第二十四章 圆--三角形外接圆 常见题型总结练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

第二十四章 圆--三角形外接圆 常见题型总结练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、三角形的外接圆
1． 三角形的外心是（???）
A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点
2． 在false中，false，点false是false的外心，则false的度数是（????）
A．false B．false C．false D．false或false
3． 如图，若点false是false的外心，false，false，连接false，则边false的长为 ．
二、确定三角形的外心的位置
1． 如图，点false为false的外心，连接false，作正方形false．下列说法不一定正确的是（???）
A．点false在边false的垂直平分线上
B．点false为false的外心
C．false平分false
D．直线false与false的外接圆相切
2． 如图，在false中，分别以点false和点false为圆心，大于false的长为半径作弧，两弧相交于false，false两点，作直线false；分别以点false和点false为圆心，大于false的长为半径作弧，两弧相交于false，false两点，作直线false． 直线false与false相交于点false，若以点false为圆心，false为半径作圆，则下列说法错误的是（???）
A．点false在false上 B．false是false上的外接圆
C．false是false的弦 D．false是false的内心
3． 如图，在false的正方形网格中，false的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．
(1)在图1中找点D，使得线段false是false的中线；
(2)在图2中找点O，使得点O为false的外心．
三、确定三角形的外心的坐标
1． 如图，在平面直角坐标系中，则false的外心坐标为（???）
A．false B．false C．false D．false
2． 如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过false，false，false三点，则下列说法正确的是（???）
A．这条圆弧所在圆的半径为false B．点false在这条圆弧所在圆外
C．原点false在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为false
3． 如图，在平面直角坐标系中，点false的坐标为false，点false为平面内不在false轴上的一点，且false，false外接圆圆心的坐标为false．
（1）点false恰在false轴的正半轴上，则点false的坐标为 ；
（2）false的取值范围是 ．
如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）．
(1)请求出该圆弧所在圆P的圆心坐标和半径；
(2)判断点false与⊙P的位置关系．
5． 如下图，在平面直角坐标系中，false是false上的三个点．
(1)直接写出圆心M的坐标：________．
(2)求false的半径．
(3)判断点false与false的位置关系．
四、三角形的外接圆的有关计算
1 ． 如图，A，B，C是false上的三点，false是等边三角形．若false，则false的半径是（???）
A．false B．false C．false D．false
2． 如图，在false中，false，false，false，则它的外心与顶点false的距离为（???）
A．false B．false C．false D．false
3． 在false中，false，false，false，则这个三角形的外接圆的直径是（???）
A．8 B．false C．false D．4
4． 如图，false是false的内接三角形．若false，false，则false的半径是 ．
已知直角三角形模具的两条直角边为false和false，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为 false．
如图，false经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为false，D为false上在第一象限内的一点．若false，求：
(1)false的半径．
(2)点B的坐标．
五、三角形的外接圆的应用
1． 如图，已知弧上的三点false、false、false，要把破残的圆片补充完整．
(1)尺规作图，找出弧false所在圆的圆心false（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)设false是等腰三角形，底边false，腰false，求圆片的半径false．
2 ． 请用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹
如图，政府准备在A、B、C、D四个小区中间的空地建造一个圆形的中心公园M，要求在false、false、false三条道路上各开一个门，请你帮忙划定中心公园M的范围．
工人师傅在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示．
(1)请用尺规作图在图上作出该图；
(2)测量直角三角形的两直角边false，false，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少？
4． 【问题提出】
（1）如图①，在false中，false，点false是false外接圆的圆心，则false面积的最大值是______________；
【问题解决】
（2）如图②所示，道路false的一侧有一块闲置地，当地政府为提高辖区生态环境水平，改善居民生活质量，现规划建设一个五边形的公园false，根据设计要求：false，false，false为公园内的两条步行直道，false为false的中点．设计师还需在false上选取一点false，经过点false修建一条步行直道false，在四边形false面积最大的前提下，false平分五边形false的面积．请问：是否存在满足设计要求的点false和点false？若存在，求出此时false的长度；若不存在，请说明理由．（点false在同一平面内，直道false的宽度均忽略不计，结果保留根号）
5． 如图，在false中，false．
(1)请用尺规作图法作出false的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若false，false，求此外接圆的半径．
六、三角形的外接圆的综合问题
1． 如图，在五边形false中，点false，false，false，false是false上的四个点，false，false平分false．
(1)求证：false是等边三角形；
(2)求证：false；
(3)若false，false，求false面积的最大值．
2． 综合与实践
问题情境：金金和山山两位同学在讨论三角形外接圆的问题，金金说：“任何三角形都有且只有一个外接圆”；山山说：“若知道特殊三角形的三边长，外接圆半径可求”．
(1)数学思考：①若直角三角形两条边长分别为3和4，则外接圆半径为______；②如图1，等腰false内接于圆O，false求圆O的半径．
(2)深入探究：金金经过探索发现：“所有形状的三角形，只要知道三边长，外接圆半径都可以求得”，山山也想到了：“对，一旦知道三边长，则一定能计算出三角形的高线，接下去只要构造出相似三角形，半径必然可求．”如图2，false内接于圆O，false于点D，你可以参考山山的思路提示，求出false外接圆的半径．
拓展练
一、填空题
1．已知点O是false的外心，false，则false ．
2．如图，在平面直角坐标系中，点false、false、false的坐标分别为false，false，false，则以false、false、false为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是 ．
3．如图，false是false的内接三角形．若false，false，则false的半径是 ．
4．已知O为false的外心，false，则false
5．已知false为false的外接圆，且圆心O在false的内部，分别过点O作false，垂足分别为点false，若false，则false false．
6．如图，在平面直角坐标系中，false的三个顶点分别为false，false，false，false是false的外接圆，若点false是其外接圆上任意一点，则false的最大值为 ．
7．如图，false中，false是false的平分线，false是false的垂直平分线，交false于点O．若false，则false外接圆的半径为 ．
二、解答题
8．如下图，在平面直角坐标系中，false是false上的三个点．
(1)直接写出圆心M的坐标：________．
(2)求false的半径．
(3)判断点false与false的位置关系．
9．如图所示，false的顶点均在格点上，点C的坐标为false
(1)将false绕原点O顺时针方向旋转false得到对应的false，请画出false，并写出点false的坐标；
(2)请在图中标出false的外接圆的圆心M以及写出点M的坐标，并计算false的外接圆的面积．
10．如图，在五边形false中，点false，false，false，false是false上的四个点，false，false平分false．
(1)求证：false是等边三角形；
(2)求证：false；
(3)若false，false，求false面积的最大值．
11．如图，false的平分线交false的外接圆于点D，若false，false．求false外接圆的半径．
12．如图，在false正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）．
(1)在图1中作出false的外心D；
(2)图2中D是false的中点，作出false边上的点F（不与点B重合），使得false．
13．如图，点false是false的边false上一点，false，false，false相交于点false．
(1)求证：false；
(2)若false．
①当false时，求false的度数；
②当false的外心在其内部时，直接写出false的取值范围．
14．在网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），false的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系．
(1)请在图中标出false的外接圆的圆心false（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)将false绕点false逆时针旋转false得到false，画出false．
答案
一、三角形的外接圆
1.解：∵三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心，
∴三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点．
故选：A．
2.解：由于点false是false的外心，
在false的外接圆false中，
false、false同对着弧false；
由圆周角定理得：false．
故选：B ．
3.解：如图，过点false作false于点false，则false．
由题意，得false内接于半径为false的false，
false．
又false，
false，
false，
false，
false，
false；
故答案为：false.
二、确定三角形的外心的位置
1.解：∵点false为false的外心，
∴false，
∴点false在边false的垂直平分线上，故选项A正确，不符合题意，
∵四边形false为正方形，
∴false，
∴false，
∴点false为false的外心，
故选项B正确，不符合题意，
∵false，
∴点false在false的外接圆上，即false是false的外接圆的半径，
∵false，
∴直线false与false的外接圆相切，
故选项D正确，不符合题意，
false不一定平分false，故选项C错误，符合题意，
故选：C．
2.解：连接false，false，false，如图：
由题意得：直线false垂直平分false，直线false垂直平分false，
false，
false点false、false、false在以false为圆心、false为半径的圆上，
false点false在false上，false、false、false为false的弦，false是false的外接圆．
A、正确，但不符合题意；
B、正确，但不符合题意；
C、正确，但不符合题意；
D、错误，但符合题意．
故选：D．
3.（1）解：如图1，点false即为所求．
（2）解：如图2，点false即为所求．
三、确定三角形的外心的坐标
1.解：如图：分别作出false的垂直平分线，其交点P即为false的外心．
易得点P的坐标为false，即false的外心坐标为false．
故选D．
2.解：∵false，false，
∴圆心在直线false上，
设其圆心坐标为false，
则false，即false，
由勾股定理得false，
解得false，
∴这条圆弧所在圆的圆心为false，
半径为false，
∵false，
∴点false在这条圆弧所在圆上，
∵false，
∴原点false在这条圆弧所在圆内，
观察四个选项，选项D符合题意．
故选：D．
3.解：（1）点false恰在false轴的正半轴上，如下图：
false，false，
false，
false，
false，
false在false中，false，
∴false为false外接圆直径，
则点C为线段false中点，
false，
故答案为：false；
（2）分别作false的垂直平分线false交于点C，连接false，如图，当点C在y轴右侧时，
∴false，
由垂线段最短得：false，
在false中，false，
即false，
false；
同理，当点C在y轴左侧时，false；
综上所述，false的取值范围是false或false．
4.（1）解：连接false，false，分别作出false与false的垂直平分线，交于点P，点P为圆心．如图所示：
由图形可知false．
在false中，false，false，由勾股定理可知：false．
即false的半径为false．
（2）解：∵点false，
false，
∴falsefalse，
∴点M在false内．
5.（1）解：如图，圆心false的坐标为false，
故答案为：false．
（2）解：false，
即false的半径为false．
（3）解：false，
false，
∴点false与false的位置关系是点D在false内．
四、三角形的外接圆的有关计算
1.解：如图，
连接OB，过点O作false于点E，则false．
易得BO平分false，
false，
false．
false，
false，
解得false．
故选：false.
2.解：∵false中，false，false，false，
false，
斜边上的中线长false，
因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长false.
故选：B．
3.解：∵在false中，false，false，
∴false，
∴false，
根据勾股定理得：false，
即false，
解得：false，
∴这个三角形的外接圆的直径是false，
故选：C．
4.解：连接false、false，则false，
false，
false，
false，即false，
解得：false（负值已舍去），
故答案为：false．
5.解：false直角三角形模具的两条直角边为false和false，
false直角三角形模具的斜边长为false，
false用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，
false圆形纸片的直径大于等于直角三角形斜边长，
false这个圆形纸片的最小直径为false；
故答案为：13．
6.（1）解：连接false，如图．
false是直角，
false是false的直径．
false，
false，
false．
false点A的坐标为false，
false，
false，
false的半径为2．
（2）在false中，由勾股定理，得false，
即false，
解得false，
false点B的坐标为false．
五、三角形的外接圆的应用
1.（1）解：分别作false、false的垂直平分线，设交点为false，则false为所求圆的圆心．
（2）解：连接false交false于点false，连接false，则：false，
∵false是等腰三角形，底边false，腰false，
∴false，
∴false垂直平分false，
∴false，
∴false，
∵false，
∴false，
在false中，由勾股定理，得：false，
解得：false．
2.解：∵要求在false三条道路上各开一个门，
∴画false和false的角平分线交于点M，再过M作false（false或false）的垂线，作圆M，
∴即得到中心公园M的范围，作图如下：
3.（1）解：满足题意的false如图所示：
；
（2）解 ：∵false，false，false，
∴false，
∴所需要正方形板的最小面积是false．
4.解：（1）如图，过点C作false于点D，过点O作false于点E，连接false，
则false，false，
∴false由勾股定理得：false，
∴false，
∴false，
false
false．
（2）存在，如图，作false的外接圆false，false外接圆false，连接false，false，
由于M为false的中点，则false，false，
连接false，false，过点Ａ作false于点Ｐ，过点C作false于点Q，
则在false中，false，
∴false，
在false中，false，
∴false，
∴false．
此时false与false均为正三角形，四边形false为菱形，则过点M的直线必定平分菱形false的面积．如图，取false的中点为S，连接false，当E、S、M三点共线时，直线false平分五边形false的面积，直线false交false于点F，且false，过点D作false交false的延长线于点H，
则false，
∵false，
∴false，
∴false，
∴false，
∴false，
∴false，
∵false，
∴false，
∴false，false，
∵false，
∴false，
∴false，
∵false，
∴false，
∴false，
∴false．
即false的长度为false．
5.（1）解：如图，false即为所求作．
（2）解：连接false，交false 于E，连接false．
∵false，
∴false，
∴false，false，
∵false，
∴false，
∵false，
∴false是等边三角形，
∴false，
∴false，
∴false的外接圆的半径为false．
六、三角形的外接圆的综合问题
1.（1）证明： ∵false，false平分false，
∴false，
∵false，false，
∴false，false，
∴false，
∴false，
∴false，
∴false是等边三角形；
（2）证明：延长false至false，使false，
∴false是等腰三角形，
∵false，
∴false是等边三角形，
∴false，false，
由（false）知，false，false，
∴false,
即false，
∴false，
∴false，
∵false，
∴false；
（3）解：设false的外心为false，连接false，false，
∴false，
∵false，
∴false，
∴点false为定点，
∵false，
∴点false在以false为圆心，false为半径的圆上，如图所示，

在等腰直角三角形false中，false于点false，则有false，
当点false，false，false三点共线时，false的面积最大，
∴false，
∴false，
∴false．
2.（1）解：①当3和4为直角边时，根据勾股定理，斜边false，
∵直角三角形的外接圆的圆心就是斜边的中点，false（false为斜边），
∴此时外接圆半径false；
∴当4为斜边时，此时外接圆半径false；
综上所述，直角三角形两条边长分别为3和4，外接圆半径为false或2．
②连接false并延长交false于false，连接false，
∵false，
∴false平分false，
∵false是等腰三角形，
∴false且平分false（三线合一），
∵false，false，
∴false，
在false中，根据勾股定理：
false，
设圆false半径为false，则false，false，
在false中，根据勾股定理false，
解得false，
∴圆false的半径为false．
（2）解：设false，则false，
∵false，
∴根据勾股定理在false中false，
在false中有false，
∴false，
展开得false，
继续展开得false，
移项可得false，即false，解得false，
∴false，
连接false并延长交圆false于点false，连接false，
∵false（同弧所对圆周角相等），false，
∴false，
∴false，即false，
∴false，
∴false，
∴false外接圆的半径为false．
拓展练
1．65°或115°
【分析】本题考查圆周角定理，画出图形，根据圆周角定理即可解答．
【详解】解：如图：
∵false，
∴根据圆周角定理可知false或false，
故答案为：65°或115°．
2．false
【分析】本题考查了垂径定理，三角形的外接圆与圆心．根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】解：如图，作弦false、false的垂直平分线，
∵点false、false、false的坐标分别为false，false，false，
所以弦false，弦false，
∴弦false的垂直平分线与false轴相交于点false，弦false的垂直平分线与false轴相交于点false，
∴两条垂直平分线的交点false即为三角形外接圆的圆心，且false点的坐标是false．
故答案为：false．
3．false
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心．连接false、false，根据圆周角定理得到false，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接false、false，则false，
false，
false，
false，即false，
解得：false（负值已舍去），
故答案为：false．
4．false或false
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．分圆心false与点false在false的同侧和圆心false与点false在false的两侧两种情况解答，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求得结论；延长false交false于点false，连接false，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求得false，再利用圆内接四边形的性质即可求得结论．
【详解】解：当圆心false与点false在false的同侧时，如图，
false；
当圆心false与点false在false的两侧时，如图，
延长false交false于点false，连接false，
false，
false．
false四边形false为圆的内接四边形，
false．
false．
综上，false或false．
故答案为：false或false
5．16
【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键；
由点false是false的外心，false，false得到false是false的中位线，根据三角形中位线定理即可求得false．
【详解】解：如图，
false是false的外心，false，false，
false，false，
false为false的中位线，
false．
故答案为：16
6．false
【分析】本题考查了外接圆的性质，两点间的距离，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．由false，false，false都在false上，得点P在y轴上，设false，根据两点间的距离即可求出b的值，则圆心false，得到false，设false，则false，再转化为一元二次方程的根的判别式即可求解．
【详解】解：false是false的外接圆，
false点false在false、false、false垂直平分线的交点上，false，
false，false，
false点false在false轴上，
false设false，
false，
false，
false圆心false的坐标为false，
false是其外接圆上任意一点，
false，
false，
设false，则false，
false，
整理得false，
false为实数，
false，
解得false，
false的最大值为false．
故答案为：false．
7．3
【分析】本题考查三线合一，三角形外接圆的圆心位置的确定，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据三线合一，得到false垂直平分false，根据false是false的垂直平分线，得到点false即为false外接圆的圆心，false即为半径，即可得出结果．
【详解】解：∵false是false的平分线，
∴false，
∴false垂直平分false，
∵false是false的垂直平分线，交false于点O，
∴点false即为false外接圆的圆心，
∵false，
∴false外接圆的半径为3；
故答案为：3．
8．(1)false
(2)false．
(3)在false内．
【分析】（1）利用网格特点，作false和false的垂直平分线，它们的交点为false点，从而得到点false的坐标；
（2）利用两点间的距离公式计算出false即可；
（3）先计算出false，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点false与false的位置关系．
【详解】（1）解：如图，圆心false的坐标为false，
故答案为：false．
（2）解：false，
即false的半径为false．
（3）解：false，
false，
∴点false与false的位置关系是点D在false内．
【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，坐标与图形性质，垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键．
9．(1)见解析；false
(2)点M位置见解析，false；false
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，确定三角形外接圆圆心，两点距离计算公式，圆的面积计算，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据网格的特点和旋转方式可得false的位置，描出false，并顺次连接false，再写出false的坐标即可；
（2）作线段false的垂直平分线交于点M，根据网格的特点可得点M的坐标，再利用勾股定理得到false的长，再根据圆面积计算公式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，false即为所求，则false；
（2）解：如图所示，作线段false的垂直平分线交于点M，则false，
∵false，
∴false，
∴false的外接圆半径为false，
∴false的外接圆的面积为false．
10．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)false面积的最大值为false．
【分析】（false）由角平分线的定义得false，然后根据圆周角定理得false，通过三角形的内角和定理得false，最后由等边三角形的判定即可求解证；
（false）延长false至false，使false，证明false是等边三角形，所以false，false，证明false，则false，然后由线段和差即可求证；
（false）设false的外心为false，连接false，false，所以false，又false，则false，所以点false为定点，从而可得点false在以false为圆心，false为半径的圆上，当点false，false，false三点共线时，false的面积最大，然后由面积公式求解即可；
本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明： ∵false，false平分false，
∴false，
∵false，false，
∴false，false，
∴false，
∴false，
∴false，
∴false是等边三角形；
（2）证明：延长false至false，使false，
∴false是等腰三角形，
∵false，
∴false是等边三角形，
∴false，false，
由（false）知，false，false，
∴false,
即false，
∴false，
∴false，
∵false，
∴false；
（3）解：设false的外心为false，连接false，false，
∴false，
∵false，
∴false，
∴点false为定点，
∵false，
∴点false在以false为圆心，false为半径的圆上，如图所示，

在等腰直角三角形false中，false于点false，则有false，
当点false，false，false三点共线时，false的面积最大，
∴false，
∴false，
∴false．
11．false
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆，圆周角定理，勾股定理等知识，先根据圆周角定理可知false，false为false的直径，再结合题意得到false，利用勾股定理求出false的长，从而得出答案．
【详解】解：∵false，
∴false为false的直径，
∴false，
∵false平分false，
∴false，
∴false，
∵false，
∴false，
∴false外接圆的半径为false．
12．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
（1）如图1中，分别作false及false的垂直平分线，相交于点D，点D即为所求．
（2）如图2中，过点A作false的垂线，垂足即为点F，连接false，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一亲，可得false．
【详解】（1）如图1，点D即为false的外心；
（2）如图2，点F即为所作；
13．(1)证明见解析
(2)①false ；②false
【分析】（1）先证明∠D=∠B，∠DAE=∠BAC，再结合AD=AB即可得证；
（2）①先根据全等三角形性质及等腰三角形性质求出∠EAC、∠B的度数，再等量代换即可；
②根据锐角三角形外心的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵false，false，
∴false，
∵false，
∴false，
∵false，
∴false；
（2）解：①∵false，
∴false，
∴false，
∴false，
∵false，
∴false，
∵false，
∴false，
∴false．
②false．
∵false的外心在其内部，
∴false为锐角三角形，
∴false，false，
∴false．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角形外心的定义等知识点．灵活运用全等三角形的判定定理是解题关键．
14．(1)圆心位置见解析，
(2)图见解析
【分析】本题考查了利用旋转变换作图，三角形的外接圆．
（1）根据三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，作出两边的垂直平分线，交点即为所求的点false，再根据平面直角坐标系写出点false的坐标即可；
（2）根据网格结构找出点false、false绕点false逆时针旋转false后对应点false、false的位置，再与点false顺次连接即可．
【详解】（1）解：圆心位置如图所示，；
（2）如图所示，false为所求三角形．