第五模块 四边形 （含答案）2026年中考数学一轮复习考点专练（河北）

第五模块 四边形
第1讲 多边形与平行四边形
基础练
1．[2025保定一模]下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2025石家庄长安质检]根据所标数据,不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2024张家口宣化一模]一个大正六边形的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形的中心重合，且大正六边形与边、相交于、（如图）．图中阴影部分的面积记为，三条线段、、的长度之和记为，在大正六边形绕点旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A．变化，不变 B．不变，变化
C．与均变化 D．与均不变
4．[2025唐山路南模拟]四边形的边及对角线的数据如图所示（其中为常数），已知，下列说法错误的是（ ）
A． B．是直角三角形
C． D．四边形是平行四边形
5．[2025承德兴隆二模]如图,的对角线,相交于点,的平分线与边相交于点,是的中点,若,,则的长为 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．[2025秦皇岛海港一模]如图,四边形是平行四边形,在对角线上取两点,,连接,,,.下列条件:；；,；；.其中能得到四边形是平行四边形的条件个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．[2025保定易县一模]已知四边形为平行四边形，为的中点.下列两个方案中，能得到以，，，为顶点的四边形为平行四边形的是（ ）
方案一 方案二
为和的延长线的交点 为和延长线的交点
A．只有方案一 B．只有方案二
C．两个方案都不能 D．两个方案都能
8．传统文化 [2025湖南] 如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点，则_ _ _ _ .
9．[2025保定定兴一模]如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点，，在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心，则的值为_ _ _ _ _ _ ．
提升练
10．[2025承德兴隆二模]如图,在正五边形中,以为斜边作等腰直角,连接,交于点,连接,交于点,则下列两位同学中，给出的说法正确的同学是（ ）
嘉嘉:为直角三角形. 淇淇:为等腰三角形.
A．只有嘉嘉 B．只有淇淇
C．两人都正确 D．两人都不正确
11．[2025唐山路南模拟]如图，正六边形的边长为，连接，，点，分别在线段和上，若是等边三角形，且边长为整数，则满足上述条件的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
[2025唐山路南二模]如图,在平行四边形中,,,
是锐角,于点,为的中点,连接,,若 ,则的长是（ ）
A．6 B．8 C． D．
13．[2025邢台一模]如图,已知正六边形的顶点在直线上,是的中点,连接并延长交直线于点,若 ,,则的值是（ ）
A． B． C． D．
14．[2025保定莲池一模]如图,是内任意一点,连接,,,,得到,,,,设它们的面积分别是,,,,则下列结论错误的是（ ）
A．若,则点在边,中点的连线上
B．若点在的平分线上,则
C．若,则点在线段上
D．若,点在线段上,则
15．[2025沧州献县模拟]如图,平行四边形的对角线,相交于点,延长到点,使,连接,连接交于点,交于点.
（1） 求证:四边形是平行四边形；
（2） 若,,,求的值及的长.
第2讲 特殊的平行四边形
基础练
1．[2025廊坊霸州摸底]学完矩形的判定以后,张老师想让同学们通过测量来判定一个四边形是不是矩形.嘉嘉准备了一把刻度尺,淇淇准备了一个量角器,他俩谁的工具能判定这个四边形是矩形？（ ）
A．嘉嘉能,淇淇不能 B．淇淇能,嘉嘉不能
C．他俩都能 D．他俩都不能
2．[2025石家庄四区联考]如图,矩形为一个正在倒水的水杯的截面图,,杯中水面与的交点为,当水杯底面与水平面的夹角为 时,杯中水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
3．[2025秦皇岛山海关开学考试]阅读以下证明过程:
如图,在四边形中,对角线,交于点,,. 求证:四边形是菱形. 证明:,， 垂直平分,结论 ,,结论 四边形是菱形.
对于该题目及证明过程,下列说法正确的是（ ）
A．证明过程中结论①错误
B．证明过程中结论②错误
C．该证明过程严谨,结论正确
D．该题目需要补充条件,才能完成证明
4．[2025石家庄质检]如图,在中,点,,分别在边,,上,满足,,连接.有下列说法：
①当时,四边形为矩形；
②当平分时,四边形为菱形;
③当为等腰直角三角形时,四边形为正方形.
上述说法正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．[2025邯郸摸底]如图，在矩形纸片中，，点是边上的一点，点是边的中点，佳佳按如下方式作图：
①连接，；②分别取，的中点，；
③连接，．
若四边形是矩形，可以推断的长度不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．[2025承德兴隆二模]如图,正方形的顶点在正方形的边上,与交于点,若,,则的值为_ _ _ _ _ _ .
7．[2024邯郸模拟]如图，已知四边形是菱形，延长到，使，连接.
（1） 求证： ；
（2） 已知，，求的长．
提升练
8．[2025保定竞秀开学考试]矩形中，平分， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．是等腰三角形
C． D．
9．[2025江苏苏州]如图,在正方形中,为边的中点,连接,将沿翻折,得到,连接,,则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．的面积的面积
D．四边形的面积的面积
10．[2025邢台一模]如图,四边形是菱形,对角线所在直线是一条水平直线,过点作一条竖直直线,将直线沿水平方向向右平移,在平移过程中,直线落在菱形内部的线段长记作,若,,则正整数的值是_ _ _ _ .
11．[2025石家庄桥西质检]如图，在菱形中，对角线，相交于点，， ．点与关于过点的直线对称，直线与交于点．当点落在的延长线上时，的值为_ _ _ _ _ _ _ _ ．
12．[2025沧州东光二模]如图,菱形中, ,点是边上的点,,,点是边上的一动点,是以点为直角顶点,为 的直角三角形,连接.则线段长度的最小值是_ _ _ _ _ _ .
13．[2025邢台模拟]如图1,图2,在菱形中,点是边的中点,连接,点是边上一点.
图1 图2
（1） 如图1,若，
① 在图1中,尺规作图:过点作,交于点（不写作法,保留作图痕迹）；
② 求证:.
（2） 如图2,连接.若,,求的长.
14．[2025唐山一模改编]如图,在矩形中,,.点在边上,点在射线上，,设.
备用图 备用图
（1） 的长为_ _ _ _ ,的值最小时_ _ _ _ .
（2） 当点在边上时，
① 在图中利用尺规作图作出,分别交,于点和点（保留作图痕迹,不写作法）,并求的长度（用含的式子表示）；
② 在①条件下，连接,,若四边形是平行四边形,求出的值.
（3） 当点关于直线的对称点落在直线上时,直接写出,之间的距离.
15．[2025张家口一模]如图1至图3，在矩形中，，，点是上一动点，连接，以为一边，向右上方作正方形．
图1 图2 图3
【探究】
（1） 如图1，当点在上时，直接写出的长；
（2） 如图2，当经过点时，求的长．
【发现】嘉嘉研究发现，在点从点向点运动的过程中，点到的距离是定值．
【证明】 请你利用图3证明嘉嘉的“发现”，并求出这个定值．
【拓展】 直接写出线段长度的最小值．
第五模块检测
45分钟 满分：100分
一、选择题（每小题5分，共50分）
1．[2025唐山路北二模]将多边形的边由条增加到条后,内角和增加了 ,则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．[2023秦皇岛一模]如图，在中，，，平分交边于点，则线段、的长分别为（ ）
A．1、4 B．4、1 C．2、3 D．3、2
3．[2025唐山路南二模]直线与正方形的边，分别相交于点，，如图所示，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．[2025石家庄开学考试]小美同学按如下步骤作四边形画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接，，.若 ，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
5．[2025石家庄模拟]如图,在中,,分别是,上的点,延长至点,连接, .要使四边形为平行四边形,三位同学给出甲、乙、丙三种不同的方案:
甲:添加;
乙:添加;
丙:添加.
则正确的方案是（ ）
A．只有甲、乙 B．只有乙、丙
C．只有甲、丙 D．甲、乙、丙
6．[2025承德兴隆一模]依据所标数据,下列四边形不一定为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．[2025保定易县一模]如图,在矩形中,为上的一点,且,,分别为,的中点,连接,,.若,,则四边形的周长为（ ）
A．24 B．12 C．17 D．22
8．[2025邯郸二模]在中,点,分别是,的中点,点在上（不与点,重合）,连接,按下图的方式操作:
①沿和剪开; ②将绕点逆时针旋转 ,使点,重合； ③将绕点顺时针旋转 ,使点,重合； ④得到四边形.
下列条件能使四边形是矩形的是（ ）
A．平分 B．
C．平分 D．
9．[2025保定联考]菱形中，，，是的中点，是上的动点，则周长的最小值是（ ）
A．9 B．8 C． D．
10．[2025邯郸二模]在正六边形中,点是的中点,连接,,若图中阴影部分的面积为,有如下结论:
结论一: ；
结论二:.
下列判断正确的是（ ）
A．结论一正确,结论二不正确 B．结论一不正确,结论二正确
C．结论一、结论二均正确 D．结论一、结论二均不正确
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．[2025唐山路北二模]如图,若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角的度数等于_ _ _ _ _ _ .
12．[2025邯郸一模]用个完全相同的正五边形按照如下的方式拼成一圈,相邻的两个正五边形有公共顶点,且相邻两个正五边形外圈的夹角均为 ,内圈的夹角均为 .若,均为正整数,且,则所有符合条件的的值为_ _ _ _ _ _ .
13．[2025邢台部分学校二模]如图,点是正六边形的边的中点,一束光从点发出，照射到镜面上的点处,经反射后恰好经过顶点.已知正六边形的边长为4，则_ _ _ _ _ _ .
14．[2025张家口二模]如图,已知正方形的边长为2,的直角顶点落在线段上,直角边经过点,直角边与直线交于点,连接.设点为的内心,当点在的内部（包括边界）时,的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
三、解答题（共30分）
15．（8分）[2025邢台信都一模] 如图,与交于点,,.
（1） 求证:.
（2） 若点是的中点.
① 求证:点是的中点.
② 嘉嘉说:若,则连接得到的四边形是菱形.你认为嘉嘉的说法正确吗 请说明理由.
16．（10分）[2025四川南充节选] 矩形中,,,点是线段上异于点的一个动点,连接,把沿直线折叠,使点落在点处.
图1 图2
【初步感知】
（1） 如图1,当为的中点时,延长交于点,求证:.
【深入探究】
（2） 如图2,点在线段上,.点在移动过程中,求的最小值.
17．（12分）[2025石家庄二模]
定义:在四边形中,若有一个角是直角,且从这个直角顶点引出的对角线,把对角分成的两个角中,有一个是直角,我们称这样的四边形为“双垂四边形”.
图1 图2 图3
（1） 如图1,在“双垂四边形”中,若 ,则_ _ _ _ _ _ ,的值为_ _ _ _ _ _ .
（2） 如图2,在“双垂四边形”中, ,为线段上一点,且,求的值.
（3） 在“双垂四边形”中, ,,为线段上一点,且.
① 当点运动到中点的右侧时,如图3，连接,作点关于的对称点,并连接,,；（尺规作图，保留作图痕迹,不写作图过程）
② 在①的条件下,若,请直接写出的面积.
第五模块 四边形
第1讲 多边形与平行四边形
基础练
1．D 2．A 3．D 4．C 5．D 6．C 7．D
8．45
9．
提升练
10．C
11．C
12．D
13．A
[解析]过点作于点，延长交直线于点，如图.
由题意知，
, ,
,
,
，
，，
是的中点，，
，，
，
易得，，
，
，
，
.
14．D
[解析]由题意知,,.若,则点到,的距离相等, 点在线段,的中点的连线上，项结论正确;若点在的平分线上，则点到,的距离相等，
,项结论正确;若,则，,
点在上,项结论正确;若,点在上,则由点,到的距离相等知,,即,项结论错误.
15．解：（1） 证明： 四边形是平行四边形，且.
，，
四边形是平行四边形.
（2） 四边形是平行四边形,,
,,
在中,,,设,则,
，
解得或（舍去），
,,
,,
,
,,
.
四边形是平行四边形,
,
.
第2讲 特殊的平行四边形
基础练
1．C 2．D 3．D 4．A 5．D
6．
7．解：（1） 证明： 四边形是菱形，，，
，，，
， ，
即 ．
（2） 过作交的延长线于，连接，
，，
，
设，则，由，得，（负值舍去），，，
，，
.
，，
四边形是平行四边形，
．
提升练
8．C
9．D
[解析]连接交于点，
四边形是正方形,
, ,
为边的中点,
,
将沿翻折,得到,
,，
,
，，,故选项中结论正确；
作于点,设,则 ,
,
,
，
由翻折易得垂直平分，
，
，
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
故选项中结论正确；
,
,
,
,
,
故选项中结论正确；
,
,
,
,
,,
故选项中结论不正确.
10．1
11．
12．
[解析]过点作于点，作于点，连接并延长，作于点，
， 点、、、四点共圆， ，
，，
， ，
四边形是矩形，，
，，
，,即长度的最小值为.
13．解：（1） ① 如图,即为所求.
② 证明：由题意可知.
,,
,
.
（2） 延长交的延长线于.
四边形是菱形,
,,
,.
是边的中点,.
.
,.
,,
,,,
.
.
,.
..
14． 解：（1） 10； 2.
（2） ①作图如下.
易知四边形是矩形,
.
，
.
② 当四边形为平行四边形时,，
，,
，
.
（3） ，之间的距离为或.
提示：作于点.
当在线段上时，如图，
点关于直线的对称点落在直线上， ，
，，
，解得，
，，
；
当在线段的延长线上时，如图，
易知，，解得，，
，
．
综上，,之间的距离为或．
15． 解：【探究】（1） 1
（2） ,.
又 ,
,.
又,,,
,.
【证明】证明：如图,作,交的延长线于点,
此时的长为点到的距离.
,.
又 ,,
,
，
即点到的距离是定值,这个定值是2.
【拓展】 .
提示：如图,当点位于点时,点位于点,连接,过点作垂直于的射线,交于点,则点始终在射线上运动.
作于点,易得、为等腰直角三角形，,
当点与点重合时,线段取得最小值,为.
第五模块检测
一、选择题（每小题5分，共50分）
1．C
2．D
3．A
4．C
5．B
6．A
7．D
8．B
9．D
10．D
[解析]设正六边形的中心为点,连接,,,过点作于,设正六边形的边长为.易知过点,是等边三角形,
.
多边形是正六边形,
,, .
,,,
, ，
,.
, ,
.
,
.
（负值舍去）,,
，故结论二不正确.
过点作于点,易知，则，
.
,即 ，
故结论一不正确.故选.
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．
12．3或4或5
13．
14．
[解析]当点与点重合时,点与点重合,点为的内心. 四边形为正方形,平分,
点在上.此时.
如图,当点落在上时,值最大，过点作于点,于点,于点，
, ,
.
易证四边形是正方形,四边形为矩形,.
,,.
易证,,
为等腰直角三角形.
点为的内心,
,
.
又 , ,
,
的取值范围是.
三、解答题（共30分）
15．解：（1） 证明:在和中,
，
.
（2） ① 证明:由（1）知,,，
在和中,
,
,,
是的中点，即，
，即点是的中点.
② 嘉嘉的说法正确.
理由:由①知，，
四边形是平行四边形，
,
四边形是菱形.
16．（1） 证明：如图，连接,
由折叠可得 ,.
四边形为矩形, .
为的中点,,
.
在与中,,,
,
.
（2） 由折叠可得,点在移动过程中,的长不变，
点在以为圆心,10为半径的的弧上.
如图，连接,
当点在线段上时,有最小值.
,,，
,
,
的最小值为.
17．解：（1） ；
（2） , ,
,
,，
.
, ,
,
,
,
,,
即.
（3） ① 作图如下.
② 12
详解:连接,
，，
为中点，， ，
，
同（2）可得，，
，
由轴对称的性质可知,又 ，
四边形为正方形，
连接，则， ，，
，，，，，
，
．
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