北京市海淀区2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷（PDF版，含答案）

2025 北京 海淀初 三（ 上 ）期 中
数 学
2025 . 11
学校 _ _________ _ 姓名_ _________ __ 准考证号 _ _________ __
注 1 .本 试卷共 8 页，共两部分， 28 道题。满分 100 分。考试时间 120 分钟。
意 2 .在 试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
事 3 .试 题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。
项 4 .在 答题纸上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。

第一部分 选择题
一、选择题（共 16 分，每题 2 分）
第 1 -8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1 . 一元二次方程 2x2 x 3 = 0 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是
A. 2 ， 1 ， 3 B . 2 ，1 ， 3 C . 2 ， 1 ， 3 D. 2 ， 1 ，3
2 . 铜镜是中国古代艺术的灿烂瑰宝。下列铜镜图案中，是中心对称图形的是

3 . 将抛物线 y = 2x 2 向下平移 1 个单位长度，得到的抛物线是
A. y = 2( x + 1
2 2
) B . y 2= 2( x 1) C . y = 2x + 1 D. y = 2x 2 1
4 . 物理学家巧妙地使用可旋转的正八面棱镜来测量光速，这种棱镜的底面是一个正八边
形（如图 所示），该正八边形绕其中心 O 旋转 n °后能与自身重合，那么 n 的值可能是
A. 22 .5 B . 30
C . 45 D. 60
5 . 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A ，B ，C ，D ， E ，F 的横、纵坐标均为整数， △ DEF 可由△ ABC 绕
点 M 旋转得到，则点 M 的坐标是
A. (3 ， 0)
B . (0 ， 3)
C . (2 ， 2)
D. (3 ， 2)

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6. y = ax2已知二次函数 + bx +（c a 0）的图象如图所示，则下列说法正确的
是
A. a 0
B. ac 0
b
C. 1
2a
D. b2 4ac 0
7.随着科技的飞速发展，新能源汽车越来越多地走进人们的生活。北京市新能源汽车保有量从 2022 年的
61.7 万辆到 2024 年的 100.9 万辆，呈现出逐年增加的趋势。设新能源汽车的保有量从 2022 年到 2024 年的
年平均增长率为 x，则下面所列方程正确的是
A. 2 61.7x =100.9 B. 61.7x2 =100.9
2
C. 61.7x + 61.7x2 =100.9 D. 61.7 (1+ x) =100.9
8.如图，边长为 10 的等边△ABC 绕它的中心 O 顺时针旋转 （0 120 ）得到△DEF，DF 分别与 AB，
AC 交于点 M，N。给出下面三个结论：
①AM 的长随 的增大而增大；
②AM 的取值范围是 0③当 = 30 时，AM=2。
上述结论中，所有正确结论的序号是
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ①②③
第二部分 非选择题
二、填空题（共 16 分，每题 2 分）
9 在平面直角坐标系中，点 P(2，3)关于原点对称的点的坐标为______________。
10.写出一个一元二次方程，使它的两个根互为相反数：__________。
11 在平面直角坐标系 xOy 2中，若点 ( 2，a) 和点 (3，b)在二次函数 y = (x +1) 的图象上，则a _______ b
（填“>”“<”或“=”）。
12 2若关于 x 的一元二次方程 x 4x + k = 0 有两个相等的实数根，则 k
的值为_____________。
13 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(2，0)，B(0，4) .将线段 AB 绕
点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AC，则点 C 的坐标为__________。
14.二次函数 y = ax2 + bx + c(a 0)的 x 与 y 的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 1 2 1 2 7 …

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则关于 x 2的一元二次方程 ax + bx + c = 2 的解是____________。
15.如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD=120°，AB=2.将一块边长足
够长的三角板的 60°角顶点与点 A 重合，三角板的外侧边沿分别
与 BC，CD 交 于 点 E，F， 则 四 边 形 AECF 的 面 积 是
____________。
16.对任意实数 x，可用[x]表示不超过 x 的最大整数，如 1.5 =1， 2 = 2， 0.6 = 1 .称函数
y = ax2 +b x + c(b 0) 为“涟漪函数”。
(1)当 a = c = 0时，若 y = b，则 x 的取值范围是_____________；
1
(2)当 a = ，b = 1，c =1时，“涟漪函数”与 x 轴共有__________个公共点。
4
三、解答题（本题共 68分，第 17题 4分，第 18-19题，每小题 5分，第 20-21题，每小题 6分，第 22 题
5分，第 23题 6分，第 24题 5分，第 25-26题，每小题 6分，第 27-28题，每小题 7分）解答应写出文字
说明、演算步骤或证明过程。
17. 2解方程： x 6x = 7 .


18.如图，在△ABC中， AB = AC， BAC = ，D为 AC上一点，将线段 AD绕点 A逆时针旋转 得到线
段 AE，连接 BD，CE.
求证：BD=CE.




2
19.已知 m 2是方程 x + 3x 1= 0的一个根，求代数式 (m+ 2)(m 2)+ (m+3) 的值.


20. 2已知抛物线 y = x +bx + c 与 y 轴的交点为(0，3)，抛物
线的对称轴为直线 x =1 .
(1)求抛物线的表达式；
(2)直接写出抛物线的顶点坐标，并在平面直角坐标系 xOy 中
画出抛物线；
(3)当0 x 3时，直接写出 y 的取值范围.


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21. 2已知关于 x 的一元二次方程 x +mx +m 1= 0 .
(1)求证：无论 m 为何值，方程总有实数根；
(2)若方程有一个根大于 3，求 m 的取值范围.


22.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( 4，2)，B( 2， 2)，C(0，3)，将线段 AB 绕点 O 旋转 180°得到
线段 AB'（A'是点 A 的对应点）.
(1)在平面直角坐标系 xOy 中画出线段 A'B'；
(2)若点 P 在线段 AB 上，P'是点 P 关于点 O 的对称点.
①当点 P 与点 B 重合时，△CPP'的面积等于_____________；
②△CPP'的面积 S 的取值范围是___________.

23.某科技团队研发的机器人能够进行舞蹈表演，其表演队形随音乐节奏动态调整。在一次表演中，开场阶
段参加表演的所有机器人整齐排列，组成一个正方形方阵。当音乐推进至高潮部分，表演队形发生变化，
首先有 4 个机器人出列，在舞台的最前方担任领舞，其余机器人则迅速调整站位组成一个长方形方阵。该
长方形方阵的列数比原来的 2 倍少 1，行数比原来少 4。求此次参加表演的机器人的总个数。


2
24.已知抛物线 y = (x +1) 4与 x 轴正半轴交于点 A，顶点为 B.
(1)求直线 AB 的表达式；
(2)过点 P(t，0)作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M，交直线 AB 于点 N，当 MN 的长为 3 时，直接写出 t 的值.


1
25. 4
4 2
小君在课后探究学习中遇到一个函数 y = x x .她类比二次函数对其进行探究，请回答下列问题：
3 3
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1 4
(1) 4 2函数 y = x x 的自变量 x 的取值范围是_____________；
3 3
(2)小君写出该函数 x 与 y 的部分对应值如下表：
1 1 3 9
x ··· 1 0 1 2 ···
2 2 2 4
5 63 459
y ··· 1 m 0 1 0 ···
16 48 256
② m 的值为_____________；
②小君发现该函数的图象关于 y 轴对称，并用软件画出了该函数在 x≥0 时的图象，请在平面直角坐标系
xOy 中补全该函数的图象；

1 4 9
(3) 4 2写出方程 x x = 最小的解的近似值：____________（精确到 0.1）
3 3 10
1 4
(4)过点 (0，n) 4 2作垂直于 y 轴的直线 l，若直线 l 与函数 y = x x 的图象有两个公共点，则 n 的取值范
3 3
围是_________。
26. 2 2在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax 2a （x a 0）经过点 A( 1，m) 和点 B(3，n) .
(1)当 a =1时，比较 m，n 的大小，并说明理由；
(2)当 1≤x≤3 时，y 随 x 的增大而减小，且 y 的最大值与最小值的差为 h，求 h 的最小值。

27.在正方形 ABCD 中，点 E 在射线 BC 上，连接 AE，将线段 AE 绕点 A 逆时针旋转 135°得到线段 AF，过
点 F 作 FG ⊥ BC ，交直线 BC 于点 G。
(1)如图 1，点 E 与点 B 重合，若 AB=2，求 BG 的长；
(2)如图 2，点 E 在 BC 的延长线上，用等式表示 BG，BE 和 AB 的数量关系，并证明。
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28.在平面直角坐标系 xOy 中，对于图形 M 和直线 l，给出如下定义：将图形 M 绕点 O 顺时针旋转
（0 < 360 ）得到图形 M’，再将图形 M’关于直线 l对称，得到图形 N，则称图形 N为图形 M的“ l
变换图形”.
(1)已知点 A(2，2)，B(0，3)，图形 M 为线段 AB.
①当直线 l 为 y 轴时，图形 M 的“90 l 变换图形”为 N，则以下说法正确的是_______；
A.图形 M 与图形 N 关于原点中心对称
B.图形 M 与图形 N 关于 y 轴对称
C.图形 M 与图形 N 关于直线 y=x 对称
D.图形 M 与图形 N 关于直线 y= x 对称

②当直线 l 为 y=x 时，若图形 M 的“ l 变换图形”与 x 轴负半轴有公共点，直接写出 的取值范围；
(2)已知正方形 EFGH 的顶点坐标分别为 E(3，3)，F (3， 3)，G( 3， 3)，H ( 3，3) ，长为 5 的线段 CD
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1
（点 C 在点 D 左侧）在直线 y = x +1上，且点 C 的横坐标为 t，直线 l 由直线 x=0 绕点(0，t)逆时针旋转
2
30°得到。若线段 CD 的“120 l 变换图形”与正方形 EFGH 有公共点，直接写出 t 的取值范围.


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九年级第一学期期中数学练习 2025.11
参考答案
一、选择题
题目 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D C A D D A
二、填空题
9． ( 2, 3) 10． x2 =1（答案不唯一）
11． < 12． 4
13． (6, 2) 14． x1 = 1, x2 = 3
15． 3 16．1 x 2；1
三、解答题
17. 解：原方程可化为
x2 6x +9 =16 .
得 (x 3)2 =16 .
得 x 3= 4 .
解得 x1 = 7, x2 = 1 .
18. 证明：
∵线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 α 得到线段 AE，
∴AD=AE，∠DAE=α.
∵∠BAC=α,
∴∠DAE=∠BAC.
在△ABD 和△ACE 中，
AB = AC,

BAD = CAE,

AD = AE,
初三数学 参考答案 第1页（共7页）
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
19．解：∵m 是方程 x2 +3x 1= 0 的一个根，
∴m2 +3m =1.
原式= m2 4+m2 + 6m+9
= 2m2 + 6m+5
2
= 2(m + 3m) + 5
= 7.
20．解：
（1）∵抛物线 y = x2 +bx + c 与 y 轴的交点坐标为 (0,3)，
∴ c = 3.
∵抛物线的对称轴为直线 x =1，
b
∴ =1 .
2 ( 1)
∴ b = 2.
∴抛物线的表达式为 y = x2 + 2x + 3 .
（2）抛物线 y = x2 + 2x + 3的顶点坐标为 (1,4) .
函数图象如图所示：

y
5
4
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5 x
–1
–2
–3
–4
–5

（3）当0 x 3 时，0 y 4 .

初三数学 参考答案 第2页（共7页）
21．（1）证明：∵ = b2 4ac =m2 4(m 1) =m2 4m+ 4 = (m 2)2 0，
∴无论 m 为何值，方程总有实数根.
（2）解：由（1）知 = (m 2)2 ，根据一元二次方程的求根公式可得：
m (m 2)2
方程的两根为 x = .
2
∴ x1 = 1, x2 =1 m .
∵方程有一个根大于 3，
∴1 m 3 .
∴m 2．
22. 解：
（1）依题意画出线段 A B 如图所示：
y
6
5
4
3
A
2 B'
1
–5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5 6 x
–1
B –2 A'
–3
–4
–5
（2）①△CPP 的面积等于 6；
②△CPP 的面积 S 的取值范围是6 S 12 .
23. 解：设构成正方形方阵的机器人每列有 x 个．
由题意，得 (2x 1)(x 4) + 4 = x2．
解方程得 x1 =1， x2 = 8．
经检验， x =1不合题意，舍去； x =8符合题意．
即构成正方形方阵的机器人每列有 8 个.
答：此次参加表演的机器人共有 64 个．


初三数学 参考答案 第3页（共7页）
24. 解：
（1）依题意，抛物线 y = (x +1)2 4与 x 轴正半轴交于点 A，
令 y = 0 ，得 x = 3或 x =1，
得点 A 的坐标为(1, 0).
又由抛物线的顶点为 B，
可得点 B 的坐标为 ( 1, 4) .
设直线 AB 的表达式为 y = kx +b (k 0) ,
k + b = 0,
得
k + b = 4.
k = 2,
解得
b = 2.
所以直线的 AB 表达式为 y = 2x 2 .
（2） t = 2或t = 2 .
25．解：
（1）全体实数.
5
（2）① .
16
②图象如图所示：
y
2
1
–3 –2 –1 O 1 2 3 x
–1
–2

（3） 1.8 .
4
（4）n>0 或 n = .
3


初三数学 参考答案 第4页（共7页）
26．解：
（1）m = n.
理由如下：
当 a =1时， y = x2 2x ．
∵抛物线经过点 A( 1，m) 和点 B(3，n) ，
∴m = 3， n = 3 .
∴m = n.
（2）∵当 1 x 3时， y 随 x 的增大而减小，
∴当 x = 1时， y 的最大值为 a + 2a2 ；当 x = 3时， y 的最小值为9a 6a2 .
∴ h = (a + 2a2 ) (9a 6a2 ) =8a2 8a .
∴函数 h =8a2
1
8a 的图象开口向上，对称轴为 a = ， 2
1 1
当 a 时， h随 a 的增大而增大，当 a 时， h随 a 的增大而减小.
2 2
∵ y = ax2 2a2x (a 0)，
∴抛物线的对称轴为 x = a .
①当 a 0时，抛物线的开口向上.
当 x a时， y 随 x 的增大而增大；当 x a时， y 随 x 的增大而减小.
∵当 1 x 3时， y 随 x 的增大而减小，
∴ a 3 .
a 1∵当 时， h随 a 的增大而增大，
2
∴当 a = 3时， h的最小值为 48.
②当 a 0时，抛物线的开口向下.
当 x a时， y 随 x 的增大而减小；当 x a时， y 随 x 的增大而增大.
∵当 1 x 3时， y 随 x 的增大而减小，
∴ a 1 .
a 1∵当 时， h随 a 的增大而减小，
2
∴当 a = 1时， h的最小值为 16.
综上所述， h的最小值为 16.
初三数学 参考答案 第5页（共7页）
27．解：
（1）如图 1，设 FG 与 AD 交于点 H． F
∵四边形 ABCD是正方形，
A DH
∴ ABC = BAD = 90 ．
∵ FG ⊥ BC ，
B(E) G C
∴ BGF = 90 ．
图1
∴四边形 ABGH 是矩形．
∴ AHG = 90 ， AH = BG .
∴ AHF =180 AHG =90 ．
∵线段 AE 绕点 A 逆时针旋转135 得到线段 AF ，点 E 与点 B 重合，且 AB=2，
∴ AF = AE = AB = 2 ， BAF =135 ．
∴ FAH = BAF BAD = 45 ．
∴ AH 2= AF = 2 ．
2
∴ BG = AH = 2 ．
（2） BE = AB + 2BG ．
证明：如图 2，连接 CA，并延长交 FG 于点 I．
F
∵四边形 ABCD是正方形，
∴ AB = BC ， ACB = 45 ， AC = 2BC ．
∴ ACE =180 ACB =135 . I
D
A
∵ FG ⊥ BC ，
∴ CGF = 90 .
∴ CIG = 45 . G B C E
∴ CIG = ACB . 图2
∴GI =GC .
∴ AIF = CGF + ACB =135 ．
∴ AIF = ACE．
∵线段 AE 绕点 A 逆时针旋转135 得到线段 AF ，
∴ AF = AE ， EAF =135 ．
初三数学 参考答案 第6页（共7页）
∴ FAI =180 EAF CAE = 45 CAE．
∵ AEC = ACB CAE = 45 CAE，
∴ FAI = AEC．
∴△AIF≌△ECA．
∴ AI =CE ．
在等腰 Rt△CGI 中，CI = 2CG ，
∴ AI + AC = 2(BC + BG) ．
∴CE = 2BG．
∴ BE = BC +CE = AB + 2BG．
28．解：
（1） ① D；
② 135 180 ；
（2）10 3 20 t 6 3 12或 4 2 3 t 12 6 3 .

初三数学 参考答案 第7页（共7页）