代入,
得,即.
,
点的坐标为.
（2） ① 抛物线平移的最短路程为3.此时顶点坐标为.
② 由①得,抛物线的表达式为.
令,则,
点在抛物线上关于对称轴对称的点为,且当时,点路径的最高点和最低点的纵坐标之差为2,
.
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