第二十四章 圆--正多边形与圆 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十四章 圆--正多边形与圆 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、求正多边形的中心角
1． 正六边形的中心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
2． 如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
3． 青秀山的龙象塔是南宁市的地标建筑之一，始建于明代万历年间．该塔为八角九层，重檐砖结构．如图所示的正八边形是龙象塔其中一层的平面示意图，点为正八边形的中心，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4． 如果一个正多边形的内角和是，那么它的中心角是 度．
5． 已知一个正边形的中心角与其一个内角的度数之比为，则 ．
二、求正多边形的边数
6． 若一个圆的内接正多边形的中心角为，则该正多边形的边数是（　　）
A．14 B．18 C．16 D．20
若一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的边数为（ ）
A．七 B．八 C．九 D．十
8． 如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　）
A．9 B．10 C．18 D．20
9． 如果正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是 ．
10． 如图，是的内接正六边形的一边，点在弧上，且是的内接正八边形的一边．则是的内接正 边形的一边．
如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为 ．
三、正多边形的边长、半径与边心距
12． 半径为2的圆内接正方形的边长是（　　）
A．2 B．4 C． D．
13． 等边三角形的边心距、半径和高的比是（ ）．
A． B． C． D．
14． 若正六边形外接圆的半径为4，则它的边心距为（　 　）
A．2 B． C．4 D．
如图，正六边形内接于，若的面积为，则正六边形的边长为（ ）
A． B．3 C．2 D．
16． 若圆内接正三角形的边长为2，则圆的半径为 ；
17． 碳60，是一种非金属单质，化学式为，是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯．如下图，足球烯是由正五边形和正六边形组成的凸多面体．
(1)足球烯中正五边形每一个内角的度数为______．
(2)若足球烯中正六边形的边长为a，求该正六边形的边心距．
18． 如图，正方形内接于，其边长为4，求的内接正三角形的边长．

四、正多边形的周长与面积
19． 正六边形内接于，正六边形外切于，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
20． 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若正六边形半径为，则这个正六边形的面积是（　　）
A． B． C． D．
21． 正六边形的周长为6，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
22． 圆的内接正方形边长为2，则该圆的内接正八边形的面积为 ．
23． 如图，已知正六边形的半径为2，点O为其中心，求正六边形的边心距、边长、周长和面积．
五、正多边形与作图问题
24． 请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
(1)如图1，五边形是正五边形，画一条直线把这个五边形分成面积相等的两部分：
(2)如图2，的外接圆的圆心是点，是的中点，画一条直线把分成面积相等的两部分；
25． 如图，已知和上的一点A．
【实践与操作】
（1）作的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）．
【应用与证明】
（2）连结，，判断四边形的形状，并加以证明．
26． 仅用无刻度的直尺作图，是一种考查灵活运用图形性质和判定的绘图方式，按要求完成下面仅用无刻度的直尺作图的题目：
(1)如图①，在内，作任意两条直径、，顺次连接、、、，则画出了的一个内接矩形，请说明理由；
(2)如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形．（保留画图痕迹，不写作法）
提升练
一、单选题
1．圆如图，正六边形ABCDEF内接于，若的周长等于，则正六边形的边长为（ ）
A． B． C．3 D．
2．已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．如图，是的八等分点．若，和四边形，的周长分别为a，b，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．a，b大小无法比较
4．如图，正六边形ABCDEF内接于，点P在上，Q是的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．如图，的内接正方形与外切正方形的边长之比为 ．
6．如图，经过正六边形的顶点，，为优弧上一点，则劣弧所对的圆周角的度数为 ．
7．如图，六边形是的内接正六边形．设正六边形的面积为，的面积为，则 ．
8．如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20，则正八边形的面积为 ．
三、解答题
9．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E，F分别为AD，BC的中点，连结EF．
（1）求∠ABC的度数；
（2）设⊙O的半径为4．
①若BC=2AB，求四边形ABCD的面积；
②若，求EF的长．
10．如下图，正五边形内接于．阅读以下作图过程，并解答下列问题：
作法：①作直径；②以点F为圆心，为半径作圆弧，与交于点M，N；③连接．
(1)求的度数．
(2)是正三角形吗？请说明理由．
(3)从点A开始，以长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形．求n的值．
11．碳60，是一种非金属单质，化学式为，是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯．如下图，足球烯是由正五边形和正六边形组成的凸多面体．
(1)足球烯中正五边形每一个内角的度数为______．
(2)若足球烯中正六边形的边长为a，求该正六边形的边心距．
12．如下图，正三角形内接于，是的内接正十二边形的一条边长，连接．若，求的半径．
13．如图①，正方形ABCD内接于，E为上任意一点，连接DE，AE．
(1)求的度数；
(2)如图②，过点B作，交于点F，连接AF．若，求DE的长．
答案
一、求正多边形的中心角
1． 解：正六边形的中心角的度数是，
故选：C．
解：；
故选D．
解：
故选：C．
解：设这个正多边形的边数为n，
则，解得，
所以正五边形的中心角是．
故答案为：72．
解：由题意，得：，
即：，
解得：；
故答案为：10．
二、求正多边形的边数
6． 解：∵内接正多边形的中心角为，且，
∴该正多边形的边数是20．
故选：D．
7． 解：设正多边形的边数为．
由题意可得：，解得：．
故选B．
解：、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，
点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，
，
，
这个正多边形的边数，
故选：A．
解：由题意可得：
边数为，
则它的边数是10．
故答案为：10．
解：连接，
∵是的内接正六边形的一边，
∴，
∵是的内接正八边形的一边，
∴，
∴，
∵，
∴是的内接正二十四边形的一边，
故答案为：二十四．
解：连接，
正六边形与正方形有重合的中心O，
，
，
是正n边形的一个中心角，
．
故答案为：12．
三、正多边形的边长、半径与边心距
12． 解：已知圆的半径为2，则圆的直径为，即圆内接正方形的对角线长为4．
设正方形的边长为，根据勾股定理，正方形对角线的平方等于两条边长平方之和，可得，即
，化简得，解得：（边长为正数，舍去负根）．
故选：D．
13． 解：如图所示，为等边三角形，O为外心，连接并延长交于点D，连接，则，
∵是等边三角形，
∴，
则，平分和，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
解：如图所示，
∵正六边形外接圆的半径为4，
∴此正六边形中，则 ．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵ ，
∴，
∴ ．
故选：D．
解：如图所示：连接，，设的半径为，
∵正六边形内接于，
是等边三角形，
∴
∵的面积是，
∴
故选：D．
解：如图，是的内接正三角形，且边长为2，连接，，
∵是正三角形，
∴垂直平分，设垂足为D．
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（1）解：∵任意多边形的外角和为，
∴五边形一个外角是，
∴五边形一个内角是.
故答案为：.
（2）解：如图，为正六边形的一条边，点O为它的外接圆的圆心，连接，过点O作．
，
是等边三角形，
．
．
在中，由勾股定理，得，
故该正六边形的边心距为．
解：如图，连接作于点M，

根据正方形的性质可得．，
∴是的直径．
在中，．
∴．
∵，
∴．
∵是正三角形，
∴，
∴．
∴．
∴．
在中，，，
∴，．
∴，即正三角形的边长为．
四、正多边形的周长与面积
19． 解：如图，为的内接正六边形的半径，为的外切正六边形的半径，
依题意，，
，
由于所有正六边形都是相似的，
∴与的面积比．
故选：B．

20． 解：∵正六边形的半径为
∴正六边形可分成六个边长为的正三角形
令其中一个正三角形为，过作于点，
∵是等边三角形，
∴
∵，
∴
∴
∴一个正三角形的面积为
∴正六边形的面积为
故选：C．
解：如图，设正六边形的一边为，外接圆的圆心为O，作，垂足为C，
∵正六边形的周长为6，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为，
∴正六边形的面积为，
故选：B．
解：如图，连接，交于点，
由题意得，，
∵，
∴，，
设，
在中，由勾股定理得，
解得：（舍负），
∴，
∴圆的内接正八边形的面积为，
故答案为：．
解：如图，连接，过点O作于点H，
∵六边形是正六边形，
∴，．
∴是等边三角形．
∴，即边长为2，周长为．
在中，，
∴，
∴边心距．
∴．
五 、正多边形与作图问题
（1）解：如图1，直线即为所求；
；
（2）解：如图2，直线即为所求；
理由：连接交于点，
∵的外接圆的圆心是点，是的中点，
∴垂直平分，
∴是的中点，
∴直线把分成面积相等的两部分．
解：（1）如图，首先作直径，然后分别以A，D为圆心，长为半径画弧，分别交于点B，F，C，E，连接，则正六边形即为所求．
（2）四边形是矩形．理由如下：
如图，连接，
∵六边形是正六边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
（1）解：∵是直径，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图所示，连接，并延长交于点，连接，交于点，连接并延长交于，，连接，，，，则四边形即为所求．
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，即在的垂直平分线上，
∵，
∴，
∴，即点在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，，经过的中点，
∴是的直径，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形．
提升练
1．C
【解析】略
2．B
【解析】略
3．A
由题意可知，，的周长，四边形的周长．如图，
连接，则．是的八等分点，，，．
4．B
【解析】略
5．
设的半径为R，则内接正方形的边长为，外切正方形的边长为，的内接正方形与外切正方形的边长之比为．
6．
本题考查了正多边形和圆，连接，根据正六边形的性质可得全等三角形，则可得到是等边三角形，则可推导出圆周角的度数.
解：如图，连接，，．
六边形是正六边形，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：．
7．2
如图，连接．
正六边形内接于，
．
，
都是等边三角形，
，
，
，
．
8．40
如图，连接AD，HE，AD分别交BG，CF于点O，P，HE分别交BG，CF于点M，N．易知均为全等的等腰直角三角形，四边形BCPO四边形GFNM为全等的矩形．
设正八边形的边长为a，则，解得，则．
，
．
又
，
正八边形的面积为．
9．（1）90°；（2）①；②．
（1）连接AC，根据全等三角形的性质得到∠D=∠B，根据圆内接四边形的性质即可得到结论；
（2）①根据圆周角定理得到AC是⊙O的半径，根据勾股定理得到AB2=，根据三角形的面积公式即可得到结论；
②取AB的中点G，连接EG，FG，DB，根据三角形的内角和得到∠BAC=60°，∠ACB=30°，求得∠BAD=120°，△DCB是等边三角形，解直角三角形ABC得到AC，AB的长，根据三角形的中位线的性质得到FG，EG的长，求出∠EGF=90°．在Rt△EGF中，根据勾股定理即可得到结论．
（1）连接AC．
在△ADC与△ABC中，
∵，
∴△ADC≌△ABC，
∴∠D=∠B，
∴∠B+∠D=180°，
∴∠ABC=90°；
（2）①∵∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的半径，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2．
∵BC=2AB，AC=8，
∴AC2=AB2+（2AB）2=64，
∴AB2=，
∴S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC=2S△ABC=2×AB BC=2××2AB2=；
②取AB的中点G，连接EG，FG，DB．
∵，∴∠BAC=2∠ACB，
∴∠BAC=60°，∠ACB=30°．
∵AC=8，
∴AB=AC=4，BC=AB=．
∵BC=CD，
∴∠BAC=∠DAC=60°，
∴∠BAD=120°，∠BCD=60°．
∵BC=DC，∠BCD=60°，
∴△DCB是等边三角形，
∴DB=BC．
∵E、G是中点，
∴EG是△ADB的中位线，AE=AG，
∴EG=DB =，∠AGE=（180°－120°）÷2=30°．
∵GF是△ABC的中位线，
∴FG=AC=4，GF∥AC，∠BGF=∠BAC=60°．
∵∠AGE=30°，∠BGF=60°，
∴∠EGF=90°，
∴EF==．
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
10．(1)
(2)是正三角形．理由见解析
(3)15
解：（1）五边形是正五边形，
．
（2）是正三角形．
理由：如图，连接．
由题意可得，
是等边三角形，
，
，
同理可得，
，
是正三角形，
（3）如图，连接．
．
，
．
，的值是15
11．(1)
(2)
本题考查了正多边形和圆，掌握正多边形和圆的关系是解题的关键．
（1）由任意多边形的外角和为，可求正五边形每一个内角的度数.
（2）为等边三角形，，得，故，即边心距为.
（1）解：∵任意多边形的外角和为，
∴五边形一个外角是，
∴五边形一个内角是.
故答案为：.
（2）解：如图，为正六边形的一条边，点O为它的外接圆的圆心，连接，过点O作．
，
是等边三角形，
．
．
在中，由勾股定理，得，
故该正六边形的边心距为．
12．
解：如图，连接．
由题意，得，
．
是等腰直角三角形，
，
，
的半径为．
13．(1)；
(2)或．
解：
（1）如图①，连接OA，OD．
四边形ABCD是正方形，
．
；
（2）如图②，连接CF，CE，CA，BD，过点D作于点H．
，
，
．
为的直径，
．
，
，
．由勾股定理，得．
，
．
设，则．
在中，，
，
解得，
或．
由勾股定理，得，
的长为或．
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