2025-2026学年数学八年级上册期中测试试题（冀教版）提升二（含解析）

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2025-2026学年数学八年级上册期中测试试题（冀教版）
提升二（含解析）
一、单选题
1．是的（ ）
A．绝对值 B．倒数 C．相反数 D．算术平方根
2．4的平方根是（ ）
A． B．2 C． D．
3．若式子有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．任意实数
4．分式方程的解是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，的面积为为边上的中线，点是线段的五等分点，点、、是线段的四等分点，点是线段的中点，则四边形的面积为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
6．如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别是矩形的边，上的动点，点B关于直线对称的点刚好落在边上，与交于点O．连接，，以下四个结论：①四边形是菱形；②当点与点D重合时，；③的面积S的取值范围是；④当时，四边形的面积为．正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①②
7．小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
9．若关于x的分式方程的解是负数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
10．已知，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在正方形中，点P是对角线上一点（点P不与B、D重合），连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接交于点G，给出四个结论：①；②；③；上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
12．方程的正整数解的个数是（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
二、填空题
13．化简的结果为 ．
14．计算： ．
15．若，则“□”表示的最简分式为 ．
16．如图，在矩形中，，，平分交于点，过点作交于点，连接并延长交于点，交于点，则与的面积比为 ．
三、解答题
17．如图，已知点，分别在，上，，求证．
18．计算：．
19．如图1，和都是等边三角形，连接，．

(1)求的值；
(2)如图2，若和是直角三角形，，且．连接，，求的值；
(3)如图3，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，，延长交于点，设，求的长．
20．计算：
21．（1）计算：； （2）求不等式组的整数解．
22．在数学课上，老师提出如下问题：
已知：，直线和上两点，．
求作：，使点在直线的上方，且，．
小刚的做法如下：
①以的顶点为圆心，任意长为半径作弧，交两边于，；以为圆心，同样长为半径作弧，交直线于点；
②以为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，作射线；
③以为圆心，任意长为半径作弧，交直线于，；
④分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在直线上方交于点，作射线；
⑤射线与射线交于点．
⑥即为所求．
(1)使用直尺和圆规，补全图形；保留作图痕迹
(2)完成下面的证明：
连接．
在和中，
，，，
≌______填写推理依据
．
，，
______填写推理依据
23．如图，已知关于x的二次函数图像交x轴正半轴于点A，交x轴负半轴于点B，交y轴负半轴于点C，连接，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段．
(1)求的值；
(2)若点D恰好在二次函数的图像上，求此时m的值；
(3)过点B作的平分线交二次函数图像于点E，过点E作线段交x轴于点F，请直接写出 ．
《2025-2026学年数学八年级上册期中测试试题（冀教版）提升二（含解析）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A C B A A C D A
题号 11 12
答案 D C
1．C
【分析】本题考查相反数的定义，正确理解相反数的定义是解题的关键．
根据相反数的定义，两个数相加等于0，则互为相反数，进而得到是相反数．
【详解】解：
与互为相反数．
故选：C ．
2．A
【分析】本题考查了平方根，熟知平方根的定义是解题的关键；
根据平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根即可解答.
【详解】解：因为，
所以4的平方根是；
故选：A.
3．A
【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，解不等式，根据分母不为零，被开方数大于等于零，列不等式，解答即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，
解得：，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，计算即可得出答案．
【详解】解：分式方程整理得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故选：C．
5．B
【分析】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质．根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质可得，再利用等高模型求得，同理求得，据此求解即可．
【详解】解：连接、、、、，
∵的面积为，为边上的中线，
∴，
∵点、、是线段的四等分点，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点、、是线段的四等分点，
∴，
∴，
∵点是线段的五等分点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点是线段的五等分点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积为，
故选：B；
6．A
【分析】本题综合考查了菱形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，二次函数的函数值的范围，熟练掌握相关内容是解题的关键．
证明，即可证明四边形是菱形，故①正确；当点与点D重合时，设，则，得，解得，求得，利用勾股定理可求，由此可求，可判定②正确；
利用，而，可得到的面积S的取值范围是，可判定③错误；当时，可求得，即可求出梯形的面积，由此判定④．
【详解】解： 点B关于直线对称的点刚好落在边上，
，，
为矩形，
，
，
又 ，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
四边形是菱形，故①正确；
当点与点D重合时，如图所示，
设，则，
由于四边形是菱形，
，
，
解得，
，，
，
，
，
，故②正确；
,
当点与点D重合时，取得最大值，即，
，
当时，，
当时，，
在，随着值增大而增大，
的面积S的取值范围是，故③错误；
当时，如图，
，
，
，
四边形的面积为，
故④正确，
综上所述，①②④符合题意；
故选：A．
7．A
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可．
【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，
根据题意，可得．
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的转化，解题的关键是通过延长线段构造全等三角形，将的面积与的面积建立等量关系．
延长交于点利用平分和证明得出且与面积相等；由可知与面积相等；通过面积转化可得的面积是面积的2倍，进而求出的面积．
【详解】延长交于点G．
∵ 平分
∴．
∵
∴．
在和中，
∴．
∴ ．
∵
∴和等底同高（以、为底，高均为点C到的距离），
∴．
∵
且
∴
∵
∴即．
故选：C．
9．D
【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，正确求出分式方程的解是解本题的关键．注意不要忽略方程的解不能使分母为零．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数确定出a的范围即可．
【详解】解：去分母，得，
解得，
∵分式方程的解是负数，
∴，且，
解得且，
故选：D．
10．A
【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则以及运用整体代入的思想．由可得，再将分式化简后整体代入求解即可．
【详解】解：，
，
，
故选：A．
11．D
【分析】取的中点，连接，利用直角三角形性质可得，即，四点共圆，再运用勾股定理即可判断结论①；将绕点顺时针旋转得到，可证得，即可判断结论②；连接，过点作于，过点作于，则四边形是矩形，可证得，再结合等腰直角三角形性质即可判断结论③；
【详解】解：如图1，取的中点，连接，
∵，四边形是正方形，
，
，
，
四点共圆，
，
在中，，
在中，，
∴；故①正确；
将绕点顺时针旋转得到，如图2，
，
，
共线，
，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴；故②正确；
连接，过点作于，过点作于，则四边形是矩形，如图3，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
12．C
【分析】此题考查了分式方程的化简，因式分解，解此题的关键是将方程变形为．
方程变形为，又由与，是正整数，即可得，或，或，或，或，或，或，或，或，，即可求得答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，，是正整数，
，或，或，或，或，或，或，或，或，，
，或，或，或，或，或，或，或，或，．
方程的正整数解的个数是9个．
故选：C．
13．/
【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据分式的乘法法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
14．0
【分析】本题考查负指数幂运算，算术平方根以及特殊角的三角函数值，解题的关键是分别正确计算各项的值，再进行运算．
先计算出的值，再计算，同时明确的值，最后将两者计算结果相减．
【详解】解：
，
故答案为：0．
15．
【分析】本题主要考查了分式的运算．将未知分式设为变量，通过方程变形逐步解出，最终化简为最简分式即可．
【详解】解：□．
故答案为：．
16．/
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，结合角平分线的性质.延长交延长线于N，作于M，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质，结合角平分线的性质，证明，，得到，，，再证明和，求出与的面积，从而得到其比值．
【详解】延长交延长线于N，作于M，
，，，
，
平分，
，又
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，又，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17．见解析
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．由，，，根据“”证明，则．
【详解】证明：在和中，
，
，
．
18．7
【分析】本题考查了实数的混合运算、算术平方根、零指数幂，熟练掌握相关知识点是解题的关键．分别利用算术平方根、零指数幂、有理数乘法的运算法则化简，再将所得结果加减即可求解．
【详解】解：
．
19．(1)1
(2)
(3)
【分析】本题是相似形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）证明，从而得出结论；
（2）先证明，再证得，进而得出结果；
（3）由“”可证，可得，由直角三角形的性质可求解．
【详解】（1）解：和都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
，
（2）解：，，
，
，；
，
，
；
（3）如图，过点作，交的延长线于，过点作于，
是等腰直角三角形，，，
，
将绕点逆时针旋转得到，
，，，，，
和都是等边三角形，
，，
，
，
，
，
又，，
，
，
，，
，，
，
．
20．2
【分析】本题考查了含乘方的实数混合运算．解题的关键是熟练掌握运算顺序和相关运算法则．
先计算0指数幂，去绝对值，开立方，负整数指数幂运算，然后按照先乘再加减运算顺序计算即可求解．
【详解】解：
．
21．（1）；（2），，，，
【分析】本题主要考查分式的化简运算，不等式组的解法，通分和化简和熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）根据分式的混合运算法则进行计算即可；
（2）先求出不等式组的解集，再求整数解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）先解，解得，
，即，解得，
所以不等式组的解集为，
则整数解为，，，，．
22．(1)见解析
(2)，等腰三角形三线合一
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）利用全等三角形的判定，等腰三角形的性质解决问题即可．
【详解】（1）如图所示：即为所求．
（2）在和中，
，，，
≌，
．
，，
等腰三角形三线合一．
故答案为：，等腰三角形三线合一．
【点睛】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．(1)4
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的综合，涉及旋转的性质、锐角三角函数、二次函数图像与坐标轴的交点问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
（1）先求得点A、B、C的坐标，进而求得、，利用正切定义求解即可；
（2）过D作轴于P，证明，利用全等三角形的性质求得点D坐标为，代入二次函数解析式中解方程即可求解；
（3）设与y轴交于点K，过K作于H，根据角平分线的定义可得是等腰直角三角形，则，设，解直角三角形求得，则，求得；过E作轴于M，然后解直角三角形，分别求得，，进而可求解．
【详解】（1）解：对于,
当时，，
∴，则；
当时，由解得，，
∴，，则，
∴；
（2）解：过D作轴于P，则，
由旋转性质得，，且点D在第一象限，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点D坐标为，
∵点D恰好在二次函数的图像上，
∴，解得；
（3）解：设与y轴交于点K，过K作于H，
∵平分，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，设，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，则，
∴，
过E作轴于M，则，
∴，则；
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴．
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