第二十四章 圆--圆周角 常见题型总结练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十四章 圆--圆周角 常见题型总结练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、圆周角的认识
1． 下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
2． 如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．

二、圆周角定理
3． 如图，A，B，C是上的三个点．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
4． 如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5． 如图，点、、、都在上，若，，则的度数为 ．
如图，是的直径，是的弦，点关于的对称点是点，连接、，若，则的度数为 ．
三、圆周角的定理的计算与证明
7． 如图，在中，直径弦，若，求的度数．
8．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上．
(1)若，求的度数；
(2)在（1）的条件下，的半径为2，求的长．
9． 如图，在中，是的中点，交于点，连接并延长，交于点，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的半径长．
10． 如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接．
(1)若，，求的直径；
(2)若，求的度数．
四、同弧或等弧所对的圆周角相等
11． 如图，中，弦、相交于点P，，，则（ ）
A． B． C． D．
12． 如图，，，，是上的点．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
13． 如图，在中，弦，相交于点P．若，，则度数为 ．

如图，中，，求证：．
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）若，求⊙O的半径的长．
五、直径所对的圆周角是直角
16． 如图，是⊙的直径，是⊙的弦，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
17． 如图，内接于，是的直径，若，点是的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
18． 如图， 为的直径，为上两点， 若则的大小为（ ）
A． B． C． D．
19． 如图，内接于为的直径，是的中点．若，则的度数为 ．
如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则 ．
如图，是直径，是的弦，，求的度数．
如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分．
(1)连接，求证：平分；
(2)若，，求的长．
六、90°的圆周角所对的弦是直径
工人师傅用直角曲尺检查验收半圆形工件，下列为合格的“半圆形工件”的是（ ）
A． B．
C． D．
24． 如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是 ．
如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为4，则的直径为 ．
如图，四边形是的内接四边形，是直径，，过点作于点于点．
求证：．
提升练
一、解答题
1．如图，已知为的直径，是的弦，且于点，连接、、．
(1)求证：；
(2)若的半径为，，求弦的长．
2．如下图所示，是半圆O的直径，，垂足为，，与分别交于点．证明：．
3．如图，BD，CE是锐角的高，连接DE．求证：．
4．如图，已知是的直径，弦于点，是上一点，的延长线相交于点．求证：．
5．如下图，为的弦，为上一个点，．
(1)求的度数．
(2)若为上一个点，，求的度数．
6．如图，在中，A，B，C，D是上的点，AD是的直径，B是的中点，．
(1)__________；
(2)判断与，AB与CD的大小关系，并说明理由．
7．如图，点A，B，C，D在上，．分别交，于点E，F．
(1)求证：；
(2)求证：．
8．已知A，B，C，D是上四点，满足，平分，点F是弦的中点，延长交于E．求证：．
9．在圆内接四边形中，，垂足为E．
(1)如图1，若，求证：平分；
(2)如图2，若，，是圆的直径，连接，求的半径．
10．如图，以的边为直径作交于点D，交于点E，．
(1)求证：是等腰三角形，
(2)若，连接，求的度数．
11．如图，圆内接四边形，是的直径，交于点E．
(1)求证：点D为的中点；
(2)若，求．
12．如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交于点E，连接．
(1)求证：．
(2)若的度数为，则的度数为________．
答案
一、圆周角的认识
1． 解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意；
B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意；
C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意；
D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意；
故选：B．
解：如图，
所对的圆周角是，
所对的圆周角是．
故答案为：；．
二、圆周角定理
3．∵，
∴．
故选：A．
4． 解：∵，
∴；
故选：A；
解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
解：连接，
点关于的对称点是点，，
，
，
，
．
故答案为：．
三、圆周角的定理的计算与证明
7． 解：，，
，
，
，
．
8． （1）解：∵，，
∴平分，
∴，
∴；
（2）∵的半径为2，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（1）解：∵是的中点，交于点，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设的半径为，
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，，
∴的半径长为．
（1）解：∵，
，
设，
又 ∵，
，
，
解得：，
∴的直径是 20 ．
（2）解：，
，
，
∴，
，
．
四、同弧或等弧所对的圆周角相等
11．解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
12． 解：∵在中，，，
∴．
故选：B．
解：∵，
∴，
故答案为：．
解：∵，
∴，
又∵，，
∴．
（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
=．
∴∠A=∠2．
又∵OA=OC，
∴∠1=∠A．
∴∠1＝∠2．
（2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6
∴∠CEO＝90 ，CE＝ED＝3．
设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2
∵在Rt△OEC中，
解得：
∴⊙O的半径是．
五、直径所对的圆周角是直角
16． 解：是⊙的直径，
，
由圆周角定理得，，
，
，
，
故选：C．
解：连接，如下图
是的直径，
．
，
，
．
点是的中点，
，
，
．
故选：C．
解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
在中，，
故选：B ．
连接，设交于点D
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴点F是弧的中点，
∴
∴，
是的外角
故答案为．
解：如图，连接，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故答案为：．
六、90°的圆周角所对的弦是直径
解：连接，
∵是的直径，
∴.
∵与是所对的圆周角，，
∴，
∴.
解：（1）证明：∵点D在上且平分，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵是直径，
∴，
∵点D在上且平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
解：因为直径所对的圆周角是直角，
∴只有B选项正确，其他均不正确．
故选：B．
解：根据“的圆周角所对的弦是直径”即可得出答案，
故答案为：的圆周角所对的弦是直径．
解：∵四边形是边长为4的正方形，
∴，
∴是的直径，
在中，由勾股定理得，
∴的直径为，
故答案为：．
证明：是直径，
，
于点，于点，
，
四边形是矩形，
，
∵，，
，
，
，
．
1．(1)见解析；
(2).
【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理．解决本题的关键是根据垂径定理和圆周角定理找角之间的关系．
根据垂径定理可知，根据圆周角定理可知，根据等边对等角可得，利用等量代换可证结论成立；
利用勾股定理求出，再根据垂径定理求出的长即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：的半径为，
，
，
，
于点，
，，
在中，，
，
弦的长是.
2．证明见解析
【分析】由圆周角定理、等弧所对的圆周角相等可得，，再根据，可得，由同角的余角相等可得，最后根据等角对等边即可证明．
【详解】证明：如图，连接．
，
．
是半圆O的直径，
，
．
又，
，
，
，
，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理、同角的余角相等、等角对等边，熟练掌握并灵活运用圆周角定理是解题关键．
3．证明见解析
【分析】取的中点，连接，，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得四点共圆，再利用四点共圆对角互补，可证．
【详解】证明：取的中点，连接，，如图，
是锐角的高，
，
在中，是中点，
，同理可证，
，
四点共圆，
，
，
．
【点睛】本题考查了四点共圆的性质，熟练掌握四点共圆中对角互补是解题关键．
4．证明见解析
【分析】连接，由圆内接四边形的性质可得，再根据，运用垂径定理得到，最后根据等弧所对圆周角相等即可证明．
【详解】证明：如图，连接．
四边形是圆内接四边形，
．
弦于点，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆内接四边形、垂径定理、圆周角定理，解题关键是作辅助线构造圆内接四边形，并灵活运用垂径定理和圆周角定理实现角的转换．
5．(1)
(2)的度数为或
【分析】（1）先由平行线的性质得，再由等腰三角形的性质得，即可求解；
（2）分两种情况，由圆的对称性质、等腰三角形的性质以及圆周角定理求解即可．
【详解】（1）解：，．
，
．
（2）解：分两种情况讨论：①延长交于点，连接，如图所示．
由圆的对称性可知，．
，；
②如图，连接，在上作出关于的对称线段，再连接，
则．
，
，
，
．
综上所述，的度数为或．
【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，圆心角、等腰三角形的性质、对称的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
6．(1)
(2)．理由见解析
【分析】（1）根据等弧所对的圆心角相等即可求出的度数；
（2）通过已知条件，结合平角为，可得到，即可得到．
【详解】（1）解：∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
（2）解：．
理由：由（1）可得，，
∴，
，
，
．
【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，理解在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等是正确解答的关键．
7．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据，则，又因为，证明，故，即可证明．
（2）根据，得，再结合圆周角定理得出，即可证明．
【详解】（1）解：，
．
，
．
．
（2）解：连接．
，
．
．
．
8．见解析
【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，三角形中位线定理，90度的圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，设与的交点为H，连接，由三角形中位线定理可得，则可证明，进而得到C，D，F，H四点共圆，进一步可证明，再证明是的直径，则由垂径定理的推论可得．
【详解】证明：设与的交点为H，连接，
∵平分，
∴点H是的中点，
∵F和H分别是与的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴C，D，F，H四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是的直径，
∴．
9．(1)见解析
(2)5
【分析】（1）根据垂径定理的推论证明即可；
（2）连接，首先得到，然后得到，推出，得到，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴是的直径，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图2，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的半径是5．
【点睛】此题考查了垂径定理的推论，角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
10．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解决本题的关键．
（1）如图，连接，根据圆周角定理和垂直平分线的性质即可得结论；
（2）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求出的度数．
【详解】（1）证明：如图，连接．
是的直径，
，即．
又，
垂直平分线段，
，是等腰三角形．
（2），
，
∵，
∴，
．
11．(1)见解析
(2)2
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，熟知垂径定理是解题的关键．
（1）由垂径定理可得，据此可证明结论；
（2）由垂径定理可得，则，再证明，进而由勾股定理得到的长，再由勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵是的直径，，
∴，
即点D为的中点；
（2）解：∵是的直径，，
∴，
∴，
∵是的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
12．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理和线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识是解题关键．
（1）如图：连接，先证明，再根据等腰三角形的性质以及等量代换即可证明结论；
（2）连接，根据的度数为可得到，根据且即可解答．
【详解】（1）证明：如图：连接，
是直径，
，
又，
，
，
，
；
（2）解：连接，
的度数为，
，
且，
．
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