第二十四章 圆--圆内接四边形 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十四章 圆--圆内接四边形 重点题型梳理 专题练（一）
2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、圆内接四边形
现有一些相同的小卡片，每张卡片上各写了一个数学命题，其中正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．长度相等的两条弧是等弧 D．圆内接四边形的对角互补
2． 下列图形，一定有外接圆的是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．直角梯形 D．矩形
3． 下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
二、已知圆内接四边形求角度
如图，四边形是的内接四边形，若，则（ ）
A． B． C． D．
5． 如图，是四边形的外接圆，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6． 圆内接四边形中，，则的度数为
7． 如图，四边形内接于，．则的度数是
如图，点B，C，D在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9． 如图，四边形是的内接四边形，为的直径，连结．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
10． 在中，，，为外一点，且，则的度数为 ．
11．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是 ．
三、圆内接四边形的有关计算
如图，四边形内接于，，连接，若，求的度数．
如图，四边形内接于，点在的延长线上，，求的度数．
如图，四边形内接于，，连接，若，求的度数．
四、圆内接四边形的有关证明
如图，在的内接四边形中，，．
求证：四边形是矩形．
如图，四边形内接于，，．比较的大小，并说明理由．
如图，，连接
(1)求的度数；
(2)若弧与弧相等，求证：四边形是菱形．
五、圆内接四边形的有关作图
如图，是的内接三角形．
(1)尺规作图：在图①中，求作的中点．（保留作图痕迹）
(2)用无刻度的直尺：在图②中，画一个与互补的圆周角；
(3)用无刻度的直尺：在图③中，画一个与互余的圆周角．并说明理由．
六、圆内接四边形与分类讨论
在半径等于的中，弦的长度为3，则弦所对的圆周角度数为 ．
若内接于，则圆周角 ．
点A，B，C在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是
七、利用圆内接四边形探究角或线段之间的数量关系
如图，的内接四边形两组对边的延长线分别相交于点，．
(1)若，求证：．
(2)若，，且．请用含，的代数式表示的大小．
23． 一条弦把圆分成两部分，则这条弦所对的圆周角的度数．
24． 数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：
(1)如图，点在上，点在外，线段与交于点，试猜想 （请填“＞”、“＜”或“＝”），并证明你的猜想；
(2)如图，点在上、点在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明；
如图，在中，弦，点在上．
(1)如图①，若是的直径，求的度数；
(2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数．
26 课本再现
（1）如图（1），四边形内接于，请你写出 与 之间的关系，并给出证明；
拓展应用
（2）如图（2），内接于． ，将 弧沿着边对折，与边交于点 D，连接．求证：．
27．（2025·湖南永州·模拟预测）回归课本
（1）如图1．的直径为，弦为，的平分线交于点，则______________________．
深挖问题
（2）在（1）的条件下，求的长．
探究发现
（3）如图2．为的直径，为上的一点（不与点重合），的平分线交于点，记，请直接写出和之间的数量关系．
提升练
1．如图，在的内接四边形中，是四边形的一个外角，且平分．求证：．
2．如图，是的直径，是弦，D是上一点，P是延长线上一点，连接．求证：（请用两种证法解答）
3．如图，在的内接四边形中，是四边形的一个外角，且平分．
(1)求证：；
(2)若点F在上，且，求的度数．
4．如图，在中，弦，点在上．
(1)如图①，若是的直径，求的度数；
(2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数．
5．如图所示，在中，以为直径的分别交于点，交于点，连接，若．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
6．我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”．
(1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ；
(2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”；
(3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长．
7．如图，为的直径，弦交于点E，F为上一点，连接并延长，交的延长线于点G，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，，F为的中点，求的长．
8．如图，四边形内接于，对角线为的直径，，在的延长线上取一点E，连接，使．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
9．如图，是的直径，，是上两点，连接．若，求的度数．
10．如图，已知四边形内接于，，，连接，E为上一点，且．
(1)求的度数；
(2)求证：．
11．如图，四边形 是的内接四边形，四边形、四边形 均为平行四边形，连接 ．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的大小．
12．已知四边形内接于为直径，过点作于点，连接．
(1)如图①，若的度数为__________，的度数为__________；
(2)如图②，连接，若是的切线，．求的半径．
13．新定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角．

(1)如图1，是中的好望角，，请用含的代数式表示
(2)如图2，在中，的平分线与经过两点的圆交于点，且．求证：是中的好望角．
(3)如图3，在（2）的条件下，若，求：线段的最大值．
答案
一、圆内接四边形
1． 解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项不正确；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故选项不正确；
C、能完全重合的两段弧是等弧，故选项不正确；
D、圆内接四边形的对角互补，故选项正确，
故选：D．
解∶根据有四边形外接圆的性质，四边形必须对角互补，
矩形的四个角都是直角，对角互补，一定有外接圆，
故选∶D．
解：∵四点共圆的四边形对角互补，
∴在平行四边形，矩形，菱形和梯形中，只有矩形的对角一定互补，
∴四个顶点一定在同一个圆上的是矩形，
故选：B．
二、已知圆内接四边形求角度
4． 解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
5． 解：是四边形的外接圆，
，
，
，
故选：C．
6． 解：圆内接四边形中，
设，则，，
，即，
解得：，
．
即，
，
．
故答案为：．
解：∵四边形内接于，，
∴，
∵，
∴，
故答案为．
解：如图，在所对的弧上任取一点，连结，，
则四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
故选：D．
解：∵四边形内接于，，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
故选：D．
解：以点A为圆心，长为半径作圆，
∵，
∴点在圆A上，
∵，
∵点D为形外一点，
当点D在优弧上时，
∴，
当点在劣弧上时，
∴，
故答案为：或．
解：∵是的直径，
∴
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴．
故答案为：．
三、圆内接四边形的有关计算
12． 解：，
，
，
，
，
．
13． 解：，
，
四边形内接于，
，
故的度数为．
解：∵
∴
在中
∵，
∴
∵四边形内接于
∴
∴．
四、圆内接四边形的有关证明
15． 证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形．
16． 解：，理由如下：
四边形内接于，
，
，
，
，
，
，
．
17． （1）∵四边形内接于，
∴
∴
（2）解：如图：连接
∵弧与弧相等
∴
∵，
∴
∵
∴等边三角形，
∴
四边形是菱形；
五、圆内接四边形的有关作图
18． （1）如图所示，点即为所求，
（2）解：如图所示，即为所求
∵四边形是圆内接四边形，
∴
（3）解：如图所示，连接并延长交于点，则即为所求，
理由如下，
∵是的内接三角形．
∴，
∴，
又∵
∴
∴，有，则即为所求．
六、圆内接四边形与分类讨论
解：如图，连接、，过作的垂线，垂足为C，
，半径为，弦，，
，，，
在中，，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
综上所述：弦所对圆周角的度数为或，
故答案为或．
解：如图，①当点C在优弧上时，
则；
如图，②当点C在劣弧上时，在优弧上找点D，连接，
则可得，
根据圆的内接四边形的性质可得，
∴，
∴，
∴的度数是或．
故答案为：50或130．
解：如图设圆心为，连接、，

∵弦的长度等于圆半径的倍，
即，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
情况一点在的位置，
可得．
情况二点在的位置，
有，
∴，
故答案为：或．
七、利用圆内接四边形探究角或线段之间的数量关系
22． （1）证明：∵，，，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形是的内接四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴．
∵在和中，，
∴，
∴．
解：连接，

∵一条弦把圆分成两部分，如图，
∴弧的度数是，
∴，
∴，
∴，
答：这条弦所对的圆周角的度数为或．
24． （1）解：如图，连接，
四边形是圆内接四边形，
，
是的外角，
，
，
故答案为：；
（2）解：结论不成立，，证明如下：
如图，延长交圆于点，连接，
四边形是圆内接四边形，
，
是的外角，
，
．
（1）∵是的直径，
又
是等腰直角三角形，
∵四边形是的内接四边形，
（2）如图，连接，
∵四边形是的内接四边形，
26． 解：（1）．
证明：如图（1），连接，，
则 ．
∵，
∴．
（2）证明：如图（2），作点 关于 的对称点 ，连接，，
则在上， ，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
解：（1）是的直径，
，；
，
；
是的平分线，
，
，
在中，，，
，
，
．
故答案为：8，；
（2）延长至点E，使，连接，
四边形是圆的内接四边形，
，
又，
，
由（1）知，
，
，，
又，
，
，
；
（3）延长至点E，使，连接，
四边形是圆的内接四边形，
，
又，
，
由（1）知，
，
，，
又，
，
，
．
提升练
1．见解析
【分析】本题考查了圆内接四边形，等角对等边，圆周角定理，熟练运用相关性质是解题的关键．
利用圆内接四边形的性质可得，再利用角平分线的定义和圆周角定理即可解答．
【详解】证明：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
2．见解析
【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质．证法一：连接，则，根据是的直径，可得，即可解答；证法二：连接，根据圆内接四边形的性质可得，再由是的直径，可得，即可解答．
【详解】证法一：如图①，连接，则．
∵是的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
证法二：如图②，连接．
∵ 四边形是的内接四边形，
∴，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆内接四边形，等角对等边，圆周角定理，熟练运用相关性质是解题的关键．
（1）利用圆内接四边形的性质可得，再利用角平分线的定义和圆周角定理即可解答；
（2）利用圆内接四边形的性质可得，即可求得，即可解答．
【详解】（1）解：平分，
，
在的内接四边形中，，
，
，
；
（2）解：，四边形为圆内接四边形，
，
，
，
4．(1)
(2)
【分析】本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，正确运用相关知识是解答本题的关键．
（1）根据圆周角的性质和圆内接四边形性质即可求解；
（2）连接，根据等弦对等弧，等弧对等角并结合圆内接四边形性质即可得到和的关系．
【详解】（1）∵是的直径，
又
是等腰直角三角形，
∵四边形是的内接四边形，
（2）如图，连接，
∵四边形是的内接四边形，
5．(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角的性质、勾股定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握圆内接四边形的性质、圆周角的性质、勾股定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）由题意易得，，然后可得，进而问题可求证；
（2）连接，由题意易得，设，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图所示：
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴设，则有，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴．
6．(1)90，120
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解；
（2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证；
（3）连接，分四种情况：当时，则；当时；当时；当时；分别结合“等对角四边形”的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，，
∴，，，
∴，
故答案为：90，120；
（2）证明：∵“等对角四边形”内接于，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是“等对角四边形”；
（3）解：如图1，连接，当时，则，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是“等对角四边形”，是直径，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图2，当时，此时，，
∴，
∴，
∴四边形是“等对角四边形”，
作，交于E，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，则，，，
∴四边形不是“等对角四边形”，
当时，则，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形不是“等对角四边形”，
综上所述：或．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、“等对角四边形”的定义， 掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
7．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用垂径定理得到，则，利用圆内接四边形的性质得到，利用平角的定义得到，再利用等量代换即可证明；
（2）连接、，利用垂径定理得到，，进而证出是等边三角形，则，再利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，进而得到的长，利用勾股定理求出的长，利用圆周角定理求出，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解的长．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接、，
∵，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴的长为．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆内接四边形、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、含30度角的直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
8．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）连接，根据圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理证明，根据圆的内接四边形的性质得，根据平角的定义得，从而得，由等腰三角形的性质得，证明，根据全等三角形的判定与性质得；
（2）由（1）求出，在中利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）证明：如图，连接．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
在中利用勾股定理，得．
9．
【分析】连接，由圆内接四边形的性质可得，由于是等腰三角形，列式计算顶角的度数即可．
【详解】解：如图，连接，则四边形内接于，
．
，
．
，
，
．
一题多解法
如图，在下方上取一点，连接，
则四边形内接于．
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆内接四边形、等腰三角形，解题关键是作辅助线构造圆内接四边形．
10．(1)
(2)见详解
【分析】该题考查了圆周角定理，圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据四边形为的内接四边形，，得出，证明为等边三角形，得出，再根据圆周角定理即可求出．
（2）如图，连接，由（1）知，证明为等边三角形，得出，从而得，根据圆周角定理得出，证明，即可证明．
【详解】（1）解：∵四边形为的内接四边形，，
，
，
∴为等边三角形，
，
．
（2）证明：如解图，连接，
由（1）知，
又，
∴为等边三角形，
，
∴，
又，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】
11．(1)证明见解析
(2)
【分析】（）由平行四边形的性质可得，，，，即得到，，进而即可求证；
（）由圆内接四边形的性质可得，再根据平行四边形的性质可证，即可求解；
本题考查了平行四边形的判定和性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形、四边形 均为平行四边形，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形 是的内接四边形，，
∴，
∵四边形、四边形 、均为平行四边形，
∴，，，
∴，
∴．
12．(1)，
(2)6
【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）根据圆周角定理、圆的内接四边形的性质、邻补角互补求解即可；
（2）如图：连接，由圆周角定理可得，根据圆的内接四边形的性质可得，再说明，根据直角三角形的性质可得，再证明是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵四边形内接于为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
∴
故答案为：，．
（2）解：如图：连接，
是直径，
，
，
四边形为圆内接四边形，
，
于点，
，
，
是的切线，
，
，
半径，
是等边三角形，
半径．
13．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形的内角和定理即可得出结果；
（2）圆周角定理，得到，根据，得到，结合三角形的外角和三角形的内角和推出，即可得证；
（3）连接，先证明为等腰直角三角形，求出，进而得到，根据，得到当最大时，最大，根据，推出在为直径的圆上，得到为直径时，最大，此时，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵是中的好望角，
∴是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
又∵平分，
∴是中的好望角．
（3）解：记圆心为，连接，连接，

∵平分，平分，
∴平分，
∴是的好望角，而，
∴，
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当最大时，的值最大，
∵，
∴，
∴在为直径的圆上，
∴为直径时，最大，此时，
∴的最大值为．
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