4.2.2 指数函数的图象和性质 教案

指数函数的图象和性质
教材分析：
指数函数是继研究了函数的概念和性质之后在高中阶段研究的又一个基本初等函数，通过指数函数及图象与性质的研究，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，凸显了函数图象在研究函数性质时的重要作用，同时培养学生的函数应用意识，为今后学习其它的初等函数奠定了基础。
教学目标与核心素养：
(1)知识目标：
掌握指数函数的定义；通过指数函数的图象，归纳出指数函数的性质；利用指数函数的性质在不等式、方程问题中的应用。
(2)核心素养目标：
通过指数函数概念、图象和性质的学习，使学生掌握研究函数的一般方法，提高学生的数学抽象和逻辑推理能力。
教学重难点：
(1) 指数函数的概念；
(2) 指数函数的图象和性质；
(3) 指数函数性质以及利用指数函数的单调性比较实数大小、解不等式等方面的应用。
学法指导：
函数与图像紧密联系，图像反映函数的性质。研究指数函数图像与性质的思路是：画出图像，通过图像发现特征，然后归纳其性质（定义域、值域、特殊点、单调性、奇偶性）．
教学过程：
一、情境引入
1，陶渊明曾说过：“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏。”这句话告诉我们什么道理呢？
优秀传统文化：这就如同学习，假定现在获取的知识量是1，学习的知识按照每天百分之一的速度增长，那么，若干天后会怎样？两年后、三年后会怎样？怎么计算？学习的知识按照每天百分之一的速度减少，那么，若干天后会怎样？两年后、三年后会怎样？怎么计算？
通过理解让学生发现学习是一个循序渐进，日积月累的过程，需要学生坚持不懈的努力，坚持就是胜利！
2，《庄子.天下篇》中写到：一尺之锤，日取其半，万世不竭。“请你写出截取x次后，木棰剩余量y关于x的函数关系式是什么？ ．
问题1：上述三个函数有怎样的特征？
问题2：根据上面的特征，你能抽象，概括出这类函数的表达式吗？
二、探索新知
1、形如的函数称为指数函数.其中x是自变量，且.
例如：等等
注意：①指数函数的定义域为R，值域为；
②当时，，即指数函数的图象过定点(0,1)；
③若a=1，指数函数即为y=1，图象经过点(0,1)与x轴平行的直线.
问题3：指数函数中,为什么要规定a>0且a≠1
如果a<0,那么对某些x值没有意义,如无意义;如果a=0,那么当x>0时,，当x≤0时,无意义;如果a=1,y=1是个常数函数,没有研究的必要.所以规定a>0且a≠1,此时x可以是任意实数.
试问：下列函数中，哪些是指数函数？
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ （＞1，且）
其中为指数函数的有________.(填序号)
解析 ②中函数不是指数函数,因为指数函数的底数的系数不为1;③中函数是幂函数,不是指数函数;④不是指数函数，它是指数函数的运算式；⑤中函数的底数系数为-1,故不是指数函数;⑦中函数的指数不是x,不是指数函数.⑧中的底数-2<0。由指数函数的概念可知,①⑥⑨是指数函数.
2、指数函数的图象和性质
作出指数函数的图象.
列表、描点、连线得函数的图象如图
… …
… …
同理可作出指数函数的图象
注意：一般的，指数函数，当a>1时
①定义域为R，值域为，图象过定点(0,1)；
②函数在R上是增函数，当时，当时；
③对于指数函数和（a>b>0），当时，当x=1时，当x>0时.
图像 ＞1
性质 定义域
值域
定点 过定点 ，即= 时， =
单调性 在R上是 函数
函数值的变化 当＞0时， 当＜0时，
奇偶性
3、指数函数图像的底数大小比较
结合图1和图2，分别说说函数与的图像与底数的大小关系.
由图像可以直观的观察出在第一象限内，底数越大图像越靠近Y轴。所一得出底大图高。
三、合作探究：
1．求函数的定义域.
点拨：复合函数的定义域，彼此之间取交集，负指数的幂运算。
解析：由根式的定义可得，所以得出，定义域为。
2．比较大小
（1）A=, B=, C= （2）与
点拨：（1），，根据单调性比较指数的大小得出函数值的大小。
（2）与，同指数时，底数大的图像高，可以得出函数值的大小。
3．函数在区间上的最大值比最小值大，求的值.
四、课堂小结：
通过本节课的学习，可以让学生学到：
1，指数函数的概念；
2，指数函数的图像与性质；
3，利用指数函数的图像与性质来求同底，同指的函数的大小。
五、当堂检测：
1．已知函数是指数函数，则 .
解析：令解得或者，由指数函数的定义可得。
设计意图：加强指数函数定义的理解，系数为1。
2．函数且）的图像必经过点（ ）
A．（0，1） B．（2，1） C．（3，1） D．（3，2）
解析：（0,1）想右平移3个单位，向上平移1个单位，所以过（3,2）点。
设计意图：指数函数恒过定点及图像的平移。
3. 求使不等式成立的x的集合.
设计意图：复合函数的定义域求法及解不等式。
解析：因为，所以。
六、课后作业 :
教材P84，练习1、2、3.
七、教学反思：
一、 成功之处与亮点
1. 概念情境引入生动
2. 注重探究过程，体现学生主体性
二、 不足之处与困惑
1. 时间分配前松后紧，性质应用练习不足
2. 对“概念理解”的细节挖掘不够深入
3. 对学生已有的函数知识迁移能力估计过高
三、 改进措施
1. 优化课堂结构，精讲多练
2. 深化概念教学，追本溯源
3. 强化研究函数的方法论指导
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