第二十四章 圆--三角形内切圆与外接圆 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十四章 圆--三角形内切圆与外接圆 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、三角形内切圆的认识
下列说法正确的是（ ）
A．圆的内接平行四边形一定是正方形 B．平分弦的直径垂直弦
C．圆的切线一定垂直于半径 D．任何一个三角形的内心一定在三角形内
2． 要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（ ）
A．三边高线的交点 B．三个角的平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点
二、三角形内心的有关计算
3． 如图，O是△ABC的内心，∠BOC＝100°，则∠A＝ °．
如图，点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5． 如图，在中，，其周长为24，是的内切圆，其半径为，则的外接圆半径为 ．
6． 如图，内接于，为的直径，I为的内心，连接．若，则的长为 ．
如图，点O是的内心，连接，若的高，则点O到边的距离为： ．
如图，在中，，，的内心、外心分别为点I、点O，且有，则的长度为 ．
三、直角三角形与内切圆的计算
已知的三边长a，b，c满足，则的内切圆半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
11． 如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
12． 一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形的内切圆的半径为 ．
13． 一个正方体的表面积是，里边有个内切球，这个内切球中还内接一个小正方体，小正方体表面积为 ．
14． 如图，在中，为的内切圆，．求的半径．
如图，在中，，是的内切圆，半径为r，切点为D、E、F，连接．
(1)若，，则 ；
(2)若的周长为，面积为，则，，之间有什么数量关系，并说明理由．
四、一般三角形与内切圆的计算
一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ）
A． B．1 C． D．
17． 等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则它的内切圆的半径为（ ）
A．6 B． C． D．3
18． 如图，在中，，，，是的内切圆，切点分别为、、，则的半径为 ；连接、，则的值为 ．
已知的周长为20，其内切圆半径，则的面积为 ．
如图，在四边形材料中，，，，，，现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是 ．
如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．
(1)求的长．
(2)已知，求的长．
22． 如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．
如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，
(1)求的长．
(2)已知，求的长．
五 、三角形内切与外接圆问题
23.我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（ ）
A． B． C． D．
24. 如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则 （ ）
A． B．1 C． D．
25. 如图，内接于，，，D是的中点，则的半径为 ，的长度的最小值是 ．
26.如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接．
(1)若，求的度数：
(2)若，，，请直接写出与的数量关系；
(3)找出图中所有与相等的线段，并证明．
综合练
1．如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长，交于点D，连接．
(1)找出图中所有与相等的线段，并证明；
(2)若，求的周长．
2．如图，在中，，是的内切圆，半径为r，切点为D、E、F，连接．
(1)若，，则 ；
(2)若的周长为，面积为，则，，之间有什么数量关系，并说明理由．
3．如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接．
(1)若，求的度数：
(2)若，，，请直接写出与的数量关系；
(3)找出图中所有与相等的线段，并证明．
4．如图，⊙O是△ABC的内切圆．
（1）若∠A＝60°，连接BO、CO并延长，分别交AC、AB于点D、E，
① 求∠BOC的度数；
② 试探究BE、CD、BC之间的等量关系，并证明你的结论；
（2）若AB＝AC＝10，sin∠ABC＝，AC、AB与⊙O相切于点D、E，将BC向上平移与⊙O交于点F、G，若以D、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求平移的距离．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．
⑴ 求证：四边形CFDE是正方形； ⑵ 若AC＝3，BC＝4，求△ABC的内切圆半径．
6．如图，在中，，，圆内切于，切点分别为、、．
（1）求的周长；
（2）求内切圆的面积．
7．如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．

(1)若，求的度数；
(2)若，求的周长．
8．如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，．
(1)若，则　　；
(2)若，，求的半径．
9．已知内接四边形中，平分．
(1)如图1，若相交于E，求证：．
(2)如图2，连接交于F．若，求的半径．
(3)如图3，若为直径，，求的内心与点O的距离．
10．在中，，、分别是的外心和内心，且满足．求证：
（1）；
（2）．
答案
一、一三角形内切圆的认识
1． 解：A． 圆的内接平行四边形一定是矩形，该选项不符合题意；
B． 平分弦（不是直径）的直径垂直弦，该选项不符合题意；
C． 圆的切线一定垂直于过切点的半径，该选项不符合题意；
D． 任何一个三角形的内心一定在三角形内，选项符合题意；
故选：D．
解：要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，
则作三角形的内切圆，即作三角形的三个内角角平分线的交点，
故选：B．
二、三角形内心的有关计算
3． 在中,
，
，
∵点O是的内心，
，
在中，
，
．
故答案为：．
4.解：如图，连接，
∵点O是的外心，
∴，
∵点I是的内心，，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
故选：B．
解：如图，设与三边的切点为D，E，F，
连接，
则，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵周长为24，
∴，
∴；
如图，设的外接圆为，作直径，连接，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴的外接圆的半径为．
故答案为：．
6．解：如图，延长交于，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
中，为三个角平分线的交点，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
据勾股定理可得，，
∴，
故答案为：．
7． 解：作于点H，
∵是的高，
∴于点D，
∵点O是的内心，
∴平分，
∵点O在的平分线上，且于点H，于点D，
∴，
∴点O到边的距离为3，
故答案为：3．
解：如图，延长交外接圆于点D，连接，作于点G，
∵，
∴，
∵点I是的内心，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，是半径，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点I是的内心，
∴，
∵，
∴．
故答案为：8．
三、直角三角形与内切圆的计算
9． 解：，
，，．
，
，
是直角三角形．
设内切圆的半径为．
根据题意，得，即，
解得
故选：A．
10． 解：连接、、、，
与三边分别相切于点，且，，，
∴，，，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
故选：C．
解：连接，，
，，，
，
与的切点分别为 D，E，F，
，，，，，
，
，
，
，，
四边形是正方形，
，
的半径长为2，
故选：B．
解：，
∴，
解得：，
∴直角三角形的两条直角边长分别为3，4，
∴斜边长为，
如图，在中，，设为的内切圆，与三边的切点分别为D，E，F，连接，设的半径为r，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
即此直角三角形的内切圆的半径为1．
故答案为：1
解：设小正方体的棱长为 ，
∵大正方体的表面积是，
∴大正方体的棱长是，
∵大正方体里面有一个内切球，
∴内切球的直径为，
∵内切球中还内接一个小正方体，
∴，
∴，
∴小正方体表面积 ．
故答案为：.
解：设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，如图所示．
易得四边形是正方形，
．
在中，
，
．
由切线长定理，得，
即，
解得，
的半径为．
（1）解：连接、、，
∵
∴
在中，
∵，，
∴
又∵，
代入①得：；
（2）∵，
代入①得，
∴，，之间数量关系为
四、一般三角形与内切圆的计算
16． 解：如图：等边的内切圆O切于D，连接，则，，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去）．
故选：C．
17． 解：如图，，为的内切圆，与三边相切于点，连接，连接，
则：点是三条角平分线的交点， ，
∴，，
∴三点共线，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴，
∴，即的半径为；
故选C．
18． 解：如图所示，连接，过点作于点，
依题意，是的内切圆，切点分别为、、，
∴，
设，则，
在中，
即
解得：
∴
设的半径为，
∴
∴
如图所示，过点作交的延长线于点，
∵是的内切圆，切点分别为、、，
∴
∴
∵
∴
∴
又∵
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴
在中，
故答案为：；．
解：由题意，得：的面积为；
故答案为：50．
解：延长交延长线于
因为，，
，
，即，
解得，
，
在中，，
，
设这个圆的圆心为，与分别相切于，
所以，
，
，
，
，
即，
解得
（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
，，，
设，
则，，
根据题意得：
解得：
，，，
则的长为；
（2）解：，，，
∴半周长，
又，
，
，
则的长为．
（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
，，，
设，则，，
根据题意得：
解得：
，，，
则的长为；
（2），，，
∴半周长，
又，
，
，
则的长为．
五、三角形内切与外接圆问题
23． 解：如图所示，为等腰底边上的高，点为三角形的外心，
∴，
由三线合一和勾股定理得，，
，
由勾股定理得，
解得，
如图，点为的内心，
，
∴，
∴
故选：B．
24． 解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，，
在中，，，内心为I，
∴平分，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∵I是的内心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
解：连接并延长交于E，连接，
则，，
，
，
即的半径为6，
当时，的长度的最小，
D是的中点，
延长到，使，作于H，连接，，，
D是的中点，
是△的中位线，
，
当长最小时，长最小，当的延长线过圆心O时，长最小，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长度的最小值是，
故答案为：6，．
（1）解：∵内接于，是上任意一点，
∴四边形为圆内接四边形，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴；
（2）同（1）法可得：，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（3），证明如下：
连接，
∵点是的内心，
∴平分，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
综合练
1．(1)见解析
(2)30
本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
（1）连接，由三角形的内心性质得到内心，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论；
（2）过点I分别作，垂足分别为，根据内切圆的性质和切线长定理得到，利用勾股定理求得，，进而可求解．
（1）解：，理由：
如图，连接，
为的内心，
∴，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点I分别作，垂足分别为，
为的内心，即为的内切圆的圆心，
分别为该内切圆与三边的切点，
，
，
，
，
，
的周长为
．
2．(1)
(2)
本题考查了用等面积法求三角形的内切圆半径，三角形的内切圆与内心，解答的关键是充分利用已知条件，将问题转化为求几个三角形面积的和．
（1）根据等面积法即可得出结论；
（2）根据，结合，即可得到，，之间数量关系．
（1）解：连接、、，
∵
∴
在中，
∵，，
∴
又∵，
代入①得：；
（2）∵，
代入①得，
∴，，之间数量关系为
3．(1)
(2)
(3)，证明见解析
本题考查圆周角定理，圆内接四边形，三角形的内心，等角对等边等知识点，熟练掌握相关定理，性质，是解题的关键．
（1）圆内接四边形的性质，得到的度数，圆周角定理，得到，再利用三角形的内角和定理，求出的度数即可；
（2）同法（1）求出的度数，等弧所对的圆周角相等，得到，根据三角形的内角和定理，得到与的数量关系；
（3）连接，根据三角形的内心是角平分线的交点，结合三角形的外角和圆周角定理，得到，等角对等边，得到，圆周角定理得到，进而得到，得到．
（1）解：∵内接于，是上任意一点，
∴四边形为圆内接四边形，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴；
（2）同（1）法可得：，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（3），证明如下：
连接，
∵点是的内心，
∴平分，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
4．（1）①120°，②BC= BE＋CD；（2）平移的距离是1.2.
分析：（1）①由点O是内心得∠BOC＝120°；
②由切线长定理可证得.
（2），连接AO并延长，交BC于点N，交ED于点M，由以D、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求得EF=3.6，再证明△AOE∽△ABN，求得，再证明△AED∽△ABC，得ED=3.2，即可求解.
详解：（1）①∵∠A＝60°
∴∠ABC＋∠ACB＝120°
∵⊙O是△ABC的内切圆
∴ BD平分∠ABC，CE平分∠ACB
∴∠DBC＋∠ECB＝60°
∴∠BOC＝120°
②BC= BE＋CD
作∠BOC的平分线OF交BC于点F，
∵∠BOC＝120°
∴∠BOE＝60°，∠BOF＝60°
在△BOE与 △BOF中
∴ △BOE≌△BOF（ASA）
∴ BE=BF
同理可证：CD=CF
∴ BC= BE＋CD
（2）如图，连接AO并延长，交BC于点N，交ED于点M
∵⊙O是△ABC的内切圆
∴ AO是∠BAC的平分线，
又 AB＝AC，
∴ AN⊥BC
∵AB＝AC＝10，sin∠ABC＝
∴ AN＝8，BN＝6
由切线长定理得：BN＝BE=6，AE=AD＝4，
∵点D、E是⊙O的切点，连接OE，∠AEO=∠ANB，∠BAN=∠BAN，
∴△AOE∽△ABN，，即
解得
∴
∵，∠BAC=∠BAC
∴△AED∽△ABC
∴ ，
以D、E、F、G为顶点的四边形是矩形
∴∠DEF＝90°
∴ 是⊙O 的直径
∴
∴平移的距离是
点睛：本题考查了切线的性质、矩形的性质．
5．(1)见解析;(2)1.
（1）过D作DG⊥AB交AB于G点，由角平分线性质得出DF＝DG，同理可得DE＝DG，则DE＝DF，再由∠C＝∠CFD＝∠CED＝90°可得四边形CFDE是正方形；
（2）先计算AB的长，由AF＝AG，BE＝BG得出AF＋BE＝AB，从而得到2CE＝AC＋CB－AB＝2，求得CE＝1，△ABC的内切圆半径为1．
过D作DG⊥AB交AB于G点，如图所示：
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴DF＝DG，同理可证DE＝DG，∴DE＝DF，
∵∠C＝∠CFD＝∠CED＝90°，
∴四边形CFDE是正方形；
⑵ ∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，由⑴知AF＝AG，BE＝BG，
∴AF＋BE＝AB，
∵四边CFDE是正方形，
∴2CE＝AC＋CB－AB＝2，即CE＝1，△ABC的内切圆半径为1．
考查了正方形的判定和直角三角形的内切圆半径求法，利用切线长定理求出内切圆半径是解题关键．
6．（1）（2）
（1）利用切线长定理以及相似三角形的判定与性质得出DE，的长，进而得出答案；
（2）利用勾股定理得出△ABC内切圆的半径，进而得出内切圆的面积．
（1）连接，，，
∵，，圆内切于，切点分别为、、，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：；
（2）连接，，
由（1）得：，
设，则，
∴，
∴，
解得：，
∴内切圆的面积为：．
此题主要考查了三角形内心的性质以及切线长定理和相似三角形的性质和判定等知识，根据题意得出FO的长是解题关键．
7．(1)
(2)11
本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是：
（1）利用三角形内角和求出，再根据内切圆的性质和切线长定理得出，，再求出，最后利用三角形内角和求出结果；
（2）设的切点为，根据内切圆的性质得到，，推出的周长为，再结合切线长定理可得，再计算即可
（1）解：∵，
∴，
∵为的内切圆，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵为的内切圆，为的切线，设切点为，
∴，，
∴的周长为：
∵，，，
∴
．

8．(1)
(2)1
本题主要考查了三角形内切圆与内心、切线的性质、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键．
（1）由切线的性质可得，由四边形内角和定理和直角三角形的性质可求解；
（2）由三角形面积的和差关系列出等式计算即可解答．
（1）解：，是的切线，
，
又，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图，连接，，，，
，，是的切线，
，，，
，，，
，
，
，
．
，
的半径为1．
9．(1)见解析
(2)
(3)
本题主要考查了三角形内切圆与外接圆综合，圆内接四边形的性质，弧与弦之间的关系，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）由角平分线的定义得到，由同弧所对的圆周角相等可得，则，再由角的和差关系和三角形外角的性质可证明结论；
（2）连接，先证明，由垂径定理得到，由勾股定理得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案；
（3）过点D作交延长线于E，于H，可求出，则，可证明是等腰直角三角形，得到，则可求出，；证明四边形是矩形，得到，；证明，得到，则，；设的内心为I，设分别与相切于D、E、F，连接，根据，可求出；再证明四边形是矩形，得到，则，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，即的半径为；
（3）解；如图3所示，过点D作交延长线于E，于H，
∵为直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，；
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图4所示，设的内心为I，设分别与相切于D、E、F，连接，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的内心与点O的距离为．
10．（1）证明见解析；（2）证明见解析
证明 （1）作于，于．
设，，．
易求得，，
所以，
又恰好是两条平行线，之间的垂线段，所以也是两条平行线，之间的垂线段，
所以，所以．
（2）由（1）知是矩形，连接，，设（即为的内切圆半径），则
．
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