第二十四章 圆--正多边形与圆 常见题型总结练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十四章 圆--正多边形与圆 常见题型总结练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、求正多边形的中心角
1． 正六边形的中心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
2． 如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
3． 青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点为正八边形的中心，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4． 如果一个正多边形的内角和是，那么它的中心角是 度．
5． 已知一个正边形的中心角与其一个内角的度数之比为，则 ．
二、求正多边形的边数
6． 若一个圆的内接正多边形的中心角为，则该正多边形的边数是（　　）
A．14 B．18 C．16 D．20
若一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的边数为（ ）
A．七 B．八 C．九 D．十
8． 如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　）
A．9 B．10 C．18 D．20
9． 如果正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是 ．
10． 如图，是的内接正六边形的一边，点在弧上，且是的内接正八边形的一边．则是的内接正 边形的一边．
如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为 ．
三、正多边形的边长、半径与边心距
12． 半径为2的圆内接正方形的边长是（　　）
A．2 B．4 C． D．
13． 等边三角形的边心距、半径和高的比是（ ）．
A． B． C． D．
14． 若正六边形外接圆的半径为4，则它的边心距为（　 　）
A．2 B． C．4 D．
如图，正六边形内接于，若的面积为，则正六边形的边长为（ ）
A． B．3 C．2 D．
16． 若圆内接正三角形的边长为2，则圆的半径为 ；
17． 碳60，是一种非金属单质，化学式为，是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯．如下图，足球烯是由正五边形和正六边形组成的凸多面体．
(1)足球烯中正五边形每一个内角的度数为______．
(2)若足球烯中正六边形的边长为a，求该正六边形的边心距．
18． 如图，正方形内接于，其边长为4，求的内接正三角形的边长．

四、正多边形的周长与面积
19． 正六边形内接于，正六边形外切于，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
20． 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若正六边形半径为，则这个正六边形的面积是（　　）
A． B． C． D．
21． 正六边形的周长为6，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
22． 圆的内接正方形边长为2，则该圆的内接正八边形的面积为 ．
23． 如图，已知正六边形的半径为2，点O为其中心，求正六边形的边心距、边长、周长和面积．
拓展练
一、单选题
1．如图，四边形内接于⊙O ，，那么等于（ ）
A．110° B．135° C．55° D．125°
2．如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（　　）
A．18+36π B．24+18π C．18+18π D．12+18π
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为（ ）

A．130° B．100° C．65° D．50°
4．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题
5．如图所示，已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠1＝120°，则∠CDE＝ 度．
6．已知，⊙O的半径为6，若它的内接正n边形的边长为6，则n= ．
7．T1、T2分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形．设T1的半径r，T1、T2的边长分别为a、b，T1、T2的面积分别为S1、S2．下列结论：①r：a＝1：1；②r：b＝；③a：b＝1：；④S1：S2＝3：4．其中正确的有 ．（填序号）
8．如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为 ．
9．如图，已知为直径，若是内接正边形的一边，是内接正边形的一边，，则 ．
三、解答题
10．如图，正六边形内接于，求的度数．
11．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD，BC相交于点M，延长AB，DC相交于点N，∠M=40°，∠N=20°，求∠A的度数.
12．如图，是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．
正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为______；
连接BE，BE是否为的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．
13．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E，F分别为AD，BC的中点，连结EF．
（1）求∠ABC的度数；
（2）设⊙O的半径为4．
①若BC=2AB，求四边形ABCD的面积；
②若，求EF的长．
14．如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC＝PB，D是AC的中点，连接PD，PO．
（1）求证：△CDP≌△POB；
（2）填空：
①若AB＝4，则四边形AOPD的最大面积为_______，此时BD=_______；
②连接OD，当∠PBA的度数为________时，四边形BPDO是菱形．
答案
一、求正多边形的中心角
1． 解：正六边形的中心角的度数是，
故选：C．
解：；
故选D．
解：
故选：C．
解：设这个正多边形的边数为n，
则，解得，
所以正五边形的中心角是．
故答案为：72．
解：由题意，得：，
即：，
解得：；
故答案为：10．
二、求正多边形的边数
6． 解：∵内接正多边形的中心角为，且，
∴该正多边形的边数是20．
故选：D．
7． 解：设正多边形的边数为．
由题意可得：，解得：．
故选B．
解：、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，
点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，
，
，
这个正多边形的边数，
故选：A．
解：由题意可得：
边数为，
则它的边数是10．
故答案为：10．
解：连接，
∵是的内接正六边形的一边，
∴，
∵是的内接正八边形的一边，
∴，
∴，
∵，
∴是的内接正二十四边形的一边，
故答案为：二十四．
解：连接，
正六边形与正方形有重合的中心O，
，
，
是正n边形的一个中心角，
．
故答案为：12．
三、正多边形的边长、半径与边心距
12． 解：已知圆的半径为2，则圆的直径为，即圆内接正方形的对角线长为4．
设正方形的边长为，根据勾股定理，正方形对角线的平方等于两条边长平方之和，可得，即
，化简得，解得：（边长为正数，舍去负根）．
故选：D．
13． 解：如图所示，为等边三角形，O为外心，连接并延长交于点D，连接，则，
∵是等边三角形，
∴，
则，平分和，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
解：如图所示，
∵正六边形外接圆的半径为4，
∴此正六边形中，则 ．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵ ，
∴，
∴ ．
故选：D．
解：如图所示：连接，，设的半径为，
∵正六边形内接于，
是等边三角形，
∴
∵的面积是，
∴
故选：D．
解：如图，是的内接正三角形，且边长为2，连接，，
∵是正三角形，
∴垂直平分，设垂足为D．
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（1）解：∵任意多边形的外角和为，
∴五边形一个外角是，
∴五边形一个内角是.
故答案为：.
（2）解：如图，为正六边形的一条边，点O为它的外接圆的圆心，连接，过点O作．
，
是等边三角形，
．
．
在中，由勾股定理，得，
故该正六边形的边心距为．
解：如图，连接作于点M，

根据正方形的性质可得．，
∴是的直径．
在中，．
∴．
∵，
∴．
∵是正三角形，
∴，
∴．
∴．
∴．
在中，，，
∴，．
∴，即正三角形的边长为．
四、正多边形的周长与面积
19． 解：如图，为的内接正六边形的半径，为的外切正六边形的半径，
依题意，，
，
由于所有正六边形都是相似的，
∴与的面积比．
故选：B．

20． 解：∵正六边形的半径为
∴正六边形可分成六个边长为的正三角形
令其中一个正三角形为，过作于点，
∵是等边三角形，
∴
∵，
∴
∴
∴一个正三角形的面积为
∴正六边形的面积为
故选：C．
解：如图，设正六边形的一边为，外接圆的圆心为O，作，垂足为C，
∵正六边形的周长为6，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为，
∴正六边形的面积为，
故选：B．
解：如图，连接，交于点，
由题意得，，
∵，
∴，，
设，
在中，由勾股定理得，
解得：（舍负），
∴，
∴圆的内接正八边形的面积为，
故答案为：．
解：如图，连接，过点O作于点H，
∵六边形是正六边形，
∴，．
∴是等边三角形．
∴，即边长为2，周长为．
在中，，
∴，
∴边心距．
∴．
拓展练
1．D
根据已知条件可知，，根据圆内接四边形的对角互补可知，由此即可解答．
解：．
∵四边形内接于⊙O
．
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆心角、圆周角、弦的关系以及圆的内接四边形的性质，掌握相关知识点，得到、是关键．
2．C
分析：作FH⊥BC于H，连接FH，如图，根据正方形的性质和切线的性质得BE=CE=CH=FH=6，则利用勾股定理可计算出AE=6，通过Rt△ABE≌△EHF得∠AEF=90°，然后利用图中阴影部分的面积=S正方形ABCD+S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF进行计算．
详解：作FH⊥BC于H，连接FH，如图，
∵点E为BC的中点，点F为半圆的中点，
∴BE=CE=CH=FH=6，
AE==6，
易得Rt△ABE≌△EHF，
∴∠AEB=∠EFH，
而∠EFH+∠FEH=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°，
∴∠AEF=90°，
∴图中阴影部分的面积=S正方形ABCD+S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF
=12×12+ π 62﹣×12×6﹣ 6×6
=18+18π．
故选C．
点睛：本题考查了正多边形和圆：利用面积的和差计算不规则图形的面积．
3．C
解：∵∠CBE=50°，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=∠CBE=50°（圆内接四边形的一个外角等于内对角），
∵DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA=.
故选C.
4．C
设的半径是，则，根据是的平分线，求出，进而得出，再根据相似比求出，从而得到的值．
解：连接、、，如图所示：
设的半径是，则，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即的值是，
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形与圆的关系．解答本题的关键是熟练掌握正多边形的有关概念，并准确运用他们求线段长．
5．60
根据圆周角定理可求出∠A的度数；由圆内接四边形的外角等于它的内对角，知∠CDE=∠A，由此可求出∠CDE的度数．
∵∠1＝120°，
∴∠A＝∠1＝60°，
∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠A，
∴∠CDE＝60°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；圆内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角.
6．4
根据题意作出图形，得到Rt△ADO，利用三角函数值计算出sin∠AOD=，得出∠AOD=45°，通过圆周角360°计算即可得出结果．
解：如图所示：连接AO，BO，过点O做OD⊥AB，
∵⊙O的半径为6，它的内接正n边形的边长为6，
∴AD=BD=3，
∴sin∠AOD==，
∴∠AOD=45°，
∴∠AOB=90°，
∴n==4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，垂径定理的应用，三角函数值的应用，掌握圆的性质内容是解题的关键．
7．①②④
根据圆内接正六边形的半径等于它的边长，则r：a＝1：1；在由圆的半径和正六边形的半边以及正六边形的半径组成的直角三角形中，根据锐角三角函数即可求得其比值；
根据相似多边形的面积比是相似比的平方．可以求得其相似比，再进一步求得其面积比．
连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．
所以r：a＝1：1；故①正确；
连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，
所以r：b＝AO：BO＝sin60°＝：2；故②正确；
a：b＝：2；故③错误；
T1：T2的边长比是：2，所以S1：S2＝（a：b）2＝3：4．故④正确；
故答案为①②④
【点睛】本题考查了正多边形与圆的关系，在计算正多边形中的有关量的时候，可以构造到由正多边形的半径、边心距、半边组成的直角三角形中，根据锐角三角函数进行计算．注意：相似多边形的面积比即是其相似比的平方．
8．18
本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．连接，根据正五边形的性质，可得，由此得到，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可．
解：如图，连接，
∵点O是正五边形的中心，
∴，
在中，，，
∴．
故答案为：18．
.
9．
连接OD，OC，BC，根据题意首先证明∠AOD=∠BOC，再根据题意，分别用含n的式子表示出∠AOD和∠COD，建立关于n的方程求解即可．
如图，连接OD，OC，BC，
∵AB为直径，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
又∵，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），
∴AD=BC，∠AOD=∠BOC，
∵是内接正边形的一边，
∴，
同理：是内接正边形的一边，
∴，
由，
得：，
解得：，或（不符合题意，舍去）
经检验，是原分式方程的解，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，理解正多边形与圆的关系是解题关键．
10．
由正六边形与圆的性质可得：再求解从而可得答案.
解： 正六边形内接于，
是直径，
【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正多边形的中心角的计算，直径所对的圆周角是直角”是解题的关键.
11．∠A=60°.
根据圆内接四边形的性质可得∠1=∠2=∠A，由圆周角定理可得答案.
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠1=∠2=∠A.
∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC=∠M+∠2，∠ABC=∠1+∠N，
∴∠M+∠1+∠2+∠N=180°
∵∠M=40°，∠N=20°，∠1=∠2=∠A
∴∠A=60°.
【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质.
12．（1）；（2）是，n=12.
试题分析：（1）连接、、，设半径为，根据中心角的度数可知正六边形的相邻两半径与边构成等边三角形，从而可用含r的式子表示边长，同理也用含r的式子表示正方形的边长，即可得；
（2）求出∠BOE的度数，然后去除360°，根据所得的商即可得.
试题解析：（）连接、、，
设半径为，
，，
是等腰直角三角形，，
是等边三角形，，
∴．
（）若是，则，
又∵，∴，，
故是⊙内接正十二边形．
13．（1）90°；（2）①；②．
（1）连接AC，根据全等三角形的性质得到∠D=∠B，根据圆内接四边形的性质即可得到结论；
（2）①根据圆周角定理得到AC是⊙O的半径，根据勾股定理得到AB2=，根据三角形的面积公式即可得到结论；
②取AB的中点G，连接EG，FG，DB，根据三角形的内角和得到∠BAC=60°，∠ACB=30°，求得∠BAD=120°，△DCB是等边三角形，解直角三角形ABC得到AC，AB的长，根据三角形的中位线的性质得到FG，EG的长，求出∠EGF=90°．在Rt△EGF中，根据勾股定理即可得到结论．
（1）连接AC．
在△ADC与△ABC中，
∵，
∴△ADC≌△ABC，
∴∠D=∠B，
∴∠B+∠D=180°，
∴∠ABC=90°；
（2）①∵∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的半径，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2．
∵BC=2AB，AC=8，
∴AC2=AB2+（2AB）2=64，
∴AB2=，
∴S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC=2S△ABC=2×AB BC=2××2AB2=；
②取AB的中点G，连接EG，FG，DB．
∵，∴∠BAC=2∠ACB，
∴∠BAC=60°，∠ACB=30°．
∵AC=8，
∴AB=AC=4，BC=AB=．
∵BC=CD，
∴∠BAC=∠DAC=60°，
∴∠BAD=120°，∠BCD=60°．
∵BC=DC，∠BCD=60°，
∴△DCB是等边三角形，
∴DB=BC．
∵E、G是中点，
∴EG是△ADB的中位线，AE=AG，
∴EG=DB =，∠AGE=（180°－120°）÷2=30°．
∵GF是△ABC的中位线，
∴FG=AC=4，GF∥AC，∠BGF=∠BAC=60°．
∵∠AGE=30°，∠BGF=60°，
∴∠EGF=90°，
∴EF==．
14．（1）见解析；（2）①4，；②60°
（1）根据中位线的性质得到DP∥AB，DP=AB，由SAS可证△CDP≌△POB；
（2）①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积，依此即可求得BD；
②根据有一组对应边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形BPDO是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，以及等边三角形的判定和性质即可求解．
(1)证明：∵PC=PB，D是AC的中点，
∴DP∥AB，
∴DP=AB，∠CPD=∠PBO，
∵BO=AB，
∴DP=BO，
在△CDP与△POB中，
∴△CDP≌△POB(SAS)；
(2)①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积，
(4÷2)×(4÷2)
=2×2
=4；
BD==
②如图：
∵DP∥AB，DP=BO，
∴四边形BPDO是平行四边形，
∵四边形BPDO是菱形，
∴PB=BO，
∵PO=BO，
∴PB=BO=PO，
∴△PBO是等边三角形，
∴∠PBA的度数为60°.
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