第二十四章 圆--三角形内切圆与外接圆 常见题型总结练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十四章 圆--三角形内切圆与外接圆 常见题型总结练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、三角形内切圆的认识
下列说法正确的是（ ）
A．圆的内接平行四边形一定是正方形 B．平分弦的直径垂直弦
C．圆的切线一定垂直于半径 D．任何一个三角形的内心一定在三角形内
2． 要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（ ）
A．三边高线的交点 B．三个角的平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点
二、三角形内心的有关计算
3． 如图，O是△ABC的内心，∠BOC＝100°，则∠A＝ °．
如图，点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5． 如图，在中，，其周长为24，是的内切圆，其半径为，则的外接圆半径为 ．
6． 如图，内接于，为的直径，I为的内心，连接．若，则的长为 ．
如图，点O是的内心，连接，若的高，则点O到边的距离为： ．
如图，在中，，，的内心、外心分别为点I、点O，且有，则的长度为 ．
三、直角三角形与内切圆的计算
已知的三边长a，b，c满足，则的内切圆半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
11． 如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
12． 一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形的内切圆的半径为 ．
13． 一个正方体的表面积是，里边有个内切球，这个内切球中还内接一个小正方体，小正方体表面积为 ．
14． 如图，在中，为的内切圆，．求的半径．
如图，在中，，是的内切圆，半径为r，切点为D、E、F，连接．
(1)若，，则 ；
(2)若的周长为，面积为，则，，之间有什么数量关系，并说明理由．
四、一般三角形与内切圆的计算
一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ）
A． B．1 C． D．
17． 等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则它的内切圆的半径为（ ）
A．6 B． C． D．3
18． 如图，在中，，，，是的内切圆，切点分别为、、，则的半径为 ；连接、，则的值为 ．
已知的周长为20，其内切圆半径，则的面积为 ．
如图，在四边形材料中，，，，，，现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是 ．
如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．
(1)求的长．
(2)已知，求的长．
22． 如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．
如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，
(1)求的长．
(2)已知，求的长．
五 、三角形内切与外接圆问题
23.我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（ ）
A． B． C． D．
24. 如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则 （ ）
A． B．1 C． D．
25. 如图，内接于，，，D是的中点，则的半径为 ，的长度的最小值是 ．
26.如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接．
(1)若，求的度数：
(2)若，，，请直接写出与的数量关系；
(3)找出图中所有与相等的线段，并证明．
提升练
1．如图，的内切圆与各边分别相切于点，则点是的（ ）
A．重心 B．内心 C．外心 D．以上选项都不正确
2．如图为的内切圆，点D，E分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，则的周长为（　　）
A．15 B．9 C．7.5 D．7
3．已知的三边长a，b，c满足，则的内切圆半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若直角三角形斜边长为，两条直角边长分别为，，则直角三角形内切圆半径为（ ）
A．12 B．2 C．3 D．6
5．已知为锐角三角形，经过点，，且与边，分别相交于点，．若的半径与的外接圆的半径相等，则一定经过的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
6．已知等边三角形的周长为6，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（　　）
A．6π B．3π C．π D．2π
7．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
8．如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则 （ ）
A． B．1 C． D．
9．如图，是的外心，，，则（　　）
A． B． C． D．无法确定
10．如图，内接于，是的直径，，点是的内心，的延长线交于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，锐角内接于，其中，M为锐角的内心，连并延长与相交于点D，若，则锐角的内切圆半径为（ ）（参考数据：，，结果保留2位小数）
A．0.65 B．0.66 C．0.67 D．0.68
答案
一、一三角形内切圆的认识
1． 解：A． 圆的内接平行四边形一定是矩形，该选项不符合题意；
B． 平分弦（不是直径）的直径垂直弦，该选项不符合题意；
C． 圆的切线一定垂直于过切点的半径，该选项不符合题意；
D． 任何一个三角形的内心一定在三角形内，选项符合题意；
故选：D．
解：要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，
则作三角形的内切圆，即作三角形的三个内角角平分线的交点，
故选：B．
二、三角形内心的有关计算
3． 在中,
，
，
∵点O是的内心，
，
在中，
，
．
故答案为：．
4.解：如图，连接，
∵点O是的外心，
∴，
∵点I是的内心，，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
故选：B．
解：如图，设与三边的切点为D，E，F，
连接，
则，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵周长为24，
∴，
∴；
如图，设的外接圆为，作直径，连接，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴的外接圆的半径为．
故答案为：．
6．解：如图，延长交于，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
中，为三个角平分线的交点，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
据勾股定理可得，，
∴，
故答案为：．
7． 解：作于点H，
∵是的高，
∴于点D，
∵点O是的内心，
∴平分，
∵点O在的平分线上，且于点H，于点D，
∴，
∴点O到边的距离为3，
故答案为：3．
解：如图，延长交外接圆于点D，连接，作于点G，
∵，
∴，
∵点I是的内心，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，是半径，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点I是的内心，
∴，
∵，
∴．
故答案为：8．
三、直角三角形与内切圆的计算
9． 解：，
，，．
，
，
是直角三角形．
设内切圆的半径为．
根据题意，得，即，
解得
故选：A．
10． 解：连接、、、，
与三边分别相切于点，且，，，
∴，，，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
故选：C．
解：连接，，
，，，
，
与的切点分别为 D，E，F，
，，，，，
，
，
，
，，
四边形是正方形，
，
的半径长为2，
故选：B．
解：，
∴，
解得：，
∴直角三角形的两条直角边长分别为3，4，
∴斜边长为，
如图，在中，，设为的内切圆，与三边的切点分别为D，E，F，连接，设的半径为r，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
即此直角三角形的内切圆的半径为1．
故答案为：1
解：设小正方体的棱长为 ，
∵大正方体的表面积是，
∴大正方体的棱长是，
∵大正方体里面有一个内切球，
∴内切球的直径为，
∵内切球中还内接一个小正方体，
∴，
∴，
∴小正方体表面积 ．
故答案为：.
解：设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，如图所示．
易得四边形是正方形，
．
在中，
，
．
由切线长定理，得，
即，
解得，
的半径为．
（1）解：连接、、，
∵
∴
在中，
∵，，
∴
又∵，
代入①得：；
（2）∵，
代入①得，
∴，，之间数量关系为
四、一般三角形与内切圆的计算
16． 解：如图：等边的内切圆O切于D，连接，则，，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去）．
故选：C．
17． 解：如图，，为的内切圆，与三边相切于点，连接，连接，
则：点是三条角平分线的交点， ，
∴，，
∴三点共线，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴，
∴，即的半径为；
故选C．
18． 解：如图所示，连接，过点作于点，
依题意，是的内切圆，切点分别为、、，
∴，
设，则，
在中，
即
解得：
∴
设的半径为，
∴
∴
如图所示，过点作交的延长线于点，
∵是的内切圆，切点分别为、、，
∴
∴
∵
∴
∴
又∵
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴
在中，
故答案为：；．
解：由题意，得：的面积为；
故答案为：50．
解：延长交延长线于
因为，，
，
，即，
解得，
，
在中，，
，
设这个圆的圆心为，与分别相切于，
所以，
，
，
，
，
即，
解得
（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
，，，
设，
则，，
根据题意得：
解得：
，，，
则的长为；
（2）解：，，，
∴半周长，
又，
，
，
则的长为．
（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
，，，
设，则，，
根据题意得：
解得：
，，，
则的长为；
（2），，，
∴半周长，
又，
，
，
则的长为．
五、三角形内切与外接圆问题
23． 解：如图所示，为等腰底边上的高，点为三角形的外心，
∴，
由三线合一和勾股定理得，，
，
由勾股定理得，
解得，
如图，点为的内心，
，
∴，
∴
故选：B．
24． 解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，，
在中，，，内心为I，
∴平分，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∵I是的内心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
解：连接并延长交于E，连接，
则，，
，
，
即的半径为6，
当时，的长度的最小，
D是的中点，
延长到，使，作于H，连接，，，
D是的中点，
是△的中位线，
，
当长最小时，长最小，当的延长线过圆心O时，长最小，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长度的最小值是，
故答案为：6，．
（1）解：∵内接于，是上任意一点，
∴四边形为圆内接四边形，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴；
（2）同（1）法可得：，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（3），证明如下：
连接，
∵点是的内心，
∴平分，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
提升练
1．C
本题考查三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，关键是掌握三角形外心的定义．由三角形外心的定义，即可得到答案．
解：∵是的外接圆，
∴点O是的外心．
故选：C．
2．B
本题主要考查了切线以及切线长定理，解决本题的关键是充分利用圆的切线的性质，及圆切线长定理．
根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得，，，，则，所以的周长，代入求出即可．
解：∵的周长为21，，
∴，
设与的三边的切点为，切于，
，
，
，
故选：B．
3．A
因为一个数的平方、算术平方根、绝对值是非负数，所以可求、、的值，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，用面积法可求内切圆半径．
解：，
，，．
，
，
是直角三角形．
设内切圆的半径为．
根据题意，得，即，
解得
故选：A．
本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理的逆定理，利用三角形的面积公式求内切圆半径是解答本题的关键．
4．B
本题考查了三角形的内切圆与内心，利用内切圆半径（a、b为直角边，c为斜边）易得这个三角形的内切圆的半径．
解：因为直角三角形斜边长为，两条直角边长分别为，，
则这个三角形的内切圆的半径．
故选：B．
5．B
连接BE．根据两个圆的半径相等和圆周角定理可以证明∠BAC＝∠ABE，再结合三角形的外角的性质可以证明∠BEC＝2∠BAC，从而肯定该圆一定过三角形的外心．
解：如图，连接BE．
∵△ABC为锐角三角形，
∴∠BAC，∠ABE均为锐角
∵⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，且DE为两圆的公共弦，
∴∠BAC＝∠ABE．
∴∠BEC＝∠BAC＋∠ABE＝2∠BAC．
若△ABC的外心为O1，则∠BO1C＝2∠BAC，
∴⊙O一定过△ABC的外心．
故选：B．
此题综合运用了圆周角定理、三角形的外角的性质．
6．C
根据题意画出图形，由等边三角形的周长为6，可得BC＝2，设点D为BC边与内切圆的切点，连接AD，则AD⊥BC，可得BD＝DC＝BC＝1，再根据勾股定理可得OB2﹣OD2＝BD2＝1，再根据S圆环＝S外接圆﹣S内切圆即可得结论．
解：如图，
∵等边三角形ABC的周长为6，
∴BC＝2，
设点D为BC边与内切圆的切点，
连接AD，则AD⊥BC，
∴BD＝DC＝BC＝1，
在Rt△BOD中，根据勾股定理，得
OB2﹣OD2＝BD2＝1，
∴S圆环＝S外接圆﹣S内切圆
＝OB2π﹣OD2π
＝BD2π
＝π．
故选：C．
本题考查三角形的外接圆与内切圆，掌握正三角形的外接圆与内切圆半径求算是解题关键．
7．D
本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心．利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断．
解：∵E是的内心，
∴平分，
∴，故①正确；
如图，连接，
∵E是的内心，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵点G为的中点，
∴G一定在上，
∴，故③正确；
平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
若，则，显然不可能，故④错误．
故选：D．
8．D
设的外接圆的圆心为O，连接，，，，根据圆周角定理证得是等边三角形，再根据垂径定理可得，，再根据三角形内心证得，进而解决问题．
解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，，
在中，，，内心为I，
∴平分，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∵I是的内心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证得是等边三角形是解题的关键．
9．B
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理及三角形内角和定理．先利用三角形内角和计算出，在利用三角形外心的性质和圆周角定理得到的度数．
解：，，
，
，
故选：B．
10．C
本题考查了三角形的内心，圆周角定理，直角三角形的性质，由三角形内心的定义可得，由圆周角定理得，即可得，进而可得，再根据圆周角定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
解：∵点是的内心，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
11．C
此题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、正方形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
连接、、、，由与三边分别相切于点，得，，，，，，，则，推导出，可证明四边形是正方形，则，求得，于是得到问题的答案．
解：连接、、、，
与三边分别相切于点，且，，，
∴，，，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
故选：C．
12．B
本题考查三角形的内切圆与外接圆的综合，涉及垂径定理，切线的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识点，连接，，，，连接交于，过作于，设锐角的内切圆半径为，由内切圆可得点到三边距离为，，，是的角平分线，先证明，得到，再在中，由，得到，在和中求出，，最后根据求解即可．
解：如图，连接，，，，连接交于，过作于，设锐角的内切圆半径为，
∵M为锐角的内心，
∴点到三边距离为，，，是的角平分线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴中，，，
中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
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